向量综合复习
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向量复习一、选择(每题6分,共42分)1.下列说法中错误的是( )A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与数字0的大小都是0D .零向量的方向是任意的2.下列命题中正确的是 ( )A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若→a ,→b 满足→→>b a 且→a 与→b 同向,则→→>b aD.对于任意向量→a ,→b 必有≤+→→b a →→+b a3.在△ABC 中,AB→+CA →+BC →等于( ) A .0 B .0→ C .任一向量 D .与三角形形状有关4.已知λ∈R ,则下列命题正确的是( )A .|λ→a |=λ|→a |B .|λ→a |=|λ|→aC .|λ→a |=|λ||→a |D .|λ→a |>0 5.已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为( ) A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, 6.设→a 是已知的平面向量且→→≠0a ,关于向量→a 的分解,有如下四个命题: ① 给定向量→b ,总存在向量→c ,使→→→+=c a b ; ② 给定向量→b 和→c ,总存在实数λ和μ,使→→→+=c a μλb ; ③ 给定单位向量→b 和正数μ,总存在单位向量→c 和实数λ,使→→→+=c a μλb ; ④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量→b 和单位向量→c ,使→→→+=c a μλb . 上述命题中的向量→b ,→c 和→a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数( )A. 1B. 2C. 3D. 4 7.已知向量),(32a =→,),(x 6b =→,且→→⊥b a ,则x 的值为( )A .4B .4-C .9-D .9二、填空题:(每题6分,共24分) 8.化简:()()AB CD AC BD --- =9.设12e e ,为单位向量,非零向量12b xe ye =+ ,x ,y R ∈.若12e e ,的夹角为6π,则||||x b 的最大值等于 .10.已知向量AB 与AC 的夹角为120 ,且|AB |=3,|AC |=2,若AP λ= AB +AC ,且AP ⊥ BC ,则实数λ的值为______________11.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则=∙_____ _ _.三、解答题12.(6分)设→a ,→b 是不共线的两个向量,已知,b 2a CD ,b a BC ,b a 2AB →→→→→→→→→-=+=+=k若A 、B 、D 三点共线,求k 的值13.(8分)设→a =(5,12),→b =(-6,8),求: ( 1 ) →→+b a ; (2)→→b 2-a 3;( 3 ) →→∙b a ; ( 4 ) 向量→a 、→b 的夹角θ的余弦值.14.(10分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<< 。
向量专题复习向量是高考的一个亮点,因为向量知识,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 (一)基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。
4、向量形式的三角形不等式:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问:取等号的条件是什么?);向量形式的平行四边形定理:2(|a |2+|b |2)=|a -b |2+|a +b |25、实数与向量的乘法(即数乘的意义)实数λ与向量的积是一个向量,记λ,它的长度与方向规定如下:(1)|λa |=|λ|²|a |;(2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用:若≠,则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)) (二)典型例题例1、O 是平面上一 定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心+是在∠BAC 的平分线上,∴选B例2、对于任意非零向量与,求证:|||-|||≤|±|≤||+||证明:(1)两个非零向量与不共线时,+的方向与,的方向都不同,并且||-||<|±|<||+||(3)两个非零向量a 与b 共线时,①a 与b 同向,则a +b 的方向与a 、b 相同且|a +b |=|a |+|b |.②a 与b 异向时,则a +b 的方向与模较大的向量方向相同,设|a |>||,则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
向量综合复习1.(04湖北)已知,,为非零的平面向量. 甲:⋅=⋅,乙:=,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.(00年天津)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①0)()(=⋅-⋅b a c c b a ; ②||||||b a b a -<-; ③)()(⋅-⋅不与垂直; ④22||4||9)23()23(-=-⋅+中,是真命题的有( )A .①②B .②③C .③④D .②④3.(04上海春招)在ABC ∆中,有命题 ①BC AC AB =-;②0=++CA BC AB ;③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ,则ABC ∆为等腰三角形;④若0>⋅,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )A .①②B .①④C .②③D .②③④4、已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b) ⊥a ,(b -2a ) ⊥b ,则a 与b 的夹角是( )A .6π B .3π C .32π D .65π 5、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线,且a =,b =,那么为( ) A .b a 3432+ B .b a 3232- C .b a 3432- D .b a 3432+- 6、设 M 是△ABC 的重心,则=( )A .2AB AC - B .2AC AB + C .3AB AC -D .3AC AB + 7、下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是( )A .)0,0(1=e ,)2,1(2=eB .)2,1(1-=e ,)7,5(2=eC .)5,3(1=e ,)10,6(2=eD .)3,2(1-=e ,)43,21(2-=e 8、已知)2,1(=a ,)1,(x b = ,当b a 2+与b a -2共线时,x 的值为( )A .1B .2C .31D .219、已知向量)2,3(-=a ,)1,2(-=b ,)4,7(-=c ,用a 和b 来表示c ,则c 为( )A .b a -2B .b a +2C .b a 2-D .b a 2+10、已知)3,1(-A 、)21,8(B ,且A 、B 、C 三点共线,则C 点坐标可以是( )A .)1,9(-B .)1,9(-C .)1,9(D .)1,9(-- 11、下列四个命题:①若0=⋅b a ,则0 =a 或0 =b ;②若e 为单位向量,则e a a ⋅=||;③3||a a a a =⋅⋅;④若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线.其中错误命题的序号是___________.12、在ABC ∆中,D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点,已知D 点坐标为)2,1(,E 点坐标为)5,3(,F 点坐标为)7,2(,则点A 坐标为____________.13.已知)2,(x A ,)2,5(-y B ,若)6,4(=AB ,则y x ,的值分别为_________.14.已知向量)7,2(x a = ,)4,6(+=x b ,若b a =,则=x _________.15.已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ,则顶点D 的坐标为_____.16.若三点)1,1(A ,)4,2(-B ,)9,(x C 共线,则=x ____________.17.设)2,1(-=a ,)1,1(-=b ,)2,3(-=c ,用a 、b 作基底有b q a p c +=,则=p ______,=q ________.18.若)3,2(=a ,)1,4(y b +-= ,且b a //,则y 等于_________.19.当=m ______时,向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同;当=m _____时,a 与b 共线且方向相反.20.已知点),(y x M 在向量)2,1(=OP 所在的直线上,则y x ,所满足的条件是___________.21.已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ,且t +=,则当=t ________时,点P 落在x 轴上.。
向量复习1.向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模为0,方向是任意的,记作(3)长度等于1的向量叫单位向量.(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.零向量和任一向量平行.2.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b =λa .3.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.4.两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ,在平面上任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b 的夹角.5.向量的坐标表示及运算(1)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2),λa =(λx 1,λy 1).(2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1).6.平面向量共线的坐标表示已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 与b 共线.7.平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角.(1)定义:a ·b =|a ||b |cos θ.(2)投影:a ·b |b |=|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影. 8.数量积的性质(1)a ⊥b ⇔a ·b =0;(2)当a 与b 同向时,a ·b =|a |·|b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a |·|b |;特别地,a ·a =|a |2;(3)|a ·b |≤|a |·|b |;(4)cos θ=a ·b |a |·|b |. 9.数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)(1)a ·b =x 1x 2+y 1y 2;(2)|a |=x 21+y 21;(3)a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;(4)cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22.【误区警示】1.两向量夹角的范围是[0,π],a ·b >0与〈a ,b 〉为锐角不等价;a ·b <0与〈a ,b 〉为钝角不等价.2.点共线和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别.3.a 在b 方向上的投影为a ·b |b |,而不是a ·b |a |. 4.若a 与b 都是非零向量,则λa +μb =0⇔a 与b 共线,若a 与b 不共线,则λa +μb =0⇔λ=μ=0. 考点一 平面向量的概念及线性运算例1.(2016·高考全国甲卷)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =________.【变式探究】(1)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( )A .(-7,-4)B .(7,4)C .(-1,4)D .(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”;平行四边形法则要保证两向量“共起点”,结合几何法、代数法(坐标)求解.(2)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →=( )A.AD →B.12AD → C.BC → D.12BC → 考点二 平面向量数量积的计算与应用例2.(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →=⎝⎛⎭⎫12,32,BC →=⎝⎛⎭⎫32,12,则∠ABC =( ) A .30° B .45°C .60°D .120°【变式探究】(1)向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a +b )·a =( )A .-1B .0C .1D .2(2)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE →·BD →=________.综合小题向量练习1.【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-,=,且()a b b ⊥+,则m =( ) (A )-8 (B )-6 (C )6 (D )82【2015高考湖北,文11】已知向量,,则 .3【2015高考山东,文4】已知菱形的边长为 ,,则( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 4【2015高考四川,文7】设四边形ABCD 为平行四边形,,.若点M ,N 满足,,则( )(A )20 (B )15 (C )9 (D )65【2015高考安徽,文8】是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是( ) (A ) (B ) (C ) (D )6. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中,可以把向量表示出来的是( ) A. B . C. D.7. 【2014陕西高考文第13题】设,向量,若,则_______.8. 【2014高考北京卷文第10题】已知向量、满足,,且(),则 .9. 【2014高考湖北卷文第11题】设向量,,若,则实数 .10. 【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则= .OA AB ⊥||3OA =OA OB •=ABCD a 60ABC ∠=BD CD ⋅=232a -234a -234a 232a 6AB =4AD =3BM MC =2DN NC =AM NM ⋅=C ∆AB 2ab 2a AB =C 2a b A =+1b =a b ⊥1a b ⋅=()4C a b +⊥B ()2,3=a )2,1(),0,0(21==e e )2,5(),2,1(21-=-=e e )10,6(),5,3(21==e e )3,2(),3,2(21-=-=e e 20πθ<<()()1cos cos 2sin ,,,θθθb a =b a //=θtan a b 1||=a )1,2(=b 0b a =+λR λ∈||λ=(3,3)a =(1,1)b =-()()a b a b λλ+⊥-λ=1e 2e α1cos 3α=1232a e e =-123b e e =-βcos β。
平面向量复习课教案第一章:向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念,解释向量的定义展示向量的表示方法,包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章:向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念,解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章:向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则,包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章:向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念,解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念,解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章:向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念,解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念,解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章:向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念,解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章:向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念,解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章:向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念,解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章:向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念,解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章:向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性,包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用,如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示:向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量专题复习考点一、平面向量的概念,线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1.给出下列命题:①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB =DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A .②③B .①②C .③④D .④⑤2.设a 0为单位向量,下列命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |·a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3题型二、平面向量的线性表示1.(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB +FC =( )A .AD B.12AD C .BC D.12BC 2.(2013·江 苏 高 考)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.3.(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中,AB =c ,AC =b .若点D 满足BD =2DC ,则AD =( )A.23b +13cB.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c 4.若典例2条件变为:若AD =2DB ,CD =13CA +λCB ,则λ=________.题型三、平面向量共线定理典题:设两个非零向量e 1和e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,BC =2e 1-3e 2,AF =3e 1-k e 2,且A ,C ,F 三点共线,求k 的值.[变式1] 在本例条件下,试确定实数k ,使k e 1+e 2与e 1+k e 2共线.考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1.如果e 1,e 2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A .e 1与e 1+e 2 B .e 1-2e 2与e 1+2e 2 C .e 1+e 2与e 1-e 2 D .e 1+3e 2与6e 2+2e 12.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD =13BC ,E ,F 分别为线段AD 与BC 的中点.设BA =a ,BC =b ,试用a ,b 为基底表示向量EF ,DF ,CD .题型二、平面向量的坐标表示1.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a -32b =( ) A .(-2,-1) B .(-2,1) C .(-1,0) D .(-1,2)2.(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5,-6)和向量a =(1,-2),若MN =-3a ,则点N 的坐标为( )A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)3.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB =a ,BC =b ,CA =c ,且CM =3c ,CN =-2b ,(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ;(3)求M ,N 的坐标及向量MN 的坐标.题型三、平面向量共线的坐标表示典题:平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).(1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k .[题点发散1] 在本例条件下,若d 满足(d -c )∥(a +b ),且|d -c |=5,求d .[题点发散2] 在本例条件下,若m a +n b 与a -2b 共线,求m n 的值.[题点发散3] 若本例条件变为:已知A (3,2),B (-1,2),C (4,1),判断A ,B ,C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1.(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a =(-1,2),b =(m,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那么a 与b 的数量积等于( )A .-72B .-12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C .-322 D .-31523.(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°,且a =(-2,-6),|b |=10,则a ·b =________.4.(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2,DE =2EC ,DF =12(DC+DB ),则BE ·DF =________.题型二、平面向量的模长1.已知平面向量a ,b 的夹角为π6,且|a |=3,|b |=2,在△ABC 中,AB =2a +2b ,AC =2a -6b ,D 为BC 中点,则|AD |等于( )A .2B .4C .6D .82.(2014·北 京 高 考)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=________.题型三:平面向量的夹角1.向量a ,b 均为非零向量,(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a ,b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62.(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β=________.3.在直角三角形ABC 中,已知AB =(2,3),AC =(1,k ),则k 的值为________________.4.(2014·重 庆 高 考 )已知向量a =(k,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( )A .-92B .0C .3 D.152。
向量 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.⑶三角形不式:a b a b a b -≤+≤+.⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ;②结合律:()()a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= .⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++.3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y A B=--.4、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a的方向相反;当0λ=时,0a λ=.1、实数与向量的积的运算律 : 设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律:(1) a ·b= b ·a (交换律); (2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b = a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4、向量共线定理:向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= .5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) : a ·b =|a ||b |cos θ.a ·b 的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.性质:①0a b a b ⊥⇔⋅= .②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=;当a 与b 反向时, a b a b ⋅=- ;22a a a a ⋅== 或a a a =⋅.③a b a b ⋅≤ .7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ,B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- (11t λ=+). 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .(2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ,b 是两个非零向量( )A .若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB .若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C .若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD .若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( )A .a ∥bB .a ⊥bC .|a |=|b |D .a +b =a -b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ,满足PA +PB +PC =AB ,则点P 与△ABC 的关系为:A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为( )A .3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-B .4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-C .3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,D .4355⎛⎫- ⎪⎝⎭,5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则( )A 、090=∠ABCB .090=∠BAC C .AC AB =D .BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为( )A .5B .25C .5D .107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是( )A .22B .23C .42D .438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 ( )A .2-1,2+1⎡⎤⎣⎦,B .2-1,2+2⎡⎤⎣⎦,C .1,2+1⎡⎤⎣⎦,D .1,2+2⎡⎤⎣⎦,9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ( )A .4-B .3-C .2-D .-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为( )A .322 B .3152 C .322-D .3152-11、已知平面上不共线的四点O ,A ,B ,C .若OA +2OC =3OB ,则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ,为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中,∠C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM =2AM ,则CM ·CA =________.21、设OA =(1,-2),OB =(a ,-1),OC=(-b,0),a >0,b >0,O 为坐标原点,若A 、B 、C 三点共线,则1a +2b的最小值是________22、P ={a |a =(-1,1)+m (1,2),m ∈R},Q ={b |b =(1,-2)+n (2,3),n ∈R}是两个向量集合,则P ∩Q 等于________23、如图,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE =23AD ,AB=a ,AC =b .(1)用a ,b 表示向量AD ,AE ,AF ,BE ,BF;(2)求证:B ,E ,F 三点共线.24、已知向量a =(cos23x ,sin 23x ),b =(cos 2x ,—sin 2x ),且x ∈[2π,23π].(1) 求b a ⋅及|a +b |;(II )求函数f(x)=b a ⋅-b a +的最小值。
高三数学总复习讲义——向量一、知识清单(一)向量的有关定义1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也叫向量的长度).用|表示|2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c r r rL 等.(2)坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA u u u r 的坐标,记为OA u u u r=(),x y .(3)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ,CD uuu r 等.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等,记为a b =r r .注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0r与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. (二)向量的运算 1.运算定义①向量的加减法,②实数与向量的乘积,③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 1,y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2,y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1,y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB --→=λa →λ∈R记a →=(x ,y ) 则λa →=(λx ,λy )两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r 记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a →·b →=x 1x 2+y 1y 22.运算律加法:①a b b a +=+r r r r (交换律); ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r (结合律) 实数与向量的乘积:①()a b a b λλλ+=+r r r r ; ②()a a a λμλμ+=+r r r;③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算, 例如(a →±b→)2=222a a b b →→→→±⋅+3.运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r ,称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合。
第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ,则与a 同向的单位向量为( )(A ) }6,3,2{- (B )}6,3,2{71-- (C ) }6,3,2{71-± (D ) }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x ( )(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有( )(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴,则( )(A )0==D A (B )0,0≠=C B (C )0,0=≠C B (D )0==C B5. 在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)关于原点对称的点的坐标是( )(A) (1,-2,-3) (B) (-1,2,-3) (C) (-1,-2,-3) (D) (1,-2,-3)6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为( ) (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7.平面4y-7z=0的位置特点是( )(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴,且过点(0,7,4)(D) 平行于oyz 面8.平面x+y+2z=0的位置特点是( )(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1,1,2} (D)过x 轴 9.向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为( ) (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 (B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中,与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12.设向量{}1,2,3-=,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥,则=k ( ). (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113.在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是( ).(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14.设向量{}2,1,1-=,{}4,0,3=,则向量在向量上的投影为( ). (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115.下列曲面方程中表示圆锥面的是( ).(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16.设平面截x ,y ,z 轴的截距分别为a ,b ,c (a 、b 、c 均不为0)则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ,则该直线过原点,且( )(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴,但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴,但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是( ).(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19.向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是( )(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中,点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是( )(A) (1,3,1) (B) (-1,3,-1) (C) (-1,-3,1) (D) (-1,3,1)21.点(1,2,1)到平面032=++-z y x 的距离=d ( ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中,仅有点( )是在第三卦限内.(A )(1,-1,2) (B )(-1,-1,2) (C )(1,1,-2) (D )(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是( )(A )(55- (B )(55- (C )(55- (D )(5524.过点(2,-3,0)且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25.yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为( ).(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1.设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2.已知112,(2,0,1)a b =-=(,,) ,则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ,26=b ,72=⨯b a ,则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8.设k j i a 23-+=,k j i b --=32,则b a ⋅= .9.点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10.设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥,则常数c =___________.11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12.设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13.在空间直角坐标系中,点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14.已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ,则B 点的坐标为______________.15.过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16.已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ,则a 与b 的夹角余弦为 .17.过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18.若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19.向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20.已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过(1,1,-1)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程是 .22.求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周,所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ,则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27.过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29.已知向量{}1,0,1a -=,{}3,2,0b -=,则a 在b 上的投影为 . 30.xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31.过点(1,-2,0)且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32.设向量{}4,3-,4=,{}1,2,2=,则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ,则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M (1,2,1)到平面:02543=++-z y x 的距离为36.在空间直角坐标系中,点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38.过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39.设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1.求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2.试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程,并求出直线与平面的交点.6.求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9.试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ,求这个平面的方程.13. 已知A (1,1,1),B (2,2,1),C (2,1,2),求与AB →,AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面824=+-z y x 垂直,求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。
向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
1、数量与向量的区别:2•向量的表示方法:①用有向线段表示;2、零向量、单位向量概念:②用字母等表示;③用有向线段的起点与终点字母3、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定二、向量加、减法运算及其几何意义1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a、b .在平面内任取一点A ,作AB = a, BC = b,则向量AC叫做a与b的和,记作 a +b,即卩 a + b 二AB - BC = AC 规定:a + 0-= 0 + a探究:(1)两向量的和与两个数的和有什么关系?(2)当向量a与b不共线时,| a + b|<| a|+| b| ;什么时候I a + b|=| a|+| b|,什么时候| a + b|=| a| -1 b| , 当向量a与b不共线时,a + b的方向不同向,且|a + b|<| a|+| b| ;当a与b同向时,贝V a+b、a、b同向,且I a + b|=| a I+I b I ,当a与b反向时,若I a I>I b I,则a + b的方向与a相同,且I a + b I=I a I-I b I ;—r —fc- —«—■—te-—w —b-若I a I<I b I,则a + b的方向与b相同,且Ia+bI=I b I-I a I.(3)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加0与任一向量平行两向量的和仍是一个向量;3 .例一、已知向量a、b,求作向量a + bbba作法:在平面内取一点,作 0A 二a AB 二b ,则0B 二a • b .4•加法的交换律和平行四边形法则例、一艘船从 A 点出发以2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小为4km/h ,求水流的速度.若b + x = a ,贝U x 叫做a 与b 的差,记作a - b三•平面向量基本定理:如果e , , e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 入1,入2使a = ^ iq+入2e 2(1) 我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线;问题:上题中b + a 的结果与a + b 是否相同?验证结果相同从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)2)向量加法的交换律:a +b = b +a5 .你能证明:向量加法的结合律:(a + b ) + c = a + ( b +c ) 吗?6•由以上证明你能得到什么结论? 组合来进行.多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的减法 用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:a 、b ,求作向量a - b例一、(P86 例三)已知向量 a 、b c 、d ,求作向量 a -b 、 1.求作差向量:已知向量a 、 c-d.解:在平面上取一点 O ,作OA = a , OB = b , OC = c ,OD = d ,解:由平行四边形法则得:AC = a + b , DB = AB - AD = a —bb 表示向量AC 、DB .(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e i、e2的条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一.入1,入2是被a , u , e2唯一确定的数量:四•平面向量的坐标运算思考1 :已知:a =(X i, yj , b =(X2, y2),你能得出a b、a - b、■ a的坐标吗?设基底为i、j,贝V a ^ (x1 i y1 j) (x2i y2 j)=(为x2)i (y1 y2)j即a^(x1 X2,y1 y2),同理可得a -b =(X1 -X2,y1 - y2)(1) 若a=(X1,y J , b=(X2,y2),贝V a b =(/ x?,% y?),a -b=(X1 -X2,% - y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差(2)若a =(x,y)和实数■,则^( x, y).思考2:已知A(x1,y1) , B(x2,y2),怎样求AB的坐标?(3)若A(X1,yJ , Bgy),则AB = x? -为,y? - 力AB =OB —0A=( x 2, y2) - (x 1, y1)= (x 2- X 1, y 2- y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标思考3:你能标出坐标为(X2- x 1, y2- y 1)的P点吗?向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
新初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析(2)一、选择题1.已知非零向量a r 、b r 、c r ,在下列条件中,不能判定a r //b r的是( ) A .a r//c r ,b r //c rB .2a c =r r ,3b c =r rC .5a b =-r rD .||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析:根据平面向量的性质即可判断. 详解:A .∵a r∥c b rr,∥c r,∴a b P u u r r,故本选项,不符合题意; B .∵a r =2c b r r ,=3c r,∴a b P u u r r ,故本选项,不符合题意;C .∵a r=﹣5b r ,∴a b P u u r r ,故本选项,不符合题意;D .∵|a r|=2|b r |,不能判断a b P u u r r ,故本选项,符合题意.故选D .点睛:本题考查了平面向量,熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键.2.若0a r、0b r 都是单位向量,则有( ).A .00a b =r rB .00a b =-r rC .00a b =r rD .00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量,可得00a b =r r.注意排除法在解选择题中的应用.【详解】解:∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识.注意掌握单位向量的定义.3.若向量a r与b r均为单位向量,则下列结论中正确的是( ).A .a b =r rB .1a =rC .1b =rD .a b =r r【答案】D【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量,可得向量a r与b r的模相等,但方向不确定. 【详解】解:∵向量a r与b r均为单位向量, ∴向量a r与b r的模相等,∴a b =r r.故答案是:D.【点睛】此题考查了单位向量的定义.注意单位向量的模等于1,但方向不确定.4.已知AM 是ABC △的边BC 上的中线,AB a =u u u r r,AC b =u u u r r ,则AM u u u u r 等于( ).A .()12a b -r rB .()12b a -r rC .()12a b +r rD .()12a b -+r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出:CB a b =-u u u r rr ,然后根据中线的定义可得:()12CM a b =-u u u u r r r ,再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解:∵AB a =u u u r r,AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法,掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.5.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点M ,若设AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r,则下列选项与1122a b -+rr 相等的向量是( ).A .MA u u u rB .MB u u u rC .MC u u u u rD .MD u u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r , ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴()11112222a M AC ab A b =+==----u u u r u u u r r rr r ,故A 不符合题意;()11112222MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r rr r ,故B 不符合题意;()11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r rr ,故C 不符合题意;()11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r rr r ,故D 符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.6.已知m 、n 是实数,则在下列命题中正确命题的个数是( ). ①0m <,0a ≠rr时,ma r 与a r的方向一定相反; ②0m ≠,0a ≠rr时,ma r 与a r是平行向量; ③0mn >,0a ≠rr时,ma r 与na r的方向一定相同; ④0mn <,0a ≠rr时,ma r 与na r的方向一定相反. A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解:①因为0m <,1>0,0a ≠rr,所以ma r 与a r的方向一定相反,故①正确; ②因为0m ≠,1≠0,0a ≠rr,所以ma r 与a r是平行向量,故②正确;③因为0mn >,0a ≠rr,所以m 和n 同号,所以ma r 与na r的方向一定相同,故③正确; ④因为0mn <,0a ≠rr,所以m 和n 异号,所以ma r 与na r的方向一定相反,故④正确. 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量,掌握共线向量定理是解决此题的关键.7.给出下列3个命题,其中真命题的个数是( ).①单位向量都相等;②单位向量都平行;③平行的单位向量必相等. A .1个 B .2个C .3个D .0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解:①单位向量的方向不一定相同,故①错误;②单位向量不一定平行,例如向上的单位向量和向右的单位向量,故②错误; ③平行的单位向量可能方向相反,所以平行的单位向量不一定相等,故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念,掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.8.下面四个命题中正确的命题个数为( ).①对于实数m 和向量a r、b r ,恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r,恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r (m 是实数)时,则有a b =r r ④若ma na =r r (m 、n 是实数,0a ≠r r ),则有m n =A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r 、b r ,恒有()m a b ma mb -=-r r r r ,正确;②对于实数m 、n 和向量a r ,恒有()m n a ma na -=-r r r,正确; ③若ma mb =rr(m 是实数)时,则有a b =rr,错误,当m=0时不成立; ④若ma na =r r(m 、n 是实数,0a ≠rr),则有m n =,正确; 故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识,熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键.9.计算45a a -+r r的结果是( )A .aB .a rC .a -D .a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法,熟练掌握相关概念方法是关键10.下列结论正确的是( ).A .2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B .若AB u u u r 是单位向量,则BA u u u r不是单位向量 C .若O 是直线l 上一点,单位长度已选定,则l 上只有两点A 、B ,使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D .计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时,2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量,故选项A 不正确;B. AB u u u r是单位向量时,1AB =uu u r ,而此时1AB BA ==u u u r u u u r ,即BA u u u r 也是单位向量,故选项B不正确;C.单位长度选定以后,在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ,使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度,这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量,故选项C 正确;D.没有单位长度就等于没有度量标准,故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量,掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.11.已知e r 是一个单位向量,a r 、b r是非零向量,那么下列等式正确的是( )A .a e a v v v =B .e b b =v v vC .1a e a=v v vD .11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,向量包括长度及方向,而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,注意单位向量只规定大小没规定方向,则可分析求解. 【详解】A. 由于单位向量只限制长度,不确定方向,故错误;B. 符合向量的长度及方向,正确;C. 得出的是a 的方向不是单位向量,故错误;D. 左边得出的是a 的方向,右边得出的是b 的方向,两者方向不一定相同,故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量,解题的关键是熟练的掌握平面向量.12.如图,点C 、D 在线段AB 上,AC BD =,那么下列结论中,正确的是( )A .AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B .AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C .AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D .AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ,可得AD=BD ,即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量,AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,继而证得结论. 【详解】 A 、∵AC=BD ,∴AC BD =-u u u r u u u r,该选项错误; B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点, ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量,该选项正确; C 、∵AC=BC , ∴AD ≠BD ,∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量,该选项错误; D 、∵AC=BD , ∴AD=BC ,∴AD BC =-u u u r u u u r ,,该选项错误; 故选:B . 【点睛】本题考查了平面向量的知识.注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键.13.在下列关于向量的等式中,正确的是( ) A .AB BC CA =+u u u r u u u r u u u rB .AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C .AB CA BC =-u u u r u u u r u u u rD .0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r,故A 选项错误; AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r,故B 、C 选项错误; 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r,故D 选正确.故选:D. 【点睛】本题考查向量的线性运算,熟练掌握运算法则是关键.14.已知c r 为非零向量, 3a c =r r , 2b c =-r r,那么下列结论中错误的是( )A .//a b r rB .3||||2a b =r rC .a r 与b r方向相同D .a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可. 【详解】∵ 3a c =r r , 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ,∴a r ∥b r ,32a b =-r ra r 与b r方向相反,∴A ,B ,D 正确,C 错误; 故选:C . 【点睛】本题考查平面向量,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.15.已知e r 是单位向量,且2,4a e b e =-=v v v v,那么下列说法错误的是( )A .a r∥b rB .|a r |=2C .|b r |=﹣2|a r |D .a r =﹣12b r【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解:∵e v 是单位向量,且2a e =-v v,4b e =vv,∴//a b v v ,2a =v , 4b =v , 12a b =-v v ,故C 选项错误, 故选C.16.已知a r =3,b r =5,且b r 与a r 的方向相反,用a r表示b r 向量为( ) A .35b a =r r B .53b a =r r C .35b a =-r r D .53b a =-r r【答案】D 【解析】 【分析】根据a r =3,b r =5,且b r 与a r 的方向相反,即可用a r 表示b r 向量.【详解】a r=3,b r =5,b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选:D. 【点睛】考查了平面向量的知识,注意平面向量的正负表示的是方向.17.已知非零向量a r 、b r 和c r ,下列条件中,不能判定a b r rP 的是( )A .2a b =-r rB .a c =r r ,3b c =r rC .2a b c +=r r r ,a b c -=-r rrD .2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义,符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r,两个向量方向相反,互相平行,故本选项错误; B 、a c =r r ,3b c =r r ,则a r ∥b r ∥c r,故本选项错误;C 、由已知条件知2a b =-r r ,3a c -=r r ,则a r ∥b r ∥c r,故本选项错误;D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系,但是方向不一定相同或相反,a r 与b r 不一定平行,故本选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了平面向量,主要是对平行向量的考查,熟记概念是解题的关键.18.规定:在平面直角坐标系中,如果点P 的坐标为(m ,n ),向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为:OP uuu r =(m ,n ).已知OA u u u r =(x 1,y 1),OB uuu r=(x 2,y 2),如果x 1•x 2+y 1•y 2=0,那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直,在下列四组向量中,互相垂直的是( ) A .OC u u u r =(3,20190),OD uuu r=(﹣3﹣1,1)B .OE uuu r ﹣1,1),OF uuu r,1)C .OG u u u r 12),OH u u u r )2,8)D .OM u u u u r ),ON u u u r 2)【答案】A 【解析】 【分析】根据向量互相垂直的定义作答. 【详解】A 、由于3×(﹣3﹣1)+20190×1=﹣1+1=0,则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直,故本选项符合题意.B ﹣1+1)+1×1=2﹣1+1=2≠0,则OE uuu r 与OF uuu r不垂直,故本选项不符合题意.C )2+12×8=4+4=8≠0,则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直,故本选项不符合题意.D 2)×2=5﹣4+1=2≠0,则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直,故本选项不符合题意. 故选:A . 【点睛】本题考查了平面向量,解题的关键是掌握向量垂直的定义.19.已知向量a r 和b r都是单位向量,那么下列等式成立的是( )A .a b =r rB .2a b +=r rC .0a b -=r rD .a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量,,可知|a r|=|b r|=1,由此即可判断. 【详解】解:A 、向量a r和b r都是单位向量,但方向不一定相同,则a b =rr不一定成立,故本选项错误.B 、向量a r和b r都是单位向量,但方向不一定相同,则2a b +=rr不一定成立,故本选项错误.C 、向量a r和b r都是单位向量,但方向不一定相同,则0a b -=rr不一定成立,故本选项错误.D 、向量a r 和b r 都是单位向量,则|a r|=|b r |=1,故本选项正确.故选:D . 【点睛】本题考查平面向量、单位向量,属于概念题目,记住概念是解题的关键20.下列式子中错误的是( ).A .2a a a +=r r rB .()0a a +-=rr rC .()a b a b -+=--r r r r D .a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量,及向量的运算法则即可分析求解. 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同,∴2a a a +=r r r,故本选项正确;B. a r与a -r 大小相同,方向相反,∴()0a a +-=r r r ,故本选项正确;C.根据实数对于向量的分配律,可知()a b a b -+=--r r r r ,故本选项正确;D.根据向量的交换律,可知a b b a -=-+r r r r ,故本选项错误. 故选D.【点睛】本题考查向量的运算,掌握运算法则及运算律是解题的关键.。
平面向量 知识网络第1讲 向量的概念与线性运算★ 知 识 梳理 ★1.平面向量的有关概念:(1)向量的定义:既有____ _________的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的____ _____表示向量的大小,用____ ____表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示.特别提醒:1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |. 2) 零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定. 3) 单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. 5)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的线性运算向量的概念向量的运算向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐 标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件 向量的夹角向量的模两点间的距离1.向量的加法:(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫做a与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC =+=特殊情况:abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbba +ba +AABBC C )2()3(对于零向量与任一向量a ,有 a 00+=+ a = a(2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______(3)运算律:____ a +b =b +a ;_______,____(a +b )+c =a +(b +c )._______ 2.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. 已知向量a 、b ,求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一点O , 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 注意:1) AB 表示a - b 强调:差向量“箭头”指向被减数 2) 用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a +(-b)(-b )显然,此法作图较繁,但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b) a - b3.实数与向量的积:(1)定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,规定:|λa |=|λ||a |.当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa 与a 平行.(2)运算律:λ(μa )=(λμ)a , (λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )=λa +λb .特别提醒:1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
中考数学专题复习向量问题(一)学校:___________姓名:___________班级:___________考生__________ 评卷人 得分一、单选题1.已知a 是非零向量,2b a =-,下列说法中错误的是( ) A .b 与a 平行 B .b 与a 互为相反向量C .||2||b a =D .12a b =-2.已知e 是一个单位向量,a 、b 是非零向量,那么下列等式正确的是( ) A .a e a =B .e b b =C .1a e a =D .11a b ab=3.已知向量a 和b 都是单位向量,那么下列等式成立的是( ) A .a b =B .2a b +=C .0a b -=D .a b =4.已知a 和b 都是单位向量,那么下列结论中正确的是( ) A .a b =B .2a b +=C .0a b +=D .2a b +=5.已知一个单位向量e ,设a 、b 是非零向量,那么下列等式中正确的是( ). A .1a e a =;B .e a a =;C .b e b =;D .11a b ab=.6.已知向量a 与非零向量e 方向相同,且其模为e 的2倍:向量b 与e 方向相反,且其模为e 的3倍.则下列等式中成立的是( )A .23a b =B .23a b =-C .32a b =D .32a b =-7.如图,已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,//DE BC ,2AD =,3BD =,BC a =,那么ED 等于( )A .23aB .23a -C .25aD .25a -8.下列命题中,正确的是( ) A .如果e 为单位向量,那么a a e = B .如果a 、b 都是单位向量,那么a b = C .如果a b =-,那么//a bD.如果a b =,那么a b =9.已知1e 、2e 是两个单位向量,向量13a e =,23b e =-,那么下列结论正确的是( ) A .12e e = B .a b =-C .a b =D .a b =-评卷人 得分二、填空题 10.在△ABC 中,AB BC CA ++=_____.11.已知向量关系式()260a b x +-=,那么向量x =______.(用向量a 与向量b 表示)12.计算:()13242a ab --=________. 13.计算:()()2232a b a b -++=________.14.如图,在梯形ABCD 中,AD △BC ,BD 与AC 相交于点O ,OB =2OD ,设AB a =,AD b =,那么AO =____.(用向量a 、b 的式子表示)15.如图,已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,设OA a =,OB b =,那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______.16.计算:322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______.17.如图,在梯形ABCD 中,//AD BC ,2BC AD =,设AB a =,AD b =,那么向量CD 用向量a 、b 表示为______.18.计算:()()322a b a b+--=______.19.计算:()122a b b-+=_______________.评卷人得分三、解答题20.如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上,//AB DE,//AC DF,AC与DE 相交于点G,12AG DGGC GE==,2BE=.(1)求BF的长;(2)设EG a=,BE b=,那么BF=,DF=(用向量a、b表示).21.如图,在ABC中,点G是ABC的重心,联结AG,联结BG并延长交边AC于点D,过点G作//GE BC交边AC于点E.(1)如果AB a=,AC b=,用a、b表示向量BG;(2)当AG BD⊥,6BG=,45GAD∠=︒时,求AE的长.22.如图,已知ABC 中,//DE BC ,2AD =,4DB =,8AC =.(1)求线段AE 的长; (2)设BA a =,BC b =.△请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式,AE =________;△连接BE ,在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量.【可以不写作法,但必须写出结论】23.已知向量关系式()132a xb x -=+,试用向量a 、b 表示向量x .24.如图,一个33⨯的网格.其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点.(1)在点M 、N 、P 、Q 中,哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似?请说明理由;(2)设AB a =a ,BC b =,写出向量AD 关于a 、b 的分解式.25.如图,在ABCD 中,AE 平分BAD ∠,AE 与BD 交于点F , 1.2AB =,1.8BC =.(1)求:BF DF 的值;(2)设AB a =,BC =b ,求向量DF (用向量a 、b 表示).26.如图,已知在ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,//DE BC ,点M 为边BC 上一点,13BM BC =,联结AM 交DE 于点N .(1)求DNNE的值; (2)设AB a =,AM b =,如果23AD DB =,请用向量a 、b 表示向量NE .27.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O .设BA a =,CB b =.(1)试用a、b表示BO;(2)在图中作出CO在CB、CD上的分向量,并直接用a、b表示CO.(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并写明结论)参考答案:1.B 【解析】 【分析】根据向量的有关定义和运算分别进行判断,即可得出结论. 【详解】解:A.因为2b a =-(a ≠0),则b 与a 平行,故此结论正确; B.若两个向量方向相反,大小相等,则为相反向量,故此结论错误; C. 因为2b a =-,则||2||b a =结论正确;D. 2b a =-两边同除以-2,则12a b =-,故此结论正确.故答案为:B . 【点睛】本题考查了向量的相关应用,解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则. 2.B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,向量包括长度及方向,而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,注意单位向量只规定大小没规定方向,则可分析求解. 【详解】A. 由于单位向量只限制长度,不确定方向,故错误;B. 符合向量的长度及方向,正确;C. 得出的是a 的方向不是单位向量,故错误;D. 左边得出的是a 的方向,右边得出的是b 的方向,两者方向不一定相同,故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量,解题的关键是熟练的掌握平面向量. 3.D 【解析】 【分析】根据向量a 和b 都是单位向量,,可知|a |=|b |=1,由此即可判断. 【详解】解:A 、向量a 和b 都是单位向量,但方向不一定相同,则a b =不一定成立,故本选项错误.B 、向量a 和b 都是单位向量,但方向不一定相同,则2a b +=不一定成立,故本选项错误.C 、向量a 和b 都是单位向量,但方向不一定相同,则0a b -=不一定成立,故本选项错误.D 、向量a 和b 都是单位向量,则|a |=|b |=1,故本选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查平面向量、单位向量,属于概念题目,记住概念是解题的关键 4.D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义进行选择. 【详解】解:△a 和b 是两个单位向量,△它们的长度相等,但是方向不一定相同; △2a b +=正确; 故选:D . 【点睛】本题考查单位向量的含义;属于基础题. 5.B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,向量包括长度及方向,而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,注意单位向量只规定大小没规定方向,则可分析求解. 【详解】解:A、左边得出的是a的方向不是单位向量,故错误;B、符合向量的长度及方向,正确;C、由于单位向量只限制长度,不确定方向,故错误;D、左边得出的是a的方向,右边得出的是b的方向,两者方向不一定相同,故错误.故选:B.【点睛】本题考查了向量的性质.6.B【解析】【分析】根据向量的方向和模的关系可得a=2e,b=-3e,从而可得e=13b-,即可求出结论.【详解】解:由题意可知:a=2e,b=-3e△e=1 3b -△a=2e=2 3b -故选:B.【点睛】此题考查的是向量的数乘运算,根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键.7.D【解析】【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系,再根据向量的定义即可求出ED的值.【详解】解:△//DE BC,△DE AD BC AB=,△2AD=,3BD=,△223 DEBC=+,△25DE BC =. △BC a =, △ED =25a -.故选D . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,以及向量的定义,向量用有向线段来表示,有向线段长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 8.C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项. 【详解】A 、如果e 为单位向量,则有1e =,但e 不等于1,所以a a e ≠,故错误;B 、长度等于1的向量是单位向量,故错误;C 、如果a b =-,那么//a b ,故正确;D 、a b =表示这两个向量长度相等,而a b =表示的是长度相等,方向也相同的两个向量,故错误; 故选C . 【点睛】本题主要考查向量的定义,熟练掌握向量的定义是解题的关键. 9.C 【解析】 【分析】由1e 、2e 是两个单位向量的方向不确定,从而判定A 与B 错误;又由平面向量模的知识,即可判定选项C 正确,选项D 错误. 【详解】解:△1e 、2e 是两个单位向量,方向不一定相同,△1e 与2e 不一定相等,选项A 错误;△1e 、2e 是两个单位向量,方向不一定相同,△a 与b -不一定相等,选项B 错误; △133a e ==,233b e =-=,△a b =,选项C 正确,选项D 错误;故选:C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积,注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的.10.0.【解析】【分析】由在△ABC 中,根据三角形法则即可求得AB +BC 的值,则可求得答案.【详解】△0AB BC CA AC CA ++=+=.故答案为:0.【点睛】本题考查向量的性质,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征,借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化.11.13a b + 【解析】【分析】利用类似一元一次方程的求解方法,去括号、移项、系数化1,即可求得答案.【详解】解:△()260a b x +-=△2660a b x +-= 626x a b =+x =13a b + 故答案为:13a b + 【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度不大,此向量方程的解法与一元一次方程的解法类似.12.22a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算法则进行运算,从而可得答案.【详解】解:()13242a a b --=3222.a a b a b -+=+ 故答案为:22a b +.【点睛】本题考查的向量的线性运算,掌握向量的加,减,数乘运算是解题的关键.13.8a b -【解析】【分析】根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可.【详解】解:()()2232a b a b -++=2463a b a b -++=8a b -.故答案为8a b -.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘,掌握相关运算法则成为解答本题的关键.14.1233a+b【解析】【分析】先证明△AOD△△COB ,推出OA OC =12AD OD CB OB ==,求出2AD 2BC b ==,由三角形法则得出2AC AB BC a b =+=+即可根据13AO AC =求出答案.【详解】△OB=2OD,△12 ODOB=,△AD△BC,△△AOD△△COB,△OAOC=12AD ODCB OB==,△2AD2BC b==,△2 AC AB BC a b=+=+,△13AO AC==1233a+b,故答案为:1233a+b.【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质,解题时注意三角形法则的应用.15.b a-【解析】【分析】根据AB AO OB OA OB=+=-+计算即可.【详解】解:△OA a=,OB b=,△AB AO OB=+OA OB=-+a b=-+b a=-,故答案为:b a-.【点睛】此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键.16.42a b-【解析】【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案.【详解】解:323-2=4-22⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭a ab a a b a b 故答案为:4-2a b【点睛】此题考查了平面向量的运算,注意去括号时的符号变化,熟练掌握法则是解题的关键,属于基础题17.a b --【解析】【分析】 根据题意得2BC b =,再求出2CA a b =--,由CD CA AD =+即可求出结果.【详解】解:△2BC AD =,AD b =,//AD BC ,△2BC b =,△()()22CA AC AB BC a b a b =-=-+=-+=--,△2CD CA AD a b b a b =+=--+=--.故答案是:a b --.【点睛】本题考查平面向量,解题的关键是掌握平面向量的计算方法.18.8a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解.【详解】解:()()32236228a b a b a b a b a b +--=+-+=+;故答案为8a b +.【点睛】本题主要考查向量的运算,熟练掌握向量的运算是解题的关键.19.12a b 【解析】【分析】去括号,合并同类向量即可解得.【详解】()1112222a b b a b b a b -+=-+=+ 【点睛】本题考查了向量的线性运算,属于基础题.20.(1)8BF =;(2)4b ,332b a - 【解析】【分析】(1)先证△CEG△△CBA ,再证△ECG△△EFD ,然后求解即可;(2)先证22EC BE b ==,CF b =,再证32ED EG CD a =+=,然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可.【详解】解:(1)△AB△GE ,△△B=△DEC ,△△ACB=△ACB ,△△CEG△△CBA ,△1=2AG BE GC CE =, △CE=2BE=4,同理△ECG△△EFD ,△1=2DG FC GE CE =, △CE=2FC=4,△FC=2,△BF=BE+EC+FC=2+4+2=8;(2)BE b =,由(1)可知BE=CF=12EC ,△22EC BE b ==,CF b =,△4BF BE EC CF b =++= ,△EG a = ,△1122GD EG a ==, △32ED EG CD a =+=, △23EF EC CF b b b =+=+=,△332DF EF ED b a =-=-. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量,解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定.21.(1)2133BG a b =-+;(2)42AE =. 【解析】【分析】(1)由G 是重心,可得12AD b →→=, 23BG BD →→=, 因为BD BA AD →→→=+,可得12BD a b →→→=-+, 进而求出BG →; (2)根据G 是重心,求出DG =3,因为△AGD 是等腰直角三角形,勾股定理计算出AD =32,由AD =DC ,DC =3DE 求出DE =2,相加即可.【详解】解:(1)△BD BA AD →→→=+,△点G 是Rt △ABC 的重心,△AD =12AC ,△→→=AB a ,→→=AC b ,△12AD a →→=, △12BD a b →→→=-+ △221()332BG BD a b →→→→==-+,21+33BG a b →→→=-. (2)△G 是三角形的重心,△BG =2GD ,AD =DC ,△BG =6,△GD =3,△AG BD ⊥,45GAD ︒∠=,△AG =GD =3,△223332AD =+=,△//GE BC ,△13DE GD DC BD ==, △DE =2,△AE =AD +DE =42【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理;熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理,能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键.22.(1)83AE =;(2)△1133a b -+;△作图见解析. 【解析】【分析】(1)先求出AB ,再据平行线分线段成比例,写出关于AE 、AC 、AD 、AB 的等比式,问题可解.(2)△以AD ,DE 为边作平行四边形ADEF ,,先再求得11,33AD a AF b =-=,据AE AD AF =+问题可解;△以BD 、DE 为边作平行四边形即可.【详解】解:(1)△//DE BC ,△AD AE AB AC=, △83AE =.(2)△如下图△DE△BC△△ADE=△B,△AED=△C△△ADE△△ABC△2163AD DEAB BC===又BA a=,BC b=△11,33AD a DE b=-=△四边形ADEF是平行四边形△13AF DE b==△1133AE a b=-+,△如下图,BD和BM是BE分别在a、b方向上的分向量.23.1277x a b=-【解析】【分析】根据平面向量的定义,既有方向,又有大小计算即可.【详解】解:△()132a xb x-=+,△11322a xb x-=+,△7122x a b=-,△1277x a b=-.【点睛】本题考查平面向量,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.24.(1)点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似,理由见解析;(2)2a3b-【解析】【分析】(1)设网格中小正方形的边长为a,利用勾股定理求出各边的长度,然后分类讨论,根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可;(2)延长AB至E,使BE=AB,根据向量加法的三角形法则计算即可.【详解】解:(1)点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似,理由如下:设网格中小正方形的边长为a,则BC=a,AB=22a a2a+=,AC=()2225a a a+=,其中BC<AB<AC如下图所示,连接BM、AM则BM=()2225a a a+=,AM=()()223213a a a+=,其中AB<BM<AM△22AB aBC a==,51022BM aAB a==△ABBC≠BMAB△ABM和ABC不相似;如下图所示,连接AN则BN=2a,AN=()22310a a a +=,其中AB <BN <AN △22AB a BC a ==,222BN a AB a ==,1025AN a AC a==, △AB BC =BN AB =AN AC △NBA △△ABC ; 如下图所示,连接BP则BP=()2225a a a +=,AP=3,其中AB <BP <AP △22AB a BC a==,51022BP a AB a == △AB BC ≠BP AB△ABP △和ABC 不相似; 如下图所示,连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=,AQ=()22310a a a +=,其中AB <BQ <AQ △22AB a BC a==,2222BQ a AB a == △AB BC ≠BQ AB△ABQ △和ABC 不相似;综上:点N 和点A、B 所构成的三角形与ABC 相似;(2)延长AB 至E ,使BE=AB ,根据正方形的性质可知,点E 正好落在格点上,如下图所示△22AE AB a ==,33ED BC b =-=-△AD =AE +ED=2a 3b -.【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法,掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键.25.(1)BF :DF =2:3,(2)3355DF a b =-. 【解析】【分析】(1)先证∆BFE ∼∆DF A ,得出BE BF AD DF= ,在利用角平分线的性质进行等量代换,得到BE AB AD AD=再结合平行四边形的性质即可求得答案. (2)利用第(1)小问的结论,得到DF 与DB 的数量关系,进而得到DF 与DB 的关系,根据向量DB =AB AD -即可求解.【详解】(1)在ABCD 中,△BC △AD△△BEA =△DAE ,又△△BFE =△DF A ,△∆BFE ∼∆DF A ,△BE BF AD DF= , 又△AE 平分BAD ∠,△△BAE =△DAE ,△△BAE =△BEA ,△AB =BE ,△BE AB AD AD= 又△ 1.2AB =, 1.8AD BC ==.△ 1.221.83BF AB DF AD === △BF :DF =2:3(2)△BF :DF =2:3△DF =35DB △35DF DB ==3()5AB AD - △BC △ AD , BC =AD ,AB a =,BC =b ,△AD BC b ==△333()555DF a b a b =-=-. 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质,平面向量的加减法等知识点,证明∆BFE ∼∆DF A 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键.26.(1)12;(2)4455b a -. 【解析】【分析】(1)由平行线的性质得到△ADN△△ABM ,△ANE△△AMC ,可得DN NE BM MC,即DN BM NE MC =,根据13BM BC =可求出DN NE 的值; (2)根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+,所以DN =()2255BM BA AM =+,根据DN NE =12,即可得出答案.【详解】解:(1)△//DE BC ,△△AND=△B ,△AND=△AMB ,△ANE=△AMC ,△AEN=△C ,△△ADN△△ABM ,△ANE△△AMC ,△DN AN BM AM =,AN NE AM MC =, △DN NE BM MC , △DN BM NE MC=, △13BM BC =, △12BM MC =, △DN NE =12; (2)△23AD DB =, △25AD AD AB AD DB ==+, △DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-, △DN NE =12, △224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质,平行线的性质,向量等相关知识.熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.27.(1)2133BO a b =-;(2)见解析,2233CO b a =+ 【解析】【分析】(1)首先证明23BO BE =,求出BE 即可求解; (2)证明23CO CA =,求出CA 即可解决问题. 【详解】解(1)△//AD BC△12OE AE BO BC == △23BO BE =△()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭; (2)△AE△BC ,△1=2AO AE CO CB =, △23CO CA =, △()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示,CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM .【点睛】本题考查作图—复杂作图,平行线的性质、平面向量等知识,解题的关键是正确理解题意,灵活运用所学知识点.。