人教A版数学必修一高一数学尖子生训练题

2014年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18.答案： A2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h解析： 设需经过x 次分裂，则4 096＝2x ，解得x ＝12，所以所需时间t ＝12×1560＝3(h)．故选C.答案： C3则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析： 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.答案： C4．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为____________． 解析： (1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0. 故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案： (1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？解析： 设工厂生产x 件产品时，依方案1的利润为y 1，依方案2的利润为y 2，则 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000.∵y 1<y 2，故应选择第1个方案处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000元，y 2＝108 000元．∵y 1>y 2，故应选择第2个方案处理污水．8．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问：怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则AF ＝(40－y ) cm.∵△AFE ∽△ACB ， ∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x 60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为 S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长为60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．解析： (1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0， ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t . (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)， 则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。

专题1.1 集合间的基本关系姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈；（6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误；空集是任何集合的子集，故（2）正确；∅和{}0都表示集合，故（3）错误；0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误；{}00∈，故（5）正确；{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误；{}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确；由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确；综上，正确的个数是4个，故选D 。

2．下面每一组的两个集合，相等的是（ ）A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N =B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N = 【答案】D【解析】A 选项中(1,2)，(2,1)表示两个不同的点，∴M N ，∴该选项不符合；B 选项中集合M 有两个元素1，2是实数，N 有一个元素(1,2)是点，∴M N ，∴该选项不符合；C 选项中集合M 是空集，集合N 是含有一个元素∅的集合，∴M N ，∴该选项不符合；D 选项中由2210x x -+=得121x x ==，∴{1}M N ==，∴该选项符合.3．设集合{1,0,1}A =-，{}2,B a a=，则使B A ⊆成立的a 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1【答案】A【解析】∵A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a ，a 2}，且B ⊆A ；∴211a a =-⎧⎨=⎩∴a ＝﹣1． 4．设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ）A ．AB ∈B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆ 【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ．5．M ={x|6x 2−5x +1=0}，P ={x|ax =1}，若P ⊆M ，则a 的取值集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3} 【答案】D【解析】M ={x|6x 2−5x +1=0}={13,12}，P ={x|ax =1}，P ⊆M ，∴P =∅，P ={13}或P ={12}， ∴a =0或a =3或a =2．∴a 的取值集合为{0,2,3}．6．（2020·江西南康中学）集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则*6{|}B y N y A y=∈∈，中子集的个数为（ ）A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个【答案】D 【解析】2*{|70}{1,2,3,4,5,6}A x x x x N =-<∈=，，*6{|}{1,2,3,6}B y N y A y=∈∈=，，即子集的个数为4216=.7．若M P ⊆，M Q ⊆，{0,1,2}P =，{0,2,4}Q =，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个 【答案】C【解析】由集合{0,1,2}P =，集合{0,2,4}Q =，则集合P 和Q 中的公共元素组成集合{0,2}C =，又因为M P ⊆，M Q ⊆，所以M C ⊆，集合C 的子集的个数为224=，所以满足题意要求的集合M 共有4个. 8．已知集合{0,1}A =，{|}B x x A =⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ）A ．AB ⊆B ．A B ≠⊂C ．B A ≠⊂D ．A B ∈【答案】D【解析】因为x A ⊆,所以{,{0},{1},{0,1}}B =∅,集合{0,1}A =是集合B 中的元素,所以A B ∈. 9．已知集合{}{}2|320,|06,A x x x B x x x N =-+==<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．8C ．7D ．16 【答案】B【解析】结合题意可得：{}1,2A =，{}1,2,3,4,5B =，令{}3,4,5M =，集合N 为集合M 的子集，则C A N =⋃，结合子集个数公式可得，集合C 的个数为328=个.10．能正确表示集合{}02M x x =∈≤≤R 和集合{}20N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】{}{}{}200,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B. 11．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=± 当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去；当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.12．（2020·天津市第五中学）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D 【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意；当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=±，综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意。

2014年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质第1课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( )A ．M NB ．M ⊆NC ．N MD ．M ＝N解析： x ∈R ，y ＝2x >0，y ＝x 2≥0，即M ＝{y |y >0}，N ＝{y |y ≥0}，所以M N .答案： A2．函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析： 函数y ＝2x的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1的图象单调递增且过点(0,2)，故选A.答案： A3．指数函数y ＝b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( )A ．2或－3B ．－3C ．2D ．－12解析： ∵函数y ＝b ·a x 为指数函数，∴b ＝1当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上的最大值为a 2，最小值为a ，则a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍)；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上的最大值为a ，最小值为a 2，则a ＋a 2＝6，解得a ＝2(舍)或a ＝－3(舍)综上可知，a ＝2.答案： C4．若函数f (x )与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的取值范围是( )A ．RB ．(－∞，0)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析： 根据对称性作出f (x )的图象，由图象可知，满足f (x )>1的x 的取值范围为(0，＋∞)．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝2x －1的定义域是________．解析： 要使函数y ＝2x －1有意义，只须使2x －1≥0，即x ≥0，∴函数定义域为[0，＋∞)．答案： [0，＋∞)6．函数y ＝a x －2 013＋2 013(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点____________．解析： ∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，∴y ＝a x －2 013＋2 013恒过定点(2 013,2 014)．答案： (2 013,2 014)三、解答题(每小题10分，共20分)7．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x x ；(5)y ＝x α(α是常数)．解析： (1)y ＝10x 符合指数函数定义，是指数函数；(2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；(3) y ＝－4x 中系数为－1而非1，不是指数函数；(4)y ＝x x 中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数；(5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数．8．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解析： (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3； f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，求a .解析： 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．。

专题1.5 全称量词与存在量词姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q5．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}6.（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝08.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．10．若命题p ：∀x ∈R ，21 x <0，则綈p ：________________． 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则綈p ：________________．12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x －3>x ；(3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．专题1.5 全称量词与存在量词姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A.2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误．C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q【答案】B【解析】∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B【解析】∵p 为假命题， ∴綈p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是a ≥1，故选B.6.（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-， 故选B， 7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0【答案】AC【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D 为真命题，故选A 、C.8.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0【答案】ABC【解析】对于A ，x ＝－1时，不合题意，A 错误；对于B ，x ＝±3，B 错误；对于C ，比如x ＝0时，－1<0，C 错误；D 选项正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋2＞0，所以不存在实数x ，使x 2＋2<0，为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④. 10．若命题p ：∀x ∈R ，21-x <0，则綈p ：________________． 【答案】∃x ∈R ，21-x >0或x －2＝0 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则綈p ：________________．【答案】∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)【答案】是【解析】∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．∴两位同学题中m范围是一致的．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．【解析】(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+221251m m m ，解得2≤m ≤4.。

高中数学学习材料
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高一数学尖子生训练题
1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视
图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角
形．则该几何体的体积为（）
A、48
B、64
C、96
D、192
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）
A、3
B、23
C、33
D、43
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A．25πB．50πC．125πD．都不对
4、已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于（）
A、22
B、23
3
C、
42
3
D、
43
3
5.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A、11
2
B、5
C、4
D、
9
2
6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
A、6π
B、43π
C、46π
D、63π
7．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面
ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面P AD；
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
8.如图，在四棱锥ABCD
P 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD。

专题3.2 函数模型及其应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·辽宁沈阳高一期末）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（ ） A ．()20y ax bx a =+<B ．()0y kx b k =+≠C ．(0a y log x b a =+>且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠【答案】A【解析】因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，所以用()20y ax bx a =+<来模拟比较合适，故选项A 正确.而,,B C D 选项表示的函数在区间[]0.5,8上是单调函数，所以不合适. 2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点【答案】D【解析】从图中直线可以看出，甲的图象斜率大于乙的图象斜率，=S S 甲乙，甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.3．（2020·河北唐山高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数( ) (答案精确到个位，参考数据：lg3982.6，lg19953.3，lg 7.80.89，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．48【答案】A【解析】设7.8级地震的最大振幅为1A ，4.5级地震的最大振幅为2A ，由题意可知107.8lg lg A A ，204.5lg lg A A ，两式相减，可得：10207.8 4.5lg lg lg lg A A A A ，即11223.3lg lg lgA A A A ，因为lg1995 3.3，所以121995A A ，4．（2020·吉林吉林高一期末）某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（ ）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【答案】C【解析】设第n 年获利y 元，则20 1.2,n y n N *=⨯∈，2019年即第1年，20 1.260n ⨯>，1.2lg3lg30.4771log 3 6.03lg1.2lg32lg 210.47710.60201n >===≈+-+-，所以7n ≥，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.5．（2020·山东临朐高三月考）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】BV=升. 而这【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为段时间内行驶的里程数356003500060048⨯=升，故选B.10086006．（2020·湖南宁乡一中高一月考）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是A．y=100x B．y=50x2–50x+100C．y=50×2x D．y=100log2x+100【答案】C【解析】对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C 中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．7．（2020·山东聊城高一期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（）A．475度B．575度C．595.25度D．603.75度【答案】D⨯=；超过230度但不超过400度的部分费用为：【解析】不超过230度的部分费用为：2300.5115()4002300.6102-⨯=，115102380x x+∴=，+<；设超过400度的部分为x，则0.8115+102=380203.75故用电603.75度8．（2020·全国高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y ＝f (x )的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】P 点在AD 上时，△APQ 是等腰直角三角形，此时f （x ）＝12•2x•2x ＝14x 2，（0＜x ＜2）是二次函数，排除A ，B ，P 在DC 上时，PQ 不变，AQ 增加，是递增的一次函数，排除C ，9．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后，若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为（ ）A ． 1.0436011.012xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．360 1.04x y =⨯C ．360 1.041.012xy ⨯=D ． 1.04360 1.012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设该乡镇现在人口数为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克，1年后，该乡镇粮食总产量为()36014%M +千克，人口数为()1 1.2%M +，则人均占有粮食产量为()()36014%1 1.2%M M ++千克，2年后，人均占有食产量为()()2236014%1 1.2%M M ++千克，……经过x 年后，人均占有粮食产量为()()36014%1 1.2%xx M M ++千克，即所求解析式为 1.04360 1.012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．10．（2020·莆田第六中学高一期中）某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额．．．．．．．．： （1）如果标价总额．．．．不超过200元，则不给予优惠； （2）如果标价总额．．．．超过200元但不超过500元，则按标价总额．．．．给予9折优惠； （3）如果标价总额．．．．超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠. 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）A ．550元B ．560元C ．570元D ．580元【答案】C【解析】若第一次购物超过200，则付款大于2000.9180⨯=，故第一次购物不超过200元；若第二次购物超过500，则付款大于5000.9450⨯=，故第二次购物不超过500元；第二次购物4230.9470÷= 合计470180650+= 付款为()5000.96505000.8450120570⨯+-⨯=+=11．（2020·四川自贡）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系．销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225 B ．40，300C ．45，350D ．45，400【答案】B【解析】在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图猜测为一次函数,故设y kx b =+(k ,b 为常数),将(30,60)和(40,30)代入得30604030k b k b +=⎧⎨+=⎩解得3150k b =-⎧⎨=⎩,故3150y x =-+,3050x ≤≤,把点(45,15)和(50,0)代入解析式验证,检验成立.则日销售利润2(30)(3150)32404500P x x x x =--+=-+-,3050x ≤≤,当取对称轴[]2404030,502(3)x =-=∈⨯-时,日销售利润最大为300.12．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间1（单位：月）的关系为t y a =.关于下列说法：①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过230m ；③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=，其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】图象过()1,2点，12a ∴=，即2a =，2ty ∴=，()122122122tt t t t+--∴==，∴每月的增长率为1，①正确；当5t =时，523230y ==>，②正确；第二个月比第一个月增加()2221222y y m-=-=第三个月比第二个月增加()3223221224y y myy -=-=≠-，③错误；122t =，232t =，362t =12log 2t ∴=，22log 3t =，32log 6t =，122223log 2log 3log 6t t t ∴+=+==，④正确。

专题5.1 任意角和弧度制姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝()A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}【答案】C 【解析】令k ＝－1,0,1,2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C. 7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z ) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z .∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z )． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，10s间转过_______弧度．【答案】1 24【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||θ==，周长为，即圆弧长为，∴||θ==.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°. 又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200. ∵0°<75400<90°，90°<77200<180°， ∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－16．（2020·浙江高一课时练习）如图，，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==， 面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=， 面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长)32dm 33l A D ππ=⨯==，面积()232112dm 2332S A D π=⨯⨯=⨯=．综上，点A 走过的路程(()1239dm 236l l l l πππ+=++=++=，点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S。

2014年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质第2课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( ) A ．－2 B ．－1C ．2 D.12解析： y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的反函数是f (x )＝log 14x ， ∴f (x 0)＝log 14x 0＝－12. ∴x 0＝⎝⎛⎭⎫14－12＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122－12＝2.答案： C2．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.2<0.750.2D ．lg 1.6>lg 1.3解析： 函数y ＝3x 是增函数，∵0.8>0.7，∴30.8>30.7.A 正确．函数y ＝log 0.5x 是减函数，∵0.4<0.6，∴log 0.50.4>log 0.50.6.B 正确．函数y ＝0.75x 是减函数，∵－0.2<0.2，∴0.75－0.2>0.750.2. C 错误．函数y ＝lg x 是增函数，∵1.6>1.3，∴lg 1.6>lg 1.3.D 正确．答案： C3．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析： 题目中隐含条件a >0，当a >0时，2－ax 为减函数，故要使y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a >1，且2－a >0，故可得1<a <2.答案： B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， (x >0)log 12(－x )， (x <0)若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(1，＋∞)解析： 当a >0，即－a <0时，由f (a )>f (－a )知log 2a >log 12a ，在同一个坐标系中画出y ＝log 2x 和y ＝log 12x 函数的图象，由图象可得a >1；当a <0，即－a >0时，同理可得－1<a <0.综上可得，a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________．解析： 由4x －x 2>0得0<x <4，函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)．令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4，当x ∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数，当x ∈(2,4)时，u ＝4x －x 2是减函数．又∵y ＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]．答案： (0,2]6．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系为________． 解析： 因为0<log 53<log 54<1<log 45，所以(log 53)2<log 54<log 45，即b <a <c .答案： b <a <c三、解答题(每小题10分，共20分)7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2e x －1， (x <2)log 3(x 2－1)， (x ≥2)求不等式f (x )>2的解集． 解析： 当x <2时，2e x －1>2，解得x >1，此时不等式的解集为(1,2)；当x ≥2时，有log 3(x 2－1)>2，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x 2－1>32， 解得x >10，此时不等式的解集为(10，＋∞)．综上可知，不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解析： (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0， 解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2. ∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴⎪⎪⎪⎪x 1x 2>1.∴lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)设f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x )＝log 12x . (1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )≤2.解析： (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又∵f (x )为奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )． 故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )． (2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 12x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 12(－x )≤2， 解得x ≥14或－4≤x <0. 即不等式的解集为[－4,0)∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞.。

专题3.2 函数的基本性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝|x ＋2|在[－3,0]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先减后增D ．先增后减2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,21,12x x x x 的最大值为( )A ．1B ．2 C.21 D.31 4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21B．－21C．26D．－267.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是() A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.10.若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．11.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．12.(一题两空)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________；函数y ＝f(x)在区间[－2,1]上的值域为________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值14．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．15．(12分)已知函数())1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.16．(12分)已知函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值； （2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．专题3.2 函数的基本性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝|x ＋2|在[－3,0]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先减后增D ．先增后减【答案】C【解析】作出f (x )＝|x ＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f (x )在[－3,0]上先减后增．2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定【答案】D【解析】作由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D. 3．函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,21,12x x x x 的最大值为( )A ．1B ．2 C.21 D.31 【答案】B【解析】作当x ≥1时，函数f (x )＝x1为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】作因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)【答案】A【解析】作∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)．6．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－26【答案】B【解析】作设g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数．由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，得g (－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】BC【解析】作∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是() A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)【答案】AC【解析】作在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，f (x )＝________.【答案】－x ＋1【解析】作当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.10.若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)【解析】作由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝8k ，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以8k ≤1或8k ≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)． 11.若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．【答案】f (－2)<f (1)<f (0)【解析】作∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.∵f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)<f (1)<f (0)，又∵f (x )＝－x 2＋2为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．即f (－2)<f (1)<f (0)．12.(一题两空)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2(a >0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a ＝________；函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上的值域为________．【答案】1 ]4,47[【解析】作由题知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a 2<0，故f (x )max ＝f (2)＝6＋2a ＝8，所以a ＝1，则f (x )＝x 2＋x ＋2＝2)21(+x ＋47.因为f (x )的对称轴为直线x ＝－21∈[－2,1]且f )21(-＝47，f (－2)＝4，f (1)＝4，所以所求值域为]4,47[三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值【解析】（1）∵()213211x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212311x x x x -=++， ∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+∞上是增函数. （2）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，上单调递增， 它的最大值是()25135512f ⨯-==+， 最小值是()23153314f ⨯-==+． 14．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．15．(12分)已知函数())1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a >且1a ≠时，由30ax -≥得3x a ≤，即函数()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -⨯≥，解得13a ；当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a ->并且310a -⨯≥，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞.16．(12分)已知函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值； （2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．【解析】（1）∵函数f（x）＝xmx+，且此函数图象过点（1，2），∴2＝1+m，∴m＝1；（2）f（x）＝x1x+，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，，又f（﹣x）＝﹣x1x+=--f（x），∴函数f（x）是奇函数；（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，设0＜x1＜x2＜1，则()()()()2112 12121212121212111x x x xf x f x x x x x x xx x x x x x---=+--=-+=-⋅⋅⋅，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，∴()()()121212121x xf x f x x xx x--=-⋅＞，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上的单调递减．。

专题2.1 等式性质与不等式性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)B.⎩⎨⎧≥≤)(10)/(120m d h km vC ．v ≤120(km/h)D ．d ≥10(m)2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a b c d ,,,，已知a b c d +=+，a d b c +>+，a c b +<，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A ．d b a c >>>B ．b c d a >>>C ．d b c a >>>D ．c a d b >>>4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<15．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．ac bd >B ．a b d c< C ．a b d c> D ．22ac bd <（2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（ ）A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[4,12]11．(多选)若ba 11<<0，则下列结论中正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |12．(多选)设a >b >1，c <0，则下列结论正确的是( )A.bc a c > B ．ac <bcC ．a (b －c )>b (a －c ) D.cb c a > 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）6．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.能推得ba 11<成立的是________(填序号)．7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.8．已知三个不等式①ab >0；②bda c >；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．13．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．10．设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋yx xy 111+≤＋xy . 14．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小；(2)2ab 与21的大小． 15．（2019·山东省泰安第四中学高一月考）若0,0,a b c d b c >><， (Ⅰ)求证：0b c +>；(Ⅱ)求证：22()()b c a da cb d ++<--；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.专题2.1 等式性质与不等式性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)B.⎩⎨⎧≥≤)(10)/(120m d h km vC ．v ≤120(km/h)D ．d ≥10(m) 【答案】B【解析】最大限速与车距是同时的，故选B.2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．M ≥N【答案】B【解析】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N .3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a b c d ,,,，已知a b c d +=+，a d b c +>+，a c b +<，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A ．d b a c >>> B ．b c d a >>>C ．d b c a >>>D ．c a d b >>>【答案】A【解析】,a b c d a d b c +=++>+，()()a d a b b c c d ∴+++>+++，即a c >．b d ∴<．又a c b +<，a b ∴<．综上可得，d b a c >>>．故选：A 4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1【答案】A【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.5．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．ac bd >B ．a bd c< C ．a b d c> D ．22ac bd <【答案】B【解析】已知a>b>0，c<d<0，ac bd <,故A 不正确；因为c<d<0，所以110d c <<,故a bd c<.故B 正确。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷一、单选题。

本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知函数2170()ln e e x x f x x x -ì+-££=í££î，，，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+¥B ．(,1][3,)-¥-È+¥C ．[1,3]-D ．(,3]-¥2．已知函数1()e 24ex x f x x =--+，其中e 是自然对数的底数，若2(6)()8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+¥B ．(3,2)-C ．(,3)-¥-D ．()(),32,-¥-+¥U 3．设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ì-<£=í->î，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32æöç÷èøB ．(0,1)C ．510,23æöç÷èøD ．3,22æöç÷èø4．()22,01ln ,0x x x f x x x ì--£ï=í+>ïî，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m Î；②()122e 2,e 1a b c d --+++Î--，其中e 为自然对数的底数；③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．若不等式()()()221212log 1log 3,,13x xa x x ++-³-Î-¥恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,)+¥B ．[1,)+¥C ．(,0]-¥D ．(,1]-¥.6．已知a R Î，设函数()222,1,ln 1,1,x ax a x f x x x ì-+£=í+>î若关于x 的方程()14f x x a =-+恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-¥B．ö+¥÷÷øC ．(],0ö-¥È+¥÷÷øD．5,4æéö-¥È+¥ç÷êçëøè7．已知函数()3log ,0315,32x x f x x x ì<£ï=í->ïî，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是（ ）A ．196,3æöç÷èøB ．4011,3æöç÷èøC ．4012,3æöç÷èøD ．()12,148．已知函数22,01()1,0xx x f x x xì³ïï+=íï-<ïî，若函数()()g x f x t =-有三个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则123111x x x -++的取值范围是（ ）A ．()3,+¥B ．()2,+¥C．)é+¥ëD．()+¥二、多选题。

2014年高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝1x 2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( ) A.14B ．－1C ．4D ．－4解析： ∵函数y ＝1x 2在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数， ∴y max ＝1⎝⎛⎭⎫122＝4. 答案： C2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，(x ∈[1，2])x ＋7，(x ∈[－1，1))则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析： f (x )在[－1,2]上单调递增，∴最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.答案： A3．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析： f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (x )min ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案： C4．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0)C ．(－∞，0]D ．(0，＋∞)解析： a <－x 2＋2x 恒成立，则a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值为0，故a <0.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝x x ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________． 解析： ∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2， ∴函数f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23.答案： 23 12 6．在已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (x )在[1,2]上的值域________．解析： 由题意知x ＝－2是f (x )的对称轴，则m 2×4＝－2，m ＝－16， ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1＝4(x ＋2)2－15.又∵f (x )在[1,2]上单调递增．f (1)＝21, f (2)＝49，∴在[1,2]上的值域为[21,49]．答案： [21,49]三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈A ，当A 为下列区间时，分别求f (x )的最大值和最小值．(1)A ＝[－2,0]；(2)A ＝[2,3]．解析： f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.(1)A ＝[－2,0]为函数的递减区间，∴f (x )的最小值是2，最大值是10；(2)A ＝[2,3]为函数的递增区间，∴f (x )的最小值是2，最大值是5.8．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]， (1)判断函数f (x )的单调性并证明．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析： (1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x －1x ＋2在x ∈[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值为f (3)＝25； 当x ＝5时，函数f (x )取得最大值为f (5)＝47. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问：每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间笼舍最大面积为多少？解析： 设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ， 即y ＝12x (30－3x ) ＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。

人教A 版2019必修第一册高一数学尖子生培优综合测试二（原卷版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2020·上海复旦附中高一月考）设集合1|,24k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．A B=B ．BAC ．A BD ．AB =∅2．（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个3．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A ．33-B ．33±C ．32-D ．32±4．（2020·绥德中学高二月考（理））已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，则实数m 的取值范围为（）A ．{}0-3，B ．[]-30，C ．][()--30∞⋃+∞，，D ．{}03，5．（2020·安徽省桐城市第八中学高一期中）若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log c e =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b >>6．（2020·新安县第一高级中学高二月考）函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞8．（2020·广东省广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是()下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论:①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1;②函数f (x )偶函数;③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立;⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·福建省宁化第一中学高一期中）下列运算错误的是（）A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg 5010+=D ．()22(23)5log (23)log 24+--=-10．（2020·山东省山东师范大学附中高一月考）下列叙述中不正确的是（）A ．若,,R a b c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件11．（2020·福建省高一期末）将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称12.（2020·山东省平邑县第一中学高三模拟）关于函数12()11x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于原点对称C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）函数12sin y x =-的定义域是________.14．（2020·吉林省高三模拟）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．15．（2020·河北省唐山一中高二期中）若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．16．（2020·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知关于x 的不等式为()()()110-+≤∈ax x a R ，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________.五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·四川省高一期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos 2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.18．（12分）（2020·江苏省高二期末）已知集合{|22}A x a x a =-+ ，{}2|41270B x x x =+- .（1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.19．（12分）（2020·河南省高一期末）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的λ区间.（1）判断(,)-∞+∞是否是函数31x y =+的λ区间；（2）若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =（其中0a >，1a ≠）的λ区间，求a 的取值范围.20．（12分）（2020·武功县普集高级中学高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π56π43π116π73π176πy1-1311-13（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.21．（12分）（2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.22．（12分）（2020·安徽省淮北一中高一期中）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数()f t （千人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+（*t ∈N ），人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足100(17,*),()130(730,*).t t t N g t t t t N ≤≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩（1）求该商场的日收益()w t （千元）与时间t （天）（130t ≤≤，*t ∈N ）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．人教A 版2019必修第一册高一数学尖子生培优综合测试二（解析版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2020·上海复旦附中高一月考）设集合1|,24k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．AB =B ．BAC ．A BD ．AB =∅【答案】C【解析】对于集合B ，当2k n =时，2114222n n x =+=+，n Z ∈当21k n =-时，21114224n n x -=+=+，n Z ∈所以集合1{24k B xx ==+∣或1,}22k x k Z =+∈则A B ，故选：C2．（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个【答案】A【解析】由题意知，集合{21B =--，，0，1，2，3，4}，因为集合{|08,}A x x x R =<<∈，由集合的交运算可得，{1A B ⋂=，2，3，4}，故阴影部分所表示集合为(){}210B A B ⋂=--，，ð，其中的元素共有三个.故选：A3．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A ．33-B ．33±C ．32-D ．32±【答案】C 【解析】∵点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭在单位圆上，32y ∴=±，则由三角函数的定义可得得13cos ,sin ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--4．（2020·绥德中学高二月考（理））已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，则实数m 的取值范围为（）A ．{}0-3，B ．[]-30，C ．][()--30∞⋃+∞，，D ．{}03，【答案】A【解析】因为函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，所以[]()22(3)1230∆=-+-+=m m ，所以()2(3)330+-+=m m ，解得0m =或3m =-，所以实数m 的取值范围为{}0-3，.故选：A 5．（2020·安徽省桐城市第八中学高一期中）若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log c e =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【答案】B【解析】2111333311111394⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1a b <<，又22log log 21c e =>=，因此，c b a >>.故选：B.6．（2020·新安县第一高级中学高二月考）函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为{}0x x ≠，因为3322()ln ln ()()()x xx x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B ，故选：A7．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如下图所示：由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象有2个交点，此时，函数()y g x =有2个零点.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：D.8．（2020·广东省广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是()下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论:①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1;②函数f (x )偶函数;③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立;⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当R x C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·福建省宁化第一中学高一期中）下列运算错误的是（）A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg 5010+=D ．()22(23)5log (23)log 24+--=-【答案】ABC【解析】对于A ，()11115252552log 10log 0.25log log 100.2552==⨯+=-，A 错误；对于B ，334259222lg31215339log 27log 8log 51215lg32228g g g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，B 错误；对于C ，lg 2lg 50lg1002+==，C 错误；对于D ，()222(23)15log(23)log 2124+⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭，D 正确．故选：ABC ．10．（2020·山东省山东师范大学附中高一月考）下列叙述中不正确的是（）A ．若,,R a b c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【答案】AB【解析】A.当0a =时，不正确.B.当0b =时，“a c >”推不出“22ab cb >”不正确.C.当“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”时“0a <”，“0a <”推出“1a <”成立，反之不成立，所以正确.D.“1a >”是“11a<”的解是“1a >或0a <”，所以正确.故选：AB 11．（2020·福建省高一期末）将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称【答案】AC【解析】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误.故选：AC.12.（2020·山东省平邑县第一中学高三模拟）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于原点对称C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于0【答案】ACD 【解析】函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭定义域为(,0)(0,)-∞+∞,①因为1211()111x x xe f x x e x e +⎛⎫=+=⋅ ⎪--⎝⎭111111()()111x x x x x x e e e f x f x x e x e x e --+++-=⋅=-⋅=⋅=----,故函数()f x 为偶函数,所以A 正确;②由①知,函数()f x 为偶函数,所以B 不正确;③当0x >时,10y x =>,且1y x=在()0,∞+单调递减,当0x >时,2101xy e =+>-,且211x y e =+-在()0,∞+单调递减,而12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,故()f x 在()0,∞+单调递调减,又由()f x 为偶函数,故()f x 在(),0-∞上单调递增,所以C 正确;④由①知,12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,当0x <,10x<,10x e +>,10x e -<,故此时()0f x >.故D 正确.故选:ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）函数12sin y x =-的定义域是________.【答案】72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由题意得：12sin 0x -≥1sin 2x ∴≤722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z即72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 14．（2020·吉林省高三模拟）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．【答案】34【解析】∵12sin cos sin cos αααα+=-，∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα，∴sinα=﹣3cosα∴tanα=﹣3，∴tan2α=221tan tan αα-=619--=3415．（2020·河北省唐山一中高二期中）若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4【解析】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16．（2020·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知关于x 的不等式为()()()110-+≤∈ax x a R ，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________.【答案】{}11x x -≤≤[]1,1-.【解析】当1a =时，()()110x x -+≤，解得：11x -≤≤.故解集为{}11x x -≤≤.令()()11y ax x =-+，[]1,1x ∈-.当0a =时，1y x =--，为减函数，所以当1x =-时，y 取得最大值0，即0y ≤恒成立.当0a >时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：00111a a a>⎧⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩.当0a <时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：01011a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨≤-⎪⎩.综上：11a -≤≤.故答案为：{}11x x -≤≤，[]1,1-五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·四川省高一期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos 2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.【解析】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35-，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（5分）（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+.（10分）18．（12分）（2020·江苏省高二期末）已知集合{|22}A x a x a =-+ ，{}2|41270B x x x =+- .（1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-，7{|2R B x x ∴=<-ð或1}2x >．（6分）（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：112a，即a 的取值范围是112a．（12分）19．（12分）（2020·河南省高一期末）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的λ区间.（1）判断(,)-∞+∞是否是函数31x y =+的λ区间；（2）若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =（其中0a >，1a ≠）的λ区间，求a 的取值范围.【解析】（1）因为30x >，则311x y =+>，故任取12,x x ，则122y y +>，根据题意，区间(),-∞+∞不是函数31x y =+的λ区间.（6分）（2）根据题意，若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =的λ区间，则：存在12,x x ，使得：12log log 2a a x x +=，整理得：212x x a =；因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故121,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即21,44a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得：()1,11,22a ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭.（12分）20．（12分）（2020·武功县普集高级中学高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π56π43π116π73π176πy1-1311-13（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【解析】(1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=．又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩,（3分）令5262k ππωϕπ⋅+=+，即5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，据此可得：23k πϕπ=-，又2πϕ<，令0k =可得3πϕ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（6分）(2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =．令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．sint s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，等价于函数sin y t =与y s =的图象有两个不同的交点，3,12s ⎡⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)31,3m ⎡∈+⎣，即实数m 的取值范围是)31,3⎡+⎣．（12分）21．（12分）（2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.【解析】（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（4分）（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（8分）（3）又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤.（12分）22．（12分）（2020·安徽省淮北一中高一期中）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数()f t （千人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+（*t ∈N ），人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足100(17,*),()130(730,*).t t t N g t t t t N ≤≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩（1）求该商场的日收益()w t （千元）与时间t （天）（130t ≤≤，*t ∈N ）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．【解析】（1）()()()400100,17,*,1305194,730,*.t t t N w t f t g t t t t N t +≤≤∈⎧⎪==⎨-+<≤∈⎪⎩（6分）（2）17t ≤≤时，()w t 单调递增，最小值在1t =处取到，()1500w =；（8分）730t <≤时，5194t -单调递减，最小值在30t =时取到，130t 单调递减，最小值在30t =时取到，则()w t 最小值为()130121030519120303w =-+=，由12105003<，可得()w t 最小值为12103．答：该商场日收益的最小值为12103千元．（12分）。

专题2.2.2 对数函数及其性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数2()log 3f x x =+（） ） A ．(3,1)- B ．(3,1]-C ．sin 20θ≤D ．[3,1]-【答案】B【解析】由函数()2log 3f x x （）=+3010x x +>⎧⎨-≥⎩ ，解得31-<≤x ，2．函数y=2lg 11x ⎛⎫-⎪+⎝⎭的图象关于 ( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y=x 对称【答案】C【解析】函数()()()21lg 11111-⎛⎫⎛⎫=-==--+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x f x lg lg x lg x x x ， ()()()()1 111+⎛⎫-==+--=- ⎪-⎝⎭x f x lg lg x lg x y x x ，则()()=--f x f x ，∴函数关于原点对称。

3.（2020·镇平县第一高级中学高一月考）已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2+∞ D ．11(,)[,)22-∞-+∞【答案】C【解析】已知2()lg()f x ax x a =-+的定义域为R ，即210ax x -+>恒成立，当0a =时，10x -+>不恒成立，∴20140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：12a >，所以实数a 的取值范围是1(,)2+∞.4．（2020·石嘴山市第三中学）已知(21)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意21001214log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<．5．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0.822log 5log 4.12,122>><<，据此0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.6．对任意实数x ，都有log (e 3)1xa +≥（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是A ．1(0,)3B ．(]1,3C ．(1,3)D ．[3,)+∞【答案】B【解析】∵log a （e x +3）≥1＝log a a ，∴a ＞1且a ≤e x +3对任意实数x 都成立，又e x +3＞3，∴1＜a ≤3。

2021年高中数学模块质量评估A同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1模块质量评估A(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：∵B＝{x|x<－1或x>4}，∴∁U B＝{x|－1≤x≤4}，由数轴分析可知，在数轴上标注A及∁U B，再找其公共部份．∴A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤3}．答案：D2．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，假设f(α)＝1，那么α＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：依题意知log2(α＋1)＝1，那么α＋1＝2，故α＝1.答案：B3．以下对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R, f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z, f：x→y＝2x－1解析：A × x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一B √ 符合函数的定义C × 2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数 D×－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数答案： B 4．函数y ＝xx －1－lg x 的概念域为( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≤0}D ．{x |x ≥1}∪{0}解析：x 应知足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≥0，x －1≠0，x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1或x ≤0，x ≠1，x >0，∴{x |x >1}． 答案： A5．三个数,，的大小关系为( ) A ．<< B ．<< C ．<<D ．<<解析： ∵0<<1,>1，<0， ∴<<. 答案： D6．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，14，3，那么使函数y ＝x α的概念域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．1,3解析： 当α＝－1时，y ＝1x，现在x 不能为0，因此不符合；当α＝1时，y ＝x ，显然概念域为R 且为奇函数，因此符合；当α＝12时，y ＝x ，现在x 不能为负数，因此不符合；当α＝3时，y ＝x 3，显然概念域为R 且为奇函数，因此符合．因此所有符合条件的α值包括1,3. 答案： D7．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部份对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m －4－6－6－4n6能够判定方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析： ∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴f (－3)·f (－1)<0，f (2)·f (4)<0.故方程的两根所在区间别离是(－3，－1)和(2,4)． 答案： A8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，0≤x ≤3x 2＋6x －2≤x ≤0的值域是( )A ．RB ．[1，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析： 设g (x )＝2x －x 2,0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知：g (x )min ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x ≤0，那么h (x )min ＝h (－2)＝－8，h (x )max ＝h (0)＝0， 因此f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )min ＝h (－2)＝－8，应选C. 答案： C9．以下函数在(0，＋∞)上是增函数而且是概念域上的偶函数的是( ) A ．y ＝x 23B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋2x ＋3解析： y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，故B 项不正确．y ＝ln x 与y ＝x 2＋2x＋3都是非奇非偶函数，故C 、D 不正确． 答案： A10．设P 、Q 是两个非空集合，概念集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q ＝{x |x ∈P ∪Q ，且x ∉P ∩Q }，若是P ＝{y |y ＝4－x 2}，Q ＝{y |y ＝4x ，x >0}，那么P ⊙Q ＝( )A ．[0,1]∪(4，＋∞)B ．[0,1]∪(2，＋∞)C ．[1,4]D ．(4，＋∞)解析： P ＝[0,2]，Q ＝(1，＋∞)， ∴P ⊙Q ＝[0,1]∪(2，＋∞)． 答案： B11．假设函数f (x )＝log a (2x ＋1)(a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内恒有f (x )>0，那么f (x )的单调减区间是( )C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析： 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，2x ＋1∈(0,1)，因此0<a <1.又f (x )的概念域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，因此f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案： B12．假设函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如下图，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，那么函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象为( )解析： 由f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，0<a <1，b >0且b <1.因此B 答案正确． 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知A ＝{－1,3，m }，集合B ＝{3,4}，假设B ∩A ＝B ，那么实数m ＝________.解析：∵A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，B∩A＝B，∴m＝4.答案： 414．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，那么f (7)＝________.解析： 由题设f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2. 答案： －215．建造一个容积为8 m 3、深为2 m 的长方体无盖水池，若是池底和池壁的造价每平方米别离为120元和80元，那么水池的总造价y 与池底宽x 之间的函数解析式为________．解析： 因为容积为8 m 3，深为2 m ，因此底面积为4 m 2.因为池底宽为x m ，那么另一边长为4x m ，因此水池的总造价y ＝82×120＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ×2×80＝480＋320x ＋1 280x (x >0)．答案： y ＝480＋320x ＋1 280x(x >0)16．以下说法中，正确的选项是________． ①任取x >0，均有3x >2x . ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2. ③y ＝(3)－x 是增函数．④y ＝2|x |的最小值为1.⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． 解析： 由y ＝3x 与y ＝2x 的图象知当x >0时3x >2x ，故①正确． 当a >1时函数y ＝a x 是增函数，那么a 3>a 2； 当0<a <1时函数y ＝a x 是减函数，那么a 3<a 2. 故②不正确．y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33x 是减函数，故③不正确．y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥02－x ， x <0当x ＝0时y min ＝1，故④正确，⑤正确． 答案： ①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)假设A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 因此A ∪B ＝{x |2<x <10}． (2)因为A ＝{x |3≤x <7}， 因此∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}． 因为B ＝{x |2<x <10}，因此(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}． (3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ， 因此a 需知足a ≥7.18．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图象如以下图所示： (2)函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．19．(本小题总分值12分)假设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)知足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)假设在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1，又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1.因此知足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 20．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )的最大值等于94，求a 的值． 解析： (1)令t ＝|x |－a ，那么f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2， 因此g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.21．(本小题总分值12分)通过研究学生的学习行为，心理学家发觉，学生同意能力依托于教师引入概念和描述问题所用的时刻，讲座开始时，学生的爱好激增，中间有一段不太长的时刻，学生的爱好维持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验说明，用f (x )表示学生把握和同意概念的能力(f (x )的值越大，表示同意能力越强)，x 表示提出和教学概念的时刻(单位：分)，能够有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－＋＋43， 0<x ≤1059， 10<x ≤16－3x ＋107， 16<x ≤30(1)开讲多少分钟后，学生的同意能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的同意能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的同意能力和13分钟的时刻，教师可否及时在学生一直达到所需同意能力的状态下教学完那个难题？解析： (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－＋＋43＝－(x －13)2＋，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－×(10－13)2＋＝59.当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强同意能力(为59)，能维持6分钟时刻．(2)f (5)＝－×(5－13)2＋＝，f (20)＝－3×20＋107＝47<，故开讲5分钟时学生的同意能力比开讲20分钟时要强一些．(3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，解得x ＝6或x ＝20(舍)，当x >16时，令f (x )＝55，解得x ＝1713. 因此学生达到(含超过)55的同意能力的时刻为1713－6＝1113<13， 因此教师来不及在学生一直达到所需同意能力的状态下教学完那个难题．22．(本小题总分值14分)已知概念在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数；(2)假设f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围．解析：(1)证明：设x1<x2≤0，那么－x1>－x2≥0，因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，∴f (－x 1)>f (－x 2)．又因为f (x )是偶函数，因此f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数．(2)当0<x ≤1时，lg x ≤0，由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数．∴－1>lg x,0<x <110. 当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴lg x >1，x >10， 综上所述，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)．。

2014年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质第1课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝3x 21－2x＋lg(2x ＋1)的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1>0， 解得－12<x <12. 答案： C2．函数y ＝3＋log 5x (x ≥1)的值域为( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞)解析： 当x ≥1时，log 5x ≥0，所以3＋log 5x ≥3.答案： C3．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )解析： 当x ＝0时，y ＝0，而且函数为增函数，可见只有C 符合．答案： C4．已知对数函数的图象过点M (9, 2)，则此对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝log 3xC ．y ＝log 13xD ．y ＝log 12x 解析： 设函数为y ＝log a x ，则2＝log a 9，∴a 2＝9.∵a >0，∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝log 3x .答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过定点________．解析： 当x －1＝1时，log a (2－1)＝0，∴函数过定点(2,2)，函数f (x )＝log a (x －1)＋2恒过定点(2,2)．答案： (2,2)6．已知函数f (x )＝log 5x ，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫253＝________.解析： f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫253＝log 53＋log 5253＝log 5(3×253)＝log 525＝2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)． 解析： (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R .∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.∵u >0，∴0<u ≤4.又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12u ≥log 124＝－2， ∴y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}． 8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)其中(0<a <1)(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解析： (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解之得－3<x <1， 所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4；由log a 4＝－4，得a －4＝4，∴a ＝4－14＝22. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数y ＝log a (x ＋b )的图象如图所示．(1)求实数a 与b 的值．(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 图象有何关系？解析： (1)由图象可知，函数的图象过(－3,0)点与(0,2)点，所以得方程0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ，解得a ＝2，b ＝4.(2)函数y ＝log a (x ＋4)可以看做y ＝log a x 的图象向左平移4个单位．。

2021年高中数学 第一章 章末高效整合同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x <1－2x ＋3，x ≥1则f (f (2))＝( )A ．－7B ．2C ．－1D ．5解析： f (2)＝－2×2＋3＝－1，f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2.答案： B2．已知集合M ＝{－1,0}，那么知足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8解析： 可知1∈N ，∴N ＝{1}或{1，－1}或{1,0}或{1，－1,0}共4个． 答案： C3．设集合U ＝{0,1,2,3,4,5}，M ＝{0,3,5}，N ＝{1,4,5}，那么M ∩(∁U N )＝( ) A ．{5} B ．{0,3} C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5}解析： ∁U N ＝{0,2,3，} ∴M ∩∁U N ＝{0,3}． 答案： B4．设集合A ＝{－1,3,5}，假设f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，那么集合B 能够是( ) A ．{0,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－3,5}D ．{－3,5,9} 解析： 注意到题目中的对应法那么，将A 中的元素－1代入得－3，3代入得5,5代入得9，应选D. 答案： D5．以下四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为( ) A ．f (x )＝x 2＋4B ．f (x )＝3－2xC ．f (x )＝x 2－5x －6D ．f (x )＝1－x解析： A 、C 、D 中函数在(－∞，0)上是减函数；B 中函数f (x )＝3－2x在(－∞，0)上是增函数．应选B.答案： B6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0若f (a )＋f (－1)＝2，那么a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 解析： ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.答案： D7．以下四个集合：①A ＝{x ∈R|y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R}；④D ＝{不小于1的实数}．其中相同的集合是( )A ．①与②B ．①与④C ．②与③D ．②与④解析： 可知A ＝R ；当x ∈R 时，y ≥1，∴B ＝{y |y ≥1}＝D ；而C 是一点集，故相同的集合只有B 与D .答案： D8．假设函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，那么当x<0时有( ) A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)－f(－x)>0解析： f (x )为奇函数，当x <0，－x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1，f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.答案： C9．一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N)的转变关系如下表所示，要使总利润达到最大值，那么该客车的营运年数是( )x (年)4 6 8 … y ＝ax 2＋bx ＋c7 117…B ．10C ．9D ．6解析： 表中给出了二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c .显然，二次函数的图象通过点(4,7)，(6,11)，(8,7)，那么⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝7，36a ＋6b ＋c ＝11，64a ＋8b ＋c ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12，c ＝－25，即y ＝－x 2＋12x －25，易知x ＝6时，y 取得最大值．答案： D10．假设函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，那么f x ＋f －x2x<0的解集为( )A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： ∵f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，故f x ＋f －x2x<0可化为f x x<0，而f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (3)＝0，故当x >3时，f (x )<0，当－3<x <0时，f (x )>0，故f x x<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设a ，b ∈R ，集合{a,1}＝{0，a ＋b }，那么b －a ＝________.解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋b ＝1，∴b －a ＝1.答案： 112．f (x )＝x1－1－x的概念域是________．解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠0，故函数的概念域有(－∞，0)∪(0,1]．答案： (－∞，0)∪(0,1] 13．已知函数别离由下表给出x 1 2 3 f (x ) 1 3 1 x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为______；知足g (f (x ))＝1的x 值是______． 解析： f (g (1))＝f (3)＝1； ∵g (3)＝1罢了知g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝3；又∵f (2)＝3，∴x ＝2. 答案： 1 214．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是________．解析： 因为函数的对称轴为x ＝－2a －12＝1－a ，函数在(－∞，4)上为减函数，依题意可得1－a ≥4，因此a ≤－3.答案： a ≤－3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)假设集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}．(1)当m＝－3时，求集合A∩B.(2)当B⊆A时，求实数m的取值范围．解析：(1)当m＝－3时，B＝{x|－7≤x≤－2}，A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}．(2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1. 16．(本小题总分值12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >00，x ＝0x 2＋mx .x <0(1)求实数m 的值； (2)画出函数图象；(3)假设函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确信a 的取值范围． 解析： (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x又∵f (x )为奇函数，因此f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ， 因此f (x )＝x 2＋2x ，那么m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x >00， x ＝0x 2＋2x ， x <0函数f (x )的图象如下图．(3)由图象可知f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需－1<|a |－2≤1，即1<|a |≤3，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.17．(本小题总分值12分)设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)假设(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x <2，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁RA ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，知足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是a ≥－14.18．(本小题总分值14分)已知函数f (x )＝x 2＋a x，且f (1)＝2，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的概念域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2，因此1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x＝x ＋1x，f (－x )＝－x －1x＝－f (x )， 因此f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞)， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]上的最大值为f (5)＝265，最小值为f (2)＝52.。