第3讲 平面向量中的范围、 最值问题(解析版)
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2021高三统考北师大版数学一轮学案:第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析第3讲平面向量的数量积及应用基础知识整合1.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b,作错误!=a,错误!=b,则错误!∠AOB就是a与b 的夹角设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是020°≤θ≤180°错误!θ=0°或θ=180°⇔a∥b,错误!θ=90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量错误!|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b投影错误!|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,错误!|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于错误!a的长度|a|与错误!b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律交换律a·b=错误!b·a分配律(a+b)·c错误!a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=12a·(λb)4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|=错误!|a|=错误!错误!夹角cosθ=错误!cosθ=错误!错误!a⊥b的充要条件a·b=0错误!x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤错误!1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量.2.数量积不满足结合律,即(a ·b)·c≠a·(b·c).3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=a2或|a|=错误!.4.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0).(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b〈0,反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b〈0).1.(2019·重庆模拟)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a -3b)⊥c,则实数k=()A.-错误!B.0C.3 D.错误!答案C解析因为2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,所以(2a -3b)·c=2(2k-3)-6=0,解得k=3.选C.2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.错误!B.2C.5 2 D.50答案A解析∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),∴|a-b|=错误!=错误!.故选A。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一:三角不等式题型二:定义法题型三:基底法题型四:几何意义法题型五:坐标法题型六:极化恒等式题型七:矩形大法题型八:等和线题型九:平行四边形大法题型十:向量对角线定理方法技巧总结技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法:(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步:运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步:利用其底转化向量第二步:根据向量运算律化简目标第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步:解得结果技巧二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明:不妨设AB =a ,AD =b ,则AC =a +b ,DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得:AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式:上面两式相减,得:14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式:a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式:a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点,证明:OA 2+OC 2=OB 2+OD 2.【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ,以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ,则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b ),设O (x ,y ),则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四.等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ,若λ+μ=1,则A ,B ,C 三点共线;反之亦然.(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λOA +μOB(λ,μ∈R ),若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上,则λ+μ=k (定值),反之也成立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线.①当等和线恰为直线AB 时,k =1;②当等和线在O 点和直线AB 之间时,k ∈(0,1);③当直线AB 在点O 和等和线之间时,k ∈(1,+∞);④当等和线过O 点时,k =0;⑤若两等和线关于O 点对称,则定值k 互为相反数;技巧五.平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点,由中线长定理得:2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减:PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六.向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1,若对任意c ,(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立,则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足:|a|=1,b ⋅a =-1,若对满足条件的任意向量b ,|c -b |≥|c -a |恒成立,则cos c +a ,a 的最小值是.3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2,a ⋅b =0,若关于t 的方程ta +b2-c=12有解,记向量a ,c 的夹角为θ,则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量,且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量,若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ,则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为.2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2,设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ,若1≤a ⋅b ≤2,则|a|的取值范围为.3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ,b ,c 满足a ⋅b =74,|a -b|=3,(a -c )(b -c )=-2,则c的取值范围是.1已知向量a ,b 的夹角为π3,且a ⋅b =3,向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ,且a ⋅c =b ⋅c ,记x =c ⋅aa ,y =c ⋅b b,则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ,b ,c 满足a =1,b=2,a ⋅b=-1,向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4,则c 的最大值为.3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ,b 满足a =1,b=3,且a ⊥b ,若向量c 满足c -a -b =2a -b ,则c的最大值是.1.已知向量a ,b 满足a =1,b =3,且a ⋅b =-32,若向量a -c 与b -c 的夹角为30°,则|c |的最大值是. 2.已知向量a ,b ,满足a =2b =3c =6,若以向量a ,b 为基底,将向量c 表示成c =λa+μb (λ,μ为实数),都有λ+μ ≤1,则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足:a -b=4,a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ,则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分在边BC ,CD 上,BE =λBC ,DF=μDC .若λ+μ=23,则AE ⋅AF 的最小值为.2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E 、F 分别在边BC ,CD 上,BE =λBC ,DF =μDC ,若2λ+μ=52,则AE ⋅AF 的最小值.3.如图,菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =30°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ⋅AN的最大值为.4.菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =30°,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AB ⋅AN的最大值为.5.如图,菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形,且∠A =120°,点N 是DC 边上的点,且DN =3NC,点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点,则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b 满足a +b =3,a ⋅b =0.若c =λa+1-λ b ,且c ⋅a =c ⋅b,则c 的最大值为.8.已知平面向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ⋅b =-1,且a -c 与b -c 的夹角为π4,则c 的最大值为.9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4,b =3,c =2,b ⋅c =3,则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,且满足AN =λAB +μAC,则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ,b ,c 是平面向量,满足a -b =a +b ,a =2b =2,c +a -b=5,则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π4,c -a与c -b 的夹角为3π4,a -b=2,c -b =1,则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3,且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值,则m 的最大值是. 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足a ⋅b =-3,a -b=4,c -a 与c -b 的夹角为π3,则c -a -b 的最大值为. 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π3,c -a 与c -b的夹角为2π3,a -b =23,c -b =2,则b ⋅c 的取值范围是.3.已知非零平面向量a ,b ,c 满足a -b =2,且(c -a )⋅(c -b )=0,若a 与b 的夹角为θ,且θ∈π6,π3,则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足:a ,b 的夹角为π3,|a -b|=|b -c |=|a -c |=23,则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ,b ,c 满足a -b =4,且a -c⋅b -c =-1,若a 与b 的夹角为θ,且θ∈π3,π2,则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c ,若a =b =a -b =1,且2a -c+2b +c =23,则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ,b 满足a =b =1,且a ⋅b=0,若向量c 满足c +a +b=1,则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ,b ,c 满足a -b +c=2b =2,b -a 与a 的夹角为3π4,则c 的最大值为.9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足:a -b =5,向量a与向量b 的夹角为π3,a -c=23,向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3,则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b 满足2a +b=3,b =1,则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=4,a ,b 的夹角为π3,且(a -c )⋅(b -c )=2,则|c |的最大值是.3设平面向量a ,b ,c 满足a =b =2,a 与b 的夹角为2π3,a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为.1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ,b ,c 满足|a|=1,|b |=3,a ⋅b =0,c -a 与c -b 的夹角是π6,则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图,在边长为2的正方形ABCD 中.以C 为圆心,1为半径的圆分别交CD ,BC 于点E ,F .当点P 在劣弧EF 上运动时,BP ⋅DP的最小值为.3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b ⋅c =0,a ⋅b =1,a⋅c=-1,则b +c 的最小值为.4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图,在平面四边形ABCD 中,∠CDA =∠CBA =90°,∠BAD =120°,AB =AD =1,若点E 为CD 边上的动点,则AE ⋅BE的最小值为.5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1,b +a +b -a =4,则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ,b 满足a=3,且b -λa 的最小值为1(λ为实数),记a,b =α,a ,a -b=β,则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,M ,N 分别是AB ,AD 上的动点,且满足2AM +AN =1,设AC =xAM +yAN ,则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆,MN 是内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⋅PN的取值范围是.2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中,EF 是CD 边上长为6的可移动的线段,AD =4,AB =83,BC =12,则BE ⋅BF的取值范围为. 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形,∠BAC =30°,AB =6,P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点,则PA ⋅PC的最小值为. 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点,且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R ),则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中,AB =3,BC =4,AC =5,PQ 为△ABC 内切圆的一条直径,M 为△ABC 边上的动点,则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36,定点P (2,0),A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上,满足PA ⊥PB ,则线段AB 的取值范围是.2在平面内,已知AB 1 ⊥AB 2 ,OB 1 =OB 2 =1,AP =AB 1 +AB 2 ,若|OP |<12,则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16,点P 1,2 ,M 、N 为圆O 上两个不同的点,且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ,则PQ的最小值为.1.设向量a ,b ,c满足|a |=|b |=1,a ⋅b =12,(a -c )⋅(b -c )=0,则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ,P 为圆O 上任一点,若AP =xAB +yAC,则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中,M 为BC 边上任意一点,N 为线段AM 上任意一点,若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时,y 的取值范围是()A.0,+∞ B.12,32C.12,+∞ D.-12,321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中,∠AOB =60°,C 为弧AB 上的一动点,若OC=xOA +yOB,则3x +y 的取值范围是.2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中,∠AOB =60°,C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ,则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中,OA =1,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC =xOA +yOB ,则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC =xOA +yOB,则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ⎳AB ,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB,则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图,B 是AC 的中点,BE =2OB ,P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ,则下列结论正确的个数为()①当x =0时,y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时,x =-12,y =52③若x +y 为定值1,则在平面直角坐标系中,点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =AC=AB ⋅AC=2,点Q 在线段BC (含端点)上运动,点P 是以Q 为圆心,1为半径的圆及内部一动点,若AP =λAB +μAC,则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中,AD 为BC 上的中线,G 为AD 的中点,M ,N 分别为线段AB ,AC 上的动点(不包括端点A ,B ,C ),且M ,N ,G 三点共线,若AM =λAB ,AN =μAC,则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中,AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ,M 为线段EF 的中点,若AM=1,则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中,∠AOB =60o ,OA =1,C 为弧AB 上的一个动点,且OC =xOA +yOB.则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =600,C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点,且OC =xOA +yOB,若u =x +λy (λ>0)存在最大值,则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图,圆O 是半径为1的圆,OA =12,设B ,C 为圆上的任意2个点,则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图,C ,D 在半径为1的⊙O 上,线段AB 是⊙O 的直径,则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量,平面向量a ,b 满足|a +e |=|b -e |=1,a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ,点C 是圆M 上一点,点B 是圆O 上一点,则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ,圆N 的半径分别为1,2,且两圆外切于点P ,点A ,B 分别是圆M ,圆N 上的两动点,则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O ,若记a =OA⋅OB ,b =OB ⋅OC ,c =OC ⋅OD ,则()A.a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .b <a <c2如图,在圆O 中,若弦AB =3,弦AC =5,则AO ⋅BC的值是()A.-8B .-1C .1D .83如图,在四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥BC 若,AB =a ,AD =b ,则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
一.方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能,能综合考察学生分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,也是难点,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)的最值或应用基本不等式,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.二.解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】设,,则三角形的面积为,解得,由,且C,P,D三点共线,可知,即,故.以所在直线为轴,以点为坐标原点,过点作的垂线为轴,建立如图所示的坐标系,则,,,,则,,,则(当且仅当即时取“=”).故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质:已知O、A、B、C是平面内的四点,则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、,使,且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图,矩形中边的长为,边的长为,矩形位于第一象限,且顶点分别位于轴、轴的正半轴上(含原点)滑动,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图,设,则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量,的夹角为,且,则的最小值为()A.B.C.5 D.【答案】B【解析】由题意可设,,因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为,所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中,,若,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由于,即,即,所以在以原点为圆心,半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示,由图可知,的最小值等于圆心到直线的距离减去半径,直线的方程为,圆心到直线的距离为,故的最小值是,故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为,,,,,在时取得最小值若,则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】,,,在时取得最小值解可得:则夹角的取值范围本题正确结果:【指点迷津】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解. 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a,2|||| b a,则b a 与的夹角的最小值是 .【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ,24a b r r ,整理得22422a b a b a b r r r r r r ,即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ,,3a b r r ,夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点,与关于轴对称,若有,则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意:,设,,因为,则与结合,又与结合,消去,可得:所以本题正确结果:类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量,满足||=|3|=2,则在方向上的投影的最大值为( ) A .B .C .D .【答案】A 【解析】 因为,所以,在方向上的投影为,其中为,的夹角.又,故.设,则有非负解,故, 故,故,故选A .【指点迷津】向量的数量积有两个应用:(1)计算长度或模长,通过用;(2)计算角,.特别地,两个非零向量垂直的充要条件是.另外,的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积,向量在向量的投影为.【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为2,且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ,则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v , 0OA OB u u u v u u u v , OP OA OB u u u v u u u v u u u v ,且1 ,则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时, 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ,故当λ1 时,1x 取得最小值为1,即1101x x, 当λ0 时, 222215844825215x,即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中,,,,且,则的最小值等于 A .B .C .D .【答案】C 【解析】 由题意知,向量,且,可得点D 在边BC 上,,所以,则,即,所以时以C 为直角的直角三角形.如图建立平面直角坐标系,设,则, 则,,当时,则最小,最小值为.故选:C .【指点迷津】平面向量数量积的求法有:①定义法;②坐标法;③转化法;其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法,要倍加注视,若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系,利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE DC u u u r u u u r的最大值为( )A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中,,,,且,则的最小值等于 A .B .C .D .【答案】C 【解析】 由题意知,向量,且,可得点D 在边BC 上,,所以,则,即,所以时以C 为直角的直角三角形.如图建立平面直角坐标系,设,则, 则,,当时,则最小,最小值为.故选:C .3、已知圆的半径为2,是圆上任意两点,且,是圆的一条直径,若点满足(),则的最小值为( )A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中, 12AB AD ,,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,若AP AB AD u u u v u u u v u u u v,则 的最大值为( )A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=45, 设点P 25cosθ+1, 25), ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v,25, 25sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ), ∴55cosθ+1=λ, 55sinθ+2=2μ, ∴255(θ+φ)+2,其中tanφ=2, ∵﹣1≤sin (θ+φ)≤1, ∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3, 故选:A【指点迷津】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题; (3)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1,动点P 满足,若,则的最大值为A .B .C .D .【答案】C 【解析】解:以A 为原点建立如图所示的直角坐标系:则,,,,设, ,则由得,化简得:,又,,,,表示圆上的点到原点的距离得平方,其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方,即,故选:C .2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ,点C 在AOB 内,且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030,设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ,则mn的值为( )A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示,建立直角坐标系.由已知1,3,OA OB u u u v u u u v,,则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(,),(,),(,), 33303n tan m, 3mn. 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2,对角线AC 、BD 相交于点O ,动点P 满足,若,其中m 、n R ,则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则A (﹣1,﹣1),B (1,﹣1),D (﹣1,1),P (,),所以(1,sinθ+1),(2,0),(0,2),又,所以,则,其几何意义为过点E (﹣3,﹣2)与点P (sinθ,cosθ)的直线的斜率,设直线方程为y +2k (x +3),点P 的轨迹方程为x 2+y 2=1,由直线与圆的位置关系有:,解得:,即的最大值是1,故答案为:1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O , ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且 222c b b ,则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________.【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【举一反三】1、如图,为的外心,为钝角,是边的中点,则的值为()A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心,若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v(m , n R ),则( )A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心,∴O 在三角形内部,不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1,又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ,∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |,可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ,而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ,∴m n <−1或m n >1,如果m n >1则O 在三角形外部,三角形不是锐角三角形, ∴m n <−1, 故选:C.3、在ABC 中, 3AB , 5AC ,若O 为ABC 外接圆的圆心(即满足OA OB OC ),则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ,连结OD ,AD ,则OD BC u u u v u u u v,则:222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三.强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列,在中,,若,则的最大值为()A.1 B.C. D.【答案】C【解析】解:∵,故三点共线,又∵,∴,数列是正项等差数列,故∴,解得:,故选:C.2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点,且,,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为1,,,则的最小值是()A.2 B.8 C.6 D.3【答案】D【解析】∵,,∴,化为.∴.∴.则,而=5+4=9,当且仅当,即时取等号,故的最小值是9,故选:D.3.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形,且,,设函数,当函数的最大值为-2时,()A.B.C.D.【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形,且,所以又因,代入得所以当时,取得最大,最大值为所以,解得,舍去负根.故选D项.4.【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量,,满足,若,则的最小值为A.B.C.D.0【答案】B【解析】因为平面向量,,满足,,,,设,,,,所以的最小值为.故选:B.5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部(不包括边界),则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是()A.1 B.2 C.D.【答案】C【解析】解:以所在直线建立平面直角坐标系,设,,,因为所以,即,故,令(为参数),所以,因为,所以,,故选C.7.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示,在中,,点在线段上,设,,,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:.∵,,三点共线,∴.即.由图可知.∴.令,得,令得或(舍).当时,,当时,.∴当时, 取得最小值故选:D.8.【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中,边 的中线 上,则的最大值为( ).,,A.B.C.D.【答案】B 【解析】 解:以 A 为坐标原点,以 AB,AC 方向分别为 x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系, 则 B(2,0),C(0,4),中点 D(1,2)设,所以,,在 斜时,最大值为 .故选:B. 二、填空题 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若对任意 λ∈R,不等式则 的最大值为_____. 【答案】2【解析】由,两边平方得,,则则,又,则,即,由 ,从而,即,从而问题可得解.恒成立, ,,2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ,向量,,且,若 ,则 面积的最大值为________.【答案】 【解析】由 ,得,整理得.由余弦定理得,因为,所以.又所以,,当且仅当 时等号成立,所以,即.故答案为: . 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中,已知,,,,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且,【答案】【解析】解:等腰梯形 ABCD 中,已知,,,,,,,,,则的最小值为______.,22, ,则当且仅当即 时有最小值故答案为:12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC,M 是其外接圆上任一点,则的最大值为______.【答案】【解析】解:是等边三角形, 三角形的外接圆半径为 ,以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系,设,.设,则,..23的最大值是.故答案为.13.【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点,则的最大值为________【答案】0 【解析】中,已知 为直角,,若长为 的即 14.【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角,则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点,根据垂径定理可知,依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心, 是最大角,若,即,利用正弦定理化简得.由于,所以,即.由于 是锐角三角形的最大角,故,故.15.【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点,,点 在双曲线的取值范围是_________.的右支上,则24【答案】【解析】设点 P(x,y),(x>1),所以,因为,当 y>0 时,y=,所以,由于函数在[1,+∞)上都是增函数,所以函数在[1,+∞)上是增函数,所以当 y>0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时,y=,所以,由于函数 所以函数在[1,+∞)上都是增函数, 在[1,+∞)上是减函数,所以当 y≤0 时函数 k(x)>0.综上所述,的取值范围是.16.【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心,,大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1,以外接圆圆心为原点建立坐标系,因为,所以,不妨设,,,则,,,因为,所以,,则 的最25解得,因为 在圆上,所以 即, ,所以,所以,解得或,因为 只能在优弧 上,所以,故26。
第 3讲平面向量1. (2016 课·标全国丙改编→1,3→31,则∠ ABC= ________. )已知向量 BA=22, BC=,22答案30°分析→→∵ |BA|= 1, |BC|= 1,→ →3BA·BC=,∴∠ ABC = 30°.cos∠ ABC=→→2|BA|·|BC|12. (2016 ·东改编山 )已知非零向量m,n 知足 4|m|= 3|n|,cos〈 m, n〉=3.若 n⊥ (tm+ n),则实数 t 的值为 ______.答案- 4分析∵ n⊥ (tm+ n),∴ n·(tm+n)=0,即 t·m·n+ n2= 0,∴ t|m||n|cos〈 m, n〉+ |n|2=0,由3212已知得 t×|n| ×+ |n| = 0,解得 t=- 4.433. (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延伸到点F,使得 DE=→ →2EF ,则 AF ·BC的值为 ________.答案1 8分析→→→如下图, AF =AD +DF .又 D, E 分别为 AB, BC 的中点,→1→且 DE= 2EF,因此 AD=2AB,→=→+→=→+1→DF DE EF DE2DE3→ 3→=2DE =4AC,→1→ 3 →→→ →因此 AF=2AB+4AC.又 BC= AC-AB,→ →1→3→→ →则 AF·BC=AB+AC ·(AC- AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →=AB·AC-AB+AC - AC·AB 2244→ 2 1→21→→= 4AC - 2AB -4AC ·AB.3→ →又 |AB|= |AC|= 1,∠ BAC = 60°,→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC = - - ×1×1× = .4 2 4 2 84. (2016 ·江浙 )已知向量a ,b , |a|= 1,|b|= 2.若对随意单位向量 e ,均有 |a ·e|+ |b ·e| ≤6,则a ·b 的最大值是 ________.答案12分析 由已知可得:6≥|a ·e|+ |b ·e| ≥|a ·e + b ·e|= |(a + b) ·e|,因为上式对随意单位向量e 都成立.∴ 6≥|a + b|成立.∴ 6≥(a + b) 2= a 2+ b 2+ 2a ·b = 12+ 22+ 2a ·b.1即 6≥5+ 2a ·b ,∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考察, 多为填空题,难度中低档 .2.考察平面向量的数目积,以填空题为主,难度低;向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合,以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1.在平面向量的化简或运算中,要依据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不可以盲目转变.2.在用三角形加法法例时,要保证 “首尾相接 ”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法例时,要保证 “同起点 ”,结果向量的方向是指向被减向量.例 1π(1) 设 0<θ< ,向量 a = (sin 2θ, cos θ), b = (cos θ, 1),若 a ∥ b ,则 tan θ= ______.2→ → → →(2) 如图,在 △ ABC 中,已知 BD = 2DC ,以向量 AB ,向量 AC 作为基底,→则向量 AD 可表示为 ____________.答案 (1)1 (2)1 →+ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ,因此 sin 2θ= cos 2θ,即 2sin θcos θ=cos 2θ.π 因为 0<θ< ,因此 cos θ>0,21得 2sin θ= cos θ,tan θ= 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB +3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD =AB + BD = AB + BC =AB + (BA + AC)=333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用. (2)运算过程中重视数形联合,联合图形剖析向量间的关系. 追踪操练 1(1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC的一个三平分点,那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底,向量 EF 可表示为__________ .→→ →(2) 如图,在正方形 ABCD 中, E 为 DC 的中点,若 AE = λAB + μAC ,则 λ + μ的值为 ________. 答案(1)1→ - 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中,有 EF = EC +CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点,因此 EC = DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点,因此→ 2 →CF =CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF = 2DC +3CB =2AB +3DA = 2AB - 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点,因此 AC = AB + AD = AB +AB + AD =AB + AE ,即 AE =-AB +2222→ AC ,1 1因此 λ=- , μ=1,因此 λ+ μ= .22热门二平面向量的数目积1.数目积的定义: a ·b = |a||b|cos θ.2.三个结论(1) 若 a = (x , y),则 |a|= a ·a = x 2+ y 2.(2) 若 A(x 1,y 1), B( x 2, y 2),则→ 2 2 .|AB|= (x 2- x 1 ) + (y 2- y 1 )(3)若 a= (x1,y1), b= ( x2,y2 ),θ为 a 与 b 的夹角,则 cos θ=a·b=x1x2+ y1y2|a||b|x12+ y12x22+ y22.例 2(1)如图,在矩形ABCD 中, AB=2, BC= 2,点 E 为 BC 的中点,点 F在边→ →=→ →CD 上,若 AB·AF2,则 AE ·BF的值是 ________.(2) 若 b=cos π, cos5π,|a|= 2|b|,且 (3a+b) ·b=- 2,则向量 a,b 的夹角1212为 ________.答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点,成立如下图的坐标系,可得 A(0,0),B(2, 0), E(2, 1), F(x,2),→→∴ AB= ( 2,0) ,AF= (x,2),→ →2x=2,∴ AB·AF=解得 x= 1,∴ F(1,2).→→∴ AE= ( 2,1),BF= (1- 2, 2),→ →∴ AE·BF= 2×(1- 2)+ 1×2= 2.22π25π 2 π 2 π(2) b= cos+cos12=cos+ sin= 1,121212因此 |b|= 1,|a|= 2.由 (3a+b) ·b=- 2,可得3a·b+ b2=- 2,故 a·b=-3,故 cos〈 a, b〉=a·b=- 33=-|a||b|2×1 2.5π又〈 a, b〉∈ [0,π],因此〈 a, b〉=6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法:数目积的定义,坐标运算,数目积的几何意义;(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.追踪操练 2 (1)已知点 A,B,C,D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图,→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________.(2) 如图,在△ ABC 中,AB= AC= 3,cos∠ BAC=1→→→ →3,DC= 2BD,则 AD·BC的值为 ________.答案(1)-5(2)- 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点,成立如下图的平面直角坐标系,易得→→AD = (- 2,3),AB→ →→ →- 25 AD ·AB= (4,2) ,因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→=2 5=- 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC= (AC+ CD ) ·BC= (AC+CB) ·BC3→2→→→2→1→→→=[AC+3(AB -AC)] BC·= ( 3AB +3AC) ·(AC- AB)2 →2 1 → → 1 →2=-3|AB|+3AB·AC+3|AC|=-6+ 1+3=- 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具,拥有代数形式和几何形式的“两重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,经过向量运算作为题目条件.例 3已知函数 f(x)= 2cos2x+ 23sin xcos x(x∈ R).π(1)当 x∈[0,2)时,求函数 f( x)的单一递加区间;(2)设△ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a, b,c,且 c=3, f( C)= 2,若向量 m= (1, sin A)与向量 n= (2, sin B)共线,求 a, b 的值.解π (1)f(x)= 2cos 2x + 3sin 2x = cos 2x + 3sin 2x + 1=2sin(2 x + ) +1,6π π π 令- + 2k π≤2x +≤ + 2k π, k ∈ Z ,26 2π π解得 k π-≤x ≤k π+ , k ∈ Z ,36π因为 x ∈ [0, 2) ,π因此 f( x)的单一递加区间为 [0,6] .π(2) 由 f(C)= 2sin(2C +6)+ 1= 2,π 1得 sin(2C + 6)= 2,π π 13 π而 C ∈(0 ,π),因此 2C + 6∈( 6, 6 ), π 5 π因此 2C + =6π,解得 C = 3.6因为向量 m = (1,sin A)与向量 n =(2 ,sin B)共线,因此sin A 1sin B= .2由正弦定理得 a = 1,①b 2由余弦定理得π c 2= a 2+ b 2- 2abcos,3即 a 2+ b 2- ab =9.②联立①②,解得 a = 3,b = 2 3.思想升华 在平面向量与三角函数的综合问题中, 一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题, 如利用向量平行、 垂直的条件表述三角函数式之间的关系, 利用向量模表述三角函数之间的关系等; 另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的 过程中, 只需依据题目的详细要求, 在向量和三角函数之间成立起联系, 就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题.追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形,向量m = cos A + π,3π, n = cos B , sin B ,且 m ⊥ n.sin A +3 ( )(1) 求 A -B 的值;3(2) 若 cos B = 5,AC =8,求 BC 的长.解(1)因为 m ⊥ n ,π π因此 m ·n = coscos B +sin A + 3 sin BA + 3 π= cos A +3- B =0,π又 A ,B ∈ 0,2 ,因此ππ 5πA + -B ∈ - , ,3 6 6 因此 π ππA + -B = ,即 A - B = .3 263π4(2) 因为 cos B =5, B ∈ 0,2 ,因此 sin B = 5,因此 sin A = sin π ππ = sin Bcos + cos Bsin 6B +664 3 3 1 4 3+ 3= · + ·= ,52 5 2104 3+3由正弦定理,得BC = sin A10 ×8= 4 3+ 3.4sin B·AC =5→ 1 →1.如图,在 △ ABC 中, AD = 3AB , DE ∥ BC 交AC 于E , BC边上的中线AM交DE于,设 → = , → = ,用ABaACb N, 表示向量ab→ →AN ,则 AN= ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照,而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础.1答案6(a + b)分析因为 DE ∥ BC ,因此 DN ∥ BM ,则 △ AND ∽△ AMB ,因此 AM AN = ADAB .→1 →→1 →因为 AD = 3AB ,因此 AN = 3AM . 因为 M 为 BC 的中点,→ 1 → → 1 因此 AM = (AB +AC)=(a + b),22→ 1 →1因此 AN =AM = (a + b).362.如图,BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径, BF = 2FO ,则 FD ·FE= ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点,平面向量数目积的运算是高考的必考内容,和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式.答案-89分析→→→1,∵BF =2FO ,圆 O 的半径为 1,∴ |FO |=3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE = (FO + OD) ·(FO + OE)= FO + FO ·(OE + OD)+ OD ·OE = ( ) + 0- 1=- .39→ →120°sin 208 )°,则 △ABC3.在 △ABC 中,AB =(cos 32 °,cos 58 °),BC = (sin 60 sin ° 118 ,°sin 的面积为 ________.押题依照平面向量作为数学解题工具, 经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门.答案38分析→ 2 2°|AB|= cos 32 °+ cos 58= cos 232°+ sin 232°=1,→33,BC =2 cos 28 ,°- 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|=+ -2 sin 28 =2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC = cos 32 °×2cos 28-°sin 32 ×° sin 2823=2 (cos 32 cos ° 28 -°sin 32 sin ° 28 ) °=333,2 cos(32 +°28°)= 2cos 60 =° 4→ →3 → →4 1AB ·BC = . 故 cos 〈 AB , BC 〉= →→ = 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °, 180°],因此〈 → →又〈 AB , BC 〉∈ [0 AB , BC 〉= 60°,→ →故 B = 180°-〈 AB , BC 〉= 180°- 60°= 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S = 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 = ×1××sin221203 =° .84.如图,在半径为1 的扇形 AOB中,∠ AOB =60°,C为弧上的动点, AB 与OC交于点P ,→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ .押题依照 此题将向量与平面几何、 最值问题等有机联合,表现了高考在知识交汇点命题的方向,此题解法灵巧,难度适中.答案-116分析→ → →→→→→→→→→2 = 60 °,因为 OP = OB + BP ,因此 OP ·BP = (OB + BP) ·BP =OB ·BP + BP .又因为∠ AOB OA = OB ,因此∠ OBA = 60°, OB = → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP = |BP |cos 120=°-|BP|,因此 OP ·BP =- |BP|+ |BP|22→1 2 11→1 → →1= (|BP|- )-≥-,当且仅当 |BP|= 时, OP ·BP 获得最小值-.4 16 16416A 组 专题通关1.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若→ →→ 1 →→AD = 2DB, CD = CA + λCB ,则 λ= ________.3答案23分析 在 △ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD = 2DB ,CD = CA + λCB ,∴ CD = CA + AD = CA + AB = CA +3 (CB - CA)= CA + CB ,3333∴ λ= 2.32. △ ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量→ →a ,b 知足 AB = 2a , AC = 2a + b ,则以下结论正确的选项是 ________.① |b|= 1; ② a ⊥ b ;→③ a ·b = 1; ④ (4a + b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中,由 BC = AC - AB = 2a + b - 2a = b ,得 |b|= 2.又 |a|= 1,因此 a ·b = |a||b|cos 120 =°- 1,→ 2因此 (4a + b) ·BC = (4a + b) ·b = 4a ·b + |b|= 4×(- 1)+ 4= 0,→因此 (4a + b)⊥ BC.→ → → → → →3.在等腰 △ ABC 中,∠ BAC =90°,AB = AC = 2,BC = 2BD ,AC = 3AE ,则 AD ·BE = ________.答案-43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2,AD ·BE =(AB + AC) ·(BA + AC) =-2AB + AB ·AC +2 AC ·BA + AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形,∠ BAC = 90 °, AB = AC =2,因此 AD ·BE =- 2×2 + 0+0+ 6×24=- 3.4. (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a , b 知足 (a + 2b) ·(a - b)=- 6,且 |a|= 1, |b|= 2,则 a与 b 的夹角为 ________.答案π 3分析 设 a 与 b 的夹角为θ,∵ (a + 2b) ·(a - b)=- 6,且 |a|= 1,|b|= 2,∴ 1+a ·b - 8=- 6,∴ a ·b = 1=|a||b |cos θ,∴ cos θ= 1,2π又∵ θ∈ [0,π],∴ θ=3.5. (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0, a ≠b)知足 |a|= 3,且 b 与 b - a 的夹角为 30°,则 |b|的最大值为 ________.答案 6分析→ → → → →令OA = a , OB = b ,则 b - a = OB -OA =AB ,如图,∵ b 与 b - a 的夹角为 30°,∴∠ OBA =30°,→→→→,∴由正弦定 理|OA| = |OB|得 , ∵ |a| = |OA |= 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|= | OB | =6·sin ∠ OAB ≤ 6.6.已知向量 a = (2,1),b = (- 1, 2),若 a , b 在向量 c 方向上的投影相等,且 (c - a) ·(c - b) =- 5,则向量 c 的坐标为 ________.21 3答案 (2,2)分析设 c = (x , y),依据题意有x 2+ y 2- x - 3y =- 5,22x + y =- x + 2y ,1,x = 2解得3y = 2.→→ → 7.设向量 OA = (5+ cos θ,4+ sin θ), OB = (2,0) ,则 |AB|的取值范围是 ________. 答案[4,6]分析→ → →= (- 3- cos θ,- 4- sin θ),∵AB =OB -OA → 2 2 2 ∴ |AB| = (- 3-cos θ) +( -4- sin θ)= 6cos θ+ 8sin θ+26= 10sin(θ+ φ)+ 26,此中 tan φ= 3,4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36,∴ 4≤|AB| ≤ 6.8.设向量 a = (a 1, a 2), b = (b 1, b 2),定义一种向量积 a?b = (a 1b 1, a 2b 2),已知向量 m =(2 , 1 π →2),n = (,0),点 P(x ,y)在 y = sin x 的图象上运动, Q 是函数 y = f(x)图象上的点, 且知足 OQ3→为坐标原点 ),则函数 y = f( x)的值域是 ________.= m?OP + n(此中 O1 1 答案 [- 2, 2]分析令 Q(c ,d),由新的运算可得→ →1 π π 1sin x), OQ = m?OP + n =(2x ,sin x)+ ( , 0)= (2x + ,233 2π, 11∴c =2x + 3π1消去 x 得 d =sin( c - ),22 6d = 2sin x ,1 1π1 1] .∴ y = f( x)= sin(x -),易知 y = f(x)的值域是 [- ,2262 2π9.设向量 a = ( 3sin x , sin x), b =(cos x ,sin x), x ∈ [0, 2].(1) 若 |a|= |b|,求 x 的值;(2) 设函数 f(x)= a ·b ,求 f(x)的最大值.解(1)由 |a|2= ( 3sin x)2+ (sin x)2= 4sin 2x ,222= 1,|b| =(cos x) + (sin x) 及 |a|= |b|,得 4sin 2x = 1.π1π又 x ∈ [0, ],进而 sin x = ,因此 x = .22 62(2) f(x)= a ·b = 3sin x ·cos x + sin x=3 1 1π 1,2sin 2x - cos 2x += sin(2x - )+ 2262π π π1,当 x = ∈ [0, ] 时, sin(2 x -)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10.已知向量 a = (cos α, sin α),b = (cos x , sin x), c = (sin x + 2sin α, cos x + 2cos α),此中 0<α<x<π.π(1) 若 α=4,求函数 f(x)= b ·c 的最小值及相应 x 的值;π (2) 若 a 与 b 的夹角为,且 a ⊥ c ,求 tan 2α的值.3解 (1)∵ b = (cos x , sin x),πc = (sin x + 2sin α, cos x + 2cos α), α= 4,∴ f(x)= b ·c= cos xsin x + 2cos xsin α+sin xcos x +2sin xcos α= 2sin xcos x + 2(sin x + cos x).π令 t = sin x +cos x 4<x<π ,则 2sin xcos x = t 2 -1,且- 1<t< 2.则 y = t 2+ 2t - 1= t +2 2-3,- 1<t< 2,2 2∴ t =- 2时, y min =-3,此时 sin x + cos x =- 2, 2 2 2 即 2sin x + π=- 2,42π π π 5π,∵ <x<π,∴ <x + <424 4 π 7 11π∴ x + = π,∴ x =12 .46∴函数 f(x)的最小值为- 3,相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为 ,3π a ·b∴ cos= = cos αcos x + sin αsin x3 |a| ·|b|= cos(x - α).π∵ 0< α<x<π,∴ 0<x - α<π,∴ x - α=3.∵ a ⊥ c ,∴ cos α(sin x + 2sin α)+ sin α(cos x + 2cos α)= 0,π∴ sin(x + α)+ 2sin 2α= 0,即 sin 2α+3 + 2sin 2α= 0.5 sin 2α+ 3 3. ∴ 2cos 2α=0,∴ tan 2α=-52B 组 能力提升11.已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a +b|= |a - b|,则向量 b - a 在向量 a 上的投影为 ________.答案 -1分析 因为 |a + b|= |a - b|,因此 (a + b)2= (a - b)2,2解得 a ·b = 0,因此向量 b - a 在向量 a 上的投影为 |b - a|cos 〈 a , b - a 〉=a ·(b -a)=0-|a||a||a|=- |a|=- 1.→ → →AB AC12.已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点, 且知足 AP = λ( → + →)(λ∈ R),则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心. 答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → + → )|AB|cos B |AC|cos C→ →=- |BC|+ |BC|= 0,→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → + →)垂直,|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心.∴ AP ⊥ BC ,∴点 P 在 BC 的高线上,即直线13.若 a = (2+ λ,1),b = (3,λ),若〈 a ,b 〉为钝角, 则实数 λ的取值范围是 ______________.答案3 (- ∞,- 3)∪( -3,- )2分析3 ∵ a = (2+ λ,1),b = (3,λ),∴ a ·b = 3(2+ λ)+ λ<0,得 λ<- .若 a ,b 共线,则 λ(2+ λ)2- 3= 0,解得λ=- 3 或λ=1.即当λ=- 3 时, a, b 方向相反,3又〈 a, b〉为钝角,则λ<-且λ≠- 3.14.在直角坐标系xOy 中,已知点A(1,1), B(2,3), C(3,2) ,点 P(x, y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上.→→→→(1) 若 PA+PB + PC= 0,求 |OP|;→→→(2) 设 OP=mAB+ nAC(m, n∈ R),用 x, y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.解 (1)方法一→ →→∵ PA+ PB+ PC= 0,→→→又 PA+ PB+ PC= (1- x,1- y)+ (2-x,3- y)+ (3- x,2- y)=(6 -3x,6- 3y),6- 3x= 0,x=2,∴解得6- 3y= 0,y=2,→→即 OP= (2,2),故 |OP|= 2 2.方法二→→→∵PA+ PB+ PC= 0,→→→→→→则 (OA- OP)+(OB -OP) +(OC-OP) =0,→1→→→→2.∴ OP=3(OA+ OB+ OC)=(2,2),∴ |OP|= 2→→→(2) ∵ OP=mAB+ nAC,x= m+2n,∴ (x, y)= (m+ 2n, 2m+ n),∴y= 2m+ n,两式相减得, m- n= y- x.令 y-x= t,由图知,当直线y= x+t 过点B(2,3) 时, t 获得最大值 1,故 m- n 的最大值为1.。
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合,考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算,凸显数学运算、直观想象的核心素养.2.与向量的坐标表示相结合,考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算,凸显数学运算的核心素养. 3.以平面图形为载体,考查向量数量积的应用,凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养.【知识点展示】(一)平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.(2)基底:不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (二)平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|=x 2-x 12+y 2-y 12.(三)平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中a ≠0,b ≠0,a ,b 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (四)平面向量数量积的坐标表示设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=〈a ,b 〉. 结论 几何表示 坐标表示模 |a |=a ·a |a |=x 21+y 21数量积 a ·b =|a ||b |cos θ a ·b =x 1x 2+y 1y 2 夹角 cos θ=a ·b|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22a ⊥ba ·b =0 x 1x 2+y 1y 2=0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__,即a·b =__x 1x 2+y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2+y 1y 2=0__12211212(六)常用结论1.若a 与b 不共线,且λa +μb =0,则λ=μ=0.2.已知P 为线段AB 的中点,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1+x 22,y 1+y 22.3.已知△ABC 的重心为G ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则G ⎝⎛⎭⎫x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33【常考题型剖析】题型一:平面向量基本定理的应用例1.(2015·四川·高考真题(理))设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =.若点M ,N 满足3,2BM MC DN NC ==,则AM NM ⋅=( )A .20B .15C .9D .6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==, 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=, 故选C.例2.(2017·天津·高考真题(文))在ABC 中,60A ∠=︒,3AB =,2AC =. 若2BD DC =,()AE AC AB R λλ=-∈,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 题型二:平面向量的坐标运算例3.(2022·全国·高考真题(文))已知向量(2,1)(2,4)a b ==-,,则a b -( ) A .2 B .3 C .4 D .5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -,然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-,所以245-=+=a b .故选:D例4.(2022·全国·高考真题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ,若,,<>=<>a c b c ,则t =( ) A .6- B .5- C .5 D .6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解:()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选:C例5.(2018·全国·专题练习)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ,则λ+μ的最大值为( )A .3B .CD .2【答案】A【解析】 【详解】如图所示,建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=,()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=,若满足AP AB AD λμ=+,则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ,,12x y μλ==-,所以12xy λμ+=-+, 设12x z y =-+,即102x y z -+-=,点(),Px y 在圆()22425x y -+=上, 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤,所以z 的最大值是3,即λμ+的最大值是3,故选A.例6.(2018·江苏·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为________. 【答案】3 【解析】 【详解】分析:先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果. 详解:设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 题型三:平面向量共线的坐标表示例7.(2021·全国·高考真题(文))已知向量()()2,5,,4a b λ==,若//a b ,则λ=_________.【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程,解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得:2450λ⨯-⨯=, 解方程可得:85λ=.故答案为:85.例8.(2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习)已知()1,3A ,()2,2B -,()4,1C . (1)若AB CD =,求D 点的坐标;(2)设向量a AB =,b BC =,若ka b -与3a b +平行,求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】(1)根据题意设(,)D x y ,写出,C AB D 的坐标,根据向量相等的坐标关系求解;(2)直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ,又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -, 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--, 因为=AB CD ,所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩,得54x y =⎧⎨=-⎩,所以4(5,)D -. (2)由题意得,(1,5)a =-,(2,3)b =, 所以=(2,53)ka b k k ----,3(7,4)a b +=, 因为ka b -与3a b +平行,所以4(2)7(53)0k k ----=,解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若1122()()a x y b x y =,,=,,则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便. 题型四:平面向量数量积的运算例9.【多选题】(2021·全国·高考真题)已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,1,0A ,则( ) A .12OP OP = B .12AP AP = C .312OA OP OP OP ⋅=⋅ D .123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ,2OP 、1AP ,2AP 的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C 、D 根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误. 【详解】A :1(cos ,sin )OP αα=,2(cos ,sin )OP ββ=-,所以1||cos 1OP ==,2||(cos 1OP==,故12||||OP OP =,正确;B :1(cos 1,sin )AP αα=-,2(cos 1,sin )AP ββ=--,所以1||(cos 2|sin|2AP α===,同理2||(cos 2|sin|2AP β=,故12||,||AP AP 不一定相等,错误;C :由题意得:31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+,12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+,正确;D :由题意得:11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=,23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+,故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误;故选:AC例10.(2019·天津·高考真题(文)) 在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AB =,5AD = ,30A∠=︒ ,点E 在线段CB 的延长线上,且AEBE =,则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系,则B ,5)2D . 因为AD∥BC ,30BAD ∠=︒,所以150CBA ∠=︒,因为AE BE =,所以30BAE ABE ∠=∠=︒,所以直线BEy x=-,直线AE的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-, 所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.例11.(2020·北京·高考真题)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足1()2AP AB AC =+,则||PD =_________;PB PD ⋅=_________.【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,求得点P 的坐标,利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ,()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=, 则点()2,1P ,()2,1PD ∴=-,()0,1PB =-,因此,(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a ·b =|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角).(2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解. 2.总结提升:公式a·b =|a||b|cos<a ,b >与a·b =x 1x 2+y 1y 2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b =|a||b|cos<a ,b >求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b =x 1x 2+y 1y 2求解. 题型五:平面向量的模、夹角例12.(2022·四川省内江市第六中学模拟预测(理))已知向量()1,2a =,5a b ⋅=,8a b +=,则b =( ) A .6 B .5 C .8 D .7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ,再将8a b +=两边平方,结合数量积的运算,即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得:2||12a =+,由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=, 即得249,||7b b ==,故选:D例13.(2018·浙江高考真题)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2−4e·b+3=0,则|a −b|的最小值是( ) A .√3−1 B .√3+1 C .2 D .2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n),则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x , 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1,为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.(2021·湖南·高考真题)已知向量(1,2)a =-,(3,1)b =-,则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示,即可求解.【详解】()21,3a b +=,所以2213a b +=+=例15.(2019·全国·高考真题(文))已知向量(2,2),(8,6)a b ==-,则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+.例16.(2017·山东·高考真题(理))已知1e ,2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°,则实数λ的值是_ _.【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【详解】解:由题意,设1e =(1,0),2e =(0,1),12e -=1), 1e +λ2e =(1,λ);又夹角为60°,12e -)•(1e +λ2e )=λ=2cos60°,λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ,b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角θ,需求出a ·b 及|a |,|b |或得出它们之间的关系;(2)若已知a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),则cos 〈a ,b 〉=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. 提醒:〈a ,b 〉∈[0,π].2.平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的,求向量a 的模可直接利用公式|a |=x 2+y 2.②若向量a ,b 是以非坐标形式出现的,求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ,或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.②几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.题型六:两个向量垂直问题例17.(2016·全国·高考真题(理))已知向量()()1,3,2a m b ==-,,且()a b b +⊥,则m =( ) A .−8B .−6C .6D .8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-,又()a b b +⊥,∴3×4+(﹣2)×(m ﹣2)=0,解得m =8.故选D .例18.(2022·全国·高考真题(文))已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+.若a b ⊥,则m =______________.【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-. 故答案为:34-. 例19.(2022·全国·高三专题练习)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=,则c 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标,设(,)c x y =,利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程,即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,故不妨设(1,0),(0,1)a b ==,设(,)c x y =,由()()20a c b c -⋅-=得:(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=,即2(1)(12)0x x y y ----=,即22115()()2416x y -+-=,则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20.(2020·全国高考真题(理))已知单位向量a →,b →的夹角为45°,k a b →→-与a →垂直,则k =__________.【解析】 由题意可得:211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=, 由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭,即:202k a a b k →→→⨯-⋅=-=,解得:2k =.. 【规律方法】1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(涉及向量垂直问题为高频考点)根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.3.已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下:a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1,即x 1y 2-x 2y 1=0;a ⊥b ⇔x 1x 2=-y 1y 2,即x 1x 2+y 1y 2=0.两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.。
平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等,解题思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足=m +n (m ,n 均为正实数),求+的最小值.AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,所以=+=-,AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以=m +n AP → AB → AD → =m +n AB→ (AC → -14AB →)=+n ,(m -14n )AB → AC → 由P ,B ,C 三点共线得,m -n +n =m +n =1(m ,n >0),1434所以+=1m 1n (1m +1n )(m +34n )=++≥+2743n4m mn 743n 4m ·mn=+=(当且仅当3n 2=4m 2时取等号),7437+434即+的最小值为.1m 1n 7+434反思感悟 利用向量的概念及基本运算,将所求问题转化为相应的等式关系,然后用基本不等式求最值.跟踪训练1 如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若=m +n ,则m +n 的取值范围是________.OC → OA → OB→答案 (-1,0)解析 由点D 是圆O 外一点,可设=λ(λ>1),BD → BA→ 则=+λ=λ+(1-λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ,O ,D 三点共线,令=-μ(μ>1),OD → OC→ 则=--(λ>1,μ>1),所以m =-,n =-,OC → λμOA → 1-λμOB→ λμ1-λμ则m +n =--=-∈(-1,0).λμ1-λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中,M 为边BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12,2][0,32]C.D .[0,1][12,32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E (x ,0),0≤x ≤1.则M,C (1,1),(1,12)所以=,=(1-x ,1),EM → (1-x ,12)EC → 所以·=·(1-x ,1)=(1-x )2+.EM → EC → (1-x ,12)12因为0≤x ≤1,所以≤(1-x )2+≤,121232即·的取值范围是.EC → EM → [12,32]反思感悟 建立适当的坐标系,将平面向量数量积的运算坐标化,然后利用二次函数,基本不等式等求最值或范围.跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且=λ,=,则·的最小值为________.BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意,可知DC =1,·=(+)·(+)=(+λ)·=AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → +19λDC → )·+·+λ·+·=1++-≥1+2-=,当且仅当λ=时,AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立.三、向量模的最值问题例3 向量a ,b 满足|a |=1,a 与b 的夹角为,则|a -b |的最小值为________.π3答案 32解析 |a -b|2=(a -b )2=a 2-2a·b +b 2=1-2×1×|b|cos +|b|2π3=|b|2-|b|+1=2+≥,(|b |-12)3434所以|a -b|≥,当|b|=时取得最小值.3212跟踪训练3 已知|a +b |=2,向量a ,b 的夹角为,则|a |+|b |的最大值为________.π3答案 433解析 将|a +b |=2两边平方并化简得(|a |+|b |)2-|a ||b |=4,由基本不等式得|a ||b |≤2=(|a |+|b |2),故(|a |+|b |)2≤4,即(|a |+|b |)2≤,即|a |+|b |≤,当且仅当|a |=|b |=时,(|a |+|b |)2434163433233等号成立,所以|a |+|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |=1,向量b 满足2|b -a |=b ·a ,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ的最小值为________.答案 255解析 ∵|a |=1,∴设a =(1,0),b =(x ,y ),∴b -a =(x -1,y ),由2|b -a |=b ·a 得,2=x ,则x >0,(x -1)2+y 2∴4(x -1)2+4y 2=x 2,∴y 2=-x 2+2x -1,34∴cos θ=====a ·b|a ||b |xx 2+y 2xx 2-34x 2+2x -1x14x 2+2x -11-(1x )2+2x +14=,1-(1x -1)2+54∴当=1即x =1时,cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小,利用函数求最值或范围.跟踪训练4 已知向量a ,b 满足a =(t ,2-t ),|b |=1,且(a -b )⊥b ,则a ,b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a -b )⊥b ,所以(a -b )·b =0,a ·b =b 2,cos 〈a ,b 〉====a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |=,12t 2-42t +8又因为2t 2-4t +8=2[(t -)2+2]≥2[(-)2+2]=4,2222所以0<cos 〈a ,b 〉≤,所以a ,b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1.已知向量m =(a -1,1),n =(2-b ,2)(a >0,b >0),若m ∥n ,则m ·n 的取值范围是( )A .[2,+∞) B .(0,+∞)C .[2,4) D .(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ,所以2a -2=2-b ,所以2a +b =4,所以b =4-2a >0,所以0<a <2,所以m ·n =2a +b -ab =4-ab =4-a (4-2a )=2a 2-4a +4=2(a -1)2+2∈[2,4).2.如图,在△ABC 中,点D 是线段BC 上的动点,且=x+y ,则+的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A .3 B .4 C .5 D .9答案 D解析 由图可知x ,y 均为正,且x +y =1,∴+=(x +y )=5++1x 4y (1x +4y )y x 4xy≥5+2=9,当且仅当=,y x ·4x y y x 4x y 即x =,y =时等号成立,1323则+的最小值为9.1x 4y3.在△ABC 中,AB =,BC =2,∠B =150°,点D 是AC 边上的一点(包括端点),点M 3是AC 的中点,则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D .[0,1](0,12)[0,12][12,1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点,所以=+,BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点),所以=λ,λ∈[0,1],CD → CA→ -=λ-λ,=λ+(1-λ),BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·=·[λ+(1-λ)]BM → BD → (12BA → +12BC →)BA → BC → =λ2+·+(1-λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB =,BC =2,∠B =150°,3所以2=3,·=-3,2=4,BA → BA → BC → BC → 所以·=-λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1,则0≤-λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0,12]4.设O (0,0),A (1,0),B (0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,=λ,AP → AB→ 若·≥·,则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B .1-≤λ≤11222C.≤λ≤1+ D .1-≤λ≤1+12222222答案 B解析 ∵=λ,=(1-λ)+λ=(1-λ,λ),=λ=(-λ,λ),·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ,PB →∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥(λ,-λ)·(λ-1,1-λ),∴2λ2-4λ+1≤0,解得1-≤λ≤1+,因为点P 是线段AB 上的一个动点,所以22220≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1-≤λ≤1.225.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD =,AB =2,AD =1,若M ,N 分别是边AD ,CD π3上的点,且满足==λ,其中λ∈[0,1],则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A .[-3,-1] B .[-3,1]C .[-1,1] D .[1,3]答案 A解析 以A 为原点,AB ,垂直于AB 所在的直线分别为x ,y 轴建立平面直角坐标系(图略),则B (2,0),A (0,0),D .(12,32)∵满足==λ,λ∈[0,1],MDAD NCDC ∴=+=+(1-λ)=+(1-λ)=+(1-λ)(2,0)=,AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12,32)(52-2λ,32)=+=-+(1-λ)=(-2,0)+(1-λ)=,BM → BA → AM → AB → AD → (12,32)(-32-12λ,32(1-λ))·=·AN → BM → (52-2λ,32)(-32-12λ,32(1-λ))=+×(1-λ)(52-2λ)(-32-12λ)3232=λ2+λ-3=2-.(λ+12)134∵λ∈[0,1],二次函数的对称轴为λ=-,12则函数在[0,1]上单调递增,故当λ∈[0,1]时,λ2+λ-3∈[-3,-1].6.设0≤θ<2π,已知两个向量=(cos θ,sin θ),=(2+sin θ,2-cos θ),则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C .3 D .22323答案 C解析 ∵=-=(2+sin θ-cos θ,2-cos θ-sin θ),P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||==≤3.P 1P 2——→ (2+sin θ-cos θ)2+(2-cos θ-sin θ)210-8cos θ2当cos θ=-1时,||有最大值3.P 1P 2——→ 27.已知△ABC 的三边长AC =3,BC =4,AB =5,P 为AB 边上任意一点,则·(-)CP→ BA → BC → 的最大值为________.答案 9解析 根据题意,建立直角坐标系,如图,∴A (0,3),B (4,0),C (0,0),∴=(4,-3),AB→ =+=+λ=(0,3)+(4λ,-3λ)=(4λ,3-3λ),λ∈[0,1],CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(-)=·=(4λ,3-3λ)·(0,3)=9-9λ∈[0,9],CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(-)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8.若a =(2,2),|b |=1,则|a +b |的最大值为________.答案 2+12解析 因为|b |=1,设b =(cos θ,sin θ),则a +b =(2+cos θ,2+sin θ),则|a +b|===(2+cos θ)2+(2+sin θ)24(cos θ+sin θ)+9≤==2+1,当且仅当sin=1时取等号.42sin (θ+π4)+99+42(22+1)22(θ+π4)9.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a ·(a +b )=2.求|a -λb |的最小值.解 由|a |=1,a ·(a +b )=2,可知a ·b =1,根据向量求模公式得|a -λb |=,4λ2-2λ+1易知,当λ=时,|a -λb |取得最小值为.143210.△ABC 中,AB =2,AC =2,∠BAC =45°,P 为线段AC 上任意一点,求·的取2PB→ PC → 值范围.解 设=t (0≤t ≤1),PC→ AC → 则=(1-t ),AP → AC → 因为=-=-(1-t ),PB → AB → AP → AB → AC → 所以·=[-(1-t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → =t ·-t (1-t )2AB → AC → AC → =2×2t ·cos 45°-t (1-t )×(2)222=8t 2-4t =82-.(t -14)12因为0≤t ≤1,所以-≤·≤4,12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [-12,4]11.如图,在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,∠BAC =θ,点D 为BC 的三等分点.则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(-113,133)(13,73)C.D.(-53,73)(-53,553)答案 C解析 ∵=+=+AD → AB → BD → AB → 13BC→=+(-)=+,AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·=·(-)AD → BC → (23AB → +13AC →)AC → AB → =-||2+||2+·23AB → 13AC → 13AB → AC →=-×4+×9+×2×3cos θ=2cos θ+.23131313∵-1<cos θ<1,∴-<2cos θ+<.531373∴·∈.AD → BC → (-53,73)12.如图,延长线段AB 到点C ,使得=2,D 点在线段BC 上运动,点O ∉直线AB ,满AB → BC→ 足=λ+μ,则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[-32,0][-2,23]C.D .[-1,1][-34,0]答案 C解析 不妨设AB =2BC =2,BD =x ,x ∈[0,1],由平面向量三点共线可知,= + ,OB → 22+x OD → x2+x OA→ ∴=-,OD → 2+x 2OB → x 2OA → ∴λ=-,μ=,x ∈[0,1],x22+x2则λμ=-=-(x 2+2x ),(2+x )x414∴λμ∈.[-34,0]13.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |=1,若a ·b =,则(a +b )·(2b -c )的取值范围是( )12A .[1,2+]B .[1,3+]33C .[3-,2+]D .[3-,3+]3333答案 D解析 因为a ·b =,设a 与b 的夹角为θ,12则a·b =|a|·|b|cos θ=,解得θ=,而|a|=|b|=|c|=1,则可设a =(1,0),由θ=可得b =12π3π3.(12,32)由|c |=1,设c =(sin α,cos α),则(a +b )·(2b -c )=2a·b +2b 2-a·c -b·c=1+2-sin α-(12sin α+32cos α)=3-=3-sin.(32sin α+32cos α)3(α+π6)所以当α=时取得最大值为3+,当α=时取得最小值为3-,所以(a +b )·(2b -c )的4π33π33取值范围为[3-,3+].3314.已知|a |=|b |=a ·b =2,c =(2-4λ)a +λb ,则(c -a )·(c -b )的最小值为________.答案 -4952解析 ∵c -a =(1-4λ)a +λb ,c -b =(2-4λ)a +(λ-1)b ,∴(c -a )·(c -b )=[(1-4λ)a +λb ]·[(2-4λ)a +(λ-1)b ]=(16λ2-12λ+2)a 2+(-8λ2+7λ-1)a ·b +(λ2-λ)b 2,代入|a |=|b |=a ·b =2,原式=52λ2-38λ+6,∴当λ=时,原式取得最小值,为-.1952495215.已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置,AB =4,点A ,B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动,则·的最大值是________.OA → OC →答案 12解析 设∠OAB =θ,θ∈,(0,π2)则A (4cos θ,0),C ,(4cos θ+4cos (2π3-θ),4sin (2π3-θ))所以·=4cos θ·OA → OC → [4cos θ+4cos (2π3-θ)]=4cos θ(2cos θ+2sin θ)3=4cos 2θ+4+4sin 2θ3=8sin +4,θ∈,(2θ+π6)(0,π2)故当2θ+=,即θ=时,·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16.已知向量a =(,-1),b =.3(12,32)(1)求与a 平行的单位向量c ;(2)设x =a +(t 3+3)b ,y =-k ·t a +b ,若存在t ∈[0,2],使得x ⊥y 成立,求k 的取值范围.解 (1)设c =(x ,y ),根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c =或c =.(32,-12)(-32,12)(2)∵a =(,-1),b =,3(12,32)∴a·b =0.∵x ⊥y ,∴-kt |a |2+(t 2+3)|b |2=0.∵|a |=2,|b |=1,∴t 2-4kt +3=0.问题转化为关于t 的二次方程t 2-4kt +3=0在[0,2]内有解.令f (t )=t 2-4kt +3,则当2k ≤0,即k ≤0时,∵f (0)=3,∴方程t 2-4kt +3=0在[0,2]内无解.当0<2k ≤2,即0<k ≤1时,由Δ=16k 2-12≥0,解得k ≤-或k ≥,∴≤k ≤1.323232当2k >2,即k >1时,由f (2)≤0得4-8k +3≤0,解得k ≥,∴k >1.78综上,实数k 的取值范围为.[32,+∞)。