§1.3 克拉默法则

克拉默法则的公式“嘿，同学们，今天咱们来讲讲克拉默法则的公式。

”克拉默法则是用来解线性方程组的一种方法。

对于一个线性方程组，如果它有 n 个未知数，n 个方程，且系数行列式不等于零，那么这个方程组有唯一解。

具体来说，假设线性方程组为：a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn那么未知数 xi 的解可以通过下面的公式来计算：xi = Di / D其中，D 是方程组的系数行列式，Di 是将 D 中的第 i 列换成方程组等号右边的常数项 b1, b2,..., bn 后得到的行列式。

举个例子吧，假设有这样一个线性方程组：2x1 + 3x2 = 84x1 + 5x2 = 14先计算系数行列式 D = |2 3| = 2*5 - 3*4 = -2。

然后计算 D1，把 D 中的第一列换成常数项 8 和 14，得到 D1 = |8 3| = 8*5 - 3*14 = -2。

计算 D2，把 D 中的第二列换成常数项 8 和 14，得到 D2 = |2 8| = 2*14 - 8*4 = 12。

那么 x1 = D1 / D = -2 / -2 = 1，x2 = D2 / D = 12 / -2 = -6。

所以方程组的解就是 x1 = 1，x2 = -6。

克拉默法则在很多领域都有应用。

比如在工程学中，当需要确定一些变量的值以满足特定的条件时，就可以用克拉默法则来求解线性方程组。

再比如在经济学中，分析一些经济模型时，常常会遇到线性方程组，克拉默法则就能派上用场。

同学们要记住，克拉默法则虽然好用，但它有个前提条件，就是系数行列式不能为零。

如果遇到行列式为零的情况，就得考虑其他方法来解方程组了。

总之，克拉默法则是线性代数中一个非常重要的工具，掌握好它对大家学习和解决问题都有很大的帮助。

例 1.1.1 计算行列式
3 1 1 D 2 4 0
1 5 7
解 利用三阶行列式的展开式（1.1.5），得
当线性方程组(1.3.1)的常数项b1,b2,..., bn 全为零时，即
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 ... a2n xn 0,
(5 )(2 )(8 ) 0 ， 解得
5或 2或 8.
主观题 10分
已知齐次线性方程组
x1 kx2 x3 0, kx1 x2 x3 0, 2x1 x2 x3 0. (1)k为何值时，该齐次方程组只有零解？ (2)k为何值时，该齐次方程组有非零解？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a2n
0,
an1 an2 ... ann
那么，线性方程组(1.3.1)一定有唯一解，其解为
x1
1 Βιβλιοθήκη , x22 ,...,xn
n
,
(1.3.2)
x1
1
,
x2
2
,...,xn
n
,
(1.3.2)
其中， j ( j 1,2,..., n) 是把系数行列式 中第 j 列的元素 a1j , a2 j ,..., anj 换成方程
0 1 3 2
1 1 0 1
1 10 1 2
82, 1
82 1 1
1 0 3 2
3 1 0 1
2 4 10 2
246, 1
1 8 1 1
1 1 0 2
3 1 1 1
3 4
1 10
164, 1

定理 1′如果线性方程组 (1) 无解或有无
穷个不同的解，则它的系数行列式必为零．
线性方程组
右端的常数项
b1，b2，… ，bn 不全为零时，线性方程组 (1) 叫做非齐次线性方
程组； 当
b1，b2，… ，bn
全为零时，线性方程组(1)叫做齐次线性方程组．
对于齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 , a x a x a x 0 , 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 ,
默法则求解．
但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的
重要地位．克拉默法则不仅给出了方程组有唯一
解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系
数和常数项的关系．
1.3.2 方程组有解的条件
克拉默法则可叙述为下面的重要定理．
定理 1 如果线性方程组
的系数行列
式 D 0 ，则 (1)一定有解，且解是唯一的． 定理 1 的逆否定理为：
解 Cramer法则
例 2 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 通过四点 (1, 3) ， (2, 4) ， (3, 3) ， (4, -3)，求系数
a0 , a1 , a2 , a3 .
例 3 (货物运输)队某物流公司有3辆汽车同
时运送一批货物，一天共运8800吨，如果第1辆汽 车运2天，第2辆汽车运3天，共运货物13200吨，如
(2)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解，这个解叫做齐
次线性方程组 (2) 的零解．
如果一组不全为零的数是
的解，则它叫做齐

§7
克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1) 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6