华南理工大学2011-2012学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分) 1.求极限22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：lim e 0k t t t -→+∞= ２＇22()2()lim (e lim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） ３＇２．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解：()()226023220xdx z dz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ３＇ 6,1326dz x dy x xydx z dx y yz+==-++ ２＇３．设,u f 可微，证明： ()()grad grad f u f u u '= 证明：()()()()()()(){}()()(){},,,,x y z xyzf u f u f u f u f u u f u u f u u '''''''''==⋅⋅⋅grad ３＇(){}(),,x y z f u u u u f u u '''''==grad ２＇４．求曲线23x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩的切线，使它与平面21z y z ++=平行.解：设切点为()23000,,M t t t -，则切向量为{}2001,2,3T t t =- . １＇_____________ ________学号学院 专业 座位号( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………{}{}2200001,2,31,2,11430T n t t t t ⋅=-⋅=-+=解得01t =或013t =，相应切点为()1,1,1-或111,,3927⎛⎫- ⎪⎝⎭， ２＇ 因此，所求切线为1111:123x y z L -+-==-， 21113927:321x y z L -+-==- ２＇二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．设()()()()()22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试研究该函数在()0,0点的可微性. 解：()()()()0,00,00,0lim0,0,000x y x f x f f f x →-===- ４＇又()()()()2222022(,)()limlim0(()())x x y y f x y x y x y x y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆-∆=≠∆+∆∆+∆∆+∆ ５＇函数(),f x y 在点()0,0处是不可微的 １＇６．设函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，满足等式2220x yy x y xy y xx f f f f f f f -+=，且0y f ≠，(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =确定的函数.求 22yx∂∂.解：x yf yx f ∂=-∂ ４＇ 220yx ∂=∂ ６＇7．在经过点12,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的所有平面中求一个，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小.解：设该平面为1x y za b c++=， １＇ 四面体的体积为16V abc =. １＇问题化为求16V abc =在约束条件21110,0,0,03a b c a b c++-=>>>下的最小值点.构造拉格朗日函数()1211,,,163f a b c abc a b c λλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭３＇ 由22222110,0,0,1066633a b c bc ac ab f f f f a b c a b cλλλλ=-==-==-==++-= ３＇ 得唯一一组解6,3,1a b c ===，该实际问题的最小值一定存在，从而该点一定是要求的最小值点了.因此所要求的平面为163x yz ++= ２＇三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分) ８．计算11301ydy x dx +⎰⎰.解：21113330111x yDdy x dx x d dx x dy σ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰４＇()112333011113x x dx x d x =+=++⎰⎰ ３＇ ()22219=- １＇ 9．计算22y Dx edxdy -⎰⎰，其中区域D 是由直线0,1,x y y x ===所围成的区域.解：22y Dx e dxdy -⎰⎰21200yy dy x e dx -=⎰⎰ 4’ 213013y y e dy -=⎰ 2’ 1163e =- 2’10．计算2()x y dV Ω+⎰⎰⎰.其中Ω是曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==所围成的区域.解：求出旋转面方程为222x y z += １＇2()x y dV Ω+⎰⎰⎰＝()22x y dV Ω+⎰⎰⎰ １＇ ＝()8222Dzdz x y dxdy +⎰⎰⎰ ３＇82283220022336z dz d r dr z dz πθππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ３＇ 11．计算三重积分2y dV Ω⎰⎰⎰，其中(){}222,,2x y z xy z z Ω=++≤.解：2y dV Ω⎰⎰⎰22cos 2342sin sin d d dr ππϕθθϕϕρ=⎰⎰⎰５＇415π=３＇四. 解答下列各题 (每小题9分,共18分)12.求由两圆周()22224x y a a +-=和()222(0)x y a aa +-=>所围的均匀薄片的质心.解：0x = ２＇4sin 2202sin 11sin 3a a D Dy ydxdy d r dr S a πθθθθπ==⎰⎰⎰⎰５＇＝73a ２＇13. 计算由曲面22x y az +=和222(0)z a x y a =-+>所围立体的表面积.解：22222224412x y a x y S dxdy a a+≤=+++⎰⎰６＇2(2)3a a π=+ ３＇。
