2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知23a -=，0.5log 2b =，2log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】∵()230,1a -=∈，0.5log 20b =<,2log 31c =>, ∴c a b >>， 故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】B【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，再由双曲线离心率为2，得到c ＝2a ，由定义知b =，代入即得此双曲线的渐近线方程． 【详解】解：∵双曲线C 方程为：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax 又∵双曲线离心率为2，∴c ＝2a ，可得b ==因此，双曲线的渐近线方程为y ＝故选：B ． 【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4．在ABC V 中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】D【解析】利用正弦定理即可得到结果. 【详解】解：∵b ＝3，c =C 4π=，∴由正弦定理b c sinB sinC=，可得34sinB sin =可得：sin B =∵c ＜b ，可得B 3π=或23π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．120【答案】C【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可. 【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =； （2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C 【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 6．已知函数()xxf x e e-=-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可． 【详解】函数()xxf x e e-=-的定义域为R ，()() xxx xf x eee ef x -----=-=-=，即()()f x f x -=， ∴()f x 是偶函数，当x 0>时，()xxf x e e -=-,y ?x e =为增函数，y x e -=为减函数， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题． 7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状， 结合图形，求出该三棱锥的体积． 【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P ﹣ABC ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=n ， 故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8．设函数3()3()f x x x a a R =-+∈，则“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()f x 有且只有一个零点的充要条件为2a >,或2a <-，从而作出判断. 【详解】f （x ）＝33x x a -+，f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣1， 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，∴()()33f x x x a a R =-+∈在()1，-∞-，()1∞+，上单调递增，在()1,1-上单调递减，且()12?f a -=+,() 12?f a =-+, 若()f x 有且只有一个零点，则2a >,或2a <-∴“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ） A． B．C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=,444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：222x y +=,∴)Pθθ，∴()22DB =--u u u v，，)2AP θθ=-u u u v ，∴4444DB AP sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8， 故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于y 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④C ．③D ．③④【答案】C【解析】以﹣x 代x ，以﹣x 代x ，﹣y 代y ，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】以﹣x 代x ，得到()()()123x x x xy +++=，方程改变，不关于y 轴对称；以﹣x 代x ，﹣y 代y ，得到()()()123x x x xy +++=-，方程改变，不关于原点对称；当x 0,y 0<<时，()()()1230,?0,x x x xy ---显然方程不成立， ∴该曲线不经过第三象限；令x 1=-,易得12y =，即()1,12-适合题意，同理可得()()()1,02,03,0，，适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的， 故选：C 【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．二、填空题11．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】24【解析】先求出二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x---+==，再令420r -=，求出2r =代入运算即可得解. 【详解】解：由二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，令420r -=，解得2r =，即展开式中的常数项为422443242421C -⨯=⨯=⨯， 故答案为24. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =_______；数列{}n a 的前n 项和的最小值为_____． 【答案】6- 20-【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a 2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】解：等差数列{a n }的公差d 为2， 若a 1，a 3，a 4成等比数列， 可得a 32＝a 1a 4，即有（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ）， 化为a 1d ＝﹣4d 2，解得a 1＝﹣8，a 2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{a n }的前n 项和S n ＝na 112+n （n ﹣1）d ＝﹣8n +n （n ﹣1）＝n 2﹣9n＝（n 92-）2814-， 当n ＝4或5时，S n 取得最小值﹣20． 故答案为：﹣6，﹣20． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【答案】28x y =或2y x =【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x = 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．【详解】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩, ∴0.7p =故答案为：0.7 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()43f x ≥，则m 的取值范围为________．【答案】10[,)3π+∞ 【解析】由f （x + π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当[)0,x Îp 时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-． 当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-． 当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-． 作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥，故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：112(2)Tq l d dλλ∆=+，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度）， T ∆为室内外温度差．q 值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型． 【答案】B【解析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的q 值，根据q 值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A 型双层玻璃窗户：3142410320.52492.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， B 型双层玻璃窗户：3142410420.52652.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， C 型双层玻璃窗户：3142410220.6233.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， D 型双层玻璃窗户：3142410320.6249.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，根据1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且q 值越小，保温效果越好． 故答案为：B 【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题17．已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间； （3）原问题等价于()f x 的最大值小于零. 【详解】（1）因为()22cos f x x x m =++cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==． （2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人．（2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===， ()1223356110C C P X C ===， ()2123353210C C P X C ===． 所以X 的分布列为所以X 的期望163012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2PF FA =，E 为CD 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求异面直线AB 与DF 所成角的余弦值；（3）判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（25；（3）相交，理由见解析． 【解析】（1）根据题意先证明BD ⊥平面PAC ，即可得到答案；（2）以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以过点O 且与AP 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出AB u u u v 、DF u u u v的坐标，利用公式即可得到结果；（3）求出平面PBC 的一个法向量与向量EF u u u v ，根据n EF ⋅u u u vr 与零的关系，作出判断.【详解】 （1）连结AC ．因为底面ABCD 是菱形 ，所以BD AC ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. 又因为PA AC A ⋂=， 所以BD ⊥平面PAC .又因为PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（2）设AC，BD交于点O.因为底面ABCD是菱形，所以AC BD⊥，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA AC⊥，PA BD⊥.如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,1,0A-，)3,0,0B，()0,1,0C，()3,0,0D-，31,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,1,3P-，()0,1,1F-.则)3,1,0AB=u u u v，)3,1,1DF=-u u u v，设异面直线AB与DF所成角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，||5cos cos,AB DFAB DFAB DFθ⋅=〈〉==⋅u u u u v u u u u vu u u v u u u vu u u v u u u v，所以AB与DF所成角的余弦值为55.（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，33,12EF⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，()3,1,0BC=-u u u v，()3,1,3BP=--u u u v，设平面PBC的一个法向量为()n,,x y z=r，则0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 即0,30,y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =)n =r ．则)3n ,1202EF ⎫⋅=-⋅≠⎪⎪⎝⎭u u u v r ，所以直线EF 与平面PBC 相交． 【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标； （2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN u u u v u u u v，是平行的证明D ，B ，N 三点共线． 【详解】（1） 因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-， 所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =． 显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3． 所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()6,3DN =-u u u v ．所以2DN DB =u u u v u u u v，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120kxk x k +-+-=． 且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭． 所以11116022412MFy x y k x -+==-+． 直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 则()222,DB x y =+u u u v ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭u u u v ．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k kk k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB u u u v 与DN u u u v共线， 所以D ，B ，N 三点共线． 综上所述，D ，B ，N 三点共线． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a R ∈． （1）若0a =.（ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)π内的极大值的个数．（2）若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）2ln02x y ππππ--+=；（ⅱ）1；（2）(,1]-∞-．【解析】（1）（ⅰ）求出导函数，得到2f π⎛⎫⎪⎝⎭'与2f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间()1,π内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两类情况：1a ≤-与1a >-，结合函数的单调性与极值即可得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为()sin ln f x x x =， 所以()sin cos ln x f x x x x =+'，22f ππ⎛⎫= ⎪⎭'⎝． 又因为ln 22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2ln 02x y ππππ--+=．（ⅱ）当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值． 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设()()g x f x ='，则()22cos sin sin ln 0x x g x x x x x =--'+<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 又因为202f ππ⎛⎫=⎪⎭'>⎝， ()ln 0f ππ'=-<， 所以在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在()01,x 内单调递增，在()0,x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在()1,π内的极大值的个数为1． （2） 由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减； 下面设1a >-． 对于,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，2ln ln ln 2x e π<<=，且cos 0x <， 所以cos ln 2cos x x x >．所以当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin sin 2cos 2cos x a x a x x f x x x x +++>+'=． 设()sin 2cos h x x x x a =++，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos 2cos 2sin 3cos 2sin 0h x x x x x x x x =+-=-<'． 所以()h x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 102h a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()2h a ππ=-+． 当20a π-+≥时，即2a π≥时，()0h π≥，对,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >， 所以()0f x '>，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意． 当20a π-+<时，即12a π-<<时，02h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h π<， 所以1,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()10h x =， 因为()h x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 所以对1,2x x π⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >，所以()0f x '>．所以()f x 在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意．所以当1a >-时，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调递减． 综上可得1a ≤-，故a 的取值范围为(],1-∞-． 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．22．设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下： 11a =，1,,2,.nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（1）若5m =，写出8a ，9a ，10a ；（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数； （3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由．【答案】（1）86a =，93a =，108a =；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析． 【解析】（1）5m =时，结合条件，注意求得8a ，9a ，10a ； （2）根据1n n a a +-与零的关系，判断数列{}n a 单调递增的充要条件； （3）存在1n >满足1n a =. 【详解】（1）86a =，93a =，108a =． （2）先证“充分性”．当m 为偶数时，若n a 为奇数，则1n a +为奇数．因为11a =为奇数，所以归纳可得，对*n N ∀∈，n a 均为奇数，则1n n a a m +=+， 所以10n n a a m +-=>， 所以数列{}n a 单调递增． 再证“必要性”．假设存在*k N ∈使得k a 为偶数，则12kk k a a a +=<，与数列{}n a 单调递增矛盾， 因此数列{}n a 中的所有项都是奇数．此时1n n a a m +=+，即1n n m a a +=-，所以m 为偶数． （3）存在1n >满足1n a =，理由如下：因为11a =，m 为奇数，所以212a m m =+≤且2a 为偶数，312ma m +=≤． 假设k a 为奇数时， k a m ≤；k a 为偶数时，2k a m ≤． 当k a 为奇数时，12k k a a m m +=+≤，且1k a +为偶数； 当k a 为偶数时，12kk a a m +=≤． 所以若1k a +为奇数，则1k a m +≤；若1k a +为偶数，则12k a m +≤． 因此对*n N ∀∈都有2n a m ≤．所以正整数数列{}n a 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合(){,|,}r s A r s a a r s ==<，设集合()**{|,}B r N r s A N =∈∈⊆．因为A ≠∅，所以B ≠∅．令1r 是B 中的最小元素，下面证11r =． 设11r >且1111()r s a a r s =<．当1r a m ≤时，1112r r a a -=，1112s s a a -=，所以1111r s a a --=； 当1r a m >时，111r r a a m -=-，111s s a a m -=-，所以1111r s a a --=． 所以若11r >，则11r B -∈且111r r -<，与1r 是B 中的最小元素矛盾．所以11r =，且存在*11s N <∈满足111s a a ==，即存在1n >满足1n a =．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|11x x -≤< C ．{}|12x x ≤< D ．{}|11x x -<≤【答案】D【解析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【答案】B【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ） A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =-【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立， 所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sinsin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =33R = 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】12 454【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】。
