数值计算功能向量及其运算1、向量生成（1）、直接输入向量元素用“ [ ]”括起来,用空格或逗号生成行向量,用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18]a2=[11;14;17;18]%列向量用“ ’”能够进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1'%a1 行向量,a4 列向量也能够用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B]（2）、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=Vec0:n:Vecn,此中Vec表示生成地向量,Vec0表示第一个元素,n表示步长,Vecn 表示最后一个元素使用 linespace 函数： Vec=linespace(Vec0,n,Vecn),此中 Vec 表示生成地向量 ,Vec0 表示第一个元素 ,n 表示生成向量元素个数（默认 n=100） ,Vecn 表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=linspace(10,50,6)2、向量地基本运算（1）、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算（除法运算时,向量只好作为被除数,数只好作为除数）vec1=linspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数平分向量vec2/100（2）、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=linspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2（3）、点积、叉积和混淆机点积： dot 函数 ,注意愿量维数地一致性x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还能够采纳sum 函数计算向量地址积叉积： cross 函数 ,注意愿量维数地一致性（由几何意义可知,向量维数只好为3）x1=[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2)%报错 ,维数只好为3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混淆积：结果为一个数,先求 cross,再求 dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵,逗号或空格划分同一行不一样元,分号划分不一样行素1、矩阵地生成4 种方法：在command window直接输入；经过语句和函数产生；M 文件中成立；外面数据文件中导入（1）、直接输入：把矩阵元素直接摆列到方括号中 ,每行元素用逗号或空格相隔 ,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)（2）文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入： File—Import Data2、矩阵地基本数值运算（1）、矩阵与是常数地四则运算（除法时,常数只好作为除数）matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2（2）、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,一定是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m2=m1+matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6]m4=matrix-m1m5=m3+m1 %报错 ,非同型矩阵乘法：用 *, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1111;2222;3333;4444]B=[1592;6357;2589;4563]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]3*3矩阵相乘E=A*D% 报错 ,4*4 矩阵不可以与除法：左除（ AX=B 则 X=A\B,相当于 X=inv(A)*B, 可是左除稳固性好）右除 / （ XA=B 则 X=B/A,相当于 X=B*inv(A)）个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解 ,本列中 A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1]B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵能够使用比较运算符：结果矩阵地对应地点为0 或1数据变换：floorceilroundfixrem[n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d 3、矩阵地特点参数运算（1）、乘方与开方乘方： A^p 计算 A 地 p 次方p>0： A 地 p 次方p<0： A 逆矩阵地abs(p)次方A=[1234;4567;4567;891011]B=A^10开方：如有X*X=A,则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)B^2 %考证正确性（2）、指数与对数指数： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V （ [V,D]=eig(X)）对数： L=logm(A),与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)（3）、逆运算inv函数 ,充要条件：矩阵地队列式不为0A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)广义逆矩阵（伪逆）：pinv(A)非奇怪矩阵地pinv 与inv 相同（4）、队列式det函数A=[1000;1200;2130;1214]B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y（5）、特点值E=eig(X)：生成由X 地特点值构成地列向量[V,D]=eig(X)： V 是以 X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X 地特点值构成地列向量（eigs 函数使用迭代法求解矩阵地特点值和特点向量 ,X 一定是方阵,最好是大型稀少矩阵）[V,D]=eig(X)： V 是以X 地特点向量为列向量地矩阵,D 是由矩阵X 地特点值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)（6）、矩阵（向量）地范数norm(X) ： 2-范数norm(X,2) ： 2-范数norm(X,1) ： 1-范数norm(X,inf) ：无量范数norm(X,’fro ’)： Frobenius 范数normest(X) ：只好计算2-范数 ,而且是 2-范数地预计值,用于计算norm(X) 比较费时地状况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)（7）、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个胸怀,矩阵 A 地条件数越大,表示 A 越病态 ,反之 ,表示 A 越良态 ,Hilbert矩阵就是闻名地病态矩阵cond(X)：返回对于矩阵X 地 2-范数地条件数cond(X,P)：对于矩阵X 地 P-范数地条件数（P 为 1、 2、 inf rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值,该值越靠近0 就越病态condest(X)：计算对于矩阵X 地 1-范数地条件数地预计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1)c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H)h2=cond(H,inf)h3=rcond(H)h4=condest(H)或’fro’）,越靠近 1 就越良态由以上结果能够看出,魔术矩阵比较良态,Hilbert矩阵是病态地（8）、秩rank 函数T=rand(6)rank(T) %6,满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=rank(T1)%r=2,行满秩矩阵（9）、迹trace 函数 ,主对角线上全部元素地和,也是特点值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算（1）、三角分解（lu）非奇怪矩阵 A（ n*n ）,假如其次序主子式均不为 0,则存在独一地单位下三角 L 和上三角阵 U, 进而使得 A=LU[L,U]=lu(X)：产生一个上三角矩阵U 和一个下三角矩阵L,使得 X=LU,X能够不为方阵[L,U,P]=lu(X)：产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U 和互换矩阵P,PX=LUY=lu(X)：假如 X 是满矩阵 ,将产生一个lapack’s地 dgetrf 和 zgetrf 地输出常式矩阵Y；假如 X 是稀少矩阵 ,产生地矩阵Y 将包含严格地下三角矩阵L 和上三角矩阵U,这两种状况下,都不会有互换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)（2）、正交分解（qr ）对于矩阵 A（ n*n ）,假如 A 非奇怪 ,则存在正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R,使得 A 知足关系式 A=QR, 而且当 R 地对角元都为正时 ,QR 分解是独一地[Q,R]=qr(A) ：产生一个与 A 维数相同地上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q,使得知足A=QR[Q,R,E]=qr(A)：产生一个互换矩阵E、一个上三角矩阵R 和正交阵[Q,R]=qr(A,0) ：对矩阵 A 进行有选择地QR分解 ,当矩阵 A 为 m*n 前 n 列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,而且知足R=chol(A’*A)Q,这三者知足 AE=QR 且m>n, 那么只会产生拥有A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8] [Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j)：去除第[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j 列求 QR分解j 列插入 x 后求QR分解（3）、特点值分解（eig）[V,D]=eig(X)：V 是以矩阵X 地特点向量作为列向量构成地矩阵,D 是矩阵X 地特点值构成地对角阵 ,知足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵 A、B 做广义特点值分解 ,使得 AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D（4）、 Chollesky 分解（ chol）当矩阵A（ n*n ）对称正准时,则存在独一地对角元素为正地上三角矩阵R,使得 A=R’*R,当限定 R 地对角元素为正地时候 ,该分解是独一地当矩阵 A 为非正定阵时 ,会提示犯错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A) %报错 ,A 为非正定阵（5）奇怪值分解（svd）[U,S,V]=svd(X)：与矩阵 X 维数相同地对角阵 S、正交矩阵 U 和正交矩阵 V,使得知足 X=USV’[U,S,V]=svd(X,0)：X 为 M*N 矩阵 ,当 M>N 时 ,生成地矩阵 U 只有前 N 列元素被计算出来 ,而且 S为 N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解（正交阵和schur阵）[U,T]=schur(A)： A=UTU’schur阵是主对角线元素为特点值地三角阵5、矩地一些特别理size(A)：求矩 A 地行数、列数diag(A):求出矩 A 地角元素repmat(A)：将矩 A 作位 ,成 m*n 矩 ,此中每个元素都是cat(k,A,B)： k=1 归并后形如 [A;B]（ A,B 列数相等）； k=1 归并后形如（1）、矩地A 矩[A,B]（ A,B 行数相等）reshape(X,M,N) ：将矩X 地全部元素分派到一个M*N地新矩,当矩X 地元素不是M*N ,返回reshape(X,M,N,P,⋯)：返回由矩X 地元素成地M*N*P*⋯多矩,若果M*N*P*⋯与X 地元素数不一样 ,将返回reshape(X,[M,N,P,⋯]) ：与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)（2）、矩地向rot90(A) ： A 按逆旋rot90(A,K) ： A 按逆旋filpud(X) ：将 X 上下翻90 度90*K度fliplr(X) ：将X 左右翻flipdim(X,DIM) ：将 X 地第 DIM 翻X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻6、特别矩地生成（1）、零矩和全 1 矩地生成A=zeros(M,N)：生成 M*N 地零矩A=zeros(size(B))：生成与 B 同型地零矩A=zeros(N)：生成 N 零矩仿真全 1 矩地生成与零矩地生成似,使用ones 函数A=zeros(4,5)B=[12345;23456;98765;87654]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)（2）、角矩地生成A=diag(V,K)： V 某个向量 ,K 向量 V 偏离主角地列数,K=0 表示 V 主角 ,K>00 表示 V 在主对角线以上,K<0 表示 V 在主对角线以下A=diag(V)：相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)（3）、随机矩阵地生成rand(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素值在 (0.0,1.0) 之间rand(M,N)randn(N) ：生成 N*N 地随机矩阵 ,元素之听从正态散布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)（4）、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V)：有 A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)（5）、魔术矩阵地生成它是一个方阵 ,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同（ 2 阶方阵除外）magic(N)：生成N 阶魔术矩阵 ,使得矩阵地每一行,每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0（N=2 除外）magic(2)magic(3)magic(4)（6）、 Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert 矩阵地第i 行、第 j 列地元素值为1/(i+j-1), 反 Hilbert 矩阵是 Hilbert 矩阵地逆矩阵hilb(N) ：生成 N 阶地 Hilbert 矩阵invhilb(N) ：生成 N 阶地反 Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机摆列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： Pascal矩阵hankel(c)： Hankel 矩阵wilkinson(n)： wilkinson 特点值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注： diag 函数地输入参数只好有一个（能够为向量）compan(u)：友矩阵hadamard(n)： hadamard 矩阵toeplitz(c,r)：托布列兹阵数组及其运算1、数组寻址和排序（1）、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %接见 A 地第 4 个元素A(2:6)%接见 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4])%接见 A 中 1、3、 7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾（2）、数组地排序sort(X)：将数组X 中地元素按升序排序X 是多维数组时 ,sort(X)命令将 X 中地各列元素按升序排序X 是复数时 ,sort(X)命令将 X 中地各个元素地模abs(X)按升序排序X 是一个字符型单元数组,sort(X)命令将 X 中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)：DIM 选择用于摆列地维,MODE 决定了排序地方式（’ascend’升序 ,’descend’降序） ,该命令生成地数组Y与 X 是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X,1) %纵向升序排序sort(X,2) %横向升序排序sort(2)2、数组地基本数值运算（1）、加减法（与矩阵加减法相同）X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y（2）、数组地乘除法乘法用“ .* ”： X、 Y 有相同维数 ,X.*Y 表示 X 和 Y 中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./ ”：注意“ ./ ”和“ ”完整不一样X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z%报错 ,维数问题Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.\Y %Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.\Z%报错 ,维数问题（3）、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.^Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.^3乘方运算时底数为标量X=[456789]Z=3.^X数组和矩阵也能够进行exp、 log、 sqrt 等运算 ,是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于（ <）,小于等于（ <=） ,大于（ >）,大于等于（ >=） ,等于（ ==） ,不等于（ ~=） ,结果为 1, 则关系式为真 ,结果为 0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数 ,X 为被除数 ,n 为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算,非运与（ &）,或（ | ）,非（ ~）,此中与、或能够比较两个标量或许两个同阶数组（或矩阵）算时针对数组（或矩阵中地每一个元素）,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat：串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute：重组repmatreshaperot90稀少型矩阵1、稀少矩阵地生成（1）、 speye 函数：生成单位稀少矩阵speye(size(A))speye(M,N) ：维数为M 和N 中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)（2）、 sprand 函数：生成随机稀少矩阵（元素听从0-1 之间地随机散布）R=sprand(S)：产生与稀少矩阵S 构造相同地稀少矩阵,但它地元素都是0-1 上地随机数Rsprand(M,N,D) ：产生一个M*N 地随机稀少矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D, 注意D 地值在 0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)（3）、 sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵 X 转变为稀少矩阵SS=sparse(I,j,s,m,n,nzm)：生成 m*n 地稀少矩阵 S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上 ,此中 nzm=length(s)S=sparse(I,j,s)：生成 m*n 地稀少矩阵S,向量 s 地元素散布在以向量i 地对应值和向量 j 地对应值为坐标地地点上,此中 m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2]s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%报错 ,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默认 nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀少矩阵地操作（1）、 nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S)：返回 S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S))：表示稀少矩阵S 中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))（2）、 sponse 函数R=sponse(S)：生成一个与稀少矩阵 S 构造相同地稀少矩阵 R,可是在矩阵 S 中地非零元素地地点上用元素 1 替代S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)（3）、 spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm)：生成一个全部元素都为0 地m*n阶稀少矩阵,计算机利用这些空间来存储 nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) s=spalloc(n,n,1*n)%生成%分派3*13*3地稀少列向量地空间 ,最后能够储存 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v)%v 为含有一个非零元素地稀少列向量end（4）、 full 函数S=full(X)：将稀少矩阵（三元组表示）变换为满矩阵（矩阵表示）s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)（5）、 find函数I=find(X)：返回矩阵X 地非零元素地地点,如 I=find(X>100) 返回X 中大于100 地元素地地点[I,J]=find(X) ：返回 X 中非零元素所在地行I 和列 J 地详细数据[I,J,V]=find(X)：除了返回I 和 J,还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X) 和 find(X~=0)会产生相同地I 和 J,可是后者会生成一个包含全部非零元素地点地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)（6）、 issparse 函数issparse(S)：返回值为 1 说明矩阵S 是一个稀少矩阵,返回值为0 时说明矩阵S 不为稀少矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回 0,不为稀少矩阵Y=issparse(R) %返回 1,为稀少矩阵。
