2019-2020成都市树德实验中学(西区)数学中考模拟试卷(附答案)

四川省成都市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°3．下列运算正确的是（）A．5ab﹣ab=4 B．a6÷a2=a4C．112a b ab+=D．（a2b）3=a5b34．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.1．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列4个点，不在反比例函数图象上的是（）A．（2，－3）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（3，2）6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，弦2CD =.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为( )A ．19B ．29C ．23D ．138．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．9．关于x 的不等式21x a --…的解集如图所示，则a 的取值是( )A ．0B ．3-C ．2-D ．1-10．下列运算正确的是（ ） A ．a ﹣3a=2aB ．（ab 2）0=ab 2C ．8=22±D ．3×27=911．如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，连接BD ，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC′E′．当线段BE′和线段BC′都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为（ ）A ．2513B ．2413C ．95D ．8512．如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，则BE 的长为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，AB是⊙O的直径，点E是»BF的中点，连接AF交过E的切线于点D，AB的延长线交该切线于点C，若∠C＝30°，⊙O的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_____．14．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出对角线BD，再将AD折叠到BD上，得到折痕DE，点A的对应点是点F，若AB=8，BC=6，则AE的长为_____．15．分解因式：4a2-4a+1=______．16．若一次函数y=﹣2（x+1）+4的值是正数，则x的取值范围是_______．17．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为_____．18．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是_____（用含n的代数式表示）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表项目篮球足球乒乓球排球羽毛球人数 a 6 5 7 6八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图根据图中提供的信息，解答下列问题：a＝，b＝．该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约人；该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．20．（6分）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．甲乙丙每辆汽车能装的数量4 2 3（吨）每吨水果可获利润（千5 7 4元）（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？21．（6分）解方程（2x+1）2=3（2x+1）22．（8分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B 到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．（1）求桥DC与直线AB的距离；（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：2≈1.143≈1.73）23．（8分）计算：﹣45﹣|4sin30°﹣5|+（﹣112）﹣124．（10分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？26．（12分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．小明所求作的直线DE是线段AB的；联结AD，AD ＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．27．（12分）（1）|﹣327•tan30°+（2018﹣π）0-（15）-1（2）先化简，再求值：（2xx x +﹣1）÷22121xx x-++，其中x的值从不等式组23241xx-≤⎧⎨-⎩＜的整数解中选取．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C．2．B【解析】试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°故选B．考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定3．B【解析】【分析】由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案.A 项, 根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A 项错误;B 项, 根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得: a 6÷a 2=a 4，故B 项正确;C 项,根据分式的加法法则可得:11a ba b ab++=,故C 项错误; D 项, 根据 “积的乘方等于乘方的积” 可得:2363()a b a b =,故D 项错误; 故本题正确答案为B. 【点睛】 幂的运算法则:(1) 同底数幂的乘法: ·m n m n a a a +=(m 、n 都是正整数) (2)幂的乘方:()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)积的乘方:()n n n ab a b = (n 是正整数)(4)同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=(a≠0,m 、n 都是正整数,且m>n) (5)零次幂:01a =(a≠0) (6) 负整数次幂: 1ppa a -=(a≠0, p 是正整数). 4．B 【解析】 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km ，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km ，则乙的速度为120km/h ．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B ，用时4小时，每小时比甲快40km ，则此时甲乙距离4×40=160km ，则m=160，②正确；当乙在B 休息1h 时，甲前进80km ，则H 点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km ，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误． 故选B ． 【点睛】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 5．D分析：根据得k=xy=-6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6，就在函数图象上．解答：解：原式可化为：xy=-6，A、2×（-3）=-6，符合条件；B、（-3）×2=-6，符合条件；C、3×（-2）=-6，符合条件；D、3×2=6，不符合条件．故选D．6．B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】连接OC、OD、BD，根据点C，D是半圆O的三等分点，推导出OC∥BD且△BOD是等边三角形，阴影部分面积转化为扇形BOD的面积，分别计算出扇形BOD的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连接OC 、OD 、BD ，∵点C 、D 是半圆O 的三等分点， ∴»»»==AC CDDB ， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OC=OD ，∴△COD 是等边三角形， ∴OC=OD=CD ， ∵2CD =，∴2OC OD CD ===， ∵OB=OD ，∴△BOD 是等边三角形，则∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠COD=60°， ∴OC ∥BD ， ∴=V V BCD BOD S S ，∴S 阴影=S 扇形OBD 226060223603603πππ⋅⨯===OD ，S 半圆O 222222πππ⋅⨯===OD ，飞镖落在阴影区域的概率21233ππ=÷=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积． 8．C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误； C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确； D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 9．D 【解析】 【分析】首先根据不等式的性质，解出x≤12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可； 【详解】解：不等式21x a -≤-， 解得x<12a -， 由数轴可知1x <-， 所以112a -=-， 解得1a =-； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A 、a ﹣3a=﹣2a ，故此选项错误； B 、（ab 2）0=1，故此选项错误；C =故此选项错误；D ，正确．故选D．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．11．A【解析】【分析】先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD=5，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=258，则AF=4-258=78．再过G作GH∥BF，交BD于H，证明GH=GD，BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=258-x，HD=5-x，由GH∥FB，得出FDGD=BDHD，即可求解．【详解】解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=4，∴BD=5，在Rt△ABF中，∵∠A=90°，AB=3，AF=4-DF=4-BF，∴BF2=32+（4-BF）2，解得BF=25 8，∴AF=4-258=78．过G作GH∥BF，交BD于H，∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，∵FB=FD，∴∠FBD=∠FDB，∴∠FDB=∠GHD，∴GH=GD，∵∠FBG=∠EBC=12∠DBC=12∠ADB=12∠FBD，又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，∴BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=258-x，HD=5-x，∵GH∥FB，∴FDGD=BDHD，即258x=55-x，解得x=25 13．故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是解题关键．12．B【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE=AB，∵AB=1，∴BE=1．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）132 3π【解析】【分析】首先根据切线的性质及圆周角定理得CE的长以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出DE，AD 的长，利用S△ADE﹣S扇形FOE＝图中阴影部分的面积求出即可．【详解】∵DE 是切线，∴OE ⊥DE ，∵∠C ＝30°，OB ＝OE ＝2，∴∠EOC ＝60°，OC ＝2OE ＝4，∴CE ＝OC×sin60°=4sin 6023,⨯=o∵点E 是弧BF 的中点，∴∠EAB ＝∠DAE ＝30°，∴F ，E 是半圆弧的三等分点，∴∠EOF ＝∠EOB ＝∠AOF ＝60°，∴OE ∥AD ，∠DAC ＝60°，∴∠ADC ＝90°，∵CE ＝AE ＝23,∴DE 3∴AD ＝DE×tan60°333,=∴S △ADE 11333322AD DE =⋅=⨯= ∵△FOE 和△AEF 同底等高，∴△FOE 和△AEF 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ADE ﹣S 扇形FOE 23360π233232260π.3⋅⨯=-=- 故答案为33223π- 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△FOE 和△AEF 面积相等是解题关键．14．3【分析】先利用勾股定理求出BD ，再求出DF 、BF ，设AE=EF=x ．在Rt △BEF 中，由EB 2=EF 2+BF 2，列出方程即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°．∵AB=8，AD=6，∴BD 2268=+=1．∵△DEF 是由△DEA 翻折得到，∴DF=AD=6，BF=2．设AE=EF=x ．在Rt △BEF 中，∵EB 2=EF 2+BF 2，∴（8﹣x ）2=x 2+22，解得：x=3，∴AE=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．15．2(21)a -【解析】【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：22441(21)a a a -+=-．故答案为2(21)a -．【点睛】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．16．x ＜1【解析】【分析】根据一次函数的性质得出不等式解答即可．【详解】因为一次函数y=﹣2（x+1）+4的值是正数，解得：x＜1，故答案为x＜1.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据题意正确列出不等式是解题的关键.17．（﹣3，2）【解析】【分析】作出图形，然后写出点A′的坐标即可．【详解】解答：如图，点A′的坐标为（-3，2）．故答案为（-3，2）．【点睛】本题考查的知识点是坐标与图象变化-旋转，解题关键是注意利用数形结合的思想求解．18．3n+1【解析】【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13个图案，由此可得出规律．【详解】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1故答案为：3n+1.【点睛】本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1)a＝16，b＝17.5(2)90(3)3 5【解析】试题分析：（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解；（2）利用总数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用列举法，根据概率公式即可求解．试题解析：（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，∴b=17.5，故答案为16，17.5； （2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），故答案为90；（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况，∴则P （恰好选到一男一女）=1220=35．考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．20．（1）乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆;（2）乙种水果的汽车是（m ﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m ）辆;（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据“8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A 地销售”列出方程组，即可解答；（2）设装运乙、丙水果的车分别为a 辆，b 辆，列出方程组2042372,m a b m a b ++=⎧⎨++=⎩即可解答； （3）设总利润为w 千元，表示出w=10m+1．列出不等式组11213221,m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩确定m 的取值范围13≤m≤15.5，结合一次函数的性质，即可解答．【详解】解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为x 辆，y 辆，得：82322,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：26.x y =⎧⎨=⎩答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆．（2）设装运乙、丙水果的车分别为a 辆，b 辆，得：2042372,m a b m a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：12322,a m b m =-⎧⎨=-⎩答：装运乙种水果的汽车是（m ﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m ）辆．（3）设总利润为w 千元，w=5×4m+7×2（m ﹣12）+4×3（32﹣2m ）=10m+1．∵11213221,m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩∴13≤m≤15.5，∵m 为正整数，∴m=13，14，15，在w=10m+1中，w 随m 的增大而增大，∴当m=15时，W 最大=366（千元），答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366千元．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是运用函数性质求最值,需确定自变量的取值范围．21．x 1=-12，x 2=1 【解析】试题分析：分解因式得出（2x+1）（2x+1﹣3）=0，推出方程2x+1=0，2x+1﹣3=0，求出方程的解即可． 试题解析：解：整理得：（2x+1）2－3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，即2x+1=0，2x+1﹣3=0，解得：x 1=﹣12，x 2=1． 点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方程，题目比较典型，难度不大．22．（1）桥DC 与直线AB 的距离是6.0km ；（2）现在从A 地到达B 地可比原来少走的路程是4.1km ．【解析】【分析】(1)过C 向AB 作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；(2)过点D 向AB 作垂线，然后根据解三角形求出AD ， CB 的长，进而求出现在从A 地到达B 地可比原来少走的路程.解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，∵BC=12km，∠B=30°，∴162CH BC==km，BH=63km，即桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，∵桥DC和AB平行，CH=6km，∴DM=CH=6km，∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，∴AD=2sin4522DMo，AM=DM=6km，∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM ﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=62+12-6-63=6+62-63 4.1≈km，即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．【点睛】做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.23．﹣51．【解析】【分析】先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可.解：原式＝﹣2）﹣12＝﹣﹣12＝﹣1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.24．（1）y=2x 2﹣3x ；（2）C （1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）． 【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B 点坐标，由A 、B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C 作CD ∥y 轴，交x 轴于点E ，交OB 于点D ，过B 作BF ⊥CD 于点F ，可设出C 点坐标，利用C 点坐标可表示出CD 的长，从而可表示出△BOC 的面积，由条件可得到关于C 点坐标的方程，可求得C 点坐标；（3）设MB 交y 轴于点N ，则可证得△ABO ≌△NBO ，可求得N 点坐标，可求得直线BN 的解析式，联立直线BM 与抛物线解析式可求得M 点坐标，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，由B 、C 的坐标可求得OB 和OC 的长，由相似三角形的性质可求得OM OP 的值，当点P 在第一象限内时，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，由条件可证得△MOG ∽△POH ，由OM MG OG OP PH OH==的值，可求得PH 和OH ，可求得P 点坐标；当P 点在第三象限时，同理可求得P 点坐标．【详解】（1）∵B （2，t ）在直线y=x 上，∴t=2，∴B （2，2），把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式可得：42293042a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：23a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =-；（2）如图1，过C 作CD ∥y 轴，交x 轴于点E ，交OB 于点D ，过B 作BF ⊥CD 于点F ，∵点C 是抛物线上第四象限的点，∴可设C （t ，2t 2﹣3t ），则E （t ，0），D （t ，t ），∴OE=t ，BF=2﹣t ，CD=t ﹣（2t 2﹣3t ）=﹣2t 2+4t ，∴S △OBC =S △CDO +S △CDB =1CD•OE+1CD•BF=1（﹣2t 2+4t ）（t+2﹣t ）=﹣2t 2+4t ，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中，∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=32，∴N（0，32），∴可设直线BN解析式为y=kx+32，把B点坐标代入可得2=2k+32，解得k=14，∴直线BN的解析式为1342y x=+，联立直线BN和抛物线解析式可得：2134223y xy x x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：22xy=⎧⎨=⎩或384532xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴M（38-，4532），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=222，∵△POC∽△MOB，∴2OM OB OP OC ==，∠POC=∠BOM ， 当点P 在第一象限时 ，如图3，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图3∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH ，且∠PHO=∠MGO ，∴△MOG ∽△POH ，∴2OM MG OG OP PH OH=== ∵M （38-，4532）， ∴MG=38，OG=4532， ∴PH=12MG=316，OH=12OG=4564， ∴P （4564，316）； 当点P 在第三象限时，如图4，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，同理可求得PH=12MG=316，OH=12OG=4564， ∴P （﹣316，4564）； 综上可知：存在满足条件的点P ，其坐标为（4564，316）或（﹣316，4564）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C 点坐标表示出△BOC 的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P 的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．25．（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【解析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意得：63600500.8400.755200x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩＝＝， 解得：40120x y ⎧⎨⎩＝＝． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．26．（1）线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC ＝5． 【解析】【分析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 （2）根据题意垂直平分线定理可得AD ＝BD ，得到CD ＝2，又因为已知sin ∠DAC=，故可过点D 作AC 垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF ，CF ，即可求出AC 长.【详解】（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，如图，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝7∴CD ＝BC ﹣BD ＝2，在Rt △ADF 中，∵sin ∠DAC ＝，∴DF ＝1，在Rt △ADF 中，AF ＝，在Rt △CDF 中，CF ＝，∴AC ＝AF+CF ＝．【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.27．（13-1（1）-1【解析】【分析】（1）先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，然后按照实数的运算法则计算即可；（1）把括号里通分，把22121x x x -++的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可.【详解】（1）原式=1+3×33+1﹣5 3+1﹣5 31；（1）原式=()()()()()2211111x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()2111x x x x x --÷++ =111x x x x -++-n =﹣1x x -， 解不等式组23241x x -≤⎧⎨-<⎩得：-1≤x 52< 则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1，∵x（x+1）≠0且x﹣1≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x=1，则原式=﹣221=﹣1．【点睛】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件.。

2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.下列判断正确的是（ ）B.若，则是同类二次根式2.下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（ ）①；③；④.A.①B.②C.③D.④3.如图（1），在一个边长为m 的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（ ）图（1）图（2） 图（3）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，不与各端点重合，且，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H ，使，连接AM 、AH ，则以下四个结论：①；② ；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45.如图，圆环中大圆的半径为r ，小圆的半径为长，AB 为大圆的直径，则阴影部分的面积为（ ）0.5<0ab =0a b ===01333-+=-=()32528a a =844a a a -÷=-23m n-24m n -410m n-48m n-ABCD AB BD =BE CF =DH BM =BDF DCE ≅△△120BMD ∠=︒AMH △2S ABCD AM =四边形2rA.B.C.D.6.如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（）A. B.C. D.7.在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.8.如图，，都经过A 、B 两点，且点O 在上，连接并延长，交于点C ，连接交于点D ，连接，，若，则的长为（ ）A.B.9.小强用一根长为的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A. B. C. D.10.在，0，－1，这四个数中，最小的数是（ ）2π4r 23π4r 2π8r 23π8r AOB △():02l x t t =≤≤13232949O e 1O e 1O e AO O e BC 1O e AD AD BO ⊥3AB =»BDπ22π316cm 216cm 232cm 264cm 28cm 1212-A.B.0C.D.－1二、填空题11.若，则______，______，______.12.若，则的值为______.13.如图，点C 在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______.14.若，则______.15.如图，一块含30°角的直角三角板ABC ，，将其绕点A 顺时针旋转得到，当B ，A ，在一条直线上时，顶点C 所走的路径长为______.16.如图，在中，G 是CD 上一点，连接BG 并延长，交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且，，，则______°.三、解答题17.解方程18.如图，已知：中，，，点D 是的中点，点P 是边上的一个动点.1212-()2242x mx n ax ++=+m =a =n =)11a a a +=>1a a-AB 2AC BC =AC BC AB ACDE BCFG EC EG tan CEG ∠=a -()240c +-=a b c -+=1BC =AB C ''C 'ABCD Y AF CG =30E ∠=︒50C ∠=︒BFD ∠=()()231=1x x --Rt ABC △90BAC ∠=︒AB AC =BC BC图1 图2 图3 图4（1）如图1，若点与点重合，连接，则与的位置关系是 ；（2）如图2，若点在线段上，过点作于点，过点作于点，则，和这三条线段之间的数量关系是______；（3）如图3，在（2）的条件下，若的延长线交直线于点，求证：；（4）如图4，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作于点，过点作于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出点在运动的过程中的最大值.19.在平面直角坐标系中，抛物线与直线l ：交于，B 两点，与y 轴交于，对称轴为直线.（1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若，且，求点G 的坐标；（3）若在直线上有且只有一点P ，使，求k 的值.20.如图，已知同一平面内四个点A ，B ，C ，D ，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB ，射线BD ，连接AC ；（2）在线段AC 上求作点P ，使得；（保留作图痕迹）（3）过点P 作直线l ，使得；（保留作图痕迹）（4）请在直线l上确定一点Q ，使点Q 到点C 与点D 的距离之和最短，并写出画图的依据.21.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为P D AP AP BC P BD B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F CF BE EF BE AD M CP AM =4BC =P B BC C B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F BE 1d CF 2d P 12d d +xOy 2y ax bx c =++()0y kx m k =+>()1,0A ()0,3C 2x =12AF FB =6BAG S =△12y =-90APB ∠=︒CP AC AB =-l AB ∥+，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的”去掉..解：，材料二：如图，点，点，以AB 为斜边作，则，于是，，所以反之，可将代数式到点的距离.的值看作点到点的距离.（1）利用材料一，解关于x，其中；（2的最小值，并求出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围；②将①所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入中解出x ，直接写出x 的值.22.如图，已知直线与抛物线相交于A ，B 两点，点在轴上，点在轴上，点在抛物线上.（1）求该抛物线的表达式.22a b =-=-2=()()251510x x ⨯+=---=2=5=()11,A x y ()22,B x y Rt ABC △()21,C x y 12AC x x =-12BC y y =-AB =()11,x y ()22,x y ===(),x y ()1,1-2=4x ≤y =22y x =+2y ax bx c =++A x B y ()3,0C（2）正方形的顶点为直角坐标系原点，顶点在线段上，顶点在轴正半轴上，若与全等，求点的坐标.（3）在条件（2）下，点是线段上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线翻折得到，连接，求长度的取值范围.OPDE O P OC E y AOB △DPC △P Q CD Q D POD △PQ POD '△AD 'AD '2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.【答案】D【分析】A 选项采取作差法，即可得到答案；B 选项考虑或；C 选项考虑a ，b 的取值范围；D 选项，先化简成最简二次根式，再判断是否为同类二次根式.【详解】解：A.，故此项错误；B.若，则或，故此项错误；C.，，选项未写条件，故此项错误；D.，是同类二次根式，故此项正确；故选D.【点睛】此题考查了二次根式的意义及运算法则，实数的乘法与比较，正确掌握运算法则是解答此题的关键.2.【答案】D【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.【详解】①，故①错误；无法计算，故②错误；③，故③错误；④，正确，故选D.【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.【答案】D【分析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长.【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：，宽为：，0a =0b =0.521==-2>0>0.50->0.5>0ab =0a =0b ==0a ≥0b >0113133-+=()32628aa =844a a a -÷=-m n -3m n -∴周长为，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽，是解题的关键.4.【答案】C【分析】由题意易得△ABD 是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④.【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∴、都是等边三角形，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，故③正确；∵，∴的面积等于四边形的面积，∵是等边三角形，其面积为，∴，故④错误；综上所述：正确的个数有3个；()2348m n m n m n -+-=-BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠ABCD AB BD =AB BD AD BC CD ====ABD △BDC △60BDF C ∠=∠=︒BE CF =BC BE CD CF -=-DF CE =()SAS BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠60DMF DBF BDE EDC BDE BDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒120BMD ∠=︒60DEB EDC C EDC ∠=∠+∠=∠+︒60ABM ABD DBF DBF ∠=∠+∠=∠+︒DEB ABM ∠=∠AD BC ∥ADH DEB ∠=∠ADH ABM ∠=∠DH BM =()SAS ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠60MAH MAD ADH MAD BAM BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒AMH △ABM ADH ≅△△AMH △ABMD AMH△2AMH S AM =△2S ABMD AM =四边形故选C.【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.5.【答案】D【分析】根据圆的面积公式：，计算出半圆的面积，用大半圆的面积减小半圆的面积即可得出结果.【详解】解：大半圆的面积为：；小半圆的面积为：；阴影部分的面积为： .故选D.【点睛】本题考查计算阴影部分的面积，有理数的混合运算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键.6.【答案】C【分析】分和两种情况，利用三角形的面积公式，可以表示出S 与t 的函数关系式，即可做出选择.【详解】解：①当时，如图，∵轴，为等边三角形，∴，∴，，∴，即，故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向上的二次函数图像；②当时，如图，，，2πS r =211π2S r =2221ππ228r r S ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭22212ππ3π288r r r S S S =-=-=01t ≤≤12t <≤01t ≤≤l y ∥AOB △60COD ∠=︒OD t =tan 60CD OD =⋅︒=212OCD S OD CD =⋅⋅=△()201t S =≤≤01t ≤≤12t <≤60CBD ∠=︒2BD t =-∴，∴，即，∴故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向下的二次函数图像，故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、二次函数图像特征、解直角三角形、60°角的正切值，正确列出函数关系式，掌握二次函数图像是解答的关键，注意实际问题的图像只是一部分.7.【答案】D【分析】首先根据题意列出表格，由列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可得出答案，注意此题属于放回实验.【详解】解：根据题意列出表格：红1红2白红1（红1，红1）（红2，红1）（白，红1）红2（红1，红2）（红2，红2）（白，红2）白（红1，白）（红2，白）（白，白）根据列表法可知：所有等可能的结果共有9种，其中两次都摸到红球的有4种，所以两次都摸到红球的概率是，故选D.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.8.【答案】D【分析】过作，垂足为E ，连接，易证AC 、AD 分别是，的直径，根据垂径定理可得，进而易证是等边三角形，在中，利用正切求出AD ，进而即可求)tan 602CD BD t =⋅︒=-)2122BCD S BD CD t =⋅⋅=-△)))221222212S t t t =⨯-=+<-≤12t <≤491O 1O E AB ⊥1O B O e 1O e AB AO =ABO △Rt BAD △解.【详解】如图，过作，垂足为E ，连接，∵AC 是的直径，∴，∴AD 是的直径，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，， ∴，故选：D.【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD .9.【答案】A【分析】设矩形长为，则宽为，面积，利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积.1O 1O E AB ⊥1O B O e 90ABC ∠=︒1O e AD BO ⊥AB AO =ABO AOB ∠=∠3AB =3AO =3BO =3AO AB BO ===ABO △60BAO ∠=︒BAD DAO ∠=∠30BAD ∠=︒160BO D ∠=︒Rt BAD△30cos AB AD ︒===»6012π3606BDr =⋅=⨯=1O e ()cm 08x x <<()8cm x -()8S x x =-【详解】解：设矩形长为，则宽为，面积.，，由于，S有最大值，当时，S最大是16.所以矩形的最大面积是. 故答案为16.【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式，再求二次函数最值.10.【答案】D【详解】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在，0，－1，这四个数中，最小的数是－1，故选D.考点：正负数的大小比较.二、填空题11.【答案】±8，±2，4【分析】把右边的式子展开，和右边的式子对比，利用对应系数相等求得答案解决问题.【详解】，∴，；；.故答案为±8；±2；4.【点睛】考查完全平方公式的运用，在变形的过程中不要改变式子的值.12.【分析】根据，得到，然后根据完全平方公式，及算术平方根进行计算即可.【详解】∵∴∵∴.()cm08x x<<()8cmx-()8S x x=-28S x x=-+()2416x=--+10-<4x=216cm1 21 2 -()22ax+()22222444ax a x ax x mx n+=++=++ 24a=2a=±48m a==±4n=1 a>10 aa ->1a>1aa->1aa+=1aa-==【点睛】本题考查了完全平方公式，及算术平方根的使用，熟知此知识点是解题的关键.13.【答案】【分析】设，则，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、，进而说明为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.【详解】解：设，则∵正方形∴， 同理：， ∴.故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明是直角三角形是解答本题的关键.14.【答案】9【分析】根据非负数的性质即可解答.【详解】解：∵∴，，∴ ，，，∴.故答案为9.【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a 、b 、c 的值.15.【分析】得出点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，代入弧长公式计算即可.【详解】：在中，∵，∴，12BC a =2AC a =45GCDECD ∠==︒ECG △BC a =2AC a =ACDEEC ==1452ACD ECD ∠=∠=︒CG =1452BCD GCD ∠=∠=︒1tan 2CG CEG CE ∠===12ECG △()240a c -+-=20a -=30b +=40c -=2a =3b =-4c =()2349a b c -+=--+=AC =Rt ABC △1BC =30BAC ∠=︒AC =∵绕点C 顺时针方向旋转到的位置，∴，∴点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，∴顶点C，【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B 的运动路径是解题的关键.16.【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得，对边相等可得，利用三角形的内角和定理求出，然后求出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解.【详解】解：在中，，，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.故答案为：80.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键.三、解答题17.【答案】，【分析】先移项，再利用因式分解法进行求解即可.【详解】解：移项得：，提取公因式得：，去括号得：，合并同类项得：，∴，，∴，.Rt ABC △AB C ''△150CAC '∠=︒AC ==A C ∠=∠AB CD =ABE ∠BGDF ABCD Y 50A C ∠=∠=︒AB CD =AB CD ∥30E ∠=︒1805030100ABE ∠=︒-︒-︒=︒AF CG =BF DG =BF BG ∥BGDF DF BG ∥180********BFD ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒11x =24x =()()2311=0x x ---()()131=0x x ---⎡⎤⎣⎦()()131=0x x --+()()14=0x x --10x -=40x -=11x =24x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.18.【答案】（1）（2）（3）见解析（4）4【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用证明，得，即可；（3）由（2）同理可证.再利用证明，得；（4）用两种方法表示的面积，可得，当时，最小，此时，可得答案.【详解】（1）解：∵点是的中点，点与点重合，∴，故答案为：；（2），∵，，∴，则，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：；（3），理由如下：证明：∵，.∴，，∵，，∴.又∵，∴.∴，.∵在等腰中，点是的中点，∴∵，∴在和中，AP BC⊥CF BE EF=+AAS ACF BAE ≅△△CF AE =AF BE =CF AE =ASA CFP AEM ≅△△CP AM =ABC △128d d AP+=AP BC ⊥AP 2AP =D BC P D AP BC ⊥AP BC ⊥CF BE EF =+BE AP ⊥CF AP ⊥90AEB AFC BAC ∠=∠=∠=︒90BAE EAC EAC ACF ∠+∠=∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≌△△CF AE =AF BE =CF BE EF =+CF BE EF =+CP AM =BE AP ⊥CF AP ⊥90AFC AEB ∠=∠=︒90CFP AEM ∠=∠=︒90BAE FAC ∠+∠=︒90ACF FAC ∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≅△△BAE ACF ∠=∠CF AE =Rt ABC △D BC 45BAD ACD ∠=∠=︒BAE ACF ∠=∠CFP △AEM △FCP EAM CF AECFP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，∴；（4）∵，∴，，由图形可知，，∴.当时，即：点与点重合，最小，此时.∴的最大值为4.【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出是解决问题（4）的关键.19.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）抛物线与x 轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，即可求解；（2）分点G 在点B 下方、点G 在点B 上方两种情况，分别求解即可；（3）由，则，即可求解.【详解】解：（1）∵，两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）过点作轴交对称轴于点，设对称轴与轴交于点.图1()ASA CFP AEM ≅△△CP AM =AD BC ⊥142ABC S BC AD =⋅=△122AD BC ==11422ABC APB APC S S S AP BE AP CF =+=⋅+⋅=△△△128d d AP+=AP BC ⊥P D AP 2AP =12d d +128d d AP +=243y x x =-+()5,8G k =()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =PAS BPT :△△AS PT PS BT=()1,0A B 2x =x ()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =1a =243y x x =-+B BM x ∥M x N∴，又，则，点的坐标为，设直线的解析式为，则，则，则，①若点在点下方，则过点作轴交于，则设点，，图2∴，即：，，无解；②若点在点上方，则过点作交轴于，则，即：，则，则，则可设直线的解析式为：，将代入得，.∴直线的解析式为②，联立①②并解得：或5（舍去0），∴；（3）分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，图312AF AN BF BM ==1AN =2BM =B ()4,3AB y kx b =+043k b k b +=⎧⎨+=⎩11k b =⎧⎨=-⎩1y x =-G B G GQ y ∥AB Q ()2,43G t t t -+(),1Q t t -()2136314322BAG AQG BGQ S S S OQ t t t ==+=⨯=--+-△△△258t t -+0∆<G B G GH AB ∥x H 6BAG ABH S S ==△△1362AH ⨯=4AH =()3,0H -GH y x t =+()3,0H -3t =-GH 3y x =-0x =()5,8G A B 12y =-S T则，则，直线的解析式为③，联立①③并解得：或，则点，设：，则有两个相等实数根，，解得：（舍去负值），故：【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.20.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；（2）以A 为圆心、AB 为半径画弧交AC 于点P 即可；（3）以P 为圆心、AP 为半径画弧将AC 于点E ，再以E 点为圆心、AB 为半径画弧，两弧交于点F ，连接PF ，直线PF 即为所求的直线l ；（4）连接CD 交直线l 于点Q ，Q 点即为所求.【详解】（1）作图如下：直线AB 、射线BD 、线段AC 即为所求；（2）作图如下：PAS BPT :△△AS PT PS BT=l y kx k =-1x =3k +()23,2B k k k ++PS x =()2112222x k x k k ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭()2222410k k k ∆=+---=k =k =点P 即为所求；（3）作图如下：直线l 即为所求；证明：连接EF 、PB ，由作图可知，，，根据（2）的作图可知，即有：，，，即有，∴，∴，即直线l 即为所求；（4）作图如下：直线l 即为所求；∵，∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C 、Q 、D 三点共线时，有，即作图依据为：两点之间线段最短.【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，PE AP =EF PB =PF PE =AP AB =AP PE =AB PF =EF PB =PEF APB ≅△△EPF PAB ∠=∠l AB ∥QC QD CD +≥QC QD CD +=解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.21.【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决.（2）①中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x 的值.【详解】（1）根据材料一；∵，，，，，∴解得：，∴；（2）②解：由材料二知：，的值看作点到点的距离到点的距离，，即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，，且，5x =-()2621y x x =+-≤≤1+()()20416x x ⨯=---=2=8=5=3=5x =-()2621y x x =+-≤≤===(),x y ()1,8(),x y ()2,2-+=+(),x y ()1,8()2,2-(),x y ()()1,82,2-+===21x -≤≤设过，，的直线解析式为：∴，解得：，∴；②∵中，∵，（i ），又∵（ii ）由（i ）（ii，解得：（舍）， ，∴x 的值为【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.22.【答案】（1）该抛物线的表达式为；（2）点的坐标为或；（3或【分析】（1）先求得点，点，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：和，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P 、、三点共线时，线段长度取得最大值，当点与点重合时，线段长度取得最小值，据此求解即可.【详解】（1）解：令，则，令，则，(),x y ()1,8()2,2-y kx b=+822k b k b=+⎧⎨=-+⎩26k b =⎧⎨=⎩()2621y x x =+-≤≤y =26y x =+26x +=+()222512236x x x x +-=++-++26x =+1=+72x =+11x =>2x =1224233y x x =-++P ()1,0()2,03AD '≤≤5AD '≤≤()1,0A -()0,2B AOB DPC ≅△△AOB CPD ≅△△D 'C AD 'Q C AD '0x =222y x =+=0y =022x =+解得，点，点，把，，代入，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）解：若和全等，且，分两种情况：①，则，，∵，∴，∴点的坐标为；②，则，∴正方形的边长为2，∴点P 的坐标为；综上，点P 的坐标为或；（3）解：①点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，1x =-()1,0A -()0,2B ()1,0A -()0,2B ()3,0C 2y ax bx c =++09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩23432a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩224233y x x =-++AOB △DPC △90AOB DPC ∠=∠=︒AOB DPC ≅△△1AO PD ==2OB PC ==3OC =321OP =-=P ()1,0AOB CPD ≅△△2OB PD ==OPDE ()2,0()1,0()2,0()1,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当Q 点与C 点重合时取得最小值，，此时，当P ，，C 三点共线时，取得最大值，最大值为②点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，∴点在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、三点共线时，线段长度取得最大值，最大值为；当Q 点与C 点重合时，点的坐标为，此时∴或.【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论.D 'P AD'()1,1D '-AD '===D 'AD '213AP PD '+=+=3AD '≤≤()2,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=D 'D 'AD '325AP PD '+=+=D '()2,2-AD '==5AD '≤≤3AD '≤≤5AD '≤≤。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟 分值：120分）一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．集合{}|19,*M x x x N =<<∈，{}9,8,7,5,3,1=N ，则M N ⋂=( ) A ．{}9,8,7,5,3 B ．{}1,3,5 C ．{}8,7,5,3 D ．{}1,3,5,7 2．下列函数在R 上单调递增的是( )A.||y x =B.lg y x =C.21x y = D.2xy =3．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A ∩BB ．A ∪BC ．B ∩∁U AD ．A ∩∁U B4．下列各组中的函数)(x f 与)(x g 相等的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f D. xxx g x x f ==)(,)(0 5．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，则当0<x 时，()f x 等于( ) A ．)1(x x -- B ．)1(x x - C ．)1(x x +- D ．)1(x x +6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,log )(21x x x x f x，则))2((f f 的值是( ) A ．2B．D．2-7. 已知函数62)(2+-=kx x x f 在（5，10）上有单调性，则实数k 的取值范围是（ ）A.（∞-，20]B.（),40[]20,+∞⋃∞-C.[20,40]D.),40[+∞ 8．三个数26.0=a ，6.0log 2=b ，6.02=c 之间的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <c <a9．函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞内是减函数，又(3)0f -=，则0)(>x xf 的解集是( )A ．{}|303x x x -<<>或 B. {}|33x x x <->或 C. {}|3003x x x -<<<<或 D. {}|303x x x <-<<或 二、填空题（每小题5分，满分20分）11. 已知)(x f y =在定义域R 上为减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .12. 已知集合A={1,log 2>=x xy y }, B={1,)21(>=x y y x}, 则=⋂B A _______.13. 已知函数62)(35-++=bx ax x x f ,且,10)2(=-f 则=)2(f _______.14．用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小值．设1()min{21,}(0)f x x x x=->，则()f x 的最大值为__________.三.解答题(本大题6小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)15. （本题满分10分）计算下列各题(1) 已知51=+-xx ，求22-+x x 的值.(2) 已知632==ba，求ba 11+的值.16.（本题满分10分）314)(++-=x x x f 的定义域为A ,}11{a x a x B +<<-=（1）求集合A.（2）若全集}5{≤=x x U ，2=a ，求)(B C A U ⋂. （3）若A B ⊆,求a 的取值范围.17．（本小题满分10分） 已知函数122)(+-=xm x f 是R 上的奇函数， （1）求m 的值； （2）先判断()f x 的单调性，再利用定义证明.18. （本小题满分10分）已知函数)21(log )(x x f a -= )1,0(≠>a a 在区间[]1,4[--上的最大值比最小值大21，求a 的值.19. (本小题满分10分)已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，且满足1)31(=f ，)()()(y f x f y x f +=⋅ （1）求)1(f 的值；（2）若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．20. (本小题满分10分)已知函数)12(log )(+=x x f a ，)21(log )(x x g a -=（a>0且a ≠1） （1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域;（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由;（3）确定x 为何值时，有0)()(>-x g x f .一、选择题：二、填空题： 11．32<a 12. )21,0( 13.22- 14. 1 三、解答题： 15.(1)23 (2)1 16.(1)]4,3(-（2）}43{≤≤=⋂x x B C A U (3)①0,11,≤∴+>-=a a a B φ②30430314111,≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+->+≠a a a a a a a a B φ 综上：3≤a17.（1） ∴=0)0(f 1=m ，代入)(x f 检验)()(x f x f -=-成立.（或直接利用定义） （2）单调递增，利用定义证。

四川省成都市2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(31)+米2．下面调查方式中，合适的是（ ）A ．调查你所在班级同学的体重，采用抽样调查方式B ．调查乌金塘水库的水质情况，采用抽样调査的方式C ．调查《CBA 联赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式D ．要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式3．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°4．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1125．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．0D ．1 6．若代数式12-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>2B ．x<2C ．x -2≠D ．x 2≠ 7．分式方程213x x =-的解为（ ） A ．x=-2 B ．x=-3 C ．x=2 D ．x=38．如图，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点，则小刚上升了（ ）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．300 tanα米9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD ＝1．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转11°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．13B．5C．22D．410．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟11．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（）A．3 B．32C．33D．612．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是______．15．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为_____．16．欣欣超市为促销，决定对A，B两种商品统一进行打8折销售，打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元，打折后，小敏买50件A商品和40件B商品仅需________元．17．为了节约用水，某市改进居民用水设施，在2017年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为________．18．分解因式a3﹣6a2+9a=_________________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴1的直线上取点A（h，k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点和点A关于点P对称，过A作直线m⊥l．又分别过点B，C作直线BE⊥m和CD⊥m，垂足为E，D．在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC 叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．（1）直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标以及直径的长．（2）求抛物线y=14x2-32x+174的焦点坐标以及直径的长．（3）已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的直径为32，求a的值．（4）①已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．②直接写出抛物线y=14x 2-32x+174的焦点短形与抛物线y=x 2-2mx+m 2+1公共点个数分别是1个以及2个时m 的值．20．（6分）如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ．小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ；联结AD ，AD ＝7，sin ∠DAC ＝，BC ＝9，求AC 的长．21．（6分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.22．（8分）如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数.结合图象直接写出：当1y ＞2y ＞0时，x 的取值范围.23．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m 的值为 ；求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．24．（10分）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan ∠ABC=34．求边AC 的长；设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB 的值．25．（10分）如图，一根电线杆PQ 直立在山坡上，从地面的点A 看，测得杆顶端点P 的仰角为45°，向前走6m 到达点B ，又测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ 的高度．（结果保留根号）.26．（12分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()76(120)2030mx m x x n x x -≤<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，为整数，为整数 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．m=，n= ；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？27．（12分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，点D 是弧BC 中点，过点D 作⊙O 切线DF ，连接AC 并延长交DF 于点E ．（1）求证：AE ⊥EF ；（2）若圆的半径为5，BD ＝6 求AE 的长度．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD∴AB＝AD+BD＝100（故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．2．B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】A、调查你所在班级同学的体重，采用普查，故A不符合题意；B、调查乌金塘水库的水质情况，无法普查，采用抽样调査的方式，故B符合题意；C、调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；D、要了解全市初中学生的业余爱好，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故选：B4．C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解. 【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．5．A【解析】【分析】因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,根据有理数比较大小的法则即可选出答案．【详解】因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,故选A．【点睛】本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法. 6．D【解析】试题解析：要使分式12-x有意义，则1-x≠0，解得：x≠1．故选D．7．B【解析】解：去分母得：2x=x﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B．8．A【解析】【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO 的关系是解题关键．9．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．C【解析】【分析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．【详解】根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c，得：930.7 1640.8 2550.5a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：a=−0.2,b=1.5,c=−2，即p=−0.2t2+1.5t−2，当t=−1.5-0.22⨯=3.75时，p取得最大值，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.11．D【解析】【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=10°, ∵OA=OF, ∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．故选D．【点睛】本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.12．A【解析】设身高GE=h，CF=l，AF=a，当x≤a时，在△OEG和△OFC中，∠GOE=∠COF （公共角），∠AEG=∠AFC=90°，∴△OEG ∽△OFC ，OE/OF GE/CF =，∴()y h h ah y x a x y l l h l h=∴=-+----，， ∵a 、h 、l 都是固定的常数，∴自变量x 的系数是固定值，∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线；∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．故选A ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．AC ⊥BD【解析】【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF 为三角形ABD 的中位线，根据中位线定理得到EF 与DB 平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH 与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC 与BD 垂直．【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E 、F 、分别是AD 、AB 、各边的中点，∴EF 是三角形ABD 的中位线，∴EF ∥BD ，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E 、H 分别是AD 、CD 各边的中点，∴EH 是三角形ACD 的中位线，∴EH ∥AC ，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC ⊥BD ．故答案为：AC ⊥BD ．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出图形并熟练掌握矩形性质及三角形中位线定理是解题关键.14．3 【解析】 【分析】 利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值.【详解】解：如图所示，设BC=x ，∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x ，AB=3BC=3x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=3x ，如图，作EM ⊥AD 于M ，则AM=12AD=12x ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=323XAM AE x==， 故答案为：3 .【点睛】特殊三角形： 30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是13：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.15．1【解析】【分析】由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=1，根据OA=OB可得答案．【详解】如图，∵双曲线y=（x＞0）经过点D，∴S△ODF=k=，则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，∴OA•BE=1，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴OB•BE=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．16．1【解析】【分析】设A、B两种商品的售价分别是1件x元和1件y元，根据题意列出x和y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，进而求解即可．【详解】解：设A 、B 两种商品的售价分别是1件x 元和1件y 元，根据题意得63=54{34=32x y x y ++， 解得x=8{y=2．所以0.8×（8×50+2×40）=1（元）．即打折后，小敏买50件A 商品和40件B 商品仅需1元．故答案为1．【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．17．53.0510⨯【解析】试题解析：305000用科学记数法表示为：53.0510.⨯故答案为53.0510.⨯18．a （a ﹣3）1 ．【解析】a 3﹣6a 1+9a=a （a 1﹣6a+9）=a （a ﹣3）1．故答案为a （a ﹣3）1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）4（1）4（3）23±（4）①a=±12；②当时，1个公共点，当＜m≤1或5≤m ＜时，1个公共点，【解析】【分析】（1）根据题意可以求得抛物线y=14x 1的焦点坐标以及直径的长； （1）根据题意可以求得抛物线y=14x 1-32x+174的焦点坐标以及直径的长； （3）根据题意和y=a （x-h ）1+k （a≠0）的直径为32，可以求得a 的值； （4）①根据题意和抛物线y=ax 1+bx+c （a≠0）的焦点矩形的面积为1，可以求得a 的值；②根据（1）中的结果和图形可以求得抛物线y=14x1-32x+174的焦点矩形与抛物线y=x1-1mx+m1+1公共点个数分别是1个以及1个时m的值．【详解】（1）∵抛物线y=14x1，∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+1144⨯=1，∴抛物线y=14x1的焦点坐标为（0，1），将y=1代入y=14x1，得x1=-1，x1=1，∴此抛物线的直径是：1-（-1）=4；（1）∵y=14x1-32x+174=14（x-3）1+1，∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：1+1144⨯=3，∴焦点坐标为（3，3），将y=3代入y=14（x-3）1+1，得3=14（x-3）1+1，解得，x1=5，x1=1，∴此抛物线的直径时5-1=4；（3）∵焦点A（h，k+14a），∴k+14a=a（x-h）1+k，解得，x1=h+12a，x1=h-12a，∴直径为：h+12a-（h-12a）=1a=32，解得，a=±23，即a的值是23±；（4）①由（3）得，BC=1 a，又CD=A'A=12a．所以，S=BC•CD=1a•12a=212a=1．解得，a=±12；②当m=1-2或m=5+2时，1个公共点，当1-2＜m≤1或5≤m＜5+2时，1个公共点，理由：由（1）知抛，物线y=14x1-32x+174的焦点矩形顶点坐标分别为：B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），当y=x1-1mx+m1+1=（x-m）1+1过B（1，3）时，m=1-2或m=1+2（舍去），过C（5，3）时，m=5-2（舍去）或m=5+2，∴当m=1-2或m=5+2时，1个公共点；当1-2＜m≤1或5≤m＜5+2时，1个公共点．由图可知，公共点个数随m的变化关系为当m＜1-2时，无公共点；当m=1-2时，1个公共点；当1-2＜m≤1时，1个公共点；当1＜m＜5时，3个公共点；当5≤m＜5+2时，1个公共点；当m=5+2时，1个公共点；当m＞5+2时，无公共点；由上可得，当m=1-2或m=5+2时，1个公共点；当1-2＜m≤1或5≤m＜5+2时，1个公共点．【点睛】考查了二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，知道什么是抛物线的焦点、直径、焦点四边形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质、矩形的性质解答．20．（1）线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC＝5．【解析】【分析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.【详解】（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，如图，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝7∴CD ＝BC ﹣BD ＝2，在Rt △ADF 中，∵sin ∠DAC ＝，∴DF ＝1，在Rt △ADF 中，AF ＝，在Rt △CDF 中，CF ＝，∴AC ＝AF+CF ＝．【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.21．（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.【解析】【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.【详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩， ∴10300y x =-+，∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，∴ 830x ≤≤ ；（2） 设利润为w 元，则 ()()810300w x x =--+=2103802400x x -+-=2210(19)1210x x --+，∴ 当19x = 时， w 最大为1210，∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；(3) 当19x = 时，110y =，110×40=4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚.【点睛】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.22．（1）y 1=2x ；y 2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1. 【解析】【分析】（1）根据△AOB 的面积可求AB ，得A 点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C 点坐标，在△ABC 中运用三角函数可求∠ACO 的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x 的值即为取值范围．【详解】(1)∵△AOB 的面积为1，并且点A 在第一象限，∴k=2,∴y 1=2x； ∵点A 的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y 2=ax+1得，a=1.∴y 2=x+1.(2)令y 2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y1>y2>0时,0<x<1.在第三象限,当y1>y2>0时,−1<x<0(舍去).【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.23．（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．【解析】【分析】（Ⅰ）利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解．【详解】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%＝50（人），∵1650×100＝31%，∴图①中m的值为31.故答案为50、31；（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，∴这组数据的众数为4；∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有332+＝3，∴这组数据的中位数是3；由条形统计图可得142103144165650x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=＝3.1，∴这组数据的平均数是3.1．（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1）（2）35 ADBD=．【解析】【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=34AEBE=，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=2231+=10；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=52，∵tan∠DBF=34 DFBF=，∴DF=158，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=2251528⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=258，∴AD=5﹣258=158，则35 ADBD=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.25．（6+23【解析】【分析】根据已知的边和角,设CQ=x，33x，3，根据PQ=BQ列出方程求解即可. 【详解】解：延长PQ交地面与点C，由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，设CQ=x，则在Rt△BQC 中，33，∴在Rt△PBC中3，∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，∴，3，解得33-3∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+23则电线杆PQ高为（6+3米．【点睛】此题重点考察学生对解直角三角形的理解，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.26．（1）m=﹣12，n=25；（2）18，W最大=968；（3）12天.【解析】【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m，解得m=12 -，当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，则n=25，故答案为m=12-，n=25；（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16，当1≤x＜20时，W=（4x+16）（12-x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968，∴当x=18时，W最大=968，当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112，∵28＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952，∵968＞952，∴当x=18时，W最大=968；（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x＜20，∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥271 14，∴27114≤x≤30∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元，∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.27．（1）详见解析；（2）AE＝6.1．【解析】【分析】(1)连接OD，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】(1)连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵点D是弧BC中点，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥EA，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，8AD==，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴AD AE AB AD=，即8108AE=，解得：AE=6.1．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．。

成都市树德实验中学（西区）八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子 变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式 x2+ 的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为 k 的等 式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若 2x＝3y＝4z，且 xyz≠0，求的值．解：令 2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则根据材料回答问题： （1）已知，求 x+ 的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若的值． 解析：（1）5； （2） ；，x≠0，y≠0，z≠0，且 abc＝7，求 xyz（3）【解析】 【分析】 （1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则 a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝ （k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得 x、y、z 的代入＝ 中，可得 k 的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得 x＝ ，z＝ ，代入已知可得结论．【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+ ＝4，∴x+ ＝5；（2）∵设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则 a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝ ＝；（3）解法一：设＝＝＝ （k≠0），∴①，②，③，①+②+③得：2（）＝3k，＝ k④，④﹣①得： ＝ k，④﹣②得：，④﹣③得：k，∴x＝ ，y＝ ，z＝ 代入＝ 中，得：＝，， k＝4， ∴x＝ ，y＝ ，z＝ ，∴xyz＝＝ ＝；解法二：∵，∴，∴，∴，∴，将其代入中得：＝＝ ，y＝ ，∴x＝，z＝ ＝ ，∴xyz＝＝．【点睛】 本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式 的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒 数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子. 2．在△ABC 中，已知∠A＝α． （1）如图 1，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 D．求∠BDC 的大小（用含 α 的代数式表 示）；（2）如图 2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 F，求∠BFC 的大小（用含 α 的 代数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC 的平分线与 ∠GCB 的平分线交于点 M（如图 3），求∠BMC 的度数（用含 α 的代数式表示）．解析：（1）∠BDC＝90°+ ；（2）∠BFC＝ ；（3）∠BMC＝90°+ ． 【解析】 【分析】 （1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD ＝ （∠ABC+∠ACB）＝90°﹣ ，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝ ∠ABC，∠FCE＝ ∠ACE，由三角形的外角性质可 求解； （3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝ ，方法同（1）可求∠BMC＝90°+ ，即可求 解. 【详解】 解：（1）∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB， ∴∠DBC＝ ∠ABC，∠BCD＝ ∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝ （∠ABC+∠ACB）＝90°﹣ ，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+ ； （2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 F， ∴∠FBC＝ ∠ABC，∠FCE＝ ∠ACE， ∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC， ∴∠BFC＝ ∠A＝ ； （3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点 M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+ ， ∵将△FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到△GBC， ∴∠G＝∠BFC＝ ，∴∠BMC＝90°+ .【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.3．在△ABC 中，AB=AC，D 是直线 BC 上一点，以 AD 为一条边在 AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接 CE．（1）如图，当点 D 在 BC 延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE 之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点 D 在 BC 延长线上移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请说明理由；②当点 D 在直线 BC 上（不与 B，C 两点重合）移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当 CE∥AB 时，若△ABD 中最小角为 15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．解析：（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点 D 在 BC 上移动时，α=β 或 α+β=180°；（3）∠ACB=60°． 【解析】 【分析】 （1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即 可； （2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②分三种情况：（Ⅰ）当 D 在线段 BC 上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则 ∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即 α+β=180°； （Ⅱ）当点 D 在线段 BC 反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则 ∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即 α=β；（Ⅲ）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，由①得 α=β； （3）当点 D 在线段 BC 的延长线上或在线段 BC 反向延长线上移动时，α=β，由 CE∥AB， 得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC 是等边三角形， 得出∠ACB=60°；当 D 在线段 BC 上时，α+β=180°，由 CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推 出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC 是等边三角形，得出∠ACB=60°． 【详解】 （1）如图 1 所示：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE．在△BAD 和△CAE 中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B （180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=40°， ∴∠DCE=40°． 故答案为：70°，40°，BC+DC=CE； （2）①当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，α 与 β 之间的数量关系是 α=β．理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE．在△BAD 和△CAE 中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； ②分三种情况： （Ⅰ）当 D 在线段 BC 上时，α+β=180°，如图 2 所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE． ∵∠ADC+∠ADB=180°， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠DAE+∠DCE=180°． ∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β， ∴α+β=180°； （Ⅱ）当点 D 在线段 BC 反向延长线上时，α=β，如图 3 所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； （Ⅲ）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 1 所示，α=β； 综上所述：当点 D 在 BC 上移动时，α=β 或 α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下： ∵当点 D 在线段 BC 的延长线上或在线段 BC 反向延长线上移动时，α=β， 即∠BAC=∠DCE． ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠DCE， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°； ∵当 D 在线段 BC 上时，α+β=180°， 即∠BAC+∠DCE=180°． ∵CE∥AB， ∴∠ABC+∠DCE=180°， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°； 综上所述：当 CE∥AB 时，若△ABD 中最小角为 15°，∠ACB 的度数为 60°． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角 形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性 强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图 1 在中，,若点 D 为 AB 的中点，则．请结合上述结论解决如下问题： 已知，点 P 是射线 BA 上一动点（不与 A,B 重合）分别过点 A,B 向直线 CP 作垂线，垂足分 别为 E,F,其中 Q 为 AB 的中点 （1）如图 2，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系____________；QE 与 QF 的数量 关系是__________ （2）如图 3，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予 证明． (3)如图 4，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并 写出主要证明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析． 【解析】【分析】（1）根据 AAS 得到，得到、QE=QF，根据内错角相等两直线平行，得到 AE//BF；（2）延长 EQ 交 BF 于 D，根据 AAS 判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长 EQ 交 FB 的延长于 D，根据 AAS 判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF；QE=QF （2）QE=QF 证明：延长 EQ 交 BF 于 D，,（3）当点 P 在线段 BA 延长线上时，此时（2）中结论成立 证明：延长 EQ 交 FB 的延长于 D 因为 AE//BF 所以EQ=QF【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行线的性质，根据 P 点位置不同，画出正确的图形，找到 AAS 的条件是解决本题的关键．5．如图，在中，，，点 D 为内一点，且．（1）求证：；（2）若， E 为 AD 延长线上的一点，且 CE CA ．①求∠BDC 的度数．②若点 M 在 DE 上，且，请判断 ME 、 BD 的数量关系，并说明理由．③若点 N 为直线 AE 上一点，且为等腰 ，直接写出的度数．解析：（1）证明见解析；（2）①；②，理由见解析；③ 7.5°或15°或 82.5°或 150°【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；（2）①利用 SSS 证得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵CB=CA，DB=DA，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB；（2）①在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180 -45°-15°=120°；②结论：ME=BD，理由：连接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM=CD，∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，∴△BDC≌△EMC（AAS），∴ME=BD；③当EN=EC时，∠=7.5°或∠ ==82.5°；当EN=CN时，∠ ==150°；当CE=CN时，点N与点A重合，∠CNE=15°，所以∠CNE的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．6．探索发现：……根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝，＝；（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：解析：（1）；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】解：（1），；故答案为（2）原式＝ ;（3）已知等式整理得：所以，原方程即：，方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解为：x＝3．【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 7．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．解析：（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于s或2s，故答案为：s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．9．（概念认识）如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．（问题解决）（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；（延伸推广）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含 m、n的代数式表示）解析：（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根据题意可得的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠的度数；BDC（2）根据BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且可∠的度数；得，进而可求A（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP 分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据，，即可求出∠的度数．BPC【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，；当BD是“邻BC三分线”时，；故答案为：85或100；（2），，，又BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，，，∴，，在中，．（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，时，；①当m n②当时，．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．10．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC， CD = CE，∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，即∠ACD = ∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．11．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC 的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴点D到AF，EF的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．12．在中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为3倍角三角形．（1）在中，，，则为________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的，求的最小内角．（3）若是2倍角三角形，且，请直接写出的最小内角的取值范围．解析：（1）4；（2）的最小内角为15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据n倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2) 根据△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故为4倍角三角形；(2)设其中一个内角为x°，3倍角为3x°，则另外一个内角为：①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的时，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的时，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③当时，解得：，此时：=，因此为最小内角，因此，△DEF的最小内角是9°或15°或．(3) 设最小内角为x，则2倍内角为2x，第三个内角为（180°-3x），由题意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小内角的取值范围是30°＜x＜45°．13．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分别为125°，90°+α．（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由轴对称性质知：，由（1）②可得，∴．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．14．已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的绕点A旋转，当点D在外部，点E 在内部时，求证：．（深入研究）（3）如图③，和都是等边三角形，点，E，D在同一条直线上，则的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，和都是等腰直角三角形，，点、D、E在同一直线上，AM为中DE边上的高，则的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当，时，在旋转过程中，与ADC的面积和的最大值为__________．解析：（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案为：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．15．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．二、选择题16．如图，已知线段AB的长度为a，CD的长度为b，则图中所有线段的长度和为( )A．3a+b B．3a-b C．a+3b D．2a+2b解析：A【解析】【分析】依据线段AB长度为a，可得AB=AC+CD+DB=a，依据CD长度为b，可得AD+CB=a+b，进而得出所有线段的长度和．【详解】∵线段AB长度为a，∴AB=AC+CD+DB=a，又∵CD长度为b，∴AD+CB=a+b，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b，故选A．【点睛】本题考查了比较线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．17．宁波港处于“一带一路”和长江经济带交汇点，地理位置得天独厚．全年货物吞吐量达9.2亿吨，晋升为全球首个“9亿吨”大港，并连续8年蝉联世界第一宝座.其中9.2亿用科学记数法表示正确的是（）A．B．C．D．解析：A【解析】因为科学记数法的表达形式为:,所以9.2亿用科学记数法表示为:,故选A.点睛:本题主要考查科学记数法的表达形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的表达形式.18．-2的倒数是（）A．-2 B．C．D．2解析：B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握19．已知线段AB的长为4，点C为AB的中点，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：B【解析】【分析】根据线段中点的性质，可得AC的长．【详解】解：由线段中点的性质，得AC＝AB＝2．故选B．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质．20．下列四个式子：，，，，化简后结果为3-的是（）A．B．C．D．解析：B【解析】【分析】由题意直接利用求平方根和立方根以及绝对值的性质和去括号分别化简得出答案．【详解】解：A. =3，故排除A;B. =3-，选项B正确；C. =3，故排除C;D. =3，故排除D.故选B.【点睛】本题主要考查求平方根和立方根以及绝对值的性质和去括号原则，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．如图，点A,B在数轴上,点O为原点，.按如图所示方法用圆规在数轴上截取,若点A表示的数是a,则点表示的数是( )A．2a B．C．3a D．解析：B【解析】【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，从而得到点表示的数．【详解】解：由点O为原点，，可知A、B表示的数互为相反数，点A表示的数是a,所以B表示的数为-a，又因为,所以点表示的数为.故选B.【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意结合相反数，利用数形结合的思想解答．22．有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出y的值是（）A．2 B．C．D．解析：C【解析】【分析】把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可.【详解】∵=8，是有理数，∴继续转换，∵=2，是有理数，∴继续转换，∵2的算术平方根是，是无理数，∴输出y=，故选：C.【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别.23．一项工程，甲独做需10天完成，乙单独做需15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙独做全部完成，设乙独做x天，由题意得方程（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1解析：B【解析】【分析】直接利用总工作量为1，分别表示出两人完成的工作量进而得出方程即可．【详解】设乙独做x天，由题意得方程：+=1．故选B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人完成的工作量是解题的。

2019-2020成都市实验外国语学校（西区）中考数学模拟试卷(及答案)一、选择题1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A ．2.3×109 B ．0.23×109 C ．2.3×108 D ．23×1072．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°3．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．24．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：分数/分70 80 90 100 人数/人 1 3 x1 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ）A ．80分B ．85分C ．90分D ．80分和90分5．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（ ）A ．7分B ．8分C ．9分D ．10分 6．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞ C ．514k k ≠＜且 D ．514k k ≤≠且 7．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．18°D ．30° 10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18二、填空题13．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝43，则CD＝_____．16．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．17．如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=70°，则∠2= ．18．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，＝1.732）19．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2BC 3=，那么tan ∠DCF 的值是____．20．对于有理数a 、b ，定义一种新运算，规定a ☆b ＝a 2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．三、解答题21．计算：103212sin45(2π)--+-o ．22．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=（），善于思考的小明进行了以下探索： 设(2a b 2m 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2+=++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ 3)2；（3）若()2433a m n +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值． 23．解分式方程：23211x x x +=+- 24．如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．25．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）. （参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】230000000=2.3×108 ,故选C. 2．C解析：C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB=22OA OB=22．故选C．4．D解析：D【解析】【分析】先通过加权平均数求出x 的值，再根据众数的定义就可以求解．【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1）， x=3∴该组数据的众数是80分或90分．故选D ．【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x 是解答问题的关键．5．B解析：B【解析】【分析】根据平均数的定义进行求解即可得．【详解】根据折线图可知该球员4节的得分分别为：12、4、10、6，所以该球员平均每节得分=1241064+++=8， 故选B ．【点睛】本题考查了折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的求解方法． 6．D解析：D【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ， 解得：k ≤54且k ≠1． 故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键7．B解析：B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=12AB=7在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(7 )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键8．C解析：C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac <b2，所以②正确；③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．9．B解析：B【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.10．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】∵二次函数图象开口方向向上，∴a >0， ∵对称轴为直线02b x a=->， ∴b <0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交， 反比例函数a b c y x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.故选：D.【点睛】 考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.11．B解析：B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥7．即最多打7折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．解析：C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE=12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．二、填空题13．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c的取值范围再根据c是奇数求出c 的值【详解】∵ab满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0∴a﹣7解析：7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 14．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x 轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得A (0,2.5),B (2,2.5),C (0.5,1)设函数解析式为y =ax 2+bx +c把A. B. C 三点分别代入得出c =2.5同时可得4a +2b +c =2.5，0.25a +0.5b +c =1解得a =2，b =−4，c =2.5.∴y =2x 2−4x +2.5=2(x −1)2+0.5.∵2>0∴当x =1时,y min =0.5米.15．【解析】【分析】延长AD 和BC 交于点E 在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长则EC 的长即可求得然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC 相交于点E ∵∠B=90°∴∴BE=∴ 解析：65【解析】【分析】延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠B=90°，∴4 tan3BEAAB==，∴BE=44 3AB⋅=，∴CE=BE-BC=2，225AB BE+=，∴3 sin5ABEAE==，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，sinCDECE =，∴CD=36sin255 CE E⋅=⨯=.16．5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°D为AB的中点∴DF=AB =25∵DE为△ABC的中位线∴DE=BC=4∴EF=DE-DF=15故答案为15【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：解析：5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=12AB=2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=4，∴EF=DE-DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．17．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°18．2m【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F解直角三角形求出EFCF即可解决问题【详解】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F在△DCF中∵CD＝4mDF：CF＝1：3解析：2m．【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．解直角三角形求出EF，CF，即可解决问题．【详解】延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．在△DCF中，∵CD＝4m，DF：CF＝1：，∴tan∠DCF＝，∴∠DCF＝30°，∠CDF＝60°．∴DF＝2（m），CF＝2（m），在Rt△DEF中，因为∠DEF＝50°，所以EF＝≈1.67（m）∴BE＝EF+FC+CB＝1.67+2+5≈10.13（m），∴AB＝BE•tan50°≈12.2（m），故答案为12.2m．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．19．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD ＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点解析：52．【分析】【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°，∵将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，∴CF ＝BC ， ∵AB 2BC 3=，∴CD 2CF 3=．∴设CD ＝2x ，CF ＝3x ，∴．∴tan ∠DCF ＝DF CD =．故答案为：2． 【点睛】 本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．20．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．三、解答题21．13【解析】【分析】根据负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质分别化简各项后，再合并即可解答．【详解】原式11213=+-=111313=． 【点睛】本题主要考查了实数运算，利用负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质正确化简各数是解题关键．22．（1）22m 3n +，2mn ；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【解析】【分析】【详解】(1)∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13． 23．x ＝－5【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，把方程的两边都乘以最简公分母(x ＋1)( x -1)，化为整式方程求解，求出x 的值后不要忘记检验．【详解】解：方程两边同时乘以(x ＋1)( x －1)得： 2x (x －1)＋3(x ＋1)＝2(x ＋1)( x －1)整理化简，得 x ＝－5经检验，x ＝－5是原方程的根∴原方程的解为：x ＝－5．24．（1）证明见解析；（2）2.【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA ==．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.详解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴CAB ACD ∠=∠∵AC 平分BAD ∠∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠∴AD CD =又∵AD AB =∴AB CD =又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AB AD =∴ABCD Y 是菱形（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112OB BD ==． 在Rt AOB V 中，90AOB ∠=︒．∴2OA =．∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒．在Rt AEC V 中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.25．该建筑物需要拆除.【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB 、DB 的长，结合图形求出DH ，比较即可． 详解：由题意得，10AH =米，10BC =米，在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，∴10AB BC ==，在Rt DBC ∆中，30CDB ∠=︒，∴tan BC DB CDB==∠∴()DH AH AD AH DB AB =-=-- 101020 2.7=-=-≈（米）， ∵2.7米3<米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．。

四川省成都市树德协进中学2019-2020学年中考数学模拟调研试卷一、选择题1．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④2．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴一定在y轴的左侧；②a-b+c≥0；③关于x的方程ax2+bx+c=2一定无实数根；④a b cb a++-的最小值是3，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.43．四个实数0、、﹣3.14、﹣2中，最小的数是（）A.0B.C.﹣3.14D.﹣24．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.三棱柱B.三棱锥C.长方体D.正方体5．将一图形绕着点O顺时针方向旋转70后，再绕着点O逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度?（）A．逆时针方向，50B．顺时针方向，50C．顺时针方向，190D．逆时针方向，1906．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤23AM MF=．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（）A ．53B ．2C ．166D ．73168．在平面直角坐标系中，已知点()A 4,2-，()B 6,4--，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO 缩小，则点A 的对应点A'的坐标是( )A ．()2,1-B ．()8,4-C ．()8,4-或()8,4-D ．()2,1-或()2,1-9．如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点(C 与点A 、B 不重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE ＝x ，AP ＝y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．10．若11x m=-是方程mx ﹣2m+2＝0的根，则x ﹣m 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．211．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．2500(12)12000x +=B ．22500(1)12000x +=C ．25002500(1)2500(12)12000x x ++++=D ．225002500(1)2500(1)12000x x ++++=12．下列实数中，最大的数是（ ） A ．﹣|﹣4| B ．0C ．1D ．﹣（﹣3）二、填空题13．若当x ＝﹣2018时，式子ax 3﹣bx ﹣3的值为5，则当x ＝2018时，式子ax 3﹣bx ﹣3的值为_____． 14．如图，直线l 与⊙相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB 的正切值为______．15．如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1，M 2，M 3，…M n 分别为边B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，…，B n B n+1的中点，△B 1C 1M 1的面积为S 1，△B 2C 2M 2的面积为S 2，…△B n ∁n M n 的面积为S n ，则S n ＝_____．（用含n 的式子表示）16．一元二次方程x 2-2x=0的解是_______.17．古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第10个三角形数是_____．18．011(260()23x tan -+︒--+．三、解答题19．如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若BD BE ＝1．求阴影部分的面积． 20．如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx的图象经过点E ，与AB 交于点F ．（1）若点B 坐标为（﹣5，0），求m 的值； （2）若AF ﹣AE ＝2，求反比例函数的表达式．21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC （杆子的底端分别为D ，C ），且∠DAB ＝66.5°． （1）求点D 与点C 的高度差DH ；（2）求所用不锈钢材料的总长度l ．（即AD+AB+BC ，结果精确到0.1米） （参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）22．某校举行了一次古诗词朗读竞赛，满分为10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格．达到9分或10分为优秀．这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩统计分析表和成绩分布的折线统计图如图所示．（2）小英说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是甲、乙哪个组的学生．（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．试写出两条支持乙组同学观点的理由．（4）从这次参加学校古诗词朗诵竞赛的甲、乙两组成绩优秀的学生中，随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率是多少？（画树状图或列表求解）23．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．（1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标；（2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标．24．如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO 的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积S ＝8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD 的顶点B 在x 轴的负半轴上，点C 在第二象限．现将正方形OBCD 绕点O 顺时针旋转角α得到正方形OEFG ．（1）如图2，若α＝45°，OE ＝OA ，求直线EF 的函数表达式； （2）如图3，若α为锐角，且tan α＝12，当EA ⊥x 轴时，正方形对角线EG 与OF 相交于点M ，求线段AM 的长；（3）当正方形OEFG 的顶点F 落在y 轴正半轴上时，直线AE 与直线FG 相交于点P ，是否存在△OEP 的两：1？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【参考答案】*** 一、选择题13．﹣11． 14．7515．．16．120,2x x == 17．35 18． 三、解答题19．（1）见解析；（26-π 【解析】 【分析】（1）连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，再根据切线的性质得OD ⊥AB ，然后利用角平分线的性质得到OF=OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设⊙O 的半径为r ，则OD=OE=r ，利用勾股定理得到222r (r 1)+=+，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD 33==，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S △AOD -S 扇形DOF 进行计算． 【详解】解：（1）证明：连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点， ∴AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ， ∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ， 而OF ⊥AC ， ∴OF ＝OD ， ∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt △BOD 中，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，∴r 2+2＝（r+1）2，解得r ＝1， ∴OD ＝1，OB ＝2，∴∠B ＝30°，∠BOD ＝60°， ∴∠AOD ＝30°，在Rt △AOD 中，AD ==， ∴阴影部分的面积＝2S △AOD ﹣S 扇形DOF21601212360π⋅⋅=⨯⨯-.36π=- 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质． 20．（1）m ＝﹣8；（2）y ＝﹣4x． 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形对边相等的性质、E 点是CD 的中点以及B 点的坐标求出E 点的坐标，因为E 点在反比例函数图象上，所以将E 点坐标代入my x=中，即可求出m 值，（2）连接AE，ADE是直角三角形，根据勾股定理，求得AE的长，因为AF-AE=2，进而求得AF的长，设E（a，4），根据矩形对边相等的性质，可求出F坐标，因为E、F两点都在反比例函数图象上，所以将E、F两点代入myx=，即可求出m的值.【详解】（1）点B坐标为（﹣5，0），AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴点A（﹣5，8），E（﹣2，4），∵反比例函数myx=的图象经过E点，∴m＝﹣2×4＝﹣8；（2）如图，连接AE，∵AD＝3，DE＝4，∠D＝90°，∴5,AE==∵AF﹣AE＝2，∴AF＝5+2＝7，BF＝8﹣7＝1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），∵E，F两点在函数myx=图象上，∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，∴E（﹣1，4），∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴4. yx =-【点睛】本题主要考查矩形、反比例函数的解析式以及一次函数的解析式,掌握待定系数法是解题的关键. 21．（1）DH＝1.2米；（2）点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米．【解析】【分析】（1）通过图观察可知DH高度包含3层台阶，因而DH=每级小台阶高度×小台阶层数．（2）首先过点B作BM⊥AH，垂足为M．求得AM的长，在Rt△AMB中，根据余弦函数cosAMAAB=即可求得AB的长，那么根据不锈钢材料的总长度l=AD+AB+BC，求得所用不锈钢材料的长．【详解】（1）DH＝1.6×34＝1.2（米）；（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．∴MH＝BC＝1∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2．在Rt△AMB中，∠A＝66.5°．∴AB＝1.23.0cos66.50.40AM︒≈=（米）．∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（米）．答：点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米．【点睛】此题考查了三角函数的基本概念，主要是在解题过程中作辅助线BM，利用余弦概念及运算，从而把实际问题转化为数学问题加以解决．22．（1）中位数a＝6；（2）小英属于甲组学生；（3）①乙组的总体平均水平高；②乙组的成绩比甲组的成绩稳定；（4）随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率为1 10．【解析】【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数的定义求解可得；（2）根据中位数的意义求解可得；（3）可从平均数和方差两方面阐述即可；（4）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与两名学生恰好是乙组的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a＝6，（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于小组中上游，∴小英属于甲组学生；（3）乙组学生成绩的平均分b＝（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）÷10＝7.2；①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定；（4）列表得：∴随机抽取两名学生参加全市古诗词朗诵竞赛，恰好是乙组学生的概率＝21=2010． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率．也考查了折线统计图以及中位数与方差的定义． 23．（1）A （1，0）、B （1，2）、C （﹣2，2）、D （﹣2，﹣2）、E （3，﹣2）（2）（3，4） 【解析】 【分析】（1）观察图形，即可找出A ，B ，C ，D ，E 五点的坐标；（2）观察图形，可知：点的运动规律是右、上、左、下、右、…，且每次长度+1，结合点E 的坐标及DE 的长度即可得出点F 的坐标． 【详解】（1）观察图形，可知：A （1，0）、B （1，2）、C （﹣2，2）、D （﹣2，﹣2）、E （3，﹣2）； （2）∵E （3，﹣2），DE ＝5， ∴EF ＝6， ∴F （3，4）． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．24．（1）y ＝x 2；（2）y ＝﹣15x 2+85x ；（3）点P 的坐标为（4，2）或（，2）或（4﹣，﹣2）或（，﹣2）时，△POB 的面积S ＝8．【解析】 【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB ＝45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C′O′，从而判断出△OO′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）∵AB ＝OB ，∠ABO ＝90°， ∴△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠AOB ＝45°， ∵∠yOC ＝45°，∴∠AOC ＝（90°﹣45°）+45°＝90°， ∴AO ⊥CO ，∵C′O′是CO 平移得到，∴AO ⊥C′O′，∴△OO′G 是等腰直角三角形， ∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度， ∴OO′＝2x ，∴其以OO′为底边的高为x ， ∴y ＝12×（2x ）•x＝x 2； （2）当x ＝3秒时，OO′＝2×3＝6， ∵12×6＝3， ∴点G 的坐标为（3，3）， 设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ， 则9336480a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1585a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝21855x x -+； （3）设点P 到x 轴的距离为h ， 则S △POB ＝12×8h＝8， 解得h ＝2，当点P 在x 轴上方时，21855x x -+＝2， 整理得，x 2﹣8x+10＝0， 解得x 1＝4，x 2＝，此时，点P 的坐标为（4，2）或（，2）； 当点P 在x 轴下方时，21855x x -+＝﹣2， 整理得，x 2﹣8x ﹣10＝0， 解得x 1＝4，x 2＝，此时，点P 的坐标为（4，﹣2）或（，﹣2），综上所述，点P 的坐标为（4，2）或（，2）或（4，﹣2）或（，﹣2）时，△POB 的面积S ＝8． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，平移的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．25．(1)直线EF 的解析式为y ＝(2)AM ＝；(3)满足条件的点P 的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)． 【解析】【分析】(1)过点E 作EH ⊥OA 于点H,进而求出点E 的坐标,再根据勾股定理求出OF 的值,然后利用待定系数法,即可求出直线EF 的解析式(2)作MN ⊥AM 交x 轴于点N,此时△AEM ≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN 是等腰直角三角形,即可求出AM 的长;(3)根据点F 落在y 轴正半轴上,通过改变正方形的边长,画出直线AE 与直线FG 相交的点P,并判断△OEP的其中两边之比能否为2:1,当△OEP :1时,再通过分类讨论确定出图形,根据图形性质,利用勾股定理、相似三角形、三角函数等知识求得点P 的坐标【详解】(1)∵OE ＝OA ＝8，α＝45°，∴E(﹣，F(0，)，设直线EF 的解析式为y ＝kx+b ，则有b b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线EF 的解析式为y ＝．(2)如图3中，作MH ⊥OA 于H ，MK ⊥AE 交AE 的延长线于K ．在Rt △AEO 中，tan ∠AOE ＝12AE OA =，OA ＝8， ∴AE ＝4，∵四边形EOGF 是正方形，∴∠EMO ＝90°，∵∠EAO ＝∠EMO ＝90°，∴E 、A 、O 、M 四点共圆，∴∠EAM ＝∠EOM ＝45°， ∴∠MAK ＝∠MAH ＝45°，∵MK ⊥AE ，MH ⊥OA ，∴MK ＝MH ，四边形KAOM 是正方形，∵EM ＝OM ，∴△MKE ≌△MHO ，∴EK ＝OH ，∴AK+AH ＝2AH ＝AE+EK+OA ﹣OH ＝12，∴AH ＝6，∴AM ＝．(3)如图2中，设F(0，2a)，则E(﹣a ，a)．∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，∴直线AP的解析式为y＝888a axa a+--，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由22424,84884a ay x a xa ay x a aa a y⎧-=-+=⎧⎪⎪⎪⎨⎨=++⎪⎪--⎩=⎪⎩解得，∴P(2244,44a a a a-+)．①当POOE时，∴PO2＝2OE2，则有：2222(4)(4)1616a a a a-++＝4a2，解得a＝4或﹣4(舍弃)或0(舍弃)，此时P(0，8)．②当POPE时，则有：2222(4)(4)1616a a a a-++＝2[(22244+)44a a a aa a-++-（)2]，解得：a＝4或12，此时P(0，8)或(﹣24，48)，③当PEEO时，[(22244+)44a a a aa a-++-（)2]＝4a2，解得a＝8或0(舍弃)，∴P(﹣8，24)综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．【点睛】本题考査了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线。

四川省成都市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是( )A ．10B ．12C ．20D ．242．小苏和小林在如图①所示的跑道上进行450⨯米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（ ）.A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C ．小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程D ．小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次3．小宇妈妈上午在某水果超市买了 16.5 元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了 25％ ，小宇妈妈又买了 16.5 元钱的葡萄，结果恰好比早上多了 0.5 千克．若设早上葡萄的价格是 x 元/千克，则可列方程（ ）A ．()16.516.50.5x 125%x +=+ B ．()16.516.50.5x 1-25%x += C ．()16.516.5-0.5x 125%x =+D ．()16.516.5-0.5x 1-25%x =4．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．225．已知：如图，在扇形OAB 中，110AOB ∠=︒，半径18OA =，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π6．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A ．赚了10元B ．赔了10元C ．赚了50元D ．不赔不赚7．若（x ﹣1）0＝1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x≠0D ．x≠18．如图，PA 、PB 是O e 的切线，点D 在»AB 上运动，且不与A ，B 重合，AC 是O e 直径．62P ∠=︒，当//BD AC 时，C ∠的度数是( )A ．30°B ．31︒C ．32︒D ．33︒9．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别AB 、AC 是上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA．1 B．2 C．3 D．4 10．下列运算结果正确的是（）A．a3+a4=a7B．a4÷a3=a C．a3•a2=2a3D．（a3）3=a611．对于不等式组1561333(1)51x xx x⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩，下列说法正确的是（）A．此不等式组的正整数解为1，2，3B．此不等式组的解集为716x-<≤C．此不等式组有5个整数解D．此不等式组无解12．下列各点中，在二次函数2y x=-的图象上的是（）A．()1,1B．()2,2-C．()2,4D．()2,4--二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．图中是两个全等的正五边形，则∠α=______．14．计算20180(1)(32)---＝_____．15．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．16．在矩形ABCD中，AB=6CM，E为直线CD上一点，连接AC，BE，若AC与BE交与点F，DE=2，则EF：BE= ________ 。

成都市树德实验中学（西区）九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC ；①如图1，是否存在点P ，使∠PBC ＝∠BCO ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N ，∠PAB ＝∠BCO ，点M 在第三象限抛物线上，连接MN ，当∠ANM ＝45°时，请直接写出点M 的坐标．5．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2115:L y x bx a a=+-的顶点D 在第四象限，且经过(1,)A m n +，(1,)(0,0)B m n m n ->>两点直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的1L 对称轴交于点E ，8AC BC ⋅=，点E 的纵坐标为1．（1）求抛物线1L 所对应的函数表达式；（2）若将直线AB 绕着点E 旋转，直线AB 与抛物线1L 有一个交点Q 在第三象限，另一个交点记为P ，抛物线2L 与抛物线1L 关于点P 成中心对称，抛物线2L 的顶点记为1D ． ①若点Q 的横坐标为-1，抛物线1L 与抛物线2L 所对应的两个函数y 的值都随着x 的增大而增大，求相应的x 的取值范围；②若直线PQ 与抛物线2L 的另一个交点记为Q ，连接1PD ，11Q D ，试间：在旋转的过程中，1PD Q 的度数会不会发生变化？请说明理由． 6．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④． （探究）（1）证明：OBC ≌OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．7．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 的面积为934，求线段AC 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．11．如图，在ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，连结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ，设AD EFx AB AF==．（1）当1x =时，求:AG AB 的值；（2）设GDHEBAS y S =△△，求y 关于x 的函数关系式； （3）当3DH HC =时，求x 的值．12．如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EGHF的值是否为定值，证明你的结论．13．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值；（2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111A O C △，再将111A O C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．16．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．17．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值； (3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值． 18．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标； （3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式； ②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．19．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ． (1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时， ①求证：四边形DENM 是菱形； ②求证：BM ＝AB ；(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC ⋅AC ．20．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数； （2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）2315344y x x =-+；（2）9；（3）存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形 【解析】 【分析】(1)根据抛物线经过A 、B 两点，带入解析式，即可求得a 、b 的值.（2）根据PA=PB ，要求四边形PAOC 的周长最小，只要P 、B 、C 三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.（3）首先根据△BQM 为直角三角形，便可分为两种情况QM ⊥BC 和QM ⊥BO ，再结合△QBM ∽△CBO ，根据相似比例便可求解. 【详解】解：（1）将点A （1,0），B （4,0）代入抛物线23y ax bx =++中，得：3016430a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：34154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为2315344y x x =-+.（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线52x =.连接BC ，交抛物线的对称轴为点P ,此时四边形PAOC 的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.(3) 当QM ⊥BC 时，易证△QBM ∽△CBO 所以QM BMOC OB=, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x , 则BM=5- x 所以534x x -= 所以157x .所以QM=CM=157，BM=5- x=207,所以BM:CM=4:3. 过点M 作NM ⊥O B 于N ，则MN//OC, 所以 NM BM BNOC CB OB==, 即4374NM BN == ，所以1216,77MN BN ==, 127ON OB BN =-= 所以点M 的坐标为（1212,77） 当QM ⊥BO 时, 则MQ//OC, 所以QM BQ OC OB =, 即34QM BQ= 设QM=3t , 则BQ=4t , 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t 又因为QM 2+QB 2=BM 2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得58t =MQ=3t=158,32OQ OB BQ =-=, 所以点M 的坐标为（315,28）.综上所述，存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM为直角三角形 【点睛】本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.2．（1）1；（2）①22；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】 【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：m=2+2或m=22-．综上所述：m=25-或m=22+或m=22-． ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 与y 轴交点纵坐标为1， ∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x 2+4x+n 经过点（0，1）， ∴n=1．如图4所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键． 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为(15,1),(13,1)-±；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】 【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标． 【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)ya x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-． ∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++， 将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++． （2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE COEB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．又C 点的坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P 的坐标为(11)±-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=±∴点P 的坐标为(1±．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1±- （4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称 ∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点． ∵点H 的坐标为450,8⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中，()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174． ∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=． KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．4．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①存在，点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M（﹣43，﹣359） 【解析】 【分析】（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1），即可求解；（2）①分点P （P ′）在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可；②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR ＝NR，列出等式即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；tan∠BCO＝13，则cos∠BCO＝310；①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠P′AB＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PBC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH1022 3110 +=解得：CH＝53，则OH＝3﹣CH＝43，故点H（0，﹣43），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝43x﹣43②，联立①②并解得：58 xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝13，故设直线AP的表达式为：y＝13x s+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝13x+1，联立①③并解得：43139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点N（43，139）；设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣43）2+（139）2④，联立③④并解得：29109mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M（﹣43，﹣359）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．5．（1）2125333y x x =--；（2）①110x ≤≤；②不会发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A ，B 坐标求出对称轴为1x =，得到2b a=-，代入抛物线解析式得到216(1)y x a a =--，写出顶点61,D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据其位置，得出0a >，根据A ，B 坐标表示出AC ，BC 长度，结合AC ·BC=8，求得m 的值，代入点A ，B 得其坐标，将A 坐标代入抛物线解析式得a 的值，即可得到抛物线的解析式； （2）①将1x =-代入2125333y x x =--，求得21,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，结合点E 求得PQ 解析式，联立2125333y x x =--，解得点P 的坐标，根据中心对称的性质，得到点1D 的横坐标为10，可得x 的取值范围；②过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，设出点P ,Q 坐标，求出PQ 的解析式，联立2125333y x x =--，得到1212,x x x x +⋅，由tan 1tan DPF QDG ∠=∠，得到DPF QDG ∠=∠，结合90DPF PDF ︒∠+∠=，得到90PDQ ︒∠=，可证得结果．【详解】解：（1）∵抛物线212y x bx a a=+-过(1,),(1,)(0)A m n B m n n +->两点， ∴由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线1x =，112b a∴-=⨯2b a∴=- 2212516(1)y x x x a a a a a∴=--=-- 61,D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭又∵顶点D 在第四象限，60a ∴-<，解得：10,0a a >> 0,0m n >>，∴抛物线的开口向上，其图象如图所示，1,|1|,8AC m BC m AC BC =+=-⋅=， (1)(1)8m m ∴+-=±，解得：3m =±0m >， 3m ∴=，由题意可知，点E 在线段AB 上，而点E 的纵坐标为1，(4,1),(2,1)A B ∴-，把(4,1)A 代入216(1)y x a a =--得，2161(41)a a=--解得：113a =∴抛物线1L 所对应的函数表达式为2125333y x x =--（2）①把1x =-代入2125333y x x =--得，23y =-21,3Q ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭(1,1)E ，∴直线PQ 的解析式为5166y x =+ 由25166125333y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得，21255133366x x x --=+，解得：12111,2x x =-=∴点P 的横坐标为112由中心对称的性质可得，点1D 的横坐标为10，即抛物线2L 的对称轴为直线10x =， 结合图象：可得，x 的范围为110x ≤≤；②在旋转的过程中，1PD Q ∠的度数不会发生变化，理由如下：连接,PD QD ，由中心对称的性质可得，11PD Q PDQ ∠=∠．过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，如图所示，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的解析式为y kx b '=+，则∵直线PQ 过(1,1)E ，1k b '∴=+，可得，1b k '=-，∴直线PQ 的解析式为(1)y kx k =+- 由2(1)125333y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=--⎪⎩得，2125(1)333x x kx k --=+- 整理得，2(32)(38)0x k x k -++-= 121232,38x x k x x k ∴+=+⋅=-21111125(2)1333tan 13x x x DF DPF PF x -----∠===-，2222213tan 1251(2)333x QDG x x x -∠==-----， ()()()121212111tan (38)(32)11tan 999x x x x x x DPF k k QDG ---⋅++-∠--++-∴====∠ tan tan DPF QDG ∴∠=∠DPF QDG ∴∠=∠又90DPF PDF ︒∠+∠=90QDG PDF ︒∴∠+∠=90PDQ ︒∴∠=1190PD Q ︒∴∠=，即在旋转的过程中，PDQ ∠的度数不会发生变化．【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，熟知其设计的知识点及相关关系，是解题的关键．6．（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90°由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE∴∠DEF ＝90°又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°，∴四边形ADEF 是矩形又∵AD ＝DE ，∴四边形ADEF 是正方形∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45°∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45°∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ．∴OC ＝OD ．在△OBC 与△OED 中，BC DE BCO FDE OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；（2）连接EF 、BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8．由（1）知，BC ＝DE∵BC ＝x ，∴DE ＝x∴CE ＝8－x由（1）知△OBC ≌△OED∴OB ＝OE ，∠OED ＝∠OBC ．∵∠OED ＋∠OEC ＝180°，∴∠OBC ＋∠OEC ＝180°．在四边形OBCE 中，∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠OBC ＋∠OEC ＋∠BOE ＝360°，∴∠BOE ＝90°．在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2．∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2．∴y ＝x 2－8x ＋32∴当x=4时，y 有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．7．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）67 7【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴34PC2＝934，∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD＝3AD＝3t，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t＝377（负值舍去），∴AC＝2t＝677．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．8．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。

四川省成都市树德协进中学2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．正六边形的半径与边心距之比为（）A.1：B.：1C.：2D.2：2．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（）A．18°B．21°C．27°D．36°3．下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程121.2 0.30.5x x-+-=中的分母化为整数，得1010102035x x-+-＝12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．5．在平面直角坐标系中，点A1（﹣1，1）在直线y＝x+b上，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1，作等腰直角三角形A1B1B2（B2与原点O重合），再以A1B2为腰作等腰直角三角形A2A1B2；以A2B2为腰作等腰直角三角形A2B2B3；按照这样的规律进行下去，那么A2019的坐标为（）A.（22018﹣1，22018）B.（22018﹣2，22018）C.（22019﹣1，22019）D.（22019﹣2，22019））6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为（）个．A.1835B.1836C.1838D.18427．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ） A.最小值0 B.最大值1 C.最大值2D.有最小值﹣8．下面是小林做的4道作业题：(1)2ab+3ab ＝5ab ；(2)2ab ﹣3ab ＝﹣ab ；(3)2ab ﹣3ab ＝6ab ；(4)2ab÷3ab＝23．做对一题得2分，则他共得到( ) A ．2分B ．4分C ．6分D ．8分9．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。