均值不等式课件

在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用

解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．

解：y＝ xx2＋2＋54＝x2＋x24＋＋41＝ x2＋4＋ x21＋4≥2. 当且仅当 x2＋4＝ x21＋4，即 x2＋4＝1 时，等号成立， 这显然不可能．
∴令 t＝ x2＋4，∵x2＋4≥4，∴t≥2. ∴y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数， ∴当 t＝2 时，函数取最小值52.
本课结束 更多精彩内容请登录：
证法二：∵a>0，b>0，c>0， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c) ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9. ∴1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
变式训练 2：已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋y＋z＝1， 求证： x＋ y＋ z≤ 3.
知成立．
④
a3
＋
b3
＝
(a
＋
b)(a2
－
ab
＋
b2)≥3
⇔
a2
－
ab
＋
b2≥
3 2
⇔
(a
＋
b)2
－
3ab≥32⇔4－32≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立． ⑤欲证1a＋1b≥2，即证a＋ abb≥2，即 ab≤1，由①成立．
【答案】①③⑤
4．求函数 y＝ xx2＋2＋54的最小值．
∴
1－ ab
ab≥32，∴(
ab－
1ab)2≥94.
∴左边≥94＋2＋2＝245，(当且仅当 a＝b＝12时取等号)．
课堂检测
1.已知 a、b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是( )
A．a＋b＋ 1ab≥2 2

练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值