第6章反比例函数综合练习A
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北师大版九年级上册 第六章 反比例函数单元综合练习A 卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．下面的函数是反比例函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝x2C ．y ＝13xD ．y ＝2x －132．若反比例函数y ＝kx的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点( )A ．(2，－3)B ．(－3，－3)C ．(2，3)D ．(－4，6)3．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( )A ．0B ．－2C ．2D ．－64．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg /m 3)与体积V(单位：m 3)满足函数关系式ρ＝kV (k 为常数，k ≠0)，其图象如图所示，则当气体的密度为3 kg /m 3时，容器的体积为( )A ．9 m 3B ．6 m 3C ．3 m 3D ．1.5 m 35．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x的图象无交点，则有( )A ．k 1＋k 2＞0B ．k 1＋k 2＜0C ．k 1k 2＞0D ．k 1k 2＜06．已知点A(－1，y 1)，B(2，y 2)都在双曲线y ＝3＋mx上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( ) A ．m<0B ．m>0C ．m>－3D ．m<－37．如图，在直角坐标系中，直线y ＝6－x 与函数y ＝4x (x ＞0)的图象相交于点A ，B ，设点A 的坐标为(x 1，y 1)，那么长为y 1、宽为x 1的矩形的面积和周长分别为( )A ．4，12B ．8，12C ．4，6D ．8，68．函数y ＝kx与y ＝kx ＋k(k 为常数且k ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点F 在DC 边上运动，连接AF ，过点B 作BE ⊥AF 于E.设BE ＝y ，AF ＝x ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是( )10．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上，若点B 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2二、填空题(每题3分，共24分)11．一个反比例函数的图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的表达式是________．12．南宁市五象新区有长24 000 m 的新道路要铺上沥青，则铺路所需时间t(天)与铺路速度v(m /天)的函数关系式是________．13．点(2，y 1)，(3，y 2)在函数y ＝－2x的图象上，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．14．若反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝mx 的图象的一个交点的坐标为(1，2)，则它们另一个交点的坐标为_______．15．如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，且△ABP 的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．(15题)(16题)(17题) (18题)16．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上(点A 与点O 重合)，AB ＝3，BC ＝1，连接AC ，BD ，交点为M.将矩形ABCD 沿x 轴向右平移，当平移距离为________时，点M 在反比例函数y ＝1x 的图象上．17．如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在第一象限内分别交于点A ，B ，且A 为OB 的中点，若函数y 1＝1x，则y 2与x 的函数表达式是____________．18．如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM ，ON ，MN.下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON ＝MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON ＝45°，MN ＝2，则点C 的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的序号是____________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．在平面直角坐标系中，直线y＝x向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数y＝k－1x的图象的一个交点为(a，2)，求k的值．20．已知反比例函数y＝kx，当x＝－13时，y＝－6.(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？(2)当12＜x＜4时，求y的取值范围．21．已知点A(－2，0)和B(2，0)，点P在函数y＝－1x的图象上，如果△PAB的面积是6，求点P的坐标．22．如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y＝－8x的图象交于A(－2，b)，B两点．(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．23．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A ，C 分别在y 轴，x 轴上，点B 的坐标为(4，2)，直线y ＝－12x ＋3交AB ，BC 分别于点M ，N ，反比例函数y ＝kx的图象经过点M ，N.(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．24．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min )成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(℃)和通电时间x(min )之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的函数关系式； (2)求出图中a 的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40 ℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？25．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为2.(1)求k的值．(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1.C 2.A3．B 点拨：∵点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x 的图象上，∴ab ＝2.∴ab －4＝2－4＝－2. 4．C5．D 点拨：若k 1，k 2同正或同负其图象均有交点．6．D 点拨：由题意知，反比例函数图象在第二、四象限，所以3＋m<0，即m<－3.7．A 点拨：由反比例函数y ＝kx (k ≠0)中的比例系数k 的几何意义知矩形的面积为|k|，即为4；因为A(x 1，y 1)在第一象限，即x 1＞0，y 1＞0，由直线y ＝6－x 得x 1＋y 1＝6，所以矩形的周长为2(x 1＋y 1)＝12.8．A9．C 点拨：连接BF ，则可知S △AFB ＝12xy ＝12×4×3，故y ＝12x ，其自变量的取值范围是3≤x ≤5，对应的函数值的范围为125≤y ≤4，故选C .10．A 点拨：分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为点C ，D.易知∠AOC ＋∠BOD ＝90°，∠BOD ＋∠OBD ＝90°，∴∠OBD ＝∠AOC.又∠BDO ＝∠OCA ＝90°.∴△ODB ∽△ACO.∴OD AC ＝BD OC ＝OB OA ＝2.设点A 的坐标是(m ，n)，∵点A 在反比例函数y ＝1x的图象上，∴mn ＝1.易知AC ＝n ，OC ＝m ，∴BD ＝2m ，OD ＝2n.∴B 点的坐标是(－2n ，2m)．∵点B 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴2m ＝k－2n，即k ＝－4mn ＝－4. 二、11.y ＝6x12．t ＝24 000v (v>0)13．<14．(－1，－2) 点拨：因为反比例函数y ＝kx 的图象关于原点成中心对称，一次函数y ＝mx 的图象经过原点，且关于原点成中心对称，所以它们的交点也关于原点成中心对称．又点(1，2)关于原点成中心对称的点为(－1，－2)，所以它们另一个交点的坐标为(－1，－2)．15．y ＝12x 点拨：连接OA ，则△ABP 与△ABO 的面积都等于6，所以反比例函数的表达式是y ＝12x .16.12 点拨：将矩形ABCD 沿x 轴向右平移后，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝32，ME ＝12BC ＝12.设OA ＝m ，则OE ＝OA ＋AE ＝m ＋32，∴M ⎝⎛⎭⎫m ＋32，12.∵点M 在反比例函数y ＝1x的图象上，∴12＝1m ＋32，解得m ＝12. 17．y 2＝4x18．①③④三、19.解：∵直线y ＝x 向上平移1个单位长度得到直线l ， ∴直线l 对应的函数表达式是y ＝x ＋1. ∵直线l 与反比例函数y ＝k －1x的图象的一个交点为(a ，2)， ∴2＝a ＋1.∴a ＝1. ∴这个交点坐标是(1，2)． 把点(1，2)的坐标代入y ＝k －1x， 得2＝k －11，∴k ＝3.20．解：(1)把x ＝－13，y ＝－6代入y ＝k x 中，得－6＝k－13，则k ＝2，即反比例函数的表达式为y ＝2x.因为k ＞0，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小． (2)将x ＝12代入表达式中得y ＝4，将x ＝4代入表达式中得y ＝12，所以y 的取值范围为12＜y ＜4.21．解：∵点A(－2，0)和B(2，0)， ∴AB ＝4.设点P 坐标为(a ，b)，则点P 到x 轴的距离是|b|，又△PAB 的面积是6，∴12×4|b|＝6.∴|b|＝3.∴b ＝±3. 当b ＝3时，a ＝－13；当b ＝－3时，a ＝13.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，3或⎝⎛⎭⎫13，－3. 22．解：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2k ＋5，b ＝－8－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝12.所以一次函数的表达式为y ＝12x ＋5.(2)将直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度后，直线AB 对应的函数表达式为y ＝12x ＋5－m.由⎩⎨⎧y ＝－8x，y ＝12x ＋5－m得，12x 2＋(5－m)x ＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 23．解：(1)由题意易得点M 的纵坐标为2. 将y ＝2代入y ＝－12x ＋3，得x ＝2.∴M(2，2)．把点M 的坐标代入y ＝kx ，得k ＝4，∴反比例函数的表达式是y ＝4x .(2)由题意得S △OPM ＝12OP·AM ，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC －S △AOM －S △CON ＝4×2－2－2＝4， S △OPM ＝S 四边形BMON ， ∴12OP·AM ＝4. 又易知AM ＝2，∴OP ＝4. ∴点P 的坐标是(0，4)或(0，－4)． 24．解：(1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20. ∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20. 当8＜x ≤a 时，设y ＝k 2x ，将(8，100)的坐标代入y ＝k 2x ，得k 2＝800. ∴当8<x ≤a 时，y ＝800x. 综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20； 当8＜x ≤a 时，y ＝800x. (2)将y ＝20代入y ＝800x ，解得x ＝40，即a ＝40.(3)当y ＝40时，x ＝80040＝20.∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水． 25．解：(1)∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称， ∴S △AOC ＝S △BOC ＝12S △ABC ＝1.又∵AC 垂直于x 轴，∴k ＝2.(2)假设存在这样的点D ，设点D 的坐标为(m ，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝2x解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝－2.∴A(1，2)，B(－1，－2)． ∴AD ＝（1－m ）2＋22， BD ＝（m ＋1）2＋22，AB ＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝2 5. 当D 为直角顶点时，∵AB ＝25，∴OD ＝12AB ＝ 5.∴D 的坐标为(5，0)或(－5，0)． 当A 为直角顶点时，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得(25)2＋(1－m)2＋22＝(m ＋1)2＋22， 解得m ＝5，即D(5，0)． 当B 为直角顶点时，由BD 2＋AB 2＝AD 2，得(m ＋1)2＋22＋(25)2＝(1－m)2＋22， 解得m ＝－5，即D(－5，0)．∴存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形，点D 的坐标为(5，0)或(－5，0)或(5，0)或(－5，0)．。
