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精品一线三等角相似模型.ppt课件

• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明：在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一

相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件

△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的中点，且∠EDF =∠C, （1）若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找相关结论。
C

一线三等角优秀课件

B
D
D
E
AC
E
D
AC
E
思考：以上图形有什么共同点？
一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找
活动三图形辨析强化理解
• 下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出 “一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
A
2 1 B
D
E
3 C
A E
1 B
2 F
D
G 3
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，两三角形还相似吗？
解： △CPA∽△PDB 理由：∵∠CPD=∠CAB
∠CPA+∠BPD=∠CPA+∠C
∴∠EC=∠BPD
又∵∠CAB=∠EBD ∴1800-∠CAB=1800-∠EBD 即∠PAC=∠PDB ∴△CPA∽△PDB
活动二抽象模型，揭示本质
B
AC B
• （3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。
活动五收获分享
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、本节课的学习过程，对你今后思考问题有什
么启示？
D 理由：∵∠A=∠BCD=∠E= α°
•
∠ACB+∠DCE=1800-α°
•αα
A• •
C
∠CDE+ ∠DCE=1800-α°
α
∴∠ACB= ∠CDE
E 又∵∠A=∠E
•
∴ △ABC∽△ECD
活动二抽象模型，揭示本质
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°， △ABC与 △ECD是否相似？并说明由。

一线三等角(公开课)ppt课件

A
D
A
E
E
B1
A 1
E
B
2
F
F
2
G
3C
D 3
G
C
2 1 B
D
A
E
1
2
B
F
3 C
D
3 C 7
典例解析综合运用
例1：在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC的边长为多少？
A
BD
E C
8
典例解析综合运用
例2、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点坐标为（5，0），梯形OBCD中，CD∥OB，OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分别在线段DC、CB上
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 °
∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
2
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
3

一线三等角模型复习课Ppt0000050

链接中考
链接中考
挑战自我
在△ABC中，D为BC边的中点，以D为顶点作∠EDF＝∠B． ∠EDF的两边交AC、AB 于E、F。（1）请问你能找到图中的相似三角形吗？
挑战自我

自我小结
1、一线三等角的证明方法和结论 2、类比思想、从特殊到一般的思想 3、掌握一线三等角的基本图形，并会利用比例关系解决图形问题 4、。。。。。。
相似三角形基本图形复习
——一线三等角
课前导学
如图，∠C=∠ABE=∠F=90°，AB=BE。你能得到什么结论？
课前导学
三等角=90°
课前导学
三等角=60°或45°
课前导学
三等角为任意角
方法归纳
类比总结：当某条直线或线段的同一侧有依次排序的三个相等的角时，首尾两个角所在的三角形相似，我们把这种特殊的相似称为“一线三等角”。

一线三等角模型ppt课件

一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中是否有相似三角形？
相似三角形判定定理一：两角对应相等，两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型教学目标及重、难点
教学目标：用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相关问题；重点：掌握“一线三等角”基本模型；难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型：至少有三对相似三角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点距离公式；方法三：利用互相垂直的一次函数（针对优等生，且此法适用于任意三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2

BC 4

3
13

13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019

一线三等角模型ppt(共22张PPT)

（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
没边相等证相似.
若不存在，请说明理由．
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
（（21）01如2成图都①），(当本点小Q题在满E线分段10A分C)上，且HAP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；若（A2）B=根k据A图E，象A写C出= k在A第F，一试象探限究内H，E当与取H何F之值间时F的，数y1量＜关y2系？，并说明理由.
FQ之延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为
一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点
H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，
并说明理由. 有边相等证全等;
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
有边相等证全等;
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图
中所有的相似三角形，并证明你的结论．
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以 OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的
一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________．

初中数学北师大九年级上册图形的相似-相似三角形“一线三等角型”PPT

又ADE C B
△ADE ∽△ABD;
又D为中点
根据三线合一知 ABD为直角三角形
ADE为直角三角形
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（1）证明：AB AC且ADE C ADE B C
DAB ADB 180 B
,求CF的长
证明： ABC 为பைடு நூலகம்边三角形
B C 60
又EDF ABC
EDF B C
在BDE中BED EDB 180 - B
且EDB CDF 180 - EDF
EDB CFD
△BDE ∽△CFD
BD BE CF CD
1 即 1 3
CF 1 CF 1
3
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
ADB CDE 180 ADE
又ADE B
ADB CED △ABD ∽△DCE ;
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（2）解：由（1）可得
y 8
8-y
x
10-x
BD AB CE DC
x 8 8 - y 10 - x
化简得y 1 x2 - 5 x （8 0 x 10） 84

一线三等角ppt课件

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
一找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相似三角形。并证明你的结论。
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
拓展应用
• （3）如图，D，E是D,A，E三点所在直线 m上的两动点（D，A，E三点互不重合）点 F为∠BAC平分线上的一点，且⊿ABF和 ⊿ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若 ∠ BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断⊿DEF的形状。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

一线三等角模型 ppt课件

（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
方法一：勾股定理；方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/9/8
一线三等角模型
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
2
“一线三等角”模型教学目标及重、难点
教学目标：
用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相关问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
2020/9/8
特别是“一线三直角”辅助线的构造
一线三等角模型
3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
一线三等角模型
最特殊考到概率最大
4
总结解题规律一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°”基本模型以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、直线要分类讨论！
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/9/8
一线三等角模型
10
2a
9 a 9
2
9 2a
9
a
2

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5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD
上．若BF= 6 ，则小正方形的周长为（） 2
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
• 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60° • ∴∠B=∠C=∠EDF=60° • ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED • ∴∠BED=∠FDC • ∴△BDE∽△CFD • （2）∵△BDE∽△CFD
A
E
F
•
∴
FC CD BD BE
BD
C
• ∵BD=1，FC=3，CD=5
A型
基本 8型图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
你能证明吗？
证明：在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
C
A M
B
P
C
4 4 x x CD CD x2 4x
4
23:33
• 如图，正方形ABCD边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
• （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
• （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
• 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF=60°
• （1）求证：△BDE∽△CFD • （2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
E
F
BD
C
• 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF=60°
• （1）求证：△BDE∽△CFD
• （2）当BD=1，FC=3时，求BE
y 1 x2 8 x (0 x 8) 55
（3）当AP=PM时
∵
PM PC PA AB
∴PC=AB=5
∴BP=3
当AP=AM时
∵∠APM=∠B=∠C
∴∠PAM=∠BAC即点P与点B重合
∴P不与点B、C重合
∴舍去
当MP=AM时
∴∠MAP=∠MPA
∴△MAP∽△ABC
∴ MP AB 5 AP BC 8
• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
56 A． 8
56 B． 6
C．5 6 D．3 6
2
10
26
6 36
23:33
2
2
26
（2017鄂尔多斯）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC 边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（） A. 线段AD B. 线段AP C. 线段PD D. 线段CD
围．（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．
A
M
B
P
C
解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C
∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP ∴∵∠BAP=∠MPC
∴△ABP∽△PCM
（2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x
∴ AB BP PC MC
∴
5 x 8x y

(精品)一线三等角相似模型.ppt

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