2017-2018学年北师大版九年级数学上册同步练习：2.4 用因式分解法求解一元二次方程

用因式分解法求解一元二次方程基础题知识点1 用因式分解法解一元二次方程1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－22．(重庆中考)一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝23．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝04．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( ) A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝05．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)6．方程x(x－5)＝3(x－5)的根为________________．7．解方程：(1)x(x－2)＝x；(2)(自贡中考)3x(x－2)＝2(2－x)；(3)(x＋1)2＝(2x－1)2.知识点2 用适当的方法解一元二次方程8．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是( ) A．直接开平方法 B．因式分解法C．配方法 D．公式法9．(云南中考)一元二次方程x2－x－2＝0的解是( ) A．x1＝1，x2＝2B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝210．解方程：(1)3(x＋1)2＝12；(2)(漳州中考)x2－4x＋1＝0；(3)2(t－1)2＋t＝1；(4)(3x－1)2－4(2x＋3)2＝0.中档题11．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是( )A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法12．(济宁中考)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为( )A．13 B．15C．18 D．13或1813．若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1＝0，则2m＋n的值是________．14．(襄阳中考)若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．15．读题后回答问题：解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.请回答：(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．16．用适当的方法解方程：(1)y2＋3y＋1＝0；(2)x2－8x＝84；(3)3(x－2)＝5x(x－2)；(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝13.17．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a>b ），ab －b 2（a<b ），例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，求x 1*x 2的值．综合题18．阅读理解：例如：因为x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3，所以x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)． 所以方程x 2＋5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝－2，x 2＝－3.又如：x 2－5x ＋6＝x 2＋x ＋(－2)×(－3)．所以x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)． 所以方程x 2－5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝2，x 2＝3.一般地，x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．所以x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0，即(x ＋a)(x ＋b)＝0的解为x 1＝－a ，x 2＝－b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋8x ＋7＝0；(2)x 2－11x ＋28＝0.参考答案基础题1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.x 1＝3，x 2＝57.(1)∵x(x－2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.(2)(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－23，x 2＝2. (3)(x ＋1)2－(2x －1)2＝0，(x ＋1＋2x －1)(x ＋1－2x ＋1)＝0，∴3x ＝0或－x ＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.8.B 9.D10.(1)(x ＋1)2＝4，x ＋1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－3.(2)∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122，即x ＝2± 3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3.(3)2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12. (4)(3x －1)2－2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7. 中档题11．D 12.A 13.－1 14.515.(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－5.16.(1)y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52. (2)x 1＝14，x 2＝－6.(3)x 1＝2，x 2＝35. (4)原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.17.x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4，当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4.综合题18．(1)∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－7，x2＝－1.(2)∵x2＋x＋(－4)×(－7)＝0，(x－4)(x－7)＝0，∴x1＝4，x2＝7.。

用因式分解法求解一元二次方程一、教材题目：P47-48 T1-T2知识技能1．用因式分解法解下列方程：(1)(4x－1)(5x＋7)＝0；(2)3x(x－1)＝2－2x；(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；(4)2(x－3)2＝x2－9.2．解下列方程：(1)5(x2－x)＝3(x2＋x)；(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；(3)(x－2)(x－3)＝12；(4)2x＋6＝(x＋3)2；(5)2y2＋4y＝y＋2.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》1．(2015·山西)我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想10．(2015·广州)已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( ) A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或1012．解方程2(x －1)2＝3x －3的最适当的方法是( ) A ．直接开平方法 B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法13．已知下列方程，请把它们的序号填在相应解法后的横线上．①2(x －1)2＝6；②(x －2)2＋x 2＝4；③(x －2)(x －3)＝3；④x 2－2x －1＝0；⑤x 2－2x ＋14＝0；⑥x 2－2x －99＝0. (1)直接开平方法：________；(2)配方法：____________；(3)公式法：____________；(4)因式分解法：________．答案教材1．解：(1)(4x －1)(5x ＋7)＝0，4x －1＝0，或5x ＋7＝0，所以x1＝14，x2＝－75.(2)3x(x －1)＝2－2x ，3x(x －1)＋2(x －1)＝0，(x －1)(3x ＋2)＝0，x －1＝0，或3x ＋2＝0，所以x1＝1，x2＝－23.(3)(2x ＋3)2＝4(2x ＋3)，(2x ＋3)2－4(2x ＋3)＝0，(2x ＋3)(2x －1)＝0，2x ＋3＝0，或2x －1＝0，所以x1＝－32，x2＝12.(4)2(x －3)2＝x2－9，2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)(2x －6－x －3)＝0，(x －3)(x －9)＝0，x －3＝0，或x －9＝0，所以x1＝3，x2＝9.2．解：(1)5(x2－x)＝3(x2＋x)，5x2－5x ＝3x2＋3x ，2x2－8x ＝0，2x(x －4)＝0，所以x1＝0，x2＝4.(2)(x －2)2＝(2x ＋3)2，(x －2)2－(2x ＋3)2＝0，＝0，(3x ＋1)(－x －5)＝0，所以x1＝－13，x2＝－5. (3)(x －2)(x －3)＝12，x2－5x ＋6－12＝0，x2－5x －6＝0，(x －6)(x ＋1)＝0，所以x1＝6，x2＝－1.(4)2x ＋6＝(x ＋3)2，(x ＋3)2－2x －6＝0，(x ＋3)2－2(x ＋3)＝0，(x ＋1)(x ＋3)＝0，所以x1＝－1，x2＝－3.(5)2y2＋4y ＝y ＋2，2y2＋3y －2＝0，(2y －1)(y ＋2)＝0，所以y1＝12，y2＝－2. 点拨：从这些题的解法可以看出，用因式分解法解方程时有多种形式，如提公因式、平分差公式、完全平方公式、二次三项式的因式分解等，因此先观察方程再灵活选择解法是一元二次方程求解时应注意的地方．典中点1．A 10．B12.D 13．(1)①(2)④⑥(3)③⑤(4)②。

第二章一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习题1. 小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( )A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝02．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和23．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )A．配方法 B．公式法 C．分解因式法 D．直接开平方法4. 方程x2－5x－6＝0的两根为( )A．6和－1 B．－6和1 C．－2和－3 D．2和35. 下列方程适合用分解因式法求解的( )A．x2－x－1＝0 B．2x2－3x＋5＝0C．x2＋5x－3＝0 D．(x－1)2＝1－x6. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为( )A．13 B．15 C．18 D．13或187. 解方程：①9(x－3)2＝25；②6x2－x＝1；③x2＋4x－3596＝0；④x(x－1)＝1.较简便的方法依次是( )A．直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C ．配方法、因式分解法、配方法、公式法D ．直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法8. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是 .9. 方程a 2－16＝0可化成两个一次方程是 和 ；则x 1＝ ，x 2＝ .10. 若多项式x 2＋px ＋q 分解因式的结果是(x ＋m)(x ＋n)，则方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为 .11. 解下列方程时，请你从公式法、分解因式法中选出最佳方法．(1)x 2－6x －10＝0选用 ；(2)3x 2－3x ＝0选用 .12. 已知y ＝x 2－3x ＋2，当x ＝ 时，y 值为零．13. 已知最简二次根式3x 2－2x 与－5x ＋4可以合并，则x ＝ .14. 如果12x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为 . 15. 用分解因式法解方程：(3x －4)2＝(4x －3)216. 解下列方程：3(x －5)2＝x 2－2517. 已知实数x 满足(x 2－x)2－4x 2＋4x －12＝0，求代数式x 2－x ＋2019的值．18. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2?参考答案;1---7 DDCAD AD8. x 1＝2，x 2＝－39. a ＋4＝0 a －4＝0 4 －410. x 1＝－m ，x 2＝－n11. (1) 公式法(2) 因式分解法12. 1或213. －114. －23或4315. 解：x 1＝1，x 2＝－116. 解：3(x －5)2＝(x ＋5)(x －5)，3(x －5)2－(x ＋5)(x －5)＝0，(x －5)[3(x －5)－x －5]＝0，∴x 1＝5，x 2＝1017. 解：由(x 2－x )2－4x 2＋4x －12＝0得(x 2－x )2－4(x 2－x )－12＝0，∴(x 2－x ＋2)(x 2－x －6)＝0，∴x 2－x ＋2＝0或x 2－x －6＝0，当x 2－x ＋2＝0时，Δ＝－7＜0，此方程无解，当x 2－x －6＝0时，Δ＝25＞0，∴x 2－x ＝6，∴x 2－x ＋2019＝6＋2019＝2021.18. 解：设矩形温室的宽为xm ，则长为2xm ，根据题意得(x －2)(2x －4)＝288，解这个方程得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14，所以x ＝14,2x ＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2.。

2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－32．方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝03．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝34．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )A．甲的错误，乙的正确B．甲的正确，乙的错误C．两人的都正确D．两人的都错误二、填空题5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．三、解答题10．解下列方程：(1)4x2－225＝0；(2)5x2＋20x＋20＝0；(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(5)2(t－1)2＋t＝1；(6)2(x－3)2＝x2－9；(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.11．请选择适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2＋2x－224＝0；(3)2x(x－3)＝x－3；(4)2x2＋4x＝－1.12．已知一个等腰三角形的三边长都满足方程(x－3)(x＋3)＝10(x－3)，求这个等腰三角形的周长．13．阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x2－10x＋21＝0；②x2＋2x＝8；③x2－5x－6＝0.14 阅读例题，解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，原方程变形得x2－x－2＝0，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝2；当x＜0时，原方程变形得x2＋x－2＝0，解得x＝1(不合题意，舍去)或x＝－2. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－2.依照上述解法解方程：x2－|x－1|－1＝0.1．[答案] D 2．[答案] C3．[解析] D 由原方程移项，得 (x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)(x －2－1)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 故选D .4．[解析] A (x ＋2)(x －2)＝5.整理，得x 2－9＝0.分解因式，得(x ＋3)(x －3)＝0，则x ＋3＝0或x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3.所以甲的错误，乙的正确．故选A .5．[答案] x 1＝0，x 2＝27[解析] 移项，得7x 2－2x ＝0， 左边分解因式，得x(7x －2)＝0， ∴x ＝0或7x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝27.故答案为：x 1＝0，x 2＝27.6．[答案] x 1＝0，x 2＝2[解析] 原方程变形，得x(x －1)－x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2. 7．[答案] (x －6)(x ＋2) 8．[答案] 10或11 9．[答案] 2[解析] 依题意知x 2－4x ＋5＝1，x 2－4x ＋4＝0，(x －2)2＝0，解得x 1＝x 2＝2.当x ＝2时，x 2＋4x －5≠0，所以x ＝2符合题意．10．解：(1)利用平方差公式分解因式，得(2x ＋15)(2x －15)＝0， ∴2x ＋15＝0或2x －15＝0， ∴x 1＝－7.5，x 2＝7.5.(2)方程两边同除以5，得x 2＋4x ＋4＝0，写成平方形式，得(x ＋2)2＝0，∴x ＋2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.(3)(2x －1)(－x －1)＝0， ∴x 1＝12，x 2＝－1.(4)[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0， (7x －16)(4－3x)＝0，∴x 1＝167，x 2＝43.(5)2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0， ∴t 1＝1，t 2＝12.(6)右边分解因式，得2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.∴x －3＝0或2(x －3)－(x ＋3)＝0. 解得x 1＝3，x 2＝9.(7)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0， (2x ＋1＋2)2＝0，∴x 1＝x 2＝－32.11．解：(1)(2x ＋3)2－25＝0， 2x ＋3＝±5， 解得x 1＝1，x 2＝－4. (2)x 2＋2x －224＝0， x ＋1＝±15，解得x 1＝14，x 2＝－16. (3)2x(x －3)＝x －3， 2x(x －3)－(x －3)＝0， (x －3)(2x －1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12.(4)2x 2＋4x ＝－1，即2x 2＋4x ＋1＝0， a ＝2，b ＝4，c ＝1，b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8＞0，则x ＝－4±82×2，∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22.12．解：由(x －3)(x ＋3)＝10(x －3)， 得(x －3)(x －7)＝0，∴x 1＝3，x 2＝7.(1)当腰长为3，底边长为7时，3＋3<7，不能构成三角形； (2)当腰长为7，底边长为3时，周长l ＝7＋7＋3＝17； (3)当三角形为边长为3的等边三角形时，周长l ＝3×3＝9； (4)当三角形为边长为7的等边三角形时，周长l ＝7×3＝21. 所以这个等腰三角形的周长为9，17或21. 13．解：①分解因式，得(x －3)(x －7)＝0， ∴x －3＝0或x －7＝0，∴x 1＝3，x 2＝7. ②整理，得x 2＋2x －8＝0， 分解因式，得(x －2)(x ＋4)＝0， ∴x －2＝0或x ＋4＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－4.③分解因式，得(x －6)(x ＋1)＝0， ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.14 解：当x －1≥0，即x ≥1时，原方程变形得x 2－x ＝0，即x(x －1)＝0， 解得x ＝0(不合题意，舍去)或x ＝1；当x －1＜0，即x ＜1时，原方程变形得x 2＋x －2＝0，即(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－2. 综上所述，原方程的解是x 1＝1，x 2＝－2.。