2020届天津市和平区高三上学期期末统考数学试题 PDF版【附参考答案】

和平区2019-2020学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵若关于的方程有实数根∴，即∴不一定等于故选A3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 5C. 1D. -5【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图所示：目标函数可化为由图可知当直线过点时，取最大值故选B点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴双曲线的渐近线方程为，右焦点∵过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点∴直线的斜率在和之间，包括端点故选D5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．6. 将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图像向左平移个单位，得故选D7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴直线的方程为，直线的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知函数的零点不唯一，等价于两函数与图象的交点个数不唯一∵的图象是开口向下、对称轴的抛物线，的图象是恒过的直线，注意到、，则分、、三种情况讨论：①当时，∵在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数（当时为常数函数）∴在上为增函数，在上为减函数∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．②当时，在上为增函数，在上为减函数∵在上为增函数，且∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．③当时，在上为增函数，在上为增函数，欲使始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一，则必有，即，解得：．综上所述，的取值范围是．故选C点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与函数图象的公共点的个数；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知，则的最小值为__________．【答案】-1【解析】∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为故答案为点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13. 已知函数，若，则的值为__________．【答案】4【解析】依题意函数的自变量满足，即，此时恒成立∴∴∴故答案为414. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__________．【答案】480【解析】假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有种情况，故不同排列方法种数种.故答案为480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则则事件“甲同学进入复赛的”表示为，由与互斥，且、、彼此独立，能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则事件“甲同学进入复赛的”表示为.∵与互斥，且彼此独立，∴. （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为数学期望.17. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可证平面，从而得出，由及为的中点，推出，即可得证平面；（Ⅱ）依题意，平面，，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，得出，，，，，，，由为平面的一个法向量，再根据，即可得出，从而得证；(Ⅲ) 求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，根据，即可求出与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为的中点，∴.∵，∴平面.（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.可得，，，，，，.∵平面的一个法向量，，∴，即.∵平面，∴平面.（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.由，，得令，得，，即.设与平面所成角为，∵，∴.∴与平面所成角的正弦值为.点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立.（Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。

2020-2021学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1} 2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.0405．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）二、填空图（共6小题）.10．已知i是虚数单位，则＝．11．在的展开式中常数项是．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1}解：∵集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴∁U A＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1}．故选：A．2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项C和D，又f（）＝＝＞0，排除选项B，故选：A．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.040解：由频率分布直方图可得（0.003+0.0070.02+0.012+2a+0.03+0.008）×10＝1，解得a＝0.020．故选：B．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．解：由题意可知正方体的体对角线的长度，就是外接球的直径，球O的体积为36π，所以外接球的半径为R，可得πR3＝36π，所以R＝3，所以正方体的对角线的长度：6，棱长为a，＝6，解得a＝2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：a3＝24．故选：D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：1＜＝30.8＜b＝30.9，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：D．7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线的焦点坐标为（0，5），双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为by+ax＝0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴＝b＝4，即b＝4，∵c＝5，∴a＝3，∴双曲线方程为：．故选：D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（）＝，得sin（φ+）＝1．∴φ+＝，k∈Z．取k＝0，得φ＝＜π．∴，φ＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）解：因为函数f（x）＝，则f（﹣x）＝，所以函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）＝，①当k＝0时，，所以g（x）只有一个零点，不符合题意；②当k≠0时，因为，所以g（﹣x）＝g（x），则g（x）为偶函数，所以g（x）有且仅有四个不同的零点可转化为g（x）＝x2+kx+k（x＞0）有且仅有两个不同的零点，所以g'（x）＝2x﹣k（x＞0），当k＜0时，g'（x）＞0（x＞0）恒成立，此时g（x）（x＞0）最多一个零点，不符合题意，当k＞0时，令g'（x）＝2x﹣k＞0（x＞0），则，令g'（x）＝2x﹣k＜0（x＞0），则，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则有，解得k＜0或k＞4，又k＞0，所以k＞4，综上所述，所以实数k的取值范围是（4，+∞）．故选：B．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．已知i是虚数单位，则＝1+4i．解：＝．故答案为：1+4i．11．在的展开式中常数项是60．解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项是•22＝60，故答案为：60．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．解：由圆C的圆心在x轴的正半轴上，设圆C的圆心为（a，0）（a＞0），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y+1＝0的距离为，得a2+3＝r2且，解得a＝，．∴圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．故答案为：（x﹣）2+y2＝．．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．解：有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m＝＝9，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为P＝＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为3+6．解：∵a＞0，b＞0，且+＝，∴a+2b＝（a+2）+2（b+2）﹣6＝3[（a+2）+2（b+2）]（）﹣6，＝9+﹣6﹣6＝3+6，当且仅当且+＝，即b＝1+，a＝1+3时取等号，故a+2b的最小值为3+6．故答案为：3+6．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．解：因为且满足＝λ，λ∈[0，1]则有＝λ，＝λ，所以＝+＝+λ＝+λ，＝++＝++λ＝++λ＝（1﹣λ）+，所以•＝（+λ）[（1﹣λ）+]＝（1﹣λ）2+（1+λ﹣λ2）•+λ2＝4（1﹣λ）﹣2（1+λ﹣λ2）+4λ＝2λ2﹣2λ+2当λ＝时，•有最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．解：（1）由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴a2＝4b2，即a＝2b，∵，∴b2+c2﹣a2＝ac＝bc，由余弦定理知，cos A＝＝﹣．（2）由（1）知，cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴sin2A＝4sin2B，∵A，B∈（0，π），∴sin A＝2sin B，即sin B＝sin A＝，又A为钝角，∴B为锐角，∴cos B＝＝，∴sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，故sin（2B+A）＝sin2B cos A+cos2B sin A＝×（﹣）+×＝．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），∵＝4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（Ⅱ）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（1，1，1），平面ACD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（Ⅲ）设M（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣4）＝（0，4λ，﹣4λ），∴a＝0，b＝4λ，c＝4﹣4λ，∴M（0，4λ，4﹣4λ），＝（0，4λ，4﹣4λ），平面CDP的法向量＝（1，1，1），∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝，∴MD＝PD＝＝2．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a2＝9，b2＝4，c2＝5，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＝3，所以A（﹣3，0），所以直线AP方程为y＝kx+3k，设P（x1，y1），Q（0，y），联立得（4+9k2）x2+54k2x+81k2﹣36＝0，所以﹣3+x1＝﹣，﹣3x1＝，所以x1＝，y1＝kx1+3k＝k•+3k＝，所以|AP|＝|﹣3﹣x1|＝，|AQ|＝，|PQ|＝＝，因为△APQ是等边三角形，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，所以＝＝，解得k＝0．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125，可得a32＝125，即a2＝5，a3＝15，则等比数列{a n}的公比为3，所以a n＝5•3n﹣2，S n＝＝（3n﹣1）；（Ⅱ）（ⅰ）由b1＝1，且，可得b1＝b2﹣1，即b2＝2，当n≥2时，b1++…+＝b n﹣1，又b1++…++＝b n+1﹣1，两式相减可得＝b n+1﹣1﹣（b n﹣1），化为＝＝…＝＝1，所以b n＝n，对n＝1也成立，b n＝n，n∈N*；（ⅱ）M n＝＝a1b1+a2b3+a3b5+…+a n b2n﹣1＝×1+5×3+5×3×5+…+5•3n﹣2•（2n﹣1），3M n＝5+5×32+5×32×5+…+5•3n﹣1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣2M n＝+10（1+3+32+…+3n﹣2）﹣5•3n﹣1•（2n﹣1）＝+10•﹣5•3n﹣1•（2n﹣1），化简可得＝+5（n﹣1）•3n﹣1．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣2ax﹣1，f′（x）＝e x﹣2a，若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，则切线斜率k＝tan＝1＝f′（0）＝1﹣2a＝1，解得：a＝0；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2a，x∈R，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，故f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增，综上：当a≤0时，f（x）在R递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，即e x﹣2ax﹣1+2aln（x+1）﹣x≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，设h（x）＝e x+2aln（x+1）﹣2ax﹣x﹣1，（x≥0），问题转化为h（x）min≥0，则h′（x）＝e x+﹣（2a+1），下面先证明：e x≥x+1，令p（x）＝e x﹣x﹣1，则p′（x）＝e x﹣1，令p′（x）＞0，解得：x＞0，令p′（x）＜0，解得：x＜0，故p（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故p（x）min＝p（0）＝0，故e x≥x+1，故h′（x）＝e x+﹣（2a+1）≥（x+1）+﹣（2a+1）＝，①a≤时，x﹣2a+1≥0，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）递增，h（x）min＝h（0）＝0，成立，②a＞时，2a﹣1＞0，令h′（x）＞0，解得：x＞2a﹣1，令h′（x）＜0，解得：x ＜2a﹣1，故h（x）在（0，2a﹣1）递减，在（2a﹣1，+∞）递增，故h（x）min＝h（2a﹣1）＝e2a﹣1+2aln2a﹣（2a）2，令2a＝t，则t＞1，则H（t）＝e t﹣1+tlnt﹣t2，H′（t）＝e t﹣1+lnt+1﹣2t，H″（t）＝e t﹣1+﹣2＞t+﹣2＞0，故H′（t）在（1，+∞）递增，而H′（1）＝﹣1＜0，H′（2）＝e﹣3+ln2＞0，故存在t0∈（1，2）使得H′（t0）＝0，故＝2t0﹣lnt0﹣1，故H（t）在（1，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故H（t）min＝H（t0）＝+t0lnt0﹣＝2t0﹣lnt0﹣1+t0lnt0﹣＝（t0﹣1）[lnt0﹣（t0﹣1）]，下面证明lnx≤x﹣1，令q（x）＝lnx﹣x+1（x＞1），则q′（x）＝﹣1＜0，故q（x）在（1，+∞）递减，故q（x）＞q（1）＝0，故lnx≤x﹣1，故lnt0﹣（t0﹣1）＜0，而t0﹣1＞0，故h（t0）＜0，故a＞时，存在实数x使得h（x）＜0，原命题不成立，综上：a≤，故a的取值范围是（﹣∞，]．。

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则AB =（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2]--C ．[3,2)--D ．(,1](3,)-∞+∞2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A．B．C ．8D．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为 ）A ．2B ．2CD ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3(0,)4C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i =+，234z i =-，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ．10.91(2x-的展开式中的常数项为 ．（用数学作答） 11.几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 2cm ．12.直线3y kx =+(0k ≠)与圆226490x y x y +--+=相交于A 、B两点，若||AB =，则k 的值是 ． 13.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是 ．14.定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则2(log 3)f 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-++-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间． 16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥； （2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nnb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标． 20. （本小题满分14分） 已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程； （2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级 数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.21211.12.34-13.414.13-三、解答题15.解：（1）∵1()cos 22(sin cos )(sin cos )2f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =-12cos 22x x =- sin(2)6x π=-∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()，33328(3)()327P X C ===．∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的数学期望()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=， ∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-， ∴2BD EM =， ∴//BD EM ． ∵EM⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ． （3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，∴AF⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =， ∵(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =．∴cos ,2AF n <>==， ∴锐二面角D PC E --．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥），∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-．（2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++ 01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，①则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，②①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3nn n n =-⋅-++．19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a ba b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ， 则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数． 设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=，由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=， 由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距， 依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(,1919-． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减，∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立，∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤， 故a 的取值范围是[]1,3．。