有理数 知识点总结和常见题型

一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲_____________统称整数，试举例说明。

_____________统称分数，试举例说明。

____________统称有理数。

[基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。

二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴[基础练习]1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。

4，-|-2|， ， 1， 03下列语句中正确的是（ ）Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。

③有理数中，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。

最大的非正数是 。

④与原点的距离为三个单位的点有_ _个，他们分别表示的有理数是 _和_ _。

5、★★在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是( ) ，三、【相反数】的概念像2和-2、-5和5、和这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是 。

一般地：若a 为任一有理数，则a 的相反数为-a 相反数的相关性质： 1、相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O 的两边，并且到原点的距离相等。

初一有理数题型总结
初一有理数的题型总结主要包括以下几种：
1.数的认识：包括正数、负数、0、有理数、无理数的概念和性质，
以及它们在数轴上的表示方法。

2.数的运算：包括加减乘除、乘方、开方等基本运算，以及运算律
（如交换律、结合律、分配律等）的应用。

3.绝对值与相反数：了解绝对值与相反数的概念，能够熟练地求一
个数的绝对值和相反数。

4.有理数的混合运算：包括有理数的加减乘除、乘方、开方等基本
运算的综合应用，以及解决与有理数运算有关的实际问题。

5.应用题：包括行程问题、工程问题、利润问题等与有理数相关的
问题，能够运用有理数的知识解决实际问题。

6.实数：了解无理数的概念和性质，能够进行实数的运算，并解决
与实数运算有关的实际问题。

7.代数式：了解代数式的基本概念，能够进行简单的代数式运算和
变形，并解决与代数式相关的实际问题。

8.方程与不等式：了解方程和不等式的概念和性质，能够解一元一
次方程和一元一次不等式，并解决与方程和不等式相关的实际问题。

9.图形与几何：了解图形的概念和性质，能够进行简单的几何计算
和证明，并解决与图形和几何相关的实际问题。

在初一有理数的题型总结中，以上内容是较为常见的题型和知识点，但具体题型可能因教材版本和学校教学要求而有所不同。

因此，在学习的过程中，要全面掌握知识点，灵活运用知识解决实际问题。

有理数知识点及经典题型规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

初一有理数的重点题型（实用版）目录一、有理数的概念与分类二、有理数的运算1.加法2.减法3.乘法4.除法三、有理数的性质与规律1.有理数的符号规律2.有理数的绝对值3.有理数的倒数四、有理数的应用题1.算术题2.代数题3.几何题正文一、有理数的概念与分类有理数是指可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。

有理数可以分为正有理数、负有理数和零，根据它们的符号和绝对值的大小可以进一步细分。

二、有理数的运算1.加法：两个有理数相加，将它们的分子相加，分母保持不变。

如果相加后的结果可以约分，需要将结果约分为最简有理数。

2.减法：两个有理数相减，将它们的分子相减，分母保持不变。

如果相减后的结果可以约分，需要将结果约分为最简有理数。

3.乘法：两个有理数相乘，将它们的分子相乘，分母相乘。

如果乘积后的结果可以约分，需要将结果约分为最简有理数。

4.除法：两个有理数相除，将被除数的分子除以除数的分子，分母保持不变。

如果除法后的结果可以约分，需要将结果约分为最简有理数。

三、有理数的性质与规律1.有理数的符号规律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2.有理数的绝对值：有理数的绝对值是它到零点的距离，无论正负，绝对值都是非负数。

3.有理数的倒数：一个有理数的倒数是它的分子和分母交换位置后得到的新有理数，注意零没有倒数。

四、有理数的应用题1.算术题：涉及有理数的加减乘除等基本运算，需要熟练掌握有理数的运算法则。

2.代数题：涉及有理数的符号规律、绝对值、倒数等性质，需要灵活运用有理数的性质解决问题。

3.几何题：涉及有理数与几何图形的关系，如计算线段长度、角度等，需要将几何问题转化为有理数问题，再运用有理数的知识求解。

有理数【知识梳理】1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．【考点剖析】一、有理数的意义一、单选题1．（2022秋·广东河源·七年级校考期末）下列结论正确的是（）A．有理数包括正数和负数B．有理数包括整数和分数C．0是最小的整数D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等【答案】B【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，∴A错误，不符合题意；∵有理数包括整数和分数，∴B正确，符合题意；∵没有最小的整数，∴C错误，不符合题意；∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．【答案】C【分析】根据整数和分数统称为有理数，判断即可．【详解】解：A、1.21是有理数，故此选项不符合题意；B、2−是有理数，故此选项不符合题意；C、2π不是有理数，故此选项符合题意；D、12是有理数，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握整数和分数统称为有理数，注意有限小数或无限循环小数是有理数．【答案】C【分析】根据有理数的概念进行判别即可．【详解】解：5，32−，103003，211，0，0.12−，是有理数，共6个，2π−是无理数，故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．0.35，有理数有【答案】5【分析】根据有理数的概念进行判断即可．【详解】解：有理数包括整数和分数，∴是有理数的有221.2,020%0.357−，，，，共5个 故答案为：5【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键． 0.13，117−，0.1010010001（相邻两个【答案】3【分析】根据有理数的概念解答即可．有理数的概念：整数和分数统称为有理数．【详解】解：在 3.5+，0.13，117−，2π，0.1010010001（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有 3.5+，0.13，117−，共3个． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．6．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作_______．【答案】950400200【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【详解】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0， ∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点睛】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．一、单选题 1．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元D ．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示【答案】D【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．【详解】解：A ．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒，故选项正确，不符合题意；C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；D ．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．2．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）下列语句正确的是（ ）①一个数前面加上“−”号，这个数就是负数；②如果a 是正数，那么a −一定是负数；③一个有理数不是正的就是负的；④0︒表示没有温度；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．【详解】解：①一个正数前面加上“−”号，这个数就是负数，说法错误；②如果a 是正数，那么a −一定是负数，说法正确；③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；④0︒表示有温度，说法错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）下面关于0的说法：（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果．【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；（3）0既不是正数也不是负数，正确；（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；（5）0是最小的自然数，正确；（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；则正确的说法有3个．故选：D．【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键．4．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．5．（2022秋·天津北辰·七年级统考期中）下列说法正确的是（）A．1是最小的正数B．﹣1是最大的负数C．绝对值等于本身的数是0D．0既不是正数也不是负数【答案】D【分析】根据正数、负数的概念，绝对值的意义分析判断即可．【详解】解：A、0是正数和负数的分界点，大于0的数都是正数，故1不是最小的正数，本选项不符合题意；B、0是正数和负数的分界点，小于0的数都是负数，故﹣1不是最大的负数，本选项不符合题意；C、0和正数的绝对值都等于本身，故本选项不符合题意；D、0既不是正数，也不是负数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正数和负数以及0的意义，解题的关键是掌握0是正数和负数的分界点，0既不是正数也不是负数，正数大于0，负数小于0．6．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）既不是正数也不是负数的数是（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】C【分析】根据有理数的分类，即可求解．【详解】解：A、2−是负数，故本选项不符合题意；B、1−是负数，故本选项不符合题意；C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意；D、1是正数，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键．7．（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）有下列两个判断：①正整数和负整数统称为整数；②整数和分数统称为有理数．其中正确的是（）A．①对，②错B．①错，②对C．①②都对D．①②都错【答案】B【分析】根据整数的分类和有理数的定义进行判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和零，故①错误；②整数和分数统称为有理数，故②正确；综上分析可知，①错，②对，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了整数的分类和有理数的定义，熟练掌握整数包括正整数、负整数和零，是解题的关键．8．（2022秋·吉林长春·七年级统考期中）课堂上老师要求就数“”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①是整数，但不是自然数；②既不是正数，也不是负数；③不是整数，是自然数；④没有实际意义．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；故正确的只有②，故选：D．【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正数也不是负数；0具有实际的意义．二、填空题9．（2023秋·全国·七年级专题练习）正数：比____大的数；负数：在正数前面加上_______的数，______既不是正数，也不是负数．【答案】0 负号0【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：根据题意，正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数．故答案为：0，负号，0【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列关于零的说法中，正确的是________①零是正数②零是负数③零既不是正数，也不是负数④零仅表示没有【答案】③【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可．【详解】解：①零不是正数，说法错误；②零不是负数，说法错误；③零既不是正数，也不是负数，说法正确；④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；故答案为：③．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键．三、解答题11．（2022秋·山西太原·七年级太原市第十八中学校校考阶段练习）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）【答案】见解析【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．【详解】解：①零既不是正数也不是负数；②零小于正数，大于负数；③零不能做分母；④零是最小的非负数；⑤零的相反数是零;⑥任何不为零的数的零次幂为1；⑦零乘以任何数都是零等．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．三、有理数的分类一、单选题 1．（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．非负数就是正数C ．一个数前面加上“−”号这个数就是负数D ．正数和负数统称为有理数【答案】A【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：A 、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；B 、非负数就是0和正数，故不符合题意；C 、一个数前面加上“−”号，这个数不一定是负数，如2−，故不符合题意；D 、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．【答案】C【分析】根据整数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：11405+−−，，，属于整数， ∴整数一共有4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．【答案】C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数．【详解】解：在数3570.5405156569−−−，，，，，中，负分数有370.54659−−−，，，共有3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误．二、填空题【答案】0.618，30%，7；7，0，1006+；132−【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】解：正分数集合：（0.618，30%，227）；非负整数集合：（7，0，1006+）；负分数集合：（132−）． 故答案为：0.618，30%，227；7，0，1006+；132−． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解决本题的关键．【答案】 62.49，， 60， 630−，， 3.144−−，【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．【详解】解：正数：{6，2.4，29…}非负整数：{6，0…} 整数：{6，3−，0…} 负分数：{3 3.144−−，…}故答案为：6，2.4，29；6，0；6，3−，0；34−， 3.14−．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．三、解答题【答案】(1)2，3，7(2) 3.14−，5−，0.1212212221−⋯ (3)2，5− (4) 3.14−，227【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，3π，227，故答案为：2，3π，227；（2）解：负数有： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； 故答案为： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； （3）解：整数有：2，5−； 故答案为：2，5−；（4）解：分数有： 3.14−，227；故答案为： 3.14−，227．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【答案】正数：3.14，72+，0.618；负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−；非负数：3.14，72+，0.618，0．【分析】根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解： 2.5−是负数，是分数； 3.14是正数，是分数，是非负数；2−是负数；72+是正数，是非负数； 0.6−是负数，是分数；0.618是正数，是分数，是非负数；0是非负数；0.101−是负数，是分数；∴正数：3.14，72+，0.618； 负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−； 非负数：3.14，72+，0.618，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．四、带“非”字的有理数一、单选题【答案】B【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．【详解】解：没有最小的整数，故①错误，0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，非负数是正数和0，故③错误，237是有限小数，故④错误，正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，综上可知，错误的说法为①②③④，故选：B【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】A【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【详解】解：A．113,0.3,43−都是分数，故此选项符合题意；B．1, 2.5−−都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．132是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．【答案】C【分析】根据非负整数的概念求解即可．【详解】解：()33−−=，∴在3.67，0，1，23−，()3−−，157，6−中，非负整数有：0，1，()3−−，共3个，故选：C．【点睛】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零．5．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．正整数和负整数统称整数B．a−一定是负数C．21n+（n为整数）表示一个奇数D．非负数包括零和负数【答案】C【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：A．正整数、0和负整数统称整数，说法错误，不符合题意；B．a−不一定是负数，说法错误，不符合题意；C．21n+（n为整数）表示一个奇数，说法正确，符合题意；D ．非负数包括零和正数，说法错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．二、填空题【答案】6【分析】根据非负数包括正数和判断即可．【详解】解：在11+，，37−，45+，12，5−，0.26，1.38中，非负数有11+，，45+，12，0.26，1.38，共6个． 故答案为：6．【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键．三、解答题【答案】(1) 6.5+，0.5，52；(2)0，13，9−，1−；(3) 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案 【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有： 6.5+，0.5，152，故答案为： 6.5+，0.5，152；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，9−，1−， 故答案为：0，13，9−，1−；（3）解：根据非负数的定义，非负数有： 6.5+，0.5，0，13，152，3π，故答案为： 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．【答案】(1)13−， 2.23−，0，15%−，132−(2)0.1，27+，0，227(3)13−，0 (4)27+，0【分析】（1）根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答； （2）根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答； （3）根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答； （4）根据“0和正整数统称为非负整数”即可进行解答．【详解】（1）解：非正数：{13−， 2.23−，0，15%−，132−，…}；故答案为：13−， 2.23−，0，15%−，132−；（2）解：非负数：{0.1，27+，0，227，…}；故答案为：0.1，27+，0，227；（3）解：非正整数：{13−，0，…}； 故答案为：13−，0；（4）解：非负整数：{27+，0，…}． 故答案为：27+，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的各个分类依据是解题的关键．【答案】(1)0,2021,101− (2)23.01,2021,13−−−(3)22,15%,3.14,0.6187+ (4)22,15%,101,3.14,0.6187+(5)0,2021−(6)22,0,15%,101,3.14,0.6187+【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】（1）解：整数：0,2021,101−（2）解：负数：23.01,2021,13−−−（3）解：正分数：22,15%,3.14,0.6187+ （4）解：正有理数：22,15%,101,3.14,0.6187+（5）解：非正整数：0,2021−（6）解：非负数：22,0,15%,101,3.14,0.6187+【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】5、0.75−、310+；3−、2021−；5、0、3+、310+．【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可．【详解】分数集合：{15、0.75−、310+…}；负整数集合：{3−、2021−…}；非负数集合：{15、0、3+、310+…}．故答案为：15、0.75−、310+；3−、2021−；15、0、3+、310+．【点睛】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．2．（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数D．整数、零和分数统称有理数【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋•河池期末）下列数中，是正整数的是（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】根据正整数的定义进行逐一判断即可．【解答】解：∵这四个数中，只有1是正整数，∴只有选项C符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了正整数的定义，熟知定义是解题的关键．4．（2022秋•巴南区期末）在﹣2022，﹣1，0，1这四个有理数中，最小的有理数是（）A．﹣2022B．﹣1C．0D．1【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解．【解答】解：∵﹣2022＜﹣1＜0＜1，所以最小的有理数是﹣2022．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，关键是熟练掌握有理数大小比较的方法．5．（2022秋•隆回县期末）在，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（）A．3B．4C．6D．5【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．【解答】解：∵，0.12，14是正有理数，共3个；0，14是非负整数，共2个；，，0.12，﹣1.5是分数，共4个，∴m＝3，n＝2，k＝4，∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．故选：D．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．6．（2022秋•竞秀区期末）在下列选项中，所填的数正确的是（）A．分数{﹣3，0.3，，…}B．非负数{0，﹣1，﹣2.5，…}C．正数{2，1，5，0，…}D．整数{3，﹣5，…}【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【解答】解：A．都是分数，故此选项符合题意；B．﹣1，﹣2.5都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．7．（2022秋•宛城区校级期末）下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示D．没有最小的有理数【分析】根据有理数的概念和性质判断即可．【解答】A．0既不是正数，也不是负数，正确，故该选项不符合题意；B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃，正确，故该选项不符合题意；C．向东走可以用正数表示，也可以用负数表示，根据相反意义的关系，即可表示另一个方向，故该选项不正确，符合题意；D．没有最小的有理数，正确，故该选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．8．（2022秋•荆门期末）数0.1不属于（）A．正数B．整数C．分数D．有理数【分析】根据有理数的分类解得即可．【解答】解：数0.1是正数，是分数（小数可以化成分数），是有理数，但不是整数．故选：B．【点评】本题考查了有理数，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．9．（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．10．（2022秋•南宫市期末）若有理数的分类表示为：，则“”表示的是（）A．正有理数B．负有理数C．0D．非负数【分析】根据有理数及整数的分类方法判断即可．【解答】解：有理数包括：整数与分数，整数包括：正整数，0和负整数，则“”表示的是0．故选：C．【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•枣阳市期末）在数﹣1，﹣9，﹣2.23，0，+3，，﹣π，，﹣0.01001中，是负分数．【分析】根据有理数的分类逐一判断即可得到答案．【解答】解：负整数：﹣1，﹣9；正整数：+3；正分数：；负分数：﹣2.23，，﹣0.01001；无理数：﹣π，故答案为：﹣2.23，，﹣0.01001．【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负分数的概念是解题关键，注意所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，而无限不循环小数，不能化成分数的形式．12．（2022秋•福清市期末）写一个比﹣1小的有理数．（答案不唯一）（只需写出一个即可）【分析】根据负数的大小比较，绝对值大的反而小，只要绝对值大于1的负数都可以．【解答】解：根据题意，绝对值大于1的负数均可，例如﹣2（答案不唯一）．【点评】只要是负数并且绝对值大于1的数就可以，也可以利用数轴根据右边的总比左边的大，选择﹣1左边的数．13．（2022秋•魏县期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作．【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【解答】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0，∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点评】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．14．（2022秋•新城区校级期中）月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为+16，﹣10，0，+18，﹣4，﹣8，则这6名同学的实际成绩最高分数是分．【分析】这列数字中的最大数加上80就是实际的最高分．【解答】解：80+18＝98（分），故答案为：98．【点评】本题考查了有理数，有理数的比较是解题的关键．15．（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+1，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是．【分析】根据小于零的有理数是负有理数，可得答案．【解答】解：负有理数是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．故答案为：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．【点评】本题考查了有理数，掌握小于零的有理数是负有理数是关键．16．（2022秋•新市区校级期末）在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有个．【分析】利用有理数的定义判断．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，。

初一数学有理数知识总结及练习一、 知识点回顾1．相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

（向东——向西） 例2：温度是零上10℃和零下5℃。

（零上——零下） 例3：收入500元和支出237元。

（收入——支出） 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。

（升高——下降） 例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。

（买进——卖出） 例6：你看过电视或听过广播中的天气预报吗？记录温度计所示的气温25ºC ，10ºC ，零下10ºC ，零下30ºC 。

为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。

2．正数和负数定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

注意：零既不是正数，也不是负数。

巩固练习：①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。

比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨 ；②下面说法正确的是（ ）A ．正数都带有“+”号B ．不带“+”号的数都是负数C ．小学数学中学过的数都可以看作是正数D ．0既不是正数也不是负数 3．有理数定义：1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

分类：从两个角度按照不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类 ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注：①“0”也是自然数。

初一数学有理数知识点与经典例题一、有理数知识点。

（一）有理数的概念。

1. 有理数的定义。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如：5是正整数，属于有理数； - 3是负整数，属于有理数；(1)/(2)是分数，属于有理数；0.25（有限小数，可化为(1)/(4)）也是有理数。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数（二）数轴。

1. 数轴的定义。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2. 数轴上的点与有理数的关系。

- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（例如√(2)等无理数也可以用数轴上的点表示）。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数 - a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

（三）相反数。

1. 相反数的定义。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

特别地，0的相反数是0。

例如，3和 - 3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。

2. 相反数的性质。

- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

（四）绝对值。

1. 绝对值的定义。

- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

2. 绝对值的性质。

- 当a>0时，| a|=a；当a = 0时，| a|=0；当a<0时，| a|=-a。

例如，|3| = 3，| - 3|=3，|0| = 0。

- 非负性：| a|≥s lant0。

（五）有理数的大小比较。

1. 法则。

- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

- 两个负数，绝对值大的反而小。

例如，比较 - 2和 - 3，| - 2|=2，| - 3| = 3，因为2<3，所以 - 2>- 3。

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点：有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：ììïïíïïïíîïìïíïîî正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：ììïíîïïíïìïíïîî正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C p --a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C -°，则零上2摄氏度记为（ ）A ．2C-°B ．0C °C ．2C +°D ．4C+°【答案】C【分析】根据正负数的实际意义可进行求解．【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为2C +°；故选C ．【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．巩固训练1．在2-，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ）A ．2-B ．0C ．0.5D ．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可求解．【详解】解：由题意得，在2-，0，0.5，3四个数中，是负数的是2-，故选A ．【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义．2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55-元表示( )A ．支出45元B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【答案】C【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解．【详解】解：收入100元记作100+元，则55-元表示支出55元，故选：C ．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键．【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________．03 题型归纳【答案】5-【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5-．故答案为：5-．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．巩固训练【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．【答案】10907-【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g【分析】利用生活中的数学知识，利用±表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可．【详解】解：5±表示比300g 超重不超过5g ，不足也不超过5g ．故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g ．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键．2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ．【答案】9.9【分析】根据正负数的意义计算即可．【详解】∵包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，∴这袋大米最轻的重量是10kg 0.1k ()()9.9g)g (k -=．故答案为: 9.9．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【题型四 有理数的概念】【题型五0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．巩固训练1．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据0这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；0是整数，也是有理数；0是最小的自然数；0还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．下列说法正确的是（ ）A．整数就是自然数B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【题型六有理数的分类】【答案】见解析【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．2．把下列各数分别填入相应的集合内：2(1)正数集合：{ …}；(2)负数集合：{ …}；(3)整数集合：{ …}；【题型七带“非”字的有理数】【题型八数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可．【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键．巩固训练1．在下列选项中数轴画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意；C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键．2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．【题型九用数轴上的点表示有理数】12 1.514-<-<<由数轴可得12 1.5142-<-<<．由数轴可得：1310 2.52-<-<<<．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原______<______<______<______.12按从小到大的顺序排列为：1212 3.52-<-<<．故答案为：122-；1-；2；3.5．例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：mQ在n的左边，m n\<，故答案为：<．【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．巩固训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________b-．（填“>”“=”或“<”）【答案】>-的点，再利用数轴的性质比较大小即可．【分析】在数轴上找到表示b【详解】如图所示，>-，由数轴可知a b故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点．2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______b．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．【详解】解：由数轴可知，a b>，故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键．【题型十一数轴上两点之间的距离】-的两点间的距离是______，与5-相距9个单位的点是______．1．数轴上数5-和14【答案】 9 4和14-【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数5-和14-的两点间的距离是()5149---=，与5-相距9个单位的点是594-+=和5914--=-，故答案为：9；4和14-．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为4-、1，若2BC =，则AC 等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB ，分点C 在点B 的右侧和点C 在点B 的左侧两种情况计算．【详解】∵点A 、B 表示的数分别为4-、1，∴5AB =，第一种情况：点C 在AB 外，如图，527AC =+=；第二种情况：点C 在AB 内，如图，523AC =-=；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．【题型十二 相反数的定义】【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．巩固训练【题型十三化简多重符号】--的结果为（）1.化简()3【题型十四判断是否互为相反数】为相反数．【题型十五 相反数的应用】例题：已知23x +与5-互为相反数，则x 等于______．【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可．【详解】∵23x +与5-互为相反数，∴()2350x ++-=解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．巩固训练1.已知4a +与2互为相反数，那么=a ___________．【答案】6-【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵4a +与2互为相反数，∴420a ++=，∴6a =-，故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键．2.若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【答案】2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知0a b +=，将其代入即可求得结果．【详解】解：∵a 、b 互为相反数，∴0a b +=，∴2022a b ++=+=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．【题型十六绝对值的意义】A．a B．bA．点A与点B之间【题型十七求一个数的绝对值】【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．【题型十八 绝对值非负性的应用】例题：如果|2|||0a b -+=，那么a ，b 的值为（ ）A ．11a b ==，B ．13a b =-=，C ．20a b ==，D ．02a b ==，【答案】C【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值即可．【详解】解：∵|2|||0a b -+=，∴200a b -==，，解得，20a b ==，，故选：C ．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．巩固训练【题型十九利用绝对值比较负有理数的大小】。

有理数的运算知识点汇总知识点1:有理数的加减法一、有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.一个数与0相加，仍得这个数.二、有理数加法运算律：1.加法的交换律：a+b=b+a；2.加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.3.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；（2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；（3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”；（4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；（5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

三、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.知识点2：有理数的乘除法一、有理数乘法：1.有理数乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .二、有理数除法法则1.除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0三.有理数的加减乘除混合运算1.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

2.有理数加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

知识点3：有理数乘方一、乘方1.乘方的概念（1）求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

板块一、正数、负数、有理数 有理数：按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注:⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数;例题精讲知识网络图【例1】 ①当一个数由小变大时,它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数,也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数．A .0 ﻩB .1 ﻩ ﻩC ．2 ﻩﻩD ．３在下列各数:(2)--，2(2)--，2--,2(2)-,2(2)--中,负数的个数为 个.①10a -;②21a --；③a -;④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）. 下列说法正确的个数是( )①互为相反数的两个数一定是一正一负 ②0没有倒数③如果a 是有理数,那么a +一定是正数,a -一定是负数 ④一个数的相反数一定比原数小 ⑤a 一定不是负数⑥有最小的正数,没有最小的负数A .0个B ．1个 Ｃ．2个 D ．4个下列说法正确的是( ）Ａ.a -表示负有理数 B ．一个数的绝对值一定不是负数 C .两个数的和一定大于每个加数 D .绝对值相等的两个有理数相等两数相加,其和小于其中一个加数而大于另一个加数,那么( )A .这两个加数的符号都是正的 Ｂ．这两个加数的符号都是负的 C .这两个加数的符号不能相同 D ．这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例2】 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数,则20022003a b +=【例3】 若0a b +=，c 和d 互为倒数,m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值【例4】 在一列数123...a a a ，，中,已知112a =-,从第二个数起,每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”⑴ 求234a a a ，，的值 ⑵ 根据以上计算结果，求202007a a ，的值板块三 数轴数轴画法的常见错误举例:有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 注意：数轴上的点不都代表有理数,如π． 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此,正数总大于零,负数总小于零，正数大于负数.【例5】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1,122⑵如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_＿＿____＿_.【例6】 数轴上有一点A 它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位,得到点C ,则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 .【巩固】 如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( ）A .0m <,0n <,m n >B .0m <，0n >,m n >Ｃ．0m >,0n >，m n < Ｄ．0m <，0n >,m n <【例7】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示,那么a c +与b d +的大小关系为( ）A.a c b d +<+ B ．a c b d +=+ C ．a c b d +>+ D.不确定的【巩固】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位,点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=,那么数轴的原点对应点为( ）A.A点B.Ｂ点C.C点D.D点【巩固】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时,我们称它是整数点.如果有一条数轴的单位长度是１厘米时,有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【巩固】已知数轴上有A B，两点，A B，之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B所对应的数为【例8】一辆货车从超市出发,向东走了3km到达小彬家,继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向,用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米?【巩固】在数轴上,点A和点B都在与154-对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动,点B以每秒2个单位长度的速度向左运动,则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么?这时线段AB的长度是多少?【例9】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。

有理数知识点及经典题型有理数知识点及经典题型正数和负数1.正数和负数的概念负数表示比0小的数，正数表示比0大的数。

如果a表示正数，那么-a就是负数；如果a表示负数，那么-a就是正数。

注意，带正号的数不一定是正数，带负号的数也不一定是负数。

2.具有相反意义的量如果正数表示某种意义的量，那么负数可以表示具有相反意义的量。

比如，零上8℃可以表示为+8℃，零下8℃可以表示为-8℃。

3.0表示的意义0可以表示“没有”，也是正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。

有理数1.有理数的概念正整数、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

只有能化成分数的数才是有理数。

有限小数和无限循环小数都可以化成分数，也是有理数。

但π是无限不循环小数，不能写成分数形式，因此不是有理数。

2.有理数的分类按有理数的意义分类，有正整数、负整数、正分数、负分数。

按正负来分，有非负整数、非正整数、非负有理数、非正有理数。

其中，非负整数也称为自然数。

数轴1.数轴的概念数轴是一条向两端无限延伸的直线，规定了原点、正方向和单位长度。

2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示。

但数轴上的点不都表示有理数，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

3.利用数轴表示两数大小可以通过数轴上两数所对应的点的位置关系来判断它们的大小。

如果两数所对应的点在数轴上的同一侧，离原点越远的数越大；如果它们所对应的点在数轴上的异侧，正数大于负数，距离原点越远的数越大。

1.在数轴上，右边的数总比左边的数大，因此可以通过数轴上的位置来比较数的大小关系。

正数大于负数，而两个负数比较时，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.在数轴上，有一些特殊的最大或最小数。

最小的自然数是1，而没有最大的自然数。

最小的正整数是1，而没有最大的正整数。

最大的负整数是-1，而没有最小的负整数。

有理数知识点及经典题型有理数的基本知识点及经典题型如下：1. 有理数定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

包括整数、分数和小数。

2. 有理数的加减乘除：- 加法：同号相加，异号相减取绝对值相加，结果取两数的符号。

- 减法：加上被减数的相反数即可。

- 乘法：符号相同时，两数相乘的结果是正数；符号不同时，两数相乘的结果是负数。

- 除法：符号相同时，两数相除的结果是正数；符号不同时，两数相除的结果是负数。

注意除数不能为0。

3. 有理数的比较：- 同号两数比较大小，绝对值大的数更大。

- 异号两数比较大小，正数大于负数。

4. 有理数的绝对值：- 正数的绝对值就是它本身。

- 负数的绝对值是其相反数。

5. 有理数的约分：- 化简分数，将分子和分母的最大公约数约去。

6. 有理数的四则混合运算：- 先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

7. 解有理数的应用问题：- 求两个有理数的和、差、积或商。

- 求多个有理数的和、差、积或商。

- 根据已知条件设置方程并求解。

经典题型示例：1. 求两个有理数的和：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a + b。

解答：a + b = (-5/6) + (2/3) = (-5/6) + (4/6) = -1/6。

2. 求两个有理数的差：已知 a = 2/3，b = 5/6，求 a - b。

解答：a - b = (2/3) - (5/6) = (2/3) - (10/6) = -4/6 = -2/3。

3. 求两个有理数的积：已知 a = -1/2，b = 3/4，求 a * b。

解答：a * b = (-1/2) * (3/4) = (-1 * 3) / (2 * 4) = -3/8。

4. 求两个有理数的商：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a / b。

解答：a / b = (-5/6) / (2/3) = (-5/6) * (3/2) = (-5 * 3) / (6 * 2) = -15/12 = -5/4。

有理数知识点归纳及典型例题一、正负数有理数分为正数、负数和0，其中正整数、负整数、0都属于整数；分数属于有理数。

有理数是指可以表示成两个整数比值的数，例如2、-5/3都是有理数。

基础练：1.正整数集{1.25.6/7}；正有理数集{1.25.6/7}；负有理数集{-789.-20.-590}；负整数集{-789.-20}；自然数集{1.25}；正分数集{6/7}；负分数集{-5/3}。

2.元表示价格上涨，原价为76元的食用油现在的卖价无法确定，需要给出更多信息。

二、数轴数轴是一条直线，上面的每个点都表示一个实数。

在数轴上，规定原点为0，正方向为右，负方向为左。

基础练：1.图中正确的数轴为D。

2.-|2|-4>1.3.数轴上的点可以表示有理数。

4.(1) 比-3大的负整数是-2；(2) -3,-2,-1,0,1,2；(3) 最大的负整数是-1，最小的正整数是1，最大的非正数是0；(4) 6个点，分别表示-3，-2，-1，1，2，3.5.点A表示-3.三、相反数相反数指的是互为相反的两个数，例如2和-2.一个数a的相反数为-a，互为相反数的两个数和为0.基础练：1.-(-5)=5；-(-(-8))=-8；-1/2的相反数是1/2；a的相反数是-a；-的相反数的倒数是-1/2.2.a和b互为相反数，则a+b=0.3.(1) -(-13)=13；(2) a=-1；(3) x=6；(4) x=-9.1.A。

-52 = 25.B。

(-1)1996 = -1.C。

(-1)2003 - (-1) = -1.D。

(-1)99 - 1 = -2正确答案：A2.此题需要讨论符号优先级，按照先乘除后加减的原则，应该先算32×（-6），再加上2，即：2+32×（-6）=2-192=-190.3.小幅度改写：① -3×[-5-(2/9)] = -3×[-45/9-(2/9)] = -3×[-47/9] = 141/9 = 47/3② (-1)×2+(-2)÷4 = -1×2+(-0.5) = -2.5③ -5³-3×(-4) = -125+12 = -113④ 4×(-1)×(1/5)÷(-3) = 4/15⑤ (-4)²-(3+3×2) = 16-9 = 7⑥ [-4×(-3)] = 12⑦ [2-(1-(-2/5))]×24 = (9/5)×24 = 216/5⑧ [-10+8×(-2)²-(-4)×(-3)]÷(-5) = [-10+32+12]/(-5) = -2⑨ -0.252÷(-0.5)³+(-1)¹⁰ = -0.252÷(-0.125)+1 = -2.016+1 = -1.016⑩ -3×(-2)²-4×(1-(-1))÷2 = -3×4-4×2/2 = -12-4 = -164.此题需要小幅度改写：1☆ 0 = 0×10⁰。