七年级上册成都市树德实验中学数学期末试卷测试卷附答案
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.如图,O为直线AB上一点,∠BOC=α.
(1)若α=40°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°,如图(a)所示,求∠AOE的度数;
(2)若∠AOD= ∠AOC,∠DOE=60°,如图(b)所示,请用α表示∠AOE的度数;
(3)若∠AOD= ∠AOC,∠DOE= (n≥2,且n为正整数),如图(c)所示,请用α和n表示∠AOE的度数(直接写出结果).
【答案】(1)解:∵∠BOC=40°,OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOC=70°,
∵∠DOE=90°,则∠AOE=90°﹣70°=20°
(2)解:设∠AOD=x,则∠DOC=2x,∠BOC=180﹣3x=α,
解得:x= ,
∴∠AOE=60﹣x=60﹣ =
(3)解:设∠AOD=x,则∠DOC=(n﹣1)x,∠BOC=180﹣nx=α,
解得:x= ,
∴∠AOE= ﹣ =
【解析】【分析】(1)首先根据平角的定义,由∠AOC=∠AOB-∠BOC算出∠AOC的度
数,再根据角平分线的定义由∠AOD=∠DOC =∠AOC算出∠AOD的度数,最后根据∠AOE=∠DOE-∠AOD即可算出答案;
(2)可以用设未知数的方法表示角的度数之间的关系,更加清晰明了,设∠AOD=x,则∠DOC=2x,∠BOC=180﹣3x=α,解方程表示出x的值,再根据∠AOE=∠DOE-∠AOD即可用a的式子表示出∠AOE;
(3)用设未知数的方法表示角的度数之间的关系,更加清晰明了,设∠AOD=x,则∠DOC=(n﹣1)x,∠BOC=180﹣nx=α,解方程表示出x的值,再根据∠AOE=∠DOE-∠AOD即可用a的式子表示出∠AOE。
2.阅读理解:若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是点是【A,B】的好点.
(1)如图1,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D________【A,B】的好点,但点D________【B,A】的好点.(请在横线上填是或不是)知识运用:
(2)如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为4,点N所表示的数为﹣2.数________所表示的点是【M,N】的好点;
(3)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当经过________秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
【答案】(1)不是;是
(2)0
(3)5或10
【解析】【解答】解:(1)如图1,∵点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,
根据好点的定义得:DB=2DA,那么点D不是【A,B】的好点,但点D是【B,A】的好点;
⑵如图2,4﹣(﹣2)=6,6÷3×2=4,
即距离点M4个单位,距离点N2个单位的点就是所求的好点0;
∴数0所表示的点是【M,N】的好点;
⑶如图3,由题意得:PB=4t,AB=40+20=60,PA=60﹣4t,
点P走完所用的时间为:60÷4=15(秒),
当PB=2PA时,即4t=2(60﹣4t),t=10(秒),
当PA=2PB时,即2×4t=60﹣4t,t=5(秒),
∴当经过5秒或10秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点;
故答案:(1)不是,是;(2)0;(3)5或10.
【分析】(1)根据定义发现:好点表示的数到【A,B】中,前面的点A是到后面的数B 的距离的2倍,从而得出结论;(2)点M到点N的距离为6,分三等分为份为2,根据定义得:好点所表示的数为0;(3)根据题意得:PB=4t,AB=40+20=60,PA=60﹣4t,由好点的定义可知:分两种情况列式:①PB=2PA;②PA=2PB;可以得出结论.
3.如图(1),将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系,并说明理由;
(2)若∠DCE=30°,求∠ACB的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由;
(4)若改变其中一个三角板的位置,如图(2),则第(3)小题的结论还成立吗?(不需说明理由)
【答案】(1)解:∠ACE=∠BCD,理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=∠BCD;
(2)解:若∠DCE=30°,∠ACD=90°,
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°,
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE,
∠ACB=90°+60°=150°
(3)解:猜想∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∵∠ACD=90°=∠ECB,∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°,
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣(∠ACD+∠ECB)=360°﹣180°=180°
(4)解:成立.
【解析】【分析】(1)根据余角的性质,可得答案;(2)根据余角的定义,可得∠ACE,根据角的和差,可得答案;(3)根据角的和差,可得答案;(4)根据角的和差,可得答案.
4.如图已知直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,点E、点F在线段BC上,满足∠FOB=∠AOB=α,OE平分∠COF.
(1)用含有α的代数式表示∠COE的度数;
(2)若沿水平方向向右平行移动AB,则∠OBC:∠OFC的值是否发生变化?若变化找出变化规律;若不变,求其比值.
【答案】(1)解:∵CB∥OA,∴∠C+∠AOC=180°.
∵∠C=100°,∴∠AOC=80°.
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB= ∠COF+ ∠FOA
= (∠COF+∠FOA)= ∠AOC=40°.
又OE平分∠COF,
∴∠COE=∠FOE=40°﹣α;
(2)解:∠OBC:∠OFC的值不发生改变.
∵BC∥OA,
∴∠FBO=∠AOB,
又∵∠BOF=∠AOB,
∴∠FBO=∠BOF,
∵∠OFC=∠FBO+∠FOB,
∴∠OFC=2∠OBC,
即∠OBC:∠OFC=∠OBC:2∠OBC=1:2= .
【解析】【分析】(1)根据CB∥OA,可得∠C与∠OCA的关系,再根据∠C=∠OAB=100°,根据∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF,即可得到∠EOB=∠BOF+∠EOF,及可求得答案;
(2)根据∠FOB=∠AOB,即可得到∠AOB:∠AOF=1:2,再根据CB∥OA,可得∠AOB=∠OBF,∠AOF=∠OFC,进而得出结论.
5.如图,已知OE平分,OF平分
(1)若是直角,,求的度数.
(2)若,,,请用x 的代数式来表示直接写出结果就行 .
【答案】(1)解:∵∠AOB是直角,∠BOC=60°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°,
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC=∠AOC=75°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF=∠BOC=30°,
∴∠EOF=∠EOC?∠COF=75°?30°=45°;
(2)解:∵∠AOC=x°,OE平分∠AOC,
∴∠EOC=∠AOC= x°,
∵OF平分∠BOC,∠BOC=60°,
∴∠COF=∠BOC=30°,
∴∠EOF=∠EOC?∠COF=x°?30°,即y=x?30.
【解析】【分析】(1)由∠AOB是直角、∠BOC=60°知∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°,根据OE平分∠AOC、OF平分∠BOC求得∠EOC、∠COF度数,由∠EOF=∠EOC?∠COF可
得答案;(2)由∠AOC=x°,、OE平分∠AOC 知∠EOC=∠AOC= x°,由OF平分∠BOC、∠BOC=60°知∠COF=∠BOC=30°,根据∠EOF=∠EOC?∠COF可得答案.
6.学习千万条,思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题:
(1)已知点为直线上一点,将直角三角板的直角顶点放在点处,并在
内部作射线.
①如图1,三角板的一边与射线重合,且,若以点为观察中心,射线表示正北方向,求射线表示的方向;
②如图2,将三角板放置到如图位置,使恰好平分,且,求
的度数.
(2)已知点不在同一条直线上,,平分,平分,用含的式子表示的大小.
【答案】(1)解:①∵∠MOC=∠AOC﹣∠AOM=150°﹣90°=60°,
∴射线OC表示的方向为北偏东60°
②∵∠BON=2∠NOC,OC平分∠MOB,
∴∠MOC=∠BOC=3∠NOC,
∵∠MOC+∠NOC=∠MON=90°,
∴3∠NOC+∠NOC=90°,
∴4∠NOC=90°,
∴∠BON=2∠NOC=45°,
∴∠AOM=180°﹣∠MON﹣∠BON
=180°﹣90°﹣45°
=45°
(2)解:①如图1:
∵∠AOB=α,∠BOC=β
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°
∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,
∴∠AOM=∠BOM=∠AOB=α,∠CON=∠BON=∠COB=β,
∴∠MON=∠BOM+∠CON=;
②如图2,
∠MON=∠BOM﹣∠BON=;
③如图3,
∠MON=∠BON﹣∠BOM=.…
∴∠MON为或或.
【解析】【分析】(1)①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算,即得出射线OC表示的方向;②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解;(2)分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可.
7.如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC=50°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方。
(1)如图2,将图1中的三角板绕点O逆时针旋转,使边OM在∠BOC的内部,且OM恰好平分∠BOC.此时∠BON=________度;
(2)如图3,继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,若第t秒时,OA,OC,ON三条射线恰好构成相等的角,则t的值为________(直接写出结果)
【答案】(1)25
(2)解:∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为:∠AOM-∠NOC=40°,
理由如下:∵∠MON=90°,∠AOC=50°,
∴∠AOM+∠NOA=90°
∠AON+∠NOC=50°
∴∠AOM-∠NOC=40°
(3)13秒,34秒,49秒或64秒。
【解析】【解答】解:(1)∵∠AOC=50°,
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°,
∵OM平分∠BOC,
∴∠BOM=∠BOC÷2=130°÷2=65°,
∴∠BON=90°-∠BOM=90°-65°=25°;
故答案为:25.
(3)如图,有四种情况:
1)当∠AON1=∠CON1,
∵∠AOC=50°,
∴∠AON1=∠CON1=(360°-∠AOC)÷2=155°,
∴∠NON1=155°-90°=65°,
∴t=65°÷5=13(秒);
2)当∠AOC=∠CON2,
∴∠NON2=360°-∠AON-2∠AOC=360°-90°-2×50°=170°,
∴t=170°÷5=34(秒);
3)当∠AON3=∠CON3,
∵∠NON3=∠NOB+∠AOB-∠AON3=90°+180°-50°÷2=245°,
∴t=245°÷5=49(秒);
4)当∠COA=∠AON4,
∠NON4=∠NOB+∠AOB+∠AON4=90°+180°+50°=320°,
∴t=320°÷5=64(秒).
故答案为:13秒,34秒,49秒或64秒.
【分析】(1)已知∠AOC的度数,根据补角的性质可求∠BOC的度数,结合OM平分∠BOC,则∠BOM的角度可求,于是根据余角的性质即可确定∠BON的大小;
(2)∠AOM和∠NOA互余,∠AON与∠NOC之和等于50°,两式联立消去∠AON,可得∠AOM和∠NOC的数量关系;
(3)因为OA,OC,ON三条射线恰好构成相等的角,分四种情况讨论,依次为当∠AON1=
∠CON1,当∠AON3=∠CON3,当∠COA=∠AON4,当∠AOC=∠CON2,根据已知角的大小,结合角的关系分别求出∠NON1,∠NON2 ,∠NON3,∠NON4的大小,则t可求.
8.如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=8 cm,CB=6 cm,求线段MN的长;
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?写出你的结论并说明理由;
(3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图.
【答案】(1)解:点M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM= AC=4cm,
CN= BC=3cm,
∴MN=CM+CN=4+3=7cm
所以线段MN的长为7cm
(2)解:MN的长度等于 a,
根据图形和题意可得:
MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= a
(3)解:MN的长度等于 b,
根据图形和题意可得:
MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b.
【解析】【分析】(1)据“点M、N分别是AC,BC的中点”,先求出MC、CN的长度,再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可.(2)据题意画出图形即可得出答案.(3)据题意画出图形即可得出答案.
9. O为直线AB上的一点,OC⊥OD,射线OE平分∠AOD.
(1)如图①,判断∠COE和∠BOD之间的数量关系,并说明理由;
(2)若将∠COD绕点O旋转至图②的位置,试问(1)中∠COE和∠BOD之间的数量关系是否发生变化?并说明理由;
(3)若将∠COD绕点O旋转至图③的位置,探究∠COE和∠BOD之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∠BOD=2∠COE,
理由如下:∵OC⊥OD
∴∠COD=90°
∴∠BOD=90°﹣∠AOC
∵射线OE平分∠AOD.
∴∠AOE=∠AOD
∵∠COE=∠AOE﹣∠AOC=﹣∠AOC=
∴∠BOD=2∠COE
(2)解:不发生变化,
理由如下:∵OC⊥OD
∴∠COD=90°
∵∠COE=90°﹣∠DOE,且∠BOD=180°﹣2∠DOE=2(90°﹣∠DOE)
∴∠BOD=2∠COE
(3)解:∠BOD+2∠COE=360°
理由如下:∵OC⊥OD
∴∠COD=90°
∴∠DOE=90°﹣∠COE,且∠BOD=90°+∠BOC=90°+90°﹣2∠DOE=180°﹣2∠DOE
∴∠BOD+2∠COE=360°
【解析】【分析】(1)本题运用统一量的思想求∠COE和∠BOD之间的数量关系。因为OC⊥OD,则∠BOD=90°﹣∠AOC,因为OE平分∠AOD,∠AOE=∠AOD,
而∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+∠AOC,从而由∠COE=∠AOE﹣∠AOC,把∠COE 用含∠AOC的代数式表示,经过比较即可求得∠BOD=2∠COE;
(2)本题也是运用统一量的思想,把∠COE和∠BOD用含∠DOE的代数式表示,即∠COE=90°﹣∠DOE,∠BOD=180°﹣2∠DOE=2(90°﹣∠DOE),两式比较即可得到∠BOD=2∠COE;
(3)本题依然运用统一量的思想,把∠BOD和∠DOE用含∠COE的代数式表示,即∠DOE=90°+∠COE,∠BOD=180°﹣2∠DOE,观察分析即可得出∠BOD+2∠COE=360°。
10.平行线问题的探索
(1)问题一:
已知:如图,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,当∠1=30°时,求∠EFG的度数。
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,如图1:
甲同学辅助线的做法和分析思路如下
辅助线:()
分析思路
①欲求∠EFG的度数,由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数;
②由MN∥CD可知,∠2=∠1,又由已知∠1的度数可得∠2的度数;
③由AB∥CD,MN〃CD推出AB∥MN,由此可推出∠3=∠4;
④由已知EF⊥AB,可得∠4=90°,所以可得∠3的度数;
⑤从而可求∠EFG的度数
Ⅰ.请你根据乙同学所画的图形,描述乙同学辅助线的做法
辅助线: ________ ;
Ⅱ.请你根据丙同学所画的图形,且不再添加其他辅助线,求∠EFG的度数________
(2)问题二
如图2,在平面直角坐标系中,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,C(0,a),D(b,a),其中a,b满足关系式:|a+3|+(b-a+1)2=0.
①a=________,b=________ ;
②根据已知点的坐标判断AB与CD的位置关系是 ________ 。
【答案】(1)过点F作MN∥CD;如图,过O作OD∥FG,交CD于N
∴∠ONP=∠1=30°
∵AB∥CD,
∴∠BON=∠ONP=30°
∵EF⊥AB,
∴∠EOB=90°
∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°
∵OD∥FG
∴∠EFG=∠EON=120°
(2)-3;-4;AB∥CD
【解析】【解答】解:(1)Ⅰ.如图2,过P作PN∥EF,交AB于N,
故答案为:过点F作MN∥CD,①过P作PN∥EF,交AB于N
( 2 )①∵|a+3|+(b-a+1)2=0,
∴a+3=0,b-a+1=0,
解得:a=-3,b=-4,
故答案为:-3,-4
②AB∥CD,理由是
∵C(0,a),D(b,a),
∴CD∥x轴,
∵点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上,
∴AB∥CD,
故答案为:AB∥CD
【分析】(1)Ⅰ.由图示可知辅助线的作法;
Ⅱ. 过O作OD∥FG,交CD于N,则两直线平行,内错角相等得∠ONP=∠1,AB∥CD,又由两直线平行内错角相等得∠BON=∠ONP,等量代换从而求得∠BON得度数,结合∠EOB=90°,∠EON=∠EOB与∠BON之和,求得∠EON,再由OD∥FG,根据两直线平行同位角相等求得∠EFG;
(2)根据两个非负数之和等于0,则此两个两个非负数分别等于0列式,解出a、b的值;
C点和D点的横坐标不同,纵坐标相同,则CD∥x轴,又因为点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,则AB在x轴上,因此得出AB平行CD。
11.如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,?….
例如:当α=30°时,OA1, OA2, OA3, OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON 上,∠A3OA4=120°;
当α=20°时,OA1, OA2, OA3, OA4, OA3的位置如图3所示,
其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA3恰好与OA2重合.
解决如下问题:
(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是________;
(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,
OA3, OA4并求出α的值;
(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是________
(4)(选做题)当OA i所在的射线是∠A i OA k(i,j,k是正整数,且OA j与OA k不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α=180°),旋转是否可以停止?写出你的探究思路.
【答案】(1)45°
(2)解:如图所示.
∵α<30°,
∴∠A0OA3<180°,4α<180°.
∵OA4平分∠A2OA3,
∴2(180°﹣6α)+ =4α,解得:
(3),,
(4)解:对于角α=120°不能停止.理由如下:
无论a为多少度,旋转过若干次后,一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会停止.
但特殊的,当a为120°时,第一次旋转120°,∠MOA1=120°,第二次旋转240°时,与OM 重合,第三次旋转360°,又与OM重合,第四次旋转480°时,又与OA1重合,…依此类推,旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况,不会出第三条射线,所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况,旋转不会停止
【解析】【解答】解:(1)解:如图所示.aφ=45°,
【分析】(1)根据题意,明确每次旋转的角度,计算即可;(2)根据各角的度数,找出等量关系式,列出方程,求出α的度数即可;(3)类比第(2)小题的算法,分三种情况讨论,求出α的度数即可;(4)无论a为多少度,旋转很多次,总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线,但当a=120度时,只有两条射线,不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会中止.
12.在△ABC中,∠A=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线,且BD,CE交于点F,如图所示,用等式表示BE,BC,CD这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
晓东通过观察,实验,提出猜想:BE+CD=BC,他发现先在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.
(1)下面是小东证明该猜想的部分思路,请补充完整;
①在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,则可以证明△BEF与________全等,判定它们全等的依据是________;
②由∠A=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线,可以得出∠EFB=________°;
(2)请直接利用①,②已得到的结论,完成证明猜想BE+CD=BC的过程.
【答案】(1)△BMF;SAS;60
(2)证明:由①知,∠BFE=60°,
∴∠CFD=∠BFE=60°
∵△BEF≌△BMF,
∴∠BFE=∠BFM=60°,
∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°,
∴∠CFM=∠CFD=60°,
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠FCM=∠FCD,
在△FCM和△FCD中,,
∴△FCM≌△FCD(ASA),
∴CM=CD,
∴BC=CM+BM=CD+BE,
∴BE+CD=BC.
【解析】【解答】解:(1)解:①在BC上取一点M,使BM=BE,连接FM,如图所示:
∵BD、CE是△ABC的两条角平分线,
∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC,
在△BEF和△BMF中,,
∴△BEF≌△BMF(SAS),
故答案为:△BMF,SAS;
②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线,
∴∠FBC+FCB= (∠ABC+∠ACB),
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°,
∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- ×120°=120°,
∴∠EFB=60°,
故答案为:60;
【分析】(1)①由BD,CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC,结合BE=BM,BF=BF,依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF;②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°,进而得出∠FBC+∠FCB=60°,得出∠BFC=120°,即可得出结论;(2)利用角平分线得出∠EBF=∠MBF,进而得出△BEF≌△BMF,求出∠BFM,即可判断出∠CFM=∠CFD,即可判断出△FCM≌△FCD,即可得出结论.
13.如图1,△ABC中,D、E、F三点分别在AB,AC,BC三边上,过点D的直线与线段EF的交点为点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C.
(1)求证:DE∥BC;
(2)在以上条件下,若△ABC及D,E两点的位置不变,点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化,保证点H存在且不与点F重合,探究:要使∠1=∠BFH成立,请说明点F 应该满足的位置条件,在图2中画出符合条件的图形并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若∠C=α,直接写出∠BFH的大小________.
【答案】(1)证明:如图1.
∵∠1是△DEH的外角,∴∠1=∠3+∠4.
又∵∠1+∠2=180°,∴∠3+∠4+∠2=180°.
∵∠3=∠C,∴∠C+∠4+∠2=180°,即∠DEC+∠C=180°,∴DE∥BC
(2)解:如图2.
∵∠1是△DEH的外角,∴∠1=∠3+∠DEF,①
∵∠BFE是△CEF的外角,∴∠BFH=∠2+∠C.
当∠1=∠BFH时,∠1=∠2+∠C,②
由①②得:∠3+∠DEF=∠2+∠C.
∵∠3=∠C,∴∠DEF=∠2,即EF平分∠DEC,∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠1=∠BFH成立.
(3)90°+
【解析】【解答】(3)∵EF平分∠DEC,∴∠DEF=∠2.
∵DE∥BC,∴∠DEC+∠C=180°,∴2∠2+α=180°,∴∠2= = .
∵∠BFH=∠2+∠C= = .
【分析】(1)欲证明DE∥BC,只需推知∠DEC+∠C=180°即可,因此先根据外角性质,将∠1转化为∠3+∠4,再根据∠1与∠2互补,得到∠3+∠4+∠2=180°,最后将∠3=∠C代入即可得出结论;(2)点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠1=∠BFH成立.(3)根据平行线的性质和角平分线的定义,得出∠2的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.
14.课题学习:平行线的“等角转化功能.
(1)问题情景:如图1,已知点是外一点,连接、,求
的度数.
天天同学看过图形后立即想出:,请你补全他的推理过程.
解:(1)如图1,过点作,∴ ________, ________.
又∵,∴ .
解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”功能,将,,“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
(2)问题迁移:如图2,,求的度数.
(3)方法运用:如图3,,点在的右侧,,点在的左侧,,平分,平分,、所在的直线交于点,点在与两条平行线之间,求的度数.
【答案】(1)∠EAB;∠DAC
(2)解:过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,∴CF∥DE∥AB,
∴∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE= ∠ABC=30°,∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)根据平行线性质可得:因为,所以∠EAB,∠DAC;
【分析】(1)根据平行线性质“两直线平行,内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF;(2)过C作CF∥AB,根据平行线性质可得;(3)
如图3,过点E作EF∥AB,根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°,∠CDE= ∠ADC=35°,故∠BED=∠BEF+∠DEF.
15.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即
已知:如图1,,为、之间一点,连接,得到 .
求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作,
∴
∵,
∴
∴ .
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.
(1)如图,若,,则 ________.