2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-5-第5讲-椭-圆

§9。

5 椭圆考纲展示► 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考点1 椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P＝｛M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2｜＝2c,其中a〉0，c〉0，且a，c为常数:(1）若________,则集合P为椭圆；(2）若________，则集合P为线段；（3)若________,则集合P为空集．答案：椭圆焦点焦距(1）a〉c（2）a＝c（3)a<c［教材习题改编］已知甲：动点P到两定点A,B的距离之和｜PA|＋|PB｜＝2a(a〉0且a为常数）；乙：P点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分"或“充要”）答案：必要不充分解析：∵乙⇒甲，甲错误!乙，∴甲是乙的必要不充分条件.椭圆的定义：关键在于理解．（1）动点P到两定点M（0，－2），N（0，2)的距离之和为4，则点P的轨迹是________．答案：线段解析：因为|PM|＋｜PN|＝｜MN|＝4,所以点P的轨迹是一条线段．(2）已知△ABC的顶点B，C在椭圆错误!＋错误!＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．答案：83解析：由椭圆定义知,△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍,所以△ABC的周长是43×2＝8 3.[典题1］(1)［2017·北京东城区期末］过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )A．2 B．4 C．8 D．2错误![答案] B［解析］因为椭圆的方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1。

第三讲 椭 圆1.[多选题]已知椭圆Ω:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),则下列结论正确的是( )A .若a =2b ,则Ω的离心率为√22 B .若Ω的离心率为12,则b a =√32C .若F 1,F 2分别为Ω的两个焦点,直线l 过点F 1且与Ω交于点A ,B ,则△ABF 2的周长为4aD .若A 1,A 2分别为Ω的左、右顶点,P 为Ω上异于点A 1,A 2的任意一点,则直线PA 1,直线PA 2的斜率之积为-b 2a2.[2020山西大同高三调研]在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 ( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1C.x 24+y 22=1D.x 216+y 28=13.[2020湖北省宜昌一中模拟]椭圆C :x 2a +y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1( -c ,0),F 2(c ,0),M 是椭圆上的一点,且满足F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则椭圆的离心率的取值范围为 ( )A.(0,√22] B.(0,√22)C.(√22,1) D.[√22,1)4.[2020江西抚州高三第一次联考]已知点P 是椭圆x 216+y 28=1上非顶点的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,O 为坐标原点,若M 为∠F 1PF 2的平分线上一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为 ( )A.(0,3]B.(0,2√2]C.(0,3)D.(0,2√2)5.[2018全国卷Ⅱ]已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( )A.23 B.12 C.13 D.146.[2019沈阳高三质量监测]已知椭圆的方程为x 29+y 24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A ,B 两点,F 2是椭圆的右焦点,则△ABF 2的周长的最小值为,△ABF 2的面积的最大值为.7.[2020云南师大附中高三模拟]设F 1,F 2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且△MF 1F 2的内心I 的纵坐标为2 - √3,则∠F 1MF 2的余弦值为.8.[2019浙江高考]已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是.考法1 椭圆定义的应用1(1)[2020武汉市武昌实验中学模拟]已知F 1,F 2分别是椭圆C:x2a2+y29=1(a>3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且∠F 1PF 2=120°,则|PF 1|·|PF 2|=.(2)[2020江西省九江市三校联考]已知F 是椭圆C:x225+y216=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,365),当△APF 的周长最大时,该三角形的面积为.(1椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°]→得到|PF 1|·|PF 2|的值(2)条件1:椭圆方程x225+y216=1条件2:△APF周长最大]→[直线AF'的方程y P的值]→目标:S△APF =12|F F ' |·|y A - y P|(1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a,且|F 1F 2|=2c=2√a2-9.根据余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2- 2|PF 1|·|PF 2|cos 120°,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF 1|·|PF 2|+|PF 1|·|PF 2|=4a2 - |PF 1|·|PF 2|,解得|PF 1|·|PF 2|=36.故填36.(2)设椭圆的左焦点为F ' ,由椭圆方程得a=5,F (3,0),F ' (- 3,0).△APF 的周长为|AF |+|AP|+|PF |=|AF |+|AP|+2a–|PF '|≤10+(|AF |+|AF ' |),当A,F ' ,P三点共线且F ' 在线段AP上时取等号,此时△APF 的周长最大.设点P的坐标为(x P ,y P ),y P <0.易知直线AF ' 的方程为x-3+y365=1,又x P 225+y P216=1,可得y P = - 125.所以S △APF =12|F F ' |·|y A -y P |=12×6×(365+125)=1445.故填1445.本题组的第(2)题中,利用数形结合的思想方法,巧妙地将求三角形APF 的周长的最大值转化为三角形的三边关系的分析,从而化繁为简,减少了计算量.1.(1)已知椭圆C :x 24+y 23=1,M ,N 是坐标平面内的两点,且M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |= ( )A.4B.8C.12D.16(2)[2019全国卷Ⅲ]设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 .考法2 椭圆的标准方程2过点(√3, - √5),且与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 A.x 220+y 24=1 B.2√y 24=1C.y 220+x 24=1D.x 2422√5=1解法一 (定义法)椭圆y 225+x 29=1的焦点为(0, - 4),(0,4),即c =4.由椭圆的定义知,2a =√(√3-0)2+(-√5+4)2+ √(√3-0)2+(-√5-4)2,解得a =2√5. 由c 2=a 2 - b 2,可得b 2=4.所以所求椭圆的标准方程为y 220+x 24=1.解法二 (待定系数法)设所求椭圆方程为y 225+k +x 29+k =1(k > - 9),将点(√3, - √5)的坐标代入,可得(-√5)225+k +(√3)29+k=1,解得k = - 5,所以所求椭圆的标准方程为y 220+x 24=1.C2.[2019全国卷Ⅰ]已知椭圆C 的焦点为F 1( - 1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为 ( )A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=1考法3 椭圆的几何性质命题角度1 求椭圆离心率或其取值范围3 [2017全国卷Ⅲ]已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx - ay +2ab =0相切,则C 的离心率为 A.√63 B.√33 C.√23 D.13根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a ,b 的等式,结合a 2=b 2+c 2求出离心率. 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2,由原点到直线bx - ay +2ab =0的距离d =2ab√b 2+a 2=a ,得a 2=3b 2,所以C 的离心率e =√1-b 2a2=√63.A命题角度2 求与椭圆有关的最值或取值范围问题4[2017全国卷Ⅰ]设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是 A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)焦点位 置不确定,分情况讨论. 依题意得{√3√m ≥tan ∠AMB 2,0<m <3或{√m √3≥tan∠AMB2,m >3,所以{√3√m ≥tan60°,0<m <3或{√m√3≥tan60°,m >3,解得0<m ≤1或m ≥9.A3.(1)设A 1,A 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P ,使得k PA 1·k PA 2> -12,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.(0,12) B.(0,√22) C.(√22,1) D.(12,1)（2）如图9 -3 - 2,焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b2=1的离心率e =12,F ,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,则PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 考法4 直线与椭圆的综合应用命题角度1 直线与椭圆的位置关系5已知对任意k ∈R ,直线y - kx - 1=0与椭圆x 25+y 2m =1恒有公共点,则实数m 的取值范围为 .解法一 由椭圆方程,可知m >0,且m ≠5, 将直线与椭圆的方程联立,得{y -kx -1=0,x 25+y 2m =1,整理,得(5k 2+m )x 2+10kx +5(1 - m )=0.因为直线与椭圆恒有公共点,故Δ=(10k )2 - 4×(5k 2+m )×5(1 - m )=20(5k 2m - m +m 2)≥0.因为m >0,所以不等式等价于5k 2 - 1+m ≥0,即k 2≥1-m 5,由题意,可知不等式恒成立,则1-m 5≤0,解得m ≥1.综上,m 的取值范围为m ≥1且m ≠5.解法二 因为方程x 25+y 2m =1表示椭圆,所以m >0且m ≠5. 因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即025+12m ≤1,整理得1m ≤1,解得m ≥1. 综上,m 的取值范围为m ≥1且m ≠5.命题角度2 弦长问题6 [2019河北省六校联考]已知椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2c ,且b =√3c ,圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)与x 轴交于点M ,N ,P 为椭圆E 上的动点,|PM |+|PN |=2a ,△PMN 面积的最大值为√3. (1)求圆O 与椭圆E 的方程;(2)圆O 的切线l 交椭圆E 于点A ,B ,求|AB |的取值范围.(1)因为b =√3c ,所以a =2c.因为|PM |+|PN |=2a ,所以点M ,N 为椭圆的焦点,所以r 2=c 2=14a 2.设P (x 0,y 0), - b ≤y 0≤b ,则S △PMN =r ·|y 0|=12a |y 0|, 当|y 0|=b 时,(S △PMN )max =12ab =√3,所以r =c =1,b =√3,a =2,所以圆O 的方程为x 2+y 2=1,椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 的斜率不存在时,不妨取直线l 的方程为x =1,则可取A (1,32),B (1, - 32),|AB |=3. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m ,A (x 1,kx 1+m ),B (x 2,kx 2+m ), 因为直线l 与圆O 相切,所以2=1,即m 2=1+k 2,由{x 24+y 23=1,y =kx +m消去y ,可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2 - 12=0, Δ=64k 2m 2 - 4(4k 2+3)(4m 2 - 12)=48(4k 2+3 - m 2)=48(3k 2+2)>0,x 1+x 2= - 8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3. |AB |=√k 2+1·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =4√3·√k 2+1·√4k 2+3-m 24k 2+3=4√3·√(k 2+1)(3k 2+2)4k 2+3=4√3·√(k 2+34+14)[3(k 2+34)-14]4k 2+3=√3·√-116·1(k 2+34)2+12·1k 2+34+3.令t =1k 2+34,0<t ≤43,则|AB |=√3·√-116t 2+12t +3,0<t ≤43, 所以|AB |=√3·√-116(t -4)2+4,所以3<|AB |≤4√63.综上,|AB |的取值范围是[3,4√63].命题角度3弦中点问题7已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为A.x245+y236=1 B.x236+y227=1C.x227+y218=1 D.x218+y29=1由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式→利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值→得到椭圆方程设A(x 1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得{x1a2+y12=1①,x22 a2+y22b2=1②,① - ②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,易知x1≠x2,∴x1+x2a2+y1-y2x1-x2·y1+y2b2=0.∵x1+x2=2,y1+y2= - 2,k AB=-1-01-3=12,∴2a2+12×-2b2=0,即a2=2b2.又c=3=√a2-b2,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为x218+y29=1.D本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.4.[2019天津高考]设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为√55.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF |(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.数学应用 椭圆与物理知识的融合8如图9 - 3 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),其左、右焦点分别是F 1,F 2,直线l 与椭圆C 切于点P ,且|PF 1|=1,过点P 且与直线l 垂直的直线l' 与椭圆长轴交于点M ,若e =√32,S ΔPMF 1S ΔPMF 2=13,则椭圆C 的标准方程为A.x 24+y 22=1 B.x 24+y 23=1 C.x 24+y 2=1D.x 23+y 22=1由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2→由三角形面积比和已知条件可求出a 的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b 的值→即得椭圆的方程由光学知识可知直线l' 平分∠F 1PF 2, 因为S ΔPMF 1SΔPMF 2=|F 1M||F2M|=12|F 1P||PM|sin ∠F 1PM 12|F 2P||PM|sin ∠F 2PM =|PF 1||PF 2|=13,|PF 1|=1,所以|PF 2|=3,又|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以a =2.因为e =ca=√32,b 2=a 2 - c 2,所以b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.C1.BCD 若a =2b ,则c =√3b ,e =√32,选项A 不正确;若e =12,则a =2c ,b =√3c ,b a=√32,选项B 正确;根据椭圆的定义易知选项C 正确;设P (x 0,y 0),则x 02a 2+y 02b 2=1,易知A 1(- a ,0),A 2(a ,0),所以直线PA 1,直线PA 2的斜率之积为yx 0+a ·y0x 0- a =y 02x 02- a 2=b 2(1- x 02a2)x 02- a2=- b 2a 2,选项D 正确.故选BCD.2.D 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由e 2=c 2a 2=1-b 2a 2=12,得a 2=2b 2,根据椭圆的定义可知△ABF 2的周长为4a ,所以4a =16,即a =4,a 2=16,b 2=8,则椭圆的标准方程为x216+y 28=1,故选D .3.D 设点M (x 0,y 0),因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(x 0+c )·(x 0- c )+y 02=0,即x 02+y 02=c 2 ①. 又点M 在椭圆C 上,所以x 02a 2+y 02b 2=1 ②.①②联立,结合a 2- b 2=c 2,可得x 02=a 2(c 2- b 2)c 2.由椭圆的性质可知0≤x 02≤a 2,即{a 2(c 2- b 2)c 2≥0,a 2(c 2-b 2)c 2≤a 2,即{c 2≥b 2,c 2- b 2≤c 2,所以c 2≥b 2,所以c 2≥a 2- c 2,即2c 2≥a 2,可得e 2≥12.又0<e <1,所以√22≤e <1.故选D .4.D 如图D 9- 3- 1所示,不妨设点P 在y 轴右侧,延长PF 2,F 1M 交于点N.因为M 为∠F 1PF 2的平分线上一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以PM 垂直平分F 1N ,故|PF 1|=|PN |,由中位线定理可得|OM |=12|F 2N |.设点P (x 0,y 0),x 0∈(0,4),由椭圆焦半径公式得,|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a - ex 0,所以|F 2N |=|PF 1|- |PF 2|=2ex 0,故|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ex 0.因为a =4,c =√16- 8=2√2,所以e =√22. 又x 0∈(0,4),所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ex 0∈(0,2√2),故选D .5.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 9- 3- 2所示,图D 9- 3- 2设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2c cos60°,2c sin 60°),即P(2c,√3c).∵点P在过点A且斜率为√36的直线上,∴√3c2c+a=√36,解得ca=14,∴e=14,故选D.6.102√5设F1是椭圆的左焦点.如图 D 9- 3- 3,连接AF1.由椭圆的对称性,结合椭圆的定义知|AF2|+|BF2|=2a=6,所以要使△ABF2的周长最小,必有|AB|=2b=4,所以△ABF2的周长的最小值为2a+2b=10.设A(x A,y A),S△ABF2=S△AF1F2=12×2c×|y A|=√5|y A|≤2√5(当且仅当点A在y轴上时等号能取到),所以△ABF2面积的最大值为2√5.【技巧点拨】以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用椭圆的定义可求其周长.图D 9- 3- 3 图D 9- 3- 47.0如图D 9- 3- 4,由题意知△MF1F2的内切圆的半径为2- √3,由三角形的面积=12×内切圆半径×三角形的周长,得S△MF1F2=12×(2- √3)×(4+2√3)=(2- √3)×(2+√3)=1.又焦点三角形的面积S△MF1F2=b2tan(12∠F1MF2)=tan(12∠F1MF2),所以tan(12∠F1MF2)=1,所以12∠F1MF2=π4,则∠F1MF2=π2,所以cos∠F1MF2=0.8.√15解法一依题意,设点P(m,n)(- 3<m<3,n>0),由题意知F(- 2,0),所以线段FP的中点M的坐标为(- 2+m 2,n 2).因为点M 在圆x 2+y 2=4上,所以(- 2+m 2)2+(n 2)2=4,又点P (m ,n )在椭圆x 29+y 25=1上,所以m 29+n 25=1,所以4m 2-36m - 63=0,所以m =- 32,n =√152,所以k PF =√152- 0- 32- (- 2)=√15.图D 9- 3- 5解法二 如图D 9- 3- 5,连接O 与PF 的中点M ,由题意知|OM |=|OF |=2,设椭圆的右焦点为F 1,连接PF 1,在△PFF 1中,OM 为中位线,所以|PF 1|=4,由椭圆的定义知|PF |+|PF 1|=6,所以|PF |=2.因为M 为PF 的中点,所以|MF |=1.在等腰三角形OMF 中,过O 作OH ⊥MF 于点H ,所以|OH |=√22- (12)2=√152,所以k PF =tan ∠HFO =√15212=√15.图D 9- 3- 61.(1)B 设MN 的中点为D ,椭圆C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,如图D 9- 3- 6,连接MA ,MB ,DF 1,DF 2,因为F 1是MA 的中点,D 是MN 的中点,所以F 1D 是△MAN 的中位线,则|DF 1|=12|AN |,同理可得|DF 2|=12|BN |,所以|AN |+|BN |=2(|DF 1|+|DF 2|).因为D 在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF 1|+|DF 2|=4,所以|AN |+|BN |=8.故选B .(2)(3,√15) 不妨令F 1,F 2分别为椭圆C 的左、右焦点,根据题意可知c =√36- 20=4.因为△MF 1F 2为等腰三角形,所以易知|F 1M |=2c =8,所以|F 2M |=2a - 8=4.设M (x ,y ),则{x 236+y 220=1,|F 1M|2=(x +4)2+y 2=64,x >0,y >0,得{x =3,y =√15,所以M 的坐标为(3,√15).2.B 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,所以|BF 1|=3|F 2B |.又|BF 1|+|F 2B |=2a ,所以|F 2B |=a2,则|AF 2|=a ,|AB |=|BF 1|=32a ,|AF 1|=a.解法一 在△ABF 1中,由余弦定理得cos ∠BAF 1=|AB|2+|AF 1|2- |BF 1|22|AB||AF 1|=(3a 2)2+a 2- (3a 2)22·3a 2·a =13.因为椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以c =1,|F 1F 2|=2.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2- 2|AF 1||AF 2|·cos ∠BAF 1,即4=a 2+a 2- 2a 2·13,解得a 2=3,所以b 2=a 2- c 2=2.于是椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1.故选B .解法二 因为|AF 1|=|AF 2|=a ,所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A (0,- b ),因为AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以B (32,b2),代入椭圆方程得94a 2+b 24b 2=1,解得a 2=3.又c =1,所以b 2=a 2-c 2=2.于是椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1.故选B .3.(1)C 由题意知,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(- a ,0),A 2(a ,0),设P (x 0,y 0),则k PA 1·k PA 2=y 02x 02- a 2>-12.因为x 02a2+y 02b=1,所以a 2-x 02=a 2y 02b,所以b 2a2<12,即a 2- c 2a 2<12,1- e 2<12,所以e 2>12,又0<e <1,故√22<e <1,选C .(2) 4 由题意知椭圆的长半轴长a =2,因为e =ca =12,所以c =1,b 2=a 2- c 2=3.故椭圆方程为x 24+y 23=1.设P 点坐标为(x 0,y 0),- 2≤x 0≤2,- √3≤y 0≤√3.因为F (- 1,0),A (2,0),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(- 1- x 0,- y 0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2- x 0,- y 0),x 024+y 023=1,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02-x 0- 2+y 02=14x 02- x 0+1=14(x 0- 2)2.则当x 0=- 2时,PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值4. 4.(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ,依题意,2b =4,c a =√55,又a 2=b 2+c 2,可得a =√5,b =2,c =1. 所以,椭圆的方程为x 25+y 24=1.(Ⅱ)由题意,设P (x P ,y P )(x P ≠0),M (x M ,0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0),又B (0,2),则直线PB 的方程为y =kx +2,与椭圆方程联立得{y =kx +2,x 25+y 24=1,整理得(4+5k 2)x 2+20kx =0,可得x P =- 20k 4+5k 2,代入y =kx +2得y P =8- 10k 24+5k 2,进而直线OP 的斜率yP x P=4- 5k 2- 10k.在y =kx +2中,令y =0,得x M =- 2k .由题意得N (0,- 1),所以直线MN 的斜率为- k2.由OP ⊥MN ,得4- 5k 2- 10k ·(- k2)=- 1,化简得k 2=245,从而k =±2√305. 所以,直线PB 的斜率为2√305或-2√305.。

9.5 椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.已知集合P={M||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a>0,c>0,且a ,c 为常数. (1)若a c ,则点M 的轨迹为椭圆; (2)若a c ,则点M 的轨迹为线段; (3)若a c ,则点M 不存在. 2.椭圆的标准方程及性质标准方程 x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0) 图形性 质 范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b -b ≤x ≤b ,-a ≤y ≤a 对称性对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0) 顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0) B 1(0,-b ),B 2(0,b ) A 1(0,-a ),A 2(0,a ) B 1(-b ,0),B 2(b ,0) 焦点 F 1(-c ,0),F 2(c ,0) F 1(0,-c ),F 2(0,c )轴长轴A 1A 2的长为2a ;短轴B 1B 2的长为2b离心率e=ca ,且e ∈(0,1) a ,b ,c的关系c 2=a 2-b 2(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.(4)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,则a-c≤|PF|≤a+c.(5)椭圆的焦半径公式设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).(6)椭圆中点弦的斜率公式若M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有k AB·k OM=-b2a2,即k AB=-b2x0a2y0.(7)弦长公式:若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√1+k2|x1-x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=√1+1k2|y1-y2|=√(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2].(8)若P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.(9)椭圆x2a2+y2b2=1的通径长为2b2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)与椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x225+x216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4√3,则椭圆C的方程为()A.x23+x22=1 B.x23+y2=1C.x212+x28=1 D.x212+x24=14.“0<m<2”是“方程x2x +x22-x=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+x29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l 为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x24+x2x2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l 交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32思考具有哪些特征的问题常利用椭圆的定义求解?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x225+x216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x236+x2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x24+x23=1 B.x26+x25=1C.x29+x28=1 D.x236+x232=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x2|x|-1+x22-x=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)与椭圆x2x2+x2x2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2x2+x+x2x2+x=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2 x2+x2x2=1(a>b>0)或x2x2+x2x2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x25+x210=1 B.x210+x215=1C.x215+x210=1 D.x225+x210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√22,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为()A.(0,95] B.(0,√32]C.(0,√53] D.(13,√32](2)设F1,F2是椭圆E:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23(3)已知椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠xx1x2x=sin∠xx2x1x,则该椭圆离心率的取值范围为()A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22) D.(√2-1,1)思考求离心率的方法有哪些?解题心得求离心率常见的三种方法①求出a,c,代入公式e=xx;②由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=√x2x2=√x2-x2x2=√1-x2x2求解;③只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-x+x2x-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A.5B.6C.9D.10(2)设F 是椭圆E :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3x 2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为( )A.34 B.23C.12D.13(3)设椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .考点直线与椭圆的综合问题 (多考向探究)考向1 与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB·k OM=-x2x2,即k AB=-x2x0x2x0比较方便快捷,其中点M的坐标为(x0,y0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=127相切,求△AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x216+x24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|xx||xx|的值.思考求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是什么?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√x2+1|x1-x2|=√x2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1x2|y1-y2|=√1+1x2√(x1+x2)2-4x1x2=√x2+1√x|x|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.1.求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.2.椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l与椭圆x 2x2+x 2x2=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (x 0,y 0),请抽象出弦AB的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-x 2x 0x 2x 0.证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有k AB =x 1-x 2x 1-x 2,{x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1,两式相减,得x 12-x 22x 2+x 12-x 22x 2=0,整理得x 12-x 22x 12-x 22=-x 2x2,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-x 2x 2(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =x 0x 0=2x02x 0=x 1+x 2x 1+x 2,所以k AB ·k OM =-x 2x 2即k AB =-x 2x 0x 2x 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-x 2xx 2x 0也成立,综上,k AB =-x 2x0x 2x 0.二、定理的应用应用一 求椭圆的基本元素 【例1】已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,12),则椭圆的离心率为( )A.√22 B.12C.14D.√32答案A解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1.两式相减,得x 1-x 2x 1-x 2·x 1+x 2x 1+x 2=-x 2x 2,∵k AB =x 1-x 2x 1-x 2=k FP =-x x ,∴x x=2x 2x 2,∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2, ∴x 2x 2=12,∴x x =√22.故选A.评析1.中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二 求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x 216+x 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线方程为 .答案x+2y-4=0解析(方法1)设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4x 12=16,x 22+4x 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(x 12−x 22)=0,所以x 1-x 2x 1-x 2=-x 1+x24(x 1+x 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是x 1+x 2=8(2x 2-x )4x 2+1,又M 为AB 的中点,所以x 1+x 22=4(2x 2-x )4x 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4x 2=16,(4-x )2+4(2-x )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.评析求中点弦所在的直线方程,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三 求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x 264+x 236=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为 .答案(x +4)216+x 29=1(x ≠-8)解析(方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16x 12=576,9x 22+16x 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(x 12−x 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以x 1-x 2x 1-x 2=-9x 16x ,而k PQ =x -0x -(-8),故-9x 16x =xx +8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8).所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x +4)216+x 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=x 12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+x 1236=1,即4(x +4)264+4x 236=1,所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x +4)216+x 29=1(x ≠-8).评析求解椭圆的弦中点的轨迹问题,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四 求参数的范围【例4】已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),A ,B 是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线l 与x轴交于点P (x 0,0),求证:-x 2-x 2x <x 0<x 2-x 2x. 证明设AB 的中点为M (x 1,y 1),由题设可知AB 与x 轴不垂直,∴y 1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB =-x 2x 2·x 1x 1,∴k l =x 2x1x 2x 1.∴直线l 的方程为y-y 1=x 2x1x 2x 1(x-x 1).把(x 0,0)代入得x 1=x 2x 2-x 2x 0.∵|x 1|<a ,∴-a<x 2x 2-x 2x 0<a ,即-x 2-x 2x <x 0<x 2-x 2x. 评析利用中点弦斜率公式求得弦的斜率,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一 巧用平面几何性质【例1】已知椭圆C :x 24+x 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|PA|-|PF|的最小值为 .答案1解析设椭圆C 的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P 在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键. 技巧二 设而不求,整体代换【例2】已知椭圆E :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B两点.若AB 的中点坐标为M (1,-1),则椭圆E 的标准方程为( )A.x 245+x 236=1 B.x 236+x 227=1 C.x 227+x 218=1 D.x 218+x 29=1答案D解析设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12x 2+x 12x 2=1,x 22x 2+x 22x 2=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)x 2+(x 1+x 2)(x 1-x 2)x 2=0,所以k AB =x 1-x 2x 1-x 2=-x 2(x 1+x 2)x 2(x 1+x 2)=x 2x 2. 又k AB =0+13-1=12,所以x 2x 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+x 29=1.解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三 巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.解(1)当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1x (x+2).由{x =x (x +2),x 24+x 2=1,化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16x 21+4x 2.又x A =-2,所以x M =-x A -16x 21+4x 2=2-16x 21+4x 2=2-8x 21+4x 2. 同理,可得x N =2x 2-8x 2+4.当x M =x N 时,2-8x 21+4x2=2x 2-8x 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0).当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8x 21+4x 2,4x 1+4x 2),N2x 2-8x 2+4,-4xx 2+4,所以k MN=4x 1+4x 2+4xx 2+42-8x 21+4x 2-2x 2-8x 2+4=5x 4-4x 2,所以直线MN 的方程为y-4x1+4x 2=5x4-4x 2x-2-8x 21+4x 2.令y=0,得x=-65. 所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四 巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.解(1)由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√x 2-x 2.由已知得e2=x 2x 2=x 2-x 2x 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32, 所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得|x |√1+x 2=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+x 2=1,x =xx +x 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0. 由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8xx4x 2+1,x 1x 2=4x 2-44x 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8xx 4x 2+1)2-4×4x 2-44x 2+1=√16(4x 2-x 2+1)(4x 2+1)2=√48x 2(4x 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|x |4x 2+1.所以|MN|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2·4√3|x |4x 2+1=4√3x 2(x 2+1)4x 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3x 2(x 2+1)4x 2+1.令t=4k 2+1,则t>1,k 2=x -14,所以S=2√3×x -14(x -14+1)x2=√32√(x -1)(x +3)x 2=√32√x 2+2x -3x 2=√32√-3x2+2x +1=32√-(1x -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.9.5 椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)> (2)= (3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A由题意知,OM是△PF1F2的中位线,所以|OM|=12|PF2|,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.A因为△AF1B的周长为4√3,且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=4√3,则a=√3,又因为xx =√33,解得c=1,所以b=√x2-x2=√2,故椭圆C的方程为x23+x22=1.4.必要不充分方程x2x +x22-x=1表示椭圆,即{x>0,2-x>0,x≠2-x,解得0<m<2,且m≠1,所以“0<m<2”是“方程x2x +x22-x=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x24+y2=1由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=xx=√32,所以a=2,所以b=√x2-x2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.关键能力·学案突破例1(1)A(2)A(1)(1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x225+x29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.(2)因为x24+x2x2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x轴上.因为过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|,当AB垂直于x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=2x2x,又a=2,所以5=8-b2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=xx =√1-x2x2=12.对点训练1(1)D(2)35(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min=2b=8,∴△PFQ的周长的最小值为10+8=18.故选D.(2)椭圆x 236+x 2100=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又x △xx 1x 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35. 例2(1)C (2)x 218+x 29=1或x 218+x 29=1 (3)m<-1或1<m<32 (1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (x +x 02,x 02),由B ,F ,N 三点共线,得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +x 02-1,x 02),即-(x 0+1)x 02+(x +x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+x 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+x3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+x 28=1.故选C.(2)由题意知xx =√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-x 2,x 02),根据条件可得x 02=x 0-x 2+4,k PF =x 0x0+x=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+x 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为x 218+x 29=1.(3)由x 2|x |-1+x 22-x =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32.对点训练2(1)C (2)x 24+x 22=1(3)x28+x24=1(1)椭圆3x2+8y2=24化为x28+x23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x2x2+x2x2=1(a>b>0),可得9x2+4x2=1,又a2-b2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x215+x210=1.(2)由题意可设椭圆C1:x2x2+x22=1,C2:x22+x2x2=1(a>√2,0<b<√2),由x2-2x2=2-x22,得ab=2,由2√x2-2·√2-x2=2√2,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C1的标准方程为x24+x22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以x x =√22,解得a=2√2,c=2,则b2=a2-c2=4,所以椭圆E的方程为x28+x24=1.例3(1)C(2)A(3)D(1)设椭圆的左焦点为F',P为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,则|OA|=|OB|,又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF',又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3,∵点P(0,b)到直线l距离d=|-3x|5≥65,∴b≥2,∴√x2-x2=√9-x2≥2,即0<c≤√5,∴e=xx ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,△PDF2是直角三角形,所以|PD|2+|DF2|2=|PF2|2,即(2x+x3)2+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去).故选A.(3)由正弦定理,可得|xx 1|sin∠xx 2x 1=|xx 2|sin∠xx 1x 2,结合题意可得|xx 1|x=|xx 2|x,所以|xx 1|x=|xx 2|x=|xx 1|+|xx 2|x +x .根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2xxx +x ,|MF 2|=2x 2x +x ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2x 2x +x <a+c , 整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D. 对点训练3(1)C (2)B (3)12,1 (1)由椭圆x 211-x +x 2x -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√x -3-11+x =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3x 2与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3x 2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=xxxx=3x2-x x +x=12,解得e=xx =23.故选B.(3)∵|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,∴|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|(a-c ≤|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ). ∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-(|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2. ∵a-c ≤|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈[b 2,a 2].∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2. 设P (x ,y ),则xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+x 2x 2(a 2-x 2)-c 2=1-x 2x 2x 2+b 2-c 2,∵x ∈[-a ,a ],∴x 2∈[0,a 2],xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=x x ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=xx =√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{x =x +x ,x 23+x 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-3x 2,x 1x 2=3x 2-34,所以|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-x 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3x 12=3,x 22+3x 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =x 1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{x =x 1(x +2),x 23+x 2=1消去y ,得(1+3x 12)x 2+12x 12x+12x 12-3=0,则x 1+x 3=-12x 121+3x 12,即x 3=-12x 121+3x 12-x 1.又k 1=x 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=x14x 1+7, 所以点C (-7x 1-124x 1+7,x14x 1+7). 同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,x 24x 2+7). 故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,x 3-14),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,x 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(x 4-14)-x 4+74(x 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得x 1-x2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2x +2x2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+x 23=1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m.切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{x =xx +x ,x 24+x 23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8xx 4x 2+3,x 1x 2=4x 2-124x 2+3.又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切,所以OH=|x |√x 2+1=√127.所以m 2=12(1+x 2)7.又|AB|=√1+x 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+x 2·√64x 2x 2-4(4x 2-12)(4x 2+3)(4x 2+3)2=√1+x 2·√48(3+4x 2-x 2)(4x 2+3)2=4√3√7√(1+x 2)(9+16x 2)(4x 2+3)2=4√3√7√1+x216x 4+24x 2+9.①若k ≠0时,|AB|=4√3√7√1+116x 2+24+9x 2. 因为16k 2+24+9x 2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立.所以|AB|≤4√3√7×√1+148=4√3√7×74√3=√7,易知|AB|>4√3√7,即4√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=4√3√7.所以4√3√7≤|AB|≤√7.又|OH|=2√3√7,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=2√32√7|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+x 12=1,x 222+x 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,x 2-x1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x02x 0.①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2x ,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x 02x 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B 在椭圆上,则x 1216+x 124=1,x 2216+x 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+x 12-x 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得x 1-x 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A .例6解(1)由题意可得{4x 2+1x 2=1,x =2x ,解得{x 2=8,x 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+x 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+x 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32x 24x 2+1,x 1x 2=64x 2-84x 2+1.直线MA 的方程为y+1=x 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×x 1+1x 1+2-1=-2×x (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2x +1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2x +1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|xx ||xx |=|xx x x|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8]=264x 2-84x 2+1+3×(-32x 24x 2+1)+8=2×(64x 2-8)+3×(-32x 2)+8(4x 2+1)4x 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|xx ||xx |=|xx x x|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2. (2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+x 2=1,x =x (x -x ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4x 2x2x 2+1,x 1x 2=2x 2x 2-22x 2+1,|AB|=√1+x 2|x 1-x 2|=√1+x 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,同理可得|CD|=√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1=√1+x 2√16x 2-8x 2x 2+82x 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0. (3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+x 12=1,x 222+x 22=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0,即a+2kb=0, 同理可得CD的中点Q(c,d),满足c+2kd=0,故k PQ=x-xx-x =x-x-2xx+2xx=-12x≠-1x,故四边形ABCD不能为矩形.。

第5讲 椭 圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M 与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的轨迹为 椭圆F 1、F 2为椭圆的焦点|F 1F 2|为椭圆的焦距|MF 1|＋|MF 2|＝2a 2a ＞|F 1F 2|标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：(0，0)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca，e ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]1．(选修2­1P40例1改编)若F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 2100＋y 29＝1 C.y 225＋x 216＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 解析：选A.设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.2．(选修2­1P49A 组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－12C ．2－ 2 D.2－1解析：选D.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.[易错纠偏](1)忽视椭圆定义中的限制条件； (2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论； (3)忽视点P 坐标的限制条件．1．平面内一点M 到两定点F 1(0，－9)，F 2(0，9)的距离之和等于18，则点M 的轨迹是________．解析：由题意知|MF 1|＋|MF 2|＝18，但|F 1F 2|＝18，即|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是一条线段．答案：线段F 1F 22．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，所以m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，所以m ＝8.所以m ＝4或8.答案：4或83．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1椭圆的定义及应用(1)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．(2)(2020·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】(1)如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝22－⎝⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF＝tan∠HFO＝15212＝15.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)15 (2)3(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .1．(2020·温州模拟)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2解析：选A.因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6，又因为|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又易知|F 1F 2|＝25，显然|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，故△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8<16，所以动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝48，又焦点C 1、C 2在x 轴上，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：x 264＋y 248＝1椭圆的标准方程(1)(2020·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的标准方程为________．【解析】 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)不妨设点A 在第一象限，如图所示．因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝b 2.因为|AF 1|＝3|BF 1|， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2.将B 点代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，所以259c 2＋b 29＝1.又因为b 2＋c 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23.故所求的方程为x 2＋y 223＝1. 【答案】 (1)A (2)x 2＋y 223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，则椭圆C 2的方程为________．解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝13．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆的方程为________________．解析：法一：(待定系数法)因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m2＋y 2n 2＝1(m >n >0)， 则1－⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝14.从而⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6.所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且kh ＝32，解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：(椭圆系法)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t >0)，将点 (2，－3)代入，得t ＝224＋（－3）23＝2.故所求方程为x 28＋y26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x2254＝1.答案：y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 26＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要命题角度有：(1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)； (4)椭圆性质的应用．角度一 由椭圆的方程研究其性质已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)【解析】 因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)． 【答案】 D角度二 求椭圆离心率的值(范围)(1)(2020·丽水模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．【解析】 (1)因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ， 解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. (2)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ， 又O 为线段F 1F 的中点， 所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ， 故e ＝c a ＝22. 【答案】 (1)C (2)22角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D角度四 椭圆性质的应用(2020·嘉兴质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．【解析】 设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.【答案】 4(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca ＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．1．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)解析：选B.因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A.以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A.3．椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．解析：设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53[基础题组练]1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63解析：选C.PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．(2020·杭州地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.34 B.23 C.45D.54解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝54.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 解析：选A.因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)的中心都在原点，且它们有四个交点，所以圆的半径⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c ＞bb 2＋c ＜a，由b2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2＜5c 2， 所以e ＝c a ＞55； 由b2＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ， 再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2， 所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ， 所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9a 2＞25c 2，所以c 2a 2＜925，所以e ＜35.综上所述，55＜e ＜35. 7．(2020·义乌模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2020·义乌模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．解析：圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.答案：139．(2020·瑞安四校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2310．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．解析：设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4c c ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[综合题组练]1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.2．设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接OQ ，F 1P 如图所示， 由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)， 解得b ＝23a .则c ＝53a ，故椭圆的离心率为53. 答案：535．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程是x 220＋y 210＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

第5讲　椭　圆 分层A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )． A. B. C. D．4 解析　a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝. 答案　A 2．(2013·东北四校模拟)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )． A. B．(1，＋∞) C．(1,2) D. 解析　由题意可得，2k－1>2－k>0，即解得1<kb>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )． A. B. C. D.－2 解析　因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c. 又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. 所以离心率e＝＝，故选B. 答案　B 4．(2013·嘉兴测试)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e，则实数m的取值范围是( )． A. B.C.∪D.∪ 解析　椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时， e2＝1－，解得m>；当0<m<1时，e2＝＝1－m，解得0<m0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________． 解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，m2－n2＝4，e＝＝，m＝4，代入得，n2＝12，椭圆方程为＋＝1. 答案　＋＝1 三、解答题(共25分) 7．(12分)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1PF2，|PF1|·|PF2|＝2.当a＝2b时，求椭圆方程． 解　a＝2b，a2＝b2＋c2，c2＝3b2，又PF1⊥PF2， |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，从而得b2＝1，a2＝4，椭圆方程为＋y2＝1. 8．(13分)(2013·广东花都模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若椭圆的离心率等于. (1)求直线AO的方程(O为坐标原点)； (2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程． 解　(1)由·＝0，知AF2F1F2， 椭圆的离心率等于，c＝a，可得b2＝a2. 设椭圆方程为x2＋2y2＝a2. 设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x. (2)连接AF1，BF1，AF2，BF2， 由椭圆的对称性可知，SABF2＝SABF1＝SAF1F2， ·2c·a＝4. 又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8. 故椭圆方程为＋＝1. 分层B级　创新能力提升 1．(2012·温州测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点． ·＝0且·＝ 2，则该椭圆的离心率是( )． A. B. C．3－ D．3＋ 解析　因为·＝0，且·＝· (－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以| |＝c，且AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在AOF′中，由余弦定理可得AF′＝ c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝ c＋ c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝. 答案　A2.(2013·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且＝2，则椭圆C的离心率等于( )． A. B. C. D. 解析　记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE. |EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝， ＝2，＝＝，PF′∥QE， ＝，且PF′PF. 又|QE|＝(圆的半径长)，|PF′|＝b. 据椭圆的定义知：|PF′|＋|PF|＝2a，|PF|＝2a－b. PF′⊥PF，|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2， b2＋(2a－b)2＝(2c)2，2(a2－c2)＋b2＝2ab， 3b2＝2ab，b＝，c＝＝a，＝， 椭圆的离心率为. 答案　A 3．(2013·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________． 解析　由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，d＝3，a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，e＝＝. 答案 4.如图，OFB＝，ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________． 解析　设标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，|BF|＝a，OFB＝，＝，a＝2b. S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b ＝(2b－b)b＝2－， b2＝2，b＝，a＝2，椭圆的方程为＋＝1. 答案　＋＝1 5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2. (1)求椭圆C的焦距； (2)如果＝2，求椭圆C的方程． 解　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2. 所以椭圆C的焦距为4. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y10，直线l的方程为y＝(x－2)． 由消去x， 整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为＋＝1. 6．(2012·南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上． (1)解　由题意知，b＝＝. 因为离心率e＝＝，所以＝ ＝. 所以a＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)， 则直线PM的方程为y＝x＋1， 直线QN的方程为y＝x＋2. 法一　联立解得x＝，y＝， 即T.由＋＝1，可得x＝8－4y. 因为2＋2＝ ＝＝＝＝1， 所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 法二　设T(x，y)，联立解得x0＝，y0＝. 因为＋＝1，所以2＋2＝1. 整理得＋＝(2y－3)2， 所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1. 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.。

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-4-第4讲-直线与圆、圆与圆的位置关系work Information Technology Company.2020YEAR第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[教材衍化]1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案：[－3，1]2．(必修2P133A 组T9)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 答案：2 2 [易错纠偏](1)忽视分两圆内切与外切两种情形； (2)忽视切线斜率k 不存在的情形； (3)求弦所在直线的方程时遗漏一解．1．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝________． 解析：两圆的圆心距d ＝（－4）2＋a 2，由两圆相切(外切或内切)，得（－4）2＋a 2＝5＋1或（－4）2＋a 2＝5－1，解得a ＝±25或a ＝0. 答案：±25或02．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为________． 解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝03．若直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，则圆心到直线的距离d ＝|6k －3|2k 2＋1，则252－⎝⎛⎭⎪⎫|6k －3|2k 2＋1＝8，解得k ＝－34，所以直线方程为3x ＋4y ＋15＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. 答案：x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0直线与圆的位置关系(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)． 【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，则直线与圆O 相切．[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2020·衢州模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：(1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数． 角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 求弦长及切线长(1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且c sin C＝3a sin A＋3b sin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()A．4 6 B．2 6C．6 D．5(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．【解析】(1)因为asin A＝bsin B＝csin C，故由c sin C＝3a sin A＋3b sin B可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数(1)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()A．3 B.21 2C．2 2 D．2(2)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．【解析】(1)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形P ACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形P ACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|k2＋1＝12＋22＝5，即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.(2)法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.【答案】 (1)D (2)－25(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3，3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B.如图，设圆心C (2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |≤4－3＝1， 即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33.2．(2020·温州中学高三期末)若经过点P (－3，0)的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0相切，则圆M 的圆心坐标是________；半径为________；切线在y 轴上的截距是________．解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R ＝2，设切线斜率为k ，过P 的切线方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－2k －1＋3k |1＋k 2＝|k －1|1＋k 2＝2，平方得k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2＝0，解得k ＝－1，此时切线方程为y ＝－x －3，即在y 轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2 －33．(2020·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线n ：x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：由题意得m －m (m －1)＝0⇒m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，而动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：(x －1)2＋y 2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为29－（1＋1）＝27.答案：0或2 27圆与圆的位置关系(1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0，0)，(－a ，a )． 因为圆M 截直线所得线段长度为22， 所以a 2＋（－a ）2＝2 2. 又a >0，所以a ＝2.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1， 所以|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2. 因为r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3，所以两圆相交．(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选C.【答案】 (1)B (2)C(变条件)若本例(2)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得 （a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1. 即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2；则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．(2020·嘉兴模拟)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， 所以AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2 ×5×255＝4. 答案：4核心素养系列19 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．【解析】 法一：如图． 由题意易得∠BAD ＝45°.设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， 所以k AB ＝－tan ∠ABO ＝－3. 所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，得x A ＝3.法二：设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －a ＋52＋(y －a )2＝（a －5）24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －a ＋52＋（y －a ）2＝（a －5）24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，所以AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1，又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.法三：因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 【答案】 3本题法一，把AB →·CD →＝0的数量关系，转化为CD ⊥AB ，进而推出∠BAD ＝45°，结合图形得出直线AB 的斜率，体现核心素养中的直观想象．[基础题组练]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.(直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22<1＝r ，所以直线与圆相交． 2．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．无解解析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点O ，半径r ＝|a |. 将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0. 原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6a －a ， 根据勾股定理可得a 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫6a －a ， 所以a 2＝4，所以a ＝±2.故选A.4．(2020·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫－1，－34 C.⎝⎛⎦⎤34，1D ．(－∞，－1]解析：选B.曲线y ＝ 4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x 轴上方的半圆，如图所示．直线y ＝kx ＋4＋2k 即y ＝k (x ＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k 的直线， 结合图形可得k AB ＝4－4＝－1， 因为|4＋2k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34，即k AT ＝－34， 所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，－34. 5．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 由题意得⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－D 2－3×⎝⎛⎭⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 因为D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10， 所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫32，322B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎫332，32解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝⎛⎭⎫332，32.7．(2020·浙江高中学科基础测试)由直线3x －4y ＋5＝0上的一动点P 向圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离d ＝|3×2－4×（－1）＋5|32＋（－4）2＝3，r ＝1，所以切线长为2 2.答案：2 28．(2020·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2 P A →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝________．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2.答案：±29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠P AC，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 210．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 511．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－02－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为34. 12．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.[综合题组练]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝⎛⎭⎫9a 2＋9b 2＝19⎝⎛⎭⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a 2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 3．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为______________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：由题设将圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为(y ＋1)2＋(x －1)2－6(y ＋1)－2(x －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，也即(x －2)2＋(y －2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)到该直线的距离d ＝12，半径r ＝10，故弦长L ＝210－12＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10384．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －94＋⎝⎛⎭⎫y ＋12＝8516. 5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a ＞0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈N *)．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为正整数，故m ＝1. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25. (2)把直线ax －y ＋5＝0，即y ＝ax ＋5 代入圆的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0，即12a 2－5a ＞0，由于a ＞0，解得a ＞512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (3)设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为－1a，l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上， 所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34， 使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。

第5讲 椭 圆[基础题组练]1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63解析：选C.PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．(2020·杭州地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.34 B.23 C.45D.54解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得 sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝54.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 解析：选A.因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)的中心都在原点，且它们有四个交点，所以圆的半径⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c ＞bb 2＋c ＜a，由b2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2＜5c 2， 所以e ＝c a ＞55； 由b2＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ， 再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2， 所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ， 所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9a 2＞25c 2，所以c 2a 2＜925，所以e ＜35.综上所述，55＜e ＜35. 7．(2020·义乌模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2020·义乌模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．解析：圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.答案：139．(2020·瑞安四校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2310．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．解析：设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[综合题组练]1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.2．设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接OQ ，F 1P 如图所示，由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)， 解得b ＝23a .则c ＝53a ，故椭圆的离心率为53. 答案：535．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程是x 220＋y 210＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

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圆教师用书1．椭圆的概念平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝｛M｜|MF1｜＋|MF2｜＝2a}，｜F1F2｜＝2c，其中a〉0，c〉0,且a，c为常数：(1)若a〉c，则集合P为椭圆；（2)若a＝c，则集合P为线段；（3)若a〈c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a>b〉0)错误!＋错误!＝1 (a〉b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0），A2(a，0)B1(0，－b),B2(0，b)A1(0,－a）,A2(0，a)B1(－b，0），B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2｜＝2c离心率e＝ca∈(0，1）a，b,c的关系a2＝b2＋c2【知识拓展】点P(x0，y0）和椭圆的关系(1）点P(x0，y0)在椭圆内⇔错误!＋错误!<1。

（2）点P(x0，y0)在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1。

（3）点P（x0，y0)在椭圆外⇔错误!＋错误!〉1.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ×)(2）椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c（其中a为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距)．（√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ×)(4）方程mx2＋ny2＝1（m>0,n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．( √)(5)y2a2＋错误!＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( ×)（6）x2a2＋y2b2＝1(a>b>0）与错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的焦距相等．( √)1．(教材改编）椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为4,则m等于( ）A．4 B．8 C．4或8 D．12答案C解析由题意知错误!或错误!解得m＝4或m＝8。

第五节椭圆[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F 1F2|)的点的集合叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1. (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1. (3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1. 2．焦点三角形如图，椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(4)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线的斜率)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 216＝1 B.x 2100＋y 29＝1C.y 225＋x 216＝1D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1A [设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.]2．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22 B ．2－12 C ．2－ 2D ．2－1D [法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a ＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.法二：因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c .因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝12＋1＝2－1.故选D.]3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是______．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________． x 24＋y 23＝1 [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]第1课时 椭圆及其性质考点1 椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B．7 4C．72D．752(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.∴|AF1|＝72，∴S△AF1F2＝12×72×22×22＝72.]本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．[教师备选例题]设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________．－5 [由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a ＞|F 1F 2|.1.在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)A [由|AC |＋|BC |＝18－8＝10＞8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．]2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x 或y 进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.]2．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．y 220＋x 24＝1 [法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知， 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1， 则5a 2＋3b 2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.]3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．x 2＋32y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b 49b 2＝1.又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23. 故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b 2a .考点3 椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．(1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．(1)A (2)x 29＋y 28＝1 [(1)因为椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ， 解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m＝8.(2)椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13×2a ＝2，得c ＝1， 因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8， 所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.]求离心率的值(或范围)求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.(2)因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12. 所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.]本例(2)在求解时运用了隐含条件“a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．1.(2019·昌平二模)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A.125 B.340 C.18D.35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1 738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2 138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988， ∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150， 故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1.]与椭圆性质有关的最值或范围问题 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2019·烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时， a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时， a ＝m ，b ＝3，tan α＝m3≥tan 60°＝3， ∴m ≥9.综上，m 的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中， ∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3， |PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33.法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中 ， 令|PF 2|＝1， ∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.]2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 则当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )，而|PF 2|的最小值为a －c ， 所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0， 所以5e 2＋2e －3≥0.①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2， 所以2e 2<1.②联立①②，得35≤e <22.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以12×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2b2＋c2≥22bc＝22(当且仅当b＝c＝1时取等号)．即长轴长2a的最小值为2 2.]。

第五节椭圆[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有k AB·k OM＝－b2a2，即k AB＝－b2x0 a2y0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线的斜率)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A.x 225＋y 216＝1 B.x 2100＋y 29＝1C.y 225＋x 216＝1D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1A [设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.]2．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22 B ．2－12C ．2－ 2D ．2－1D [法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a ＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.法二：因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c .因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝12＋1＝2－1.故选D.]3．若方程x25－k＋y2k －3＝1表示椭圆，则k的取值范围是______．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．x24＋y23＝1[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74C ．72D ．752(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |， ∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |＞|FO |，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆，故选A. (2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. ∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.]本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF |＋|PO |”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF 1|，从而求得△AF 1F 2的面积．[教师备选例题]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________．－5 [由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a ＞|F 1F 2|.1.在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )A ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)A [由|AC |＋|BC |＝18－8＝10＞8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．]2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x 或y 进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.]2．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．y 220＋x 24＝1 [法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1， 则5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.]3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．x 2＋32y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b 49b 2＝1.又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b 2a .考点3 椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．(1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．(1)A (2)x 29＋y 28＝1 [(1)因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎨⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(2)椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13×2a ＝2，得c ＝1， 因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8， 所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.]求离心率的值(或范围)求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.(2)因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12. 所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.]本例(2)在求解时运用了隐含条件“a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．1.(2019·昌平二模)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A.125B.340C.18D.35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1 738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2 138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988， ∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150， 故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1.]与椭圆性质有关的最值或范围问题 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2019·烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时， a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时， a ＝m ，b ＝3，tan α＝m3≥tan 60°＝3， ∴m ≥9.综上，m 的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中， ∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3， |PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33.法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中 ， 令|PF 2|＝1， ∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.]2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 则当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1.②联立①②，得35≤e<22.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B． 2C．2D．2 2D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以12×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2b2＋c2≥22bc＝22(当且仅当b＝c＝1时取等号)．即长轴长2a 的最小值为2 2.]。