江西省南昌市第二中学2018-2018学年高三上学期第三次考试数学（理）试卷一、 选择题（每题5分，满分50分）1. 设全集{}{},|10,1,2U R A x ax B ==+==若()U A C B ⋂=∅则实数a 的取值集合是 A. {}0 B. ∅ C. 11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭D. 11,,02⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2. 设,a b 为向量，则"//"a b 是""a b a b ∙=∙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要3. 002sin 43=A. B.C. 1-D.4. 对于R 上可导函数()f x ，若满足()()10x f x '-∙≤ ，则下列结论正确的是A. ()f x 在R 上单调递增B. ()f x 在R 上单调递减C. ()f x 有极大值()1fD. ()f x 有极小值()1f5. 已知数列{}n a 满足115,1n n a a a +==+，则10a = （ ）A. 120B. 121C. 122D. 1236.已知ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=,则AOB ∠=A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在12x π=时有极大值，且函数()cos 4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为 A. 1 B. 2 C. 14 D. 268. 设函数()()ln ,ln x x f x x e g x x e --=+=-的零点分别为12,x x ，则 A. 122x x ∙≥ B. 1212x x <∙< C. 1201x x <∙< D. 121x x ∙=9. 已知定义在R 上的函数()(),f x g x 满足：()()()0,0x f x a g x g x -∙=≠①②()()()()()()()()115,,112f f f xg x f x g x g g -''+=∙<∙-③④ 设数列()()()f n n N g n +⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 的前n 项和为n S ，则n S 的取值范围是A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10. 对于函数()y f x =，如果存在区间[],m n ，同时满足下列条件：①()[],f x m n 在内是单调的；②当定义域是[],m n 时，()[][],,f x m n m n 的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”.若函数()()110a f x a a x +=-> 有“和谐区间”，则函数 ()()32111532g x x ax a x =++-+的极值点12,x x 满足A. ()()120,1,1,x x ∈∈+∞B. ()()12,0,0,1x x ∈-∞∈C. ()()12,0,,0x x ∈-∞∈-∞D. ()()121,,1,x x ∈+∞∈+∞ 二、填空题（每题5分，满分25分）11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1010,S 3,S ==-则18nS ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为__________.12. 命题P ：2,10,x R x x ∀∈-+>的“否定”是_____________. 13. 在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c ，已知 )cos sin sin 0C A A B +-∙=,则tan B =_______________.14. 已知函数()21y f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且()01f =-，若 ()()11g x f x =-+，则()3g -=_______________.15. 函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞的极小值是______________. 三、解答题16.(本小题12分)设函数()212sin cos 23f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）ABC 的三边,,a b c 所对的内角分别为,,A B C ,若5b =，且12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值.17.（本小题12分）已知数列{}4log n a 是等差数列，42133log ,202a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}4log n a 的前n 项和.18. （本小题12分）在平面直角坐标系xoy 上，设向量()2cos ,sin OA αα=，()2cos ,sin OB ββ=， 3455OM OA OB =+，点M 在椭圆2244x y +=上，O 是坐标系原点.（1）求()cos αβ-的值；（2）设66,0,,0,2OA OB OC OD ON ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求证2 2.NC ND +=19. (本小题12分)设a R ∈，函数()11ln f x a x x=+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 在()0,e 上的单调性.20. (本小题13分)设函数()()21,0f x x x=+>. （1）数列{}n a 满足()()1111,,n n a a n N f a ++==∈，求数列{}n a 的通项公式及数列{}12nn n a a +的前n 项和；（2）设函数()()()21112g x x f x =+-⎡⎤⎣⎦，试比较()()()22nn n g x g x n N +++∈⎡⎤⎣⎦与的 大小,并说明理由.21. (本小题14分)已知函数()()()221,1cos x f x x e g x ax x x x -=+=-++. （1）若()f x 在1x =-处的切线与()g x 在0x =处的切线互相垂直，求a 的值；（2）求证()()[]11,0,1x x x e x e x -+≥-∈；（3）求证：当2a ≤-时，()()f x g x ≥在区间[]0,1上恒成立.南昌二中2018—2018学年度上学期第三次考试高三数学（理）参考答案一． 选择题1—5 DCDDC 6—10 DBDBB 二．填空题11.252 12.2,10x R x x ∃∈-+< 13. 14.1 15.1e -三．解答题16.（1）()1cos 2cos cos 2sin sin 2cos 223322f x x x x x x ππ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴== （2）sin 126B f B π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,)623B B B ππππ∈∴+=∴= 2221cos 22a c b B ac+-∴== 整理得：22225a c ac b +-==由基本不等式可得：2225a c ac ac ac +-≥∴≤ 则1253253sin .2224ABCSac B =≤= 17.（1） {}4log n a 是等差数列，则414342log log 2log 3,a a a +==131364,20a a a a ∴=+=又，联立两式，解得：1133416164a a a a ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或 当13416a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，434231log log 222d a a =-=-=，()44111log =log 122n n a a n ++-=，则22n n a =； 当13164a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，434231log log 122d a a =-=-=-，()44115log =log 1()22n na a n -+--=，则52n n a -=(2) 设{}4log n a 的前n 项和为n S当13416a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时， ()()11132224n n n n n a a n n S +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=== ； 当13164a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时， ()()15292224n n n n n a a n n S -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭=== . 18.（1）由题意可得：，346834cos cos ,sin sin 555555OM OA OB αβαβ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭则6834cos cos ,sin sin 5555M αβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程得： 226834cos cos 4sin sin 45555αβαβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开整理可得 ()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ+=-=（2）sin sin cos cos ,22OA OB ON αβαβ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，cos cos sin sin 0αβαβ+=又∴ ()22sin sin cos cos 422αβαβ+⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴点N 在椭圆P 22:42x y +=上，则椭圆P 的两焦点为,C D ,有椭圆的定义可得2NC ND a +==19.（1）1a =时，()11ln f x x x =+- ，()()10,,1ln x e f x x x∈=+- 则()()()211,12,12f x f f x x''=--=-= ， 则切线方程为24y x =-+（2）()()()10,,1ln x e f x a x x∈=+-，()2211,a ax f x x x x+'=--=- ()()010,0,,0a x e f x '≥∈<当时恒成立，则()()0,f x e 在上单调递减；012,e a ≥当-时即10a e-≤< ，()()0,,0x e f x '∈>恒成立， 则()()0,f x e 在上单调递增；013-,e a <<当0时即1a e <-，当()10,0x f x a ⎛⎫'∈-< ⎪⎝⎭时，则 ()10,-f x a ⎛⎫⎪⎝⎭在上单调递减；当()1,0x e f x a ⎛⎫'∈->⎪⎝⎭时，则 ()1,f x e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在上单调递增.20.（1）由题设可知：()111221n n n n na a f a a a +===++；变形可得1121,n na a +=+111121n n a a +⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭数列 是以111a +为首项公比2的等比数列， 则11111212n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，121n n a ∴=- 设11111112221212121n nn n n n n n n b a a +++===-----设n S 为{}n b 的前n 项和则：1212231111111 (212121212121)n n n n S b b b +=+++=-+-++------- 11112212121n n n +++-=-=--（2）()()212112g x x x x x=+=+，则 ()()()112222nnnnn n n g x g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122121111...22n n n n n n n n C xC x C x x x x----=++++- 111222211112211111111...222n n n n n n nn n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x x x x ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121...2222220n n n n n n n C C C -≥++++-≥-+-=， ()()22nnn g x g x ⎡⎤∴+≥+⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 21.（1）()()()22211x f x x e f e -'=---=则 ；()2cos sin g x a x x x x '=-+-()01g a '=+，由题设可得：()221111e a a e +=-∴=-- （2）设()()()11x x F x x e x e -=+--，则()()21x x F x xe e -'=-，当(]0,1x ∈时， ()0F x '≥恒成立，()[]0,1f x x ∴∈在时，为单调递增函数，()()min 00F x f ==则()()110x x x e x e -+--≥恒成立，则()()11x x x e x e -+≥- （1） 由（2）可得-211x xe x-≥+， ()()()()()22211cos 11cos x f x g x x e ax x x x x ax x x x --=+--++≥---++()()21cos cos 1a x x x x x x x a =-++-=---设()cos 1G x x x a =---，则()(]()1sin ,0,1,0G x x x G x ''=+∈>恒成立，[]()()0,1,02x G x G a ∴∈≥=--时，又()2,0a G x ≤-∴≥恒成立，()()()cos 10f x g x x x x a ∴-≥---≥恒成立，即()()f x g x ∴≥恒成立.。
