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第4讲 功和能一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆ ⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P P t P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量 机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W 外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
高中物理竞赛培训第十一讲 功和能一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F 作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F 在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t=瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆ ⑶动能定理 ①质点动能定理：222101122Kt K KW F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内 即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即0P Pt P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
第十三讲功和能1.功和功率【例1】如图所示，斜面高度为h，长度为l，用一个平行于斜面的力把重力为G的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为W，则斜面对物体的摩擦力大小为多少?摩擦力对物体做的功是多少?【例2】如图所示,定滑轮到滑块顶端的高度为H，定滑轮摩擦不计,用恒力F作用于细线末端,滑块在A，B位置时细绳与水平方向的夹角分别为a和β。
求将滑块由A点拉至B点的过程中，绳的拉力对滑块做的功。
【例3】用铁锤把小钉钉入木板,设木板对小钉的阻力与钉进的深度成正比，已知铁锤第一次对钉子做功w ,将钉子钉进的深度为d ,如果第二次敲钉子时将钉子钉进的深度又为d,问:第二次做功为多少? .【例4】如图所示，一长为L、质量为m的木板,自光滑水平面滑向粗糙区域。
粗糙区域的动摩擦因数为μ,问:木板从开始进入粗糙区域到木板右端前进2L的过程中,木板克服摩擦力做的功是多少?【例5】已知汽车质量为m=1×105 kg,由静止开始运动，阻力f=0.05mg ,牵引力与汽车前进距离x满足F=103x+ f，求当车前进x= 100 m时,牵引力做的功。
【例6】如图所示,物体沿曲线从A运动到B,大小恒定的力F始终与曲线相切,已知AB曲线的长度为s,则此过程中力F做功为多少?【例7】如图所示,水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ，木箱在与水平夹角为θ的拉力F 的作用下做匀速直线运动。
θ从0°逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度始终保持不变,则拉力F的功率（）。
A.一直减小B.一直增大C.先减小后增大D.先增大后减小【例8】如图所示,汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2, 甲、乙两汽车都在水平面上运动,求甲、乙两汽车的速度之比。
【例9】某汽车发动机的额定功率P=6 ×104 W,汽车的质量m =5 ×103 kg.该汽车在水平公路上行驶时所受阻力为车重的0.1倍，g取10 N/kg,问:(1)当汽车在保持额定功率的条件下匀速行驶时，速度是多大?(2)若汽车以8 m/s的速度匀速行驶，汽车发动机实际输出功率为多大?练习题1.一个人先后用同样大小的力F将不同质量的物体分别在光滑水平面粗糙水平面和粗糙斜面上沿力的方向移动相同的距离L(如图所示),该力在这三个过程中所做的功分别为W1，W2，W3，关于它们之间的大小关系说法正确的是( )。
能 量一、功和功率1.功:(1)恒力的功W =Fs cos α.(2)变力的功：①用F -s 图象的面积求：如弹簧弹力的做功，W =21kx 2,根据功能原理，弹簧的弹性势能E P =21kx 2。
（当力随位移线性变化时，可用平均值）说出下面各图象的意义：v -t 图象;F -t 图象;P -t 图象;I -t 图象;U -q 图象.②用功能原理求.例1：如把长为L 的均匀细杆竖起，至少要做多少功（W =21mgL ）. 例2：如图所示，原来弹簧处于原长，在水平外力作用使m 2缓慢向右移动s ，求拉力的功。
（W =μ2m 2gs +μ1m 1g (s +x )+21kx 2,其中kg m x 22μ=）. ③其它方法（如微元法）。
1. 跳水运动员从高于水面H =10m 的跳台自由落下,假设运动员的质量m =60Kg,其体形可等效为一长度L =1.0m 、直径d =0.30m 的圆柱体,略去空气阻力.运动员入水后,水的等效阻力F 作用于圆柱体的下端面,F 的量值随入水深度Y 变化的函数曲线如图所示,该曲线可近似看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY 和OF 重合.椭圆与Y 轴相交于Y =h 处,与F 轴相交于5mg /2处,为了确保运动员的安全,试计算水池中水的深度h 至少等于多少?(水的密度ρ=1.0×103Kg/m 3)（答案4.9m ）解:运动员的初末速度都为零,则W G +W f +W F =0,重力做功W G =mg (H +h )浮力做功W F =).()2(2)2(22L h g d L L g d L ---πρπρ 阻力做的功相当于曲线与坐标围成的面积425hmg E f ⨯⨯-=π得:9.44881222=-++=m Ld m d L mH h πρππρm. 2. 足够深的容器内竖直插入两端开口的薄壁管子，容器截面积是管子的5倍，管子的截面积S =100cm 2，管子足够长。
高中物理竞赛功和能知识点讲解一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F 作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F 在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P Pt P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
第三讲 功和能我们解决物理问题时，往往从两个观点入手：力的观点和能量的观点。
力的观点，即分析物体受力情况与运动情况，运用力与运动的规律来求解问题；能量的观点，即从做功与能量转化、能量守恒的角度来求解问题。
本讲将介绍功、功率以及机械能的相关知识。
第一节 功与功率一、功（一）功的概念如果一个力作用在物体上，且物体沿着力的方向移动了一段距离，我们就说这个力对物体做了功。
因此，做功有两个必不可少的要素：作用在物体上的力、物体沿力方向移动的距离。
功的计算公式为W Fs =，其中s 为物体沿力的方向移动的距离，也可理解为物体实际前进的距离沿F 方向的分量。
功的单位为焦耳，简称焦，符号为J ，1J 1N m =⋅。
对于更一般的情况，如图5.1所示，如果力F 与物体移动的距离s之间有夹角θ，则可以这样求解力F 所做的功：将力F 分解为沿着移动距离方向的分力1cos F F θ=和垂直于移动距离方向的分力2sin F F θ=，由于分力2F 与移动方向垂直，不做功，所以力F 做的功实际上等于其分力1F 做的功，有1cos W F s Fs θ==。
因此：（1）当0θ=︒时，cos 1θ=，W Fs =。
（2）当90θ=︒时，cos 0θ=，0W =，即力对物体不做功。
（3）当180θ=︒时，cos 1θ=-，W Fs =-，即力对物体做负功，或说物体克服力F 做功Fs 。
比如，5J W =-，我们可以说“力F 对物体做功5J -”，或“物体克服力F 做功5J ”。
力对物体做正功，表明这个力促进物体的运动；力对物体做负功，表明这个力阻碍物体的运动。
例1 如图5.2所示，斜面高度为h ，长度为l ，用一个平行于斜面的力把重力为G 的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为W ，则斜面对物体的摩擦力大小为多少？摩擦力对物体做的功是多少？分析与解 设拉力为F ，斜面倾角为θ，则拉力F 做功为W Fl =，所以W F l =。
竞赛辅导练习 功和能（一）1、如图所示，甲乙两容器形状不同，容积相同，现有两块完全相同的金属块用细线系着分别浸入同样深的水中，这时两容器的水面相平齐，如果将金属块匀速提出水面，在甲图中拉力做的功为W 1，乙图中拉力做的功为W 2，则A. W 1＞W 2B. W 1＜W 2C. W 1＝W 2D.无法判断2、如图所示，细绳的一端固定，另一端拴一小球，拉起小球，使悬线沿水平方向伸直，将小球由静止释放，在小球运动到最低点过程中，小球所受重力的功率的变化情况是 A.不断增大 B.不断减小 C.3、汽车以某一初速度驶上一个很长的斜坡，且在坡上保持功率恒定，则汽车在坡上可能做下列哪些运动 A.加速且加速度越来越小B. 加速且加速度越来越大C.减速且加速度越来越小D. 减速且加速度越来越大4、如图所示，一斜面体倾角θ=300、长为L ，放在光滑的水平面上，一质量为m 的木块，自斜面顶端匀速滑到底端，斜面体同时向右移动了3L x的距离。
则在这一过程中，作用在木块上的重力做的功为______，支持力做的功为______，摩擦力做的功为_______。
5、用锤子将钉子打入木板，若板对钉的阻力与钉进入板的深度成正比，第一次打击时，能将钉打入1cm ，以相同速率第二次打击时，打入板的深度为______cm 。
6、一风力发电机把风能变为电能的效率为η，其接收风的面积为S ，空气的密度为ρ，风吹到风轮机上末速度设为0，当发电机发电的功率为P 时，风速为_____________。
7、如图所示，平板车的质量为2m ，长为l ，车右端 (A 点)有一块质量为m 的小金属块，都静止在水平地 面上。
金属块与车间有摩擦，并且在AC 段与CB 段摩 擦系数不同，而车与地面间摩擦可忽略。
现给车施加 一个向右的水平恒力，使车向右边运动，并且金属块 在车上开始滑动，当金属块滑到车的中点C 时，即撤去这个力。
已知撤去力的瞬间，金属块的速度为v O ，车的速度为2v O ，并且最后金属块恰停在车的左端(B 点)与车共同运动。
奥赛辅导资料--功和能1．（15分）2009年中国女子冰壶队首次获得了世界锦标赛冠军，这引起了人们对冰壶运动的关注。
冰壶由花岗岩凿磨制成，底面积约为0. 018 m 2，质量约为20kg 。
比赛时，冰壶由运动员推出后在一个非常平整的冰道上滑行，如图甲所示。
冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如图乙所示的过程：运动员将静止于O 点的冰壶（视为质点）沿直线以恒力推到距O 点m 的A 点放手，此后冰壶沿滑行，最后静止于C 点。
已知冰面与冰壶间的动摩擦因数，，取当地的重力加速度。
试求：（1）冰壶在A 点速度的大小。
（2）运动员以恒力推冰壶的过程中力做功的平均功率。
（3）若运动员在冰壶行进前方的冰道上用冰刷“刷冰”，使冰转化成薄薄的一层水，从距A 点远的B 点开始，将段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8，原来只能滑到C点的冰壶能静止于点，求点与点之间的距离为多少？2．（18分）质量均匀分布，长为l 的矩形毛巾挂在水平细杆上，处于静止状态，其底边AA ＇平行于杆，杆两侧的毛巾长度比为1:3，见图a ，AA ＇与地面的距离为h （h>l ），毛巾质量为m ，不计空气阻力，取重力加速度为g .（1）若将杆两侧的毛巾长度比改变为1:1如图b ，求重力对毛巾做的功.（2）若毛巾从题24图a 状态由静止开始下滑， 且下滑过程中AA ＇始终保持水平，毛巾从O O 'F 4=d O A '0125.0=μm 16==L AC 210m/s =g F m 2=x O B 'μO 'C O 'r离开杆到刚接触地面所需时间为t，求毛巾离开横杆时的速度大小以及摩擦力做的功.3．（20分）如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面。
t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零，加速度aB=1.0m/s2的匀加速直线运动。
已知A的质量mA 和B的质量mg均为2.0kg,A、B之间的动摩擦因数1μ=0.05，B与水平面之间的动摩擦因数2μ=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s2。
功和能讲座当物体沿倾角为μθ1-=tg的斜面下滑时，物体的动能保持不变，mgh W f -=，如图所示。
在图（a ）中若将斜面AB 变为图（b ）所示斜面和一个水平面，且使各接触面的动摩擦因数相同。
则从A →C →B 的过程物体克服摩擦力所做的功仍等于重力对物体所做的功。
因为：cos f fAC fBC AC BC W W W S m g S m g μαμ-=-+=⋅+⋅ =(cos )AC BC BD mg S S mgS μαμ⋅+= 而/BD tg h S μθ== W m g h ⎰=-可以证明：物体沿任意折面（各接触面的动摩擦因数相同）运动时，如果起点和终点确定时，摩擦力所做的功都相同，与运动的折面的倾斜度无关。
当起点与终点的连线与水平方向恰好成摩擦角时，物体在起点和终点的动能相等。
如图所示，利用这一点，我们可以设计一种测定摩擦因数的简单方法： 将待测定的接触面做成如图所示的V 形折面，物块从斜面AO 上的某点P 由静止释放，在V 型斜面的底端用一段光滑的小孤面相连接，物体从AO 斜面滑上OB 斜面后做减速运动（斜面AO 做的略陡，OB 做的略平）最后物体停在Q 点，测出PQ 两点的水平间距s 和竖直高度h ，则在式1W m gh =-的证明中可以看到物体沿斜面AC 下滑过程中克服摩擦力所做的功：//cos sin fA C B C h W m g a m gL μμα=⋅=。
将此结论转化为更一般的图形如图所示，即物体沿底边长为L 的斜面运动时，克服摩擦力所做的功：mgL W μ=。
1．如图所示，DO 是水平面，AB 是斜面，初速度为V 0的物体从D 点出发沿DBA 滑动到顶点A 时速度刚好为零，如果斜面改为AC 。
让该物体从D 点出发沿DCA 滑动A 点，则物体具有初速度（已知物体与路面间的动摩擦因数处处相同且不为零）： [ B ] A ．大于V 0 B ．等于V 0 C ．小于V 0 D ．取决于斜面的倾角解析：此题运用前面推导的结论很容易做出判断：从A →B →C →D 摩擦力所做的功等于从D →C →B →A 摩擦力所做的功，而沿斜面运动时物体克服摩擦力所做的功由斜面底边长度决定。
物理竞赛辅导内容（功和能）知识要点分析：功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。
利用能量的观点处理物理学 的问题有三大优点：一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。
一、功1、 功：力对空间的积累效应。
W=FScos θ2、 力：保守力与非保守力1） 保守力：力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。
例：重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。
理解： A 物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；B 若能与势能联系起来，也为保守力；2） 非保守力：做功与路径有关的力，例：摩擦力等。
3、 位移：力的作用点的位置变化成为力的位移。
一般情况：物体的位移等于力的作用点的位移——质点； 某些情况：物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；例1：半径为R 的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F 拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F 做得功为 （ R F π4⋅ ）例2：已知力F ＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S ＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。
，求在此过程中，拉力做的功。
4、 功的相对性：1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。
一般情况下，往往以地面为参考系。
例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θcos 2LS =，求各力所作的功及斜面对物体作的功。
（θ＝30）2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；A ：在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—f d 相对）而相对位移与参考系的选取无关。
物理竞赛辅导内容（功和能）知识要点分析：功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。
利用能量的观点处理物理学的问题有三大优点：一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。
一、功1、功：力对空间的积累效应。
W=FScosθ2、力：保守力与非保守力1）保守力：力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。
例：重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。
理解：A物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；B 若能与势能联系起来，也为保守力；2）非保守力：做功与路径有关的力，例：摩擦力等。
3、位移：力的作用点的位置变化成为力的位移。
一般情况：物体的位移等于力的作用点的位移——质点；某些情况：物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；例1：半径为R的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F做得功为（R4⋅）Fπ例2：已知力F＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。
，求在此过程中，拉力做的功。
4、功的相对性：1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。
一般情况下，往往以地面为参考系。
例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θcos 2L S =，求各力所作的功及斜面对物体作的功。
（θ＝30）2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；A ：在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—f d 相对）而相对位移与参考系的选取无关。
若计算一对滑动摩擦力做得总功，分别以地面或运动木板为参考系计算出来的结果是一样的。
B ：一对作用力与反作用力做功特点：① 两力可能均不做功；② 两力之中只有一个做功；③ 两力均做功：均做正功；均做负功；一个做正功，一个做负功；5、 中学阶段常用的求功的方法；6、 1）恒力做功法：W=FScos θ2）变力做功法：① 微元法：把变力做功转化为恒力做功；方法：将过程分为许多小段，在每一小段内均可认为力F 为恒力，求出每一小段内该力作的功W i =F i S i cos θi , 最后求出所做的总功W=θsin i i S F ∑求和则讨论向心力始终对物体不做功。
例4： 截面呈圆环的玻璃管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在玻璃管内的最低点A 处有一直径略小于管径的小球，小球上连一轻绳，在外力F 的作用下，小球以恒定的速度V 沿管壁作半径为R 的匀速圆周运动，已知小球与管内壁外侧的动摩擦因数为μ，而内侧是光滑的，若忽略管的内外半径之差，认为均为R,，试求小球从A 点运动至最高点B 过程中拉力F 作的功。
②图像法：作出力随位移变化的图像，求出图线与位移轴所围面积的大小。
例5：用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：f = k x，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？例6：水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。
③平均力法：若力的变化与位移成比例，则可以取力的平均值求解；例7：用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：f = k x，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？例8：水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。
④等效法：从能量的变化或公式W=P t 求解；例9：一台抽水机将水从深为H的井中抽出，并以速度v0喷出，已知在t 秒内抽出水为m，则抽水机做功为多少？抽水机的平均功率为多少？例10：一枝水枪均匀地喷洒半径为R=12米的农田，已知从h=4米深的井中每秒抽出80升的水喷出，求水泵的功率。
（水枪的倾角为45度）例11：如图所示，在一盛水的烧杯中漂浮着月质量为m 的物块，求若施加外力将物块压入水底过程中压力作的功。
例12：跳水运动员从高于水面H=10米的跳台自由落下，假设运动员的体重为m ＝60kg ，其体型可等效为长度为L=1.0m ，直径d=0.30m 的圆柱体，略去空气阻力，入水后，水的等效阻力f 作用于圆柱体的下断面，阻力f 的量值随水的深度y 变化的函数曲线如图所示，此曲线可近似看作是椭圆的一部分，该椭圆的长、短半轴分别与坐标轴重合，椭圆与y 轴相交于Y=h 处，与f 轴相交于f=mg 25处，为了确保运动员的安全，试计算池中水的深度至少应为多少（ρ＝1.0×103kg ∕m 3）二、动能1、动能：状态量 E K ＝21mv 2, 由于v 与参考系有关，故动能的大小也与参考系的选取有关，因此，在计算功和能时，应选用同一参考系。
2、动能定理：21222121Mv Mv W＝外 ,合外力对物体作的总功等于物体动能的变化量。
优点：在运算过程中，不必考虑物体的运动情况如何，只要确定其间各力做功的代数和，考虑其的初始状态和终止状态的动能即可列式求解。
例13：长为2L 的细线系住两个质量为m 的小钢球，放在光滑的桌面上，在线中央施加如图所示的恒力F,试求①钢球第一次相碰时在与力F 垂直方向上钢球对地的速度；②经过若干次碰撞后最后两球一直处于接触状态，则失去的总 能量为多少？例14：如图所示，轨道的对称轴是过O、E两点的竖直线，轨道BEC为120。
的光滑圆弧，半径为R=2.0米，O为圆心，AB、CD两斜面与圆弧分别相切于B、C两点，一物体从高h=3.0米处以速率v0=4.0m∕s的速度沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数为μ＝0.2，求物体在AB、CD两斜面上（不包含圆弧部分）通过的总路程。
例15：如图所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，设绳子的总长度始终不变，绳的质量，定滑轮的质量和尺寸，定滑轮的摩擦均不计，开始时车在A点，滑轮左右两侧的绳都已绷紧，且是竖直的，左侧绳长为H,提升物体时车加速向左运动，从A运动到B的距离为H, 车过B点时车的速度为v，求车由A运动到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。
若不计质量为M的车从A运动到B过程中所受的摩擦阻力，求小车在此过程中，牵引力做了多少功？例16：如图所示，一固定光滑的半圆形碗，半径为R,在光滑的碗的边缘两边通过一轻质的细线挂着质量分别为M和m的两个小物体，M＞m，现让M从靠近碗的边缘处有静止开始沿碗的内壁下滑，求的物体M下滑到碗的最低点的过程中，细线对物体M做的功。
3、质点系统的动能定理：12K K E E W W -+＝内外1） 质点的动能定理研究的是一个质点，质点系的动能定理研究的是若干个质点。
质点系的动能定理可以由质点动能定理推导出来。
设：质点系由N 个质点组成，其中第I 个质点受到系统外力和系统内力的作用，则该时刻对该质点运用动能定理：W i 外 ＋ W i 内 ＝21222121i i i i v m v m -；（分析各物理量含义） 对所有质点均利用动能定理，并求和：122122)2121()(K K i i i i i i E E v m v m W W -=-∑∑＝＋内外结论：对于质点系，外力和内力对物体所做的总功等于质点系动能的增加量。
例17：质量为M 的列车正沿平直轨道匀速行驶，忽然尾部有一质量为m 的车厢脱钩，待司机发现并关闭油门时前部车厢已行驶的距离为L, 已知列车所受的阻力与其质量成正比（设比例常数为k ），列车启动后其牵引力不变，问前后两节车厢都停下时相距多远？例18：水平桌面上放着一条伸长的柔软轻绳，绳的一端挨着桌面上的小孔，绳长为L,质量为m ，一根细线通过小孔与绳头相连，下面悬挂一质量为m 1的物体，开始用手按着轻绳使之处于静止，然后放开使之运动，设绳与桌面的动摩擦因数为μ，求绳尾滑到小孔时，绳子和物体的速度为多少？例19：在光滑的水平面上放着一质量为m 1 ，高度为a 的长方体滑块，长度为L （L＞a ）的光滑轻杆靠在滑块的右上侧的棱上，且轻杆能绕O 轴在竖直面内自由转动，轻杆的上端固定一个质量为m 2的小球，开始时系统静止，轻杆与水平面的夹角为θ0,求系统释放后滑块的速度v 1随θ角的变化。
例20：水平弹簧，一端固定，另一端系着质量为m的小球，小球的劲度系数为k，小球与水平面的动摩擦因数为μ，当弹簧为原长时，小球位于O点，开始小球位于O点的右边的A点，AO=L0,静止释放，则①为使小球能且只能通过O点一次，则μ的取值范围如何？②在上述条件下，设小球停在最左边时，与O点的最大距离如何？三、势能（一）、基本概念：1、保守力：做功与路径无关的力称为保守力。
例：重力，弹力，万有引力等；2、势能：在保守力场中，有一种仅有质点的位置决定的能量，称为势能（位能）。
3、保守力与势能的关系：保守力分别对应一种势能，它们做功均与势能变化有关，且保守力做的功等于势能的减少。
（重力——重力势能、弹簧弹力——弹性势能、分子力——分子势能）4、势能不属于某个质点，而是质点和保守力场共有的。
例如：重力与重力势能。
（二）、三种势能：1、重力势能：当质量为m的物体位于地球表面附近时，一般选择地面或物体运动过程中的最低点为零势能面，物体与地球构成的系统具有重力势能，大小为：E P＝mgh，（h为物体相对零势能面的高度）；例21：劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m A和m B的两物体A和B相连，劲度系数为k2的轻弹簧下端压在桌面上（不拴接），上端与物体B拴接，整个系统处于平衡状态，现施加外力使物体A缓慢地向上提起，直至弹簧B的下端刚离开桌面，在此过程中，物体B重力势能增加了__________物体A的重力势能增加了___________弹性势能：①胡克定律：F=k x ； ②图像表示：F —x 图线，各项含义:图线与坐标轴所围的面积代表功。
;21212kx x kx W F =⋅=③平均值法：弹力大小与形变量的大小成正比，22120kx x kx W F =⋅+=④弹力做功，引起弹性势能变化，则E P ＝ ;212kx W F =结论：当弹簧的形变量为x 时，系统具有的弹性势能为;212kx 此时，弹簧的弹力做功为—;212kx例22：质量为M=2千克的物体，其一端经过轻弹簧施加大小为30牛的水平恒力F,若弹簧的劲度系数k ＝100N ／M,，物体与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3,求物体位移为2米时的速度。
