江西省南康中学2020-2021学年度高二上学期第三次大考数学(理科)试题

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第三次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.1.1.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是A. {x|－2≤x＜1}B. {x|1＜x≤2}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|x＜2}【答案】B【解析】试题分析：图中阴影部分表示的是，，，，所以考点：1．韦恩图表示集合；2．集合的运算．2.2.若i为虚数单位，已知(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为（）A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由题意分子、分母同乘以，再进行化简并且整理出实部和虚部，求出和，再求出，故判断出点在圆外．【详解】由题意知，∵，∴点在圆外．故选：A．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位的幂运算性质，还涉及了点与圆的位置关系的判断，两个复数相除时，一般分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简．3.3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（）A. 24B. 30C. 36D. 40【答案】C【解析】试题分析：因,故,应选C.考点：抽样方法及计算．4.4.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率. 详解：由题得∵∴.∴∵,∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.5.5.若成等差数列，成等比数列，且，则m 的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，联立可求代入已知不等式即可求解的范围【详解】∵成等差数列，，即①∵成等比数列，②由①②得．，即m故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：：∵边长为1的正三角形的高为∴侧视图的底边长为，又侧视图的高等于正视图的高，故所求的面积为：考点：三视图7.7.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将函数的图象向左平移个单位使其等于，然后根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简整理可求得到的关系式，再由平移的知识得到的解析式，最后根据微积分的知识得到函数的解析式．【详解】函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，又因为，。

2s s k =+江西省南康中学2019-2020学年高二数学上学期期中（第二次大考）试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1.直线l310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A ． 150︒B ． 120︒C ． 60︒D ． 30︒2.在空间直角坐标系中，已知(1,0,2)M -，(3,2,4)N -，则MN 的中点P 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3 B ．2 C ．2D ．33.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 9B. 45C. 126D. 2704. 若样本12,,,n x x x 平均数是4，方差是2，则另一样本 1232,32,,32n x x x +++的平均数和方差分别为（ ）A ．12，2B ．14，6C ．12，8D ．14，185.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）A ． 02B ． 07C ． 01D ． 066.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错．误．的一个是（ ）A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是217.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），00(,)x y 的线性回归方程为2y x ∧=+，则00x y -的值为（ ） A ．3-B ．5-C ．2-D ．1-8. 已知空间中不同直线m n 、和不同平面α、β，下面四个结论：①若m n 、互为异面直线，//m α，//n α，β//m ，//n β，则//αβ； ②若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥； ③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，m n //，则//n β.其中正确的是（ ） A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③9.若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A.6k <B. 7k <C. 8k <D. 9k <10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A.9811.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( )A.152+ B.132+C.112 D. 92+12.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆ （1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第三次大考数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 12-C.12D. 2-C直接应用斜率公式计算即可．已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，由斜率公式得4213(1)2AB k -==--.故选：C本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若l α⊥，l β⊥，则//αβ C. 若l α⊥，//l β，则//αβ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥BA 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系3. 若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A. 90.5B. 91.5C. 90D. 91A共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为90+91=90.52，故选A. 本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.4. 如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A. 甲户比乙户大B. 乙户比甲户大C. 甲、乙两户一般大D. 无法确定哪一户大B根据统计图表，分别求得甲、乙两户的教育支出的百分比，即可求解.由题意，根据条形图，可得甲户教育支出占120020% 2000120021600=+⨯+，由饼形图，可得乙户教育支出占25%.所以乙户比甲户大.故选：B.5. 观察下列各图形，其中两个变量x y，具有相关关系的图是（）A. ①②B. ①④C. ③④D. ③C根据图形中点的分布，即可判断x y，是否具有相关关系．由图可知，图③中这些点大致分布一条直线附近，具有线性相关关系；图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；而图①②中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系．故选：C．本题主要考查通过散点图判断两个变量是否具有相关关系，意在考查学生识图能力，属于基础题．6. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A. 630B. 615C. 600D. 570D根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可. 高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本， 样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：8042120057080-⨯=.故选：D. 本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.7. 已知水平放置的ABC ∆，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图A B C '''，其中1B O C O ''''==，3A O ''=，那么原ABC ∆的面积是( )A. 22B. 3C.32D.34B由直观图和原图的面积之间的关系2S S 直观图原图 ，直接求解即可． 因为2=4S S 直观图原图， 且若△A′B′C′的面积为132622⨯ 那么△ABC 3， 故答案为B ．本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查． 8. 若一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为2，方差为3，则125x +，225x +，325x +，…，25n x +的平均数和方差分别是（ ）A. 9，11B. 4，11C. 9，12D. 4，17C根据()2,()3E x D x ==，利用平均数和方差的性质求()()25,25E x D x ++.由题()2,()3E x D x ==，则(25)2()59E x E x +=+=，2(252()12D x D x +==.故选：C 本题考查了平均数和方差的性质，属于基础题.9. 某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内填（ ）A. 4k ≥？B. 5k ≥？C. 6k ≥？D. 7k ≥？B根据程序框图，依次代入计算，即可求得输出值为57S =，通过输出值即可知判断框里的不等式．由题意可知，1,1S k ==2,4k S ==，否 3,11k S ==，否 4,26k S ==，否 5,57k S ==，是所以当5k =时，57S =，此时跳出循环体．所以判断框内容为5k ≥？ 所以选B本题考查了补全程序框图条件，注意每次计算的结果是返回执行循环体，还是退出循环体，属于基础题．10. 过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ ) A. 280x y +-= B. 280x y --= C. 280x y ++= D. 280x y -+= A两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6 又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标. 11. 如图，在三棱锥B ACD -中，π3ABC ABD DBC ∠∠∠===，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为A. 19π2B. 19πC.75π6D. 7πA首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可. 设CD 的中点为P ，由余弦定理可得：222cos607AD AB BD AB BD =+-⨯⨯⨯=很明显ADC为等腰三角形，则AP ===BP ==据此有：222AB PA PB =+，由勾股定理的逆定理可得：AP BP ⊥， 很明显,AP CP BP CP ⊥⊥，以P 为原点，PC 为x 轴正方向，PB 为y 轴正方向，P A 为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知(()()(),,1,0,0,1,0,0A B C D -， 设球心坐标为(),,O x y z ，由OA =OB =OC =OD 可得：==⎪=⎪⎩，解得：03x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，则外接球半径：R OC ===， 其表面积：219194482S R πππ==⨯=. 本题选择A 选项.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数22(x a)(y b)-+-可以转化为平面上点()M x,y 与点()N a,b 的距离.结合上述观点，可得()22f x x 4x 20x 2x 10=++++( ) A. 32 B. 42 C. 52 D. 72C化简得()2222f x (x 2)(04)(x 1)(03)=++-+++()M x,0与点()N 2,4-，()H 1,3--的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论． ()22f x x 4x 20x 2x 10=++++2222(x 2)(04)(x 1)(03)=++-+++表示平面上点()M x,0与点()N 2,4-，()H 1,3--的距离和， 连接NH ，与x 轴交于()M x,0，由题得044310,,2217MN MH k k x x -+=∴=∴=-+-+， 所以10M ,07⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小值为22(21)(43)52-+++=，故选C ．本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13. 向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是_________4π 根据几何概型中的面积型直接运算即可.设豆子落在正方形的内切圆内为事件A ，事件A 构成的区域面积是正方形的内切圆面积， 试验全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则()22124P A ππ⨯==，故答案为：4π. 14. 如图，1111ABCD A B C D -为正方体，异面直线AD 与1CB 所成的角为____________45︒利用平行关系，异面直线转化为相交直线所成的角.//AD BC ，∴异面直线AD 与1CB 所成的角为BC 与1B C 所成的角，即1BCB ∠，1BCB △是等腰直角三角形，所以145BCB ∠=.故答案为：4515. 2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为017，则所抽到的第五组号码为________. 097由系统抽样的编号为等差数列可求出. 根据系统抽样可知样本间隔为3002015=，从而将300份作品分成15组，每组20份. 由题意可得第五组号码为1742097+⨯=. 故答案为：097.16. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是______________.（1）不论D 折至何位置（不平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ； （2）不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥；（3）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ； （4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥. （1）（2）（4）折叠后根据线面位置关系对每个结论给出证明．折叠后如图，分别取,EC ED 中点,P Q ，连接,,NP PQ QM ，易知N 是,AC BE 的交点，因此N 也是AC 中点，而M 别是AD 的中点， ∴////NP AE MQ ，12NP AE MQ ==，∴MNPQ 是平行四边形，∴//MN PQ ，MN ⊄平面DEC ，PQ ⊂平面DEC ，∴//MN 平面DEC ．（1）正确； 折叠过程中,AE ED AE EC ⊥⊥保持不变，又EDEC E =，所以AE ⊥平面DEC ，从而AE PQ ⊥，所以AE MN ⊥，（2）正确；若//MN AB ，则,MN AB 共面，即,,,M N P Q 共面，从而直线,AM BN 共面，这样MN 在平面ABN 也即在平面ABC 内，矛盾，（3）错误；当ED EC ⊥时，又EC EA ⊥，而ED EA E =，∴EC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以EC AD ⊥．（4）正确． 故答案为：（1）（2）（4）．本题考查空间直线、平面间的位置关系，平面图形折叠成空间图形过程中，有些位置关系保持不变，有些会发生变化，而在空间图形中的位置关系一般要给予证明才能确定．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列{}n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . （1）21n a n =-；（2）221=+n nT n （1）设{}n a 的公差为d ，由831234a a a a =⎧⎨+=⎩，可求出1,a d ，进而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+112121n n =--+，利用裂项相消求和法可求出n T .（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵831234a a a a =⎧⎨+=⎩，∴()11173224a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =-.（2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+，∴112121n b n n =--+，∴1111112(1)()()133521212121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）已知13AA =，2AB =，求正三棱柱111ABC A B C -的侧面积.（1）证明见解析；（2）18.（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）由三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，可知三个侧面都是长为3，宽为2的矩形，求三个面积之和即可.（1）因为正三棱柱111ABC A B C -，所以ABC 是等边三角形，因为D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，因为1AA ⊥底面ABC ， CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥.又因为1AA AB A =，AB 平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A .（2）∵13AA =，2AB =，111ABC A B C -为正三棱柱，所以侧面积为1113332318A ABB S AB AA =⋅⋅=⨯⨯=.19. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .（1）求事件“3x y +≤”的概率；（2）求事件“||2x y -=”的概率.（1）112（2）29 （1）先列出所有的基本事件，再找出满足条件的基本事件，利用满足条件的基本事件的个数除以所有的基本事件的个数即得到答案；（2）同（1）．解：设(,)x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，(1,6)(2,1),(2,2),,(6,5),(6,6)，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”,则A 的结果有(1,1),(1,2),(2,1)，共3个基本事件31()3612P A ∴== 因此，事件“3x y +≤”的概率为112 （2）用B 表示事件“||2x y -=” ,则B 的结果有(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)，共8个基本事件82()369P B ∴== 因此，事件“||2x y -=”的概率为29本题主要考查了求古典概型的概率问题，属于基础题．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，,E F 分别为,PC BD 的中点，平面PAD ⊥ 底面ABCD .（1）求证://EF 平面PAD ；（2）若2PA PD ==C PBD -的体积.(1)见解析,(2) 23C PBD V -=. 试题分析：（I ）连接AC ，由条件证明EF 为三角形CPA 的中位线，可得EF ∥PA ．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）取AD 得中点O ，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=2，可得PO 垂直平面ABCD ，且PO=1．再根据三棱锥P ﹣BCD 的体积V ，运算求得结果．（1）证明：连接AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，故在PCA ∆中，//EF PA ， 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄ 平面PAD ，∴//EF 平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，∵2PA PD ==，∴PM AD ⊥,∵222PA PD AD +=,∴APD ∆为直角三角形，∴1PM =. 又平面PAD ⊥ 平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PM ⊥ 平面ABCD ，∴11122213323C PBD P BCD BCD V V S PM --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积．21. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在[)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[)15,20的概率.（1）0.04t =，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)；（2）310. （1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出[)10,15和[)15,20的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.（1）由()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=，则0.04t =，由()0.020.020.0350.35++⨯=，由0.50.355 1.8750.4-⨯=， 则中位数为20 1.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=(千元)（2）由分层抽样可知[)10,15应抽取2人记为1，2，[)15,20应抽取3人记为a ，b ，c ，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c ，共10种情况，记其中2人收入都来自[)15,20为事件A ，情况有()()(),,,,,a b a c b c 3种，则()310P A =. 此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.22. 已知圆22:430C x y x +-+=.（1）求过点(3,2)M 的圆的切线方程；（2）直线l 过点31,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被圆C 截得的弦长为m ，求m 的范围；（3）已知圆E 的圆心在x 轴上，与圆C 2216x y +=相内切，求圆E 的标准方程.（1）3x =或3410x y --=；（2）m ∈；（3）答案不唯一，具体见解析.（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为(2,0)，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，求出m ，当直线l 经过圆心时，弦长最长，即求.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，根据||AB =纵坐标，进而求出3,22⎛± ⎝⎭或5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭在圆E 上，代入即可求解. （1）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1.当切线的斜率不存在时，切线方程为3x =，符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，1=，解得34k =， 此时，切线方程为3410x y --=.综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，此时直线l 的方程为10x y --=，所以m ==当直线l 经过圆心时，弦长最长，长为2，所以m ∈.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，∵||AB =∴， 将234y =代入圆C 的方程，得32x =或52x =，∴3,22⎛± ⎝⎭或5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭在圆E 上. ∵圆E 内切于2216x y +=，∴圆E 经过点(4,0)或(4,0)-，若圆E 经过3,22⎛± ⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为221349525x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为22(3)1x y -+=，若圆E 经过3,2⎛ ⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为222133************ y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆E 经过5,2⎛ ⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为22294318491313169x y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。

江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二数学上学期第三次大考试题理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式 为（ ） A. 上面圆台，下面为圆柱B. 上面为圆台，下面为棱柱C. 上面为棱台，下面为棱柱D. 上面为棱台，下面为圆柱2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11B ．12C ．13D ．144. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1A B 所成的角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60°D. 120°5. 已知a ，b 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//a β，b αβ=，则//a bC. 若//a α，//αβ，则//a βD. 若//a α，//a β，则//αβ6. 如图所示，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图，则原图形的周长是（ ）cm A. 6 B. 8C. 232+D. 223+7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是10， 那么输出的S 是（ ） A ．2 B ．101- C ．111- D ．231-8. 若圆锥的轴截面是一个顶角为23π，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A. 32B. 1C. 3D. 2 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且236a a e =，则128ln ln ln a a a +++=（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1410. 五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x 具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）A.34B.13 C.35D.25 11．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是A 1C 1的中点,则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.3B .2C .12D .3 12. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin B ＋2sin A cos C ＝0，则当cos B取最小值时，ca＝（ ） A. 2B. 3C. 2D.33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上. 13. 已知数列{}n a 满足1120,2n n a a a n +=-=，则通项n a =______.14. 若a ，{}1,1,2b ∈-，则函数()22f ax x b x =++有零点的概率为__________.15.在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB 重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为_________．16.边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-,点P 为面对角线CD '上一点，则AP+BP 的最小值为________. 三．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17．赣州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：1122211()(),()nni jiii i nniii i x ynx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑．18．如图，在正三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值.19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题． （1）求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图：（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值） （3）从成绩在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20.已知{}n a 为等比数列，且各项均为正值，2116a =，463916a a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若4log n n b a =，数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .21. 已知直线l 过定点()2,1A -，圆C ：2286210x y x y +--+=．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 交于M ，N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时l 的直线方程．22. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA⊥底面ABCD ，60ABC ∠=，3AB =，23AD =，3AP =．(1)求证：平面PCA ⊥平面PCD ；(2)设E 为侧棱PC 上的一点，若直线BE 与底面ABCD 所成的角为45°，求二面角E AB D -- 的余弦值．南康中学2020～2021学年度第一学期高二第三次大考数学（理科）参考答案一.选择题1－12 ABBCB BCDAD BB12.由sin B ＋2sin A cos C ＝0，根据正弦定理和余弦定理得222202a b cb a ab+-+⋅=，∴22220a b c +-=，∴2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===+≥， 当且仅当344a c c a =，即3c a =时取等号，cos B 取最小值3． 故选：B ．二．填空题13. 220n n -+ 14. 23 15. 193π16. 36+三．解答题17．解：（1）由表中数据，计算；………………2分………………4分…6分所以与之间的回归直线方程为…8分（2）时，………………10分18．（1）证明：连接，交于点，连接.因为为矩形，则为的中点； 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以1AB //平面.…………4分（2）在正三棱柱中，因为平面，平面，所以. 因为为等边三角形，为的中点，所以. 又因为，平面，所以平面；…………8分（3）由（2）知，平面，所以即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，则，所以在中，，，所以.即直线与平面所成的角的正弦值为.…………12分19．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为…………2分补全频率分布直方图如图所示：（2）根据题意，60分及以上的分数在，，，这四个组，其频率之和为，故本次考试的及格率为75% ……………………6分利用中值估算学生成绩的平均分，则有…………8分所以本次考试的平均分为71分。

南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】，所以答案选择B 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.2. 抽查 10 件产品，设事件 A 为至少有 2 件次品，则 A 的对立事件为 （ ） A. 至多有 2 件次品B. 至多有 1 件次品C. 至多有 2 件正品D. 至少有 2 件正品 【答案】B【解析】【详解】∵至少有n 个的否定是至多有n ﹣1个 又∵事件A ：“至少有两件次品”，∴事件A 的对立事件为：至多有一件次品． 故选：B.3. 已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为（ ） A. 00x ∃≤，使得()001e 1x x +≤ B. 00x ∃>，使得()001e 1x x +≤C. 0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D. 0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤ 【答案】B【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>是全称量词命题， 所以其否定为存在量词命题，即00x ∃>，使得()001e 1x x +≤，故选：B4. 已知抛物线()20y ax a =>的焦点到准线的距离为2，则a =（ ） A. 4B. 2C. 14D. 12【答案】A【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，进而构造方程求得结果.【详解】由抛物线方程知：焦点为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为：4a x =-， 244a a ⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，解得：4a =. 故选：A.5. 如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A. 8584，B. 8485，C. 8684，D. 8486，【答案】A【解析】 【分析】先去掉最高分和最低分，然后计算出平均数和众数.【详解】去掉最高分93，去掉最低分79，剩余数据为84,84,84,86,87，故众数为84，平均数为8484848687855++++=，故选A. 【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查众数的识别，考查阅读理解能力，属于基础题.6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A. l 与1l ，2l 都相交B. l 与1l ，2l 都不相交C. l 至少与1l ，2l 中的一条相交D. l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C【解析】【详解】试题分析：A ．l 与l 1，l 2可以相交，如图： ∴该选项错误；B ．l 可以和l 1，l 2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交；∵l 和l 1，l 2都共面；∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面；∴该选项正确．故选D ．考点：点、线、面的位置关系．7. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高()cm x 160 165 170 175 180体重()kg y 63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程：0.56y x a =+，则a =（ ）A. 2.62-B. 2.62C. 26.2D. 26.2- 【答案】D【解析】【分析】利用回归直线过样本中心(),x y 求解.【详解】1601651701751801705x ++++==，6366707274695y ++++==． ∵回归直线过点(),x y ，∴将点()170,69代入回归直线方程得690.56170a =⨯+，解得26.2a =-.故选：D.8. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为（ ）A. 7.68B. 8.68C. 16.32D. 17.32【答案】C【解析】 【分析】计算可得黄豆落在椭圆内的概率，由几何概型的知识可求得结果.【详解】由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300960.68300-=． 由几何概型的概率计算公式，可得：=0.68S S 椭圆矩形，又6424S =⨯=矩形，0.682416.32S ∴=⨯=椭圆．故选：C .9. 设抛物线28y x =-上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 12B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】 由280y x =-≥，可得0x ≤，结合题意可求得点P 的横坐标，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】由280y x =-≥，可得0x ≤，据已知抛物线方程可得其准线方程为2x =，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标4p x =-.由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即4262p p PF x =-+=+=. 故选：C.10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==.循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=，结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.11. 椭圆2219y x +=中，过点11(,)22P 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ）A. 940x y --=B. 950x y +-=C. 220x y +-=D. 50x y +-=【答案】B【解析】【分析】设出,A B 两点的坐标，代入曲线方程，作差，结合中点公式可得斜率，然后可求直线方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则221119y x +=，222219y x +=， 两式相减可得2222121209y y x x -+-=，()()()()1212121209y y y y x x x x +-++-=， 因为弦AB 被点P 平分，所以12121,1x x y y +=+=，所以12129y y x x -=--， 所以直线AB 的方程为119()22y x -=--，即950x y +-=.【点睛】本题主要考查利用点差法求解直线的方程问题，“遇见弦中点，两式减一减”，是求解这类问题的口诀，侧重考查数学运算的核心素养.12. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为A. B. C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．二、填空题13. 椭圆22143x y +=的离心率是______． 【答案】12【解析】【分析】求出a 、b 、c 的值，即可得出椭圆22143x y +=的离心率. 【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，3b =221c a b -， 因此，椭圆22143x y +=的离心率是12c e a ==. 故答案为：12. 14. 若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、、420，则抽取的21人中，编号在区间[]1,360内的人数是______．【答案】18【解析】【分析】计算出分段间隔，然后将编号在区间[]1,360的总人数除以分段间隔即可得出结果. 【详解】分段间隔为4202021=，编号在区间[]1,360的总人数为360， 因此，抽取的21人中，编号在区间[]1,360内的人数是3601820=. 故答案为：18.15. 如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】通过证明BC⊥平面PAC可判断①；通过证明PB⊥平面AEF可判断②；假设AF⊥BC成立，可证明AF⊥平面PBC，从而可推出AF//AE，与已知矛盾，可判断③；通过证明AE⊥平面PBC可判断④.【详解】解：①因为AB是⊙O的直径，则BC⊥AC，又PA⊥⊙O所在平面，且BC⊂⊙O所在平面，所以BC⊥PA，=，又PA AC A所以BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，所以AE⊥BC，故①正确；⋂=②因为AE⊥PC，AE⊥BC，PC BC C所以AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC⋂=，所以AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE AF A所以PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF所以EF⊥PB，故②正确；⋂=③若AF⊥BC成立，又AF⊥PB，且PB PC P所以AF⊥平面PBC，又AE⊥平面PBC，则AF//AE与已知矛盾，故③错误；⋂=由①可知AE⊥BC，又AE⊥PC，且BC PC C所以AE ⊥平面PBC ，故④正确．故答案为：①②④.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，圆的性质，是中档题.16. 如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系为两圆______．【答案】内切【解析】【分析】设F 、F '分别是椭圆的左、右焦点，依题意画出图形，设PF 中点为M ，连接PF '，根据椭圆的定义得到12OM a PF =-，即可得解； 【详解】解：设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，F 、F '分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆222x y a +=，如图所示．设PF 中点为M ，连接PF '，∴OM 是PFF '的中位线，可得12OM PF '=，即两圆的圆心距为12PF '根据椭圆定义，可得2PF PF a '=+，∴圆心距()1112222OM PF a PF a PF '==-=-， 即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆222x y a +=相内切． 故答案为：内切三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞．【解析】【分析】（1）由p 为真命题，若()[]()220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可. 【详解】解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ． 又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤；当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <． 综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.18. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==．（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2）设3BC =，求四棱锥11B DAAC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于O ，利用三角形中位线性质可证得1//OD AB ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）作BE AC ⊥，利用面面垂直的性质可知BE 即为所求四棱锥的高，由棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）证明：连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ，四边11BCC B 是平行四边形，∴点O 为1B C 的中点，又D 为AC 的中点，∴OD 为1AB C 的中位线，1//OD AB ∴，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，1//AB ∴平面1BC D ． （2）1AA ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11AAC C ，∴平面ABC ⊥平面11AAC C ．连接1A B ，作BE AC ⊥，垂足为E ，平面ABC平面11AAC C AC =，BE ∴⊥平面11AAC C ．12AB AA ==，3BC =，AB BC ⊥，∴在Rt ABC 中，224913AC AB BC =+=+=13B AB BE AC C ∴==⋅ ∴四棱锥11B AA C D -的体积()11111131323326213V AC AD A A BE =⨯+⋅⋅==． 19. 最新高考改革方案已在上海实施，某教育行政主管部门为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对我市某中学500名师生进行调查，统计结果如下： 赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师120 y 40 学生xz130从全体被调查师生中随机抽取1人，该人是“赞成改革”的学生的概率为0.3，且z=2y，（1）现从全体被调查师生中分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．【答案】（1）教师人数为2，学生人数为4；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．解：（1）由题意=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40；则应抽取的教师人数为×20=2，应抽取的学生人数为×40=4；（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，至少有一名教师的选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b 、1、2），（b 、1、3），（b 、1、4），（b 、2、3），（b 、2、4），（b 、3、4）共16种， 所以至少有一名教师被选出的概率为P==考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．20. 如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为22，F为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．【答案】（1）24x y =；（2）①1346PP =1324468PP P P -=. 【解析】【分析】（1）设点()022,B y ，根据已知条件可得出关于p 、0y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出抛物线的方程；（2）设点()111,P x y 、()222,P x y 、()333,P x y 、()444,P x y . ①求出圆心到直线l 的距离，利用几何法可求得13PP ；②将直线l 的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求出24P P ，由此能求出结果.【详解】（1）设()022,B y ，由题意得，()()2202022122220y py p ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪>⎩，解得022y p =⎧⎨=⎩，所以抛物线的方程为24x y =；（2）设点()111,P x y 、()222,P x y 、()333,P x y 、()444,Px y ， 由题意得，1P 、3P 在圆上，2P 、4P 在抛物线上，直线l的方程为1y x =+．①圆2212x y +=的圆心为原点，半径为23r =， 圆心到直线l 的距离为222d ==，2213246PP r d ∴=-=； ②由214y x x y=+⎧⎨=⎩，得2440x x --=，1616320∆=+=>，所以244x x +=， 则24242424448P P y y x x =++=++=+=，所以1324468PP P P -=-． 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 21. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ︒⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．证明：（1）CD AE ⊥； （2）PD ⊥平面ABE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)由1()2AE AP AC =+，代入数量积AE CD ⋅中运算，结合0AP CD ⋅=和0AC CD ⋅=，可得出CD AE ⊥；(2) 设1PA AB BC ===，分别证明出,PD AE PD AB ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理证出命题成立． 【详解】证明：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，所以0AP CD ⋅=，又AC CD ⊥，所以0AC CD ⋅=，又1()2AE AP AC =+，所以111()0222AE CD AP AC CD AP CD AC CD ⋅=+⋅=⋅+⋅=，所以CD AE ⊥．（2）设1PA AB BC ===，因为60ABC ︒∠=，1AB BC ==，所以1AC =．又AC CD ⊥，所以()0CD AC AD AC AC ⋅=-⋅=，得1AC AD ⋅=．因为()211()()22PD AE AD AP AP AC AD AP AD AC AP AP AC ⋅=-⋅+=⋅+⋅--⋅ 1(0110)02=⨯+--=，()0PD AB AD AP AB ⋅=-⋅=，所以,PD AE PD AB ⊥⊥，又AE AB A =，所以PD ⊥平面ABE ．【点睛】本题考查空间点线面的位置关系，考查空间向量的应用，考查线面垂直的判定定理，属于中档题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2）π3 【解析】【分析】（1）由离心率2c e a ===，可得222a b =，再根据椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为)(),，代入椭圆方程，进而可求出,a b ；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理，可求得点D 的坐标，进而得出2ND 的表达式，整理得()2222283121ND k NFk+=++，令2833t k =+≥，可得2216112ND NFt t=+++，进而可求得12NF ND ≥，设2EDF θ∠=，可知1sin 2NF ND θ=≥，即可得到θ的最小值，及2θ的最小值.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率2c e a ===，整理得222a b =， ∵椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为，∴椭圆过点)(),，代入椭圆方程，可得22211a b +=， 联立22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，22b =. ∴椭圆方程为22142x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214240k x kmx m +++-=．由()()222216421240k m k m ∆=-+->，得2242m k <+， 且122421kmx x k +=-+， 因此()212122242222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++， 所以222,2121kmm D k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()22422241321m k k ND k++=+．因为NF m =，所以()()()224222222224138312121m k k ND k NFm k k+++==+++．令283t k =+，3t ≥，故2+1214t k +=． 所以()22216161+1112NDtt NFt t==++++． 因为1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，所以1103t t +≥，当3t =时等号成立，此时0k =， 所以221611341023NDNF≤+=+=+，即12NF ND ≥，由2242m k <+，可得22m <，即m <且0m ≠. 设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥， 所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0． 综上所述：当0k =，()(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值π3． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜率、面积等问题.。

江西省赣州市南康区第三中学2020届高三数学上学期第三次大考试题 理一、选择题1、已知集合2{|10}A x x =-=， {}1,2,5B =-，则A B ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1-C. {}1,5-D. ∅2、已知复数2z m i =+，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2 3. 为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 4、 阅读下列程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A. 4B. 5C.6D.75、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163π B. 3π C. 29π D. 169π6、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是定值，它可以通过方程11x x+=求得51x +=．类似上述过程，则3232++=L （ ）A ． 3B ．131+ C ． 6 D ．227、过双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若35AB CD≥，则双曲线离心率的取值范围为（）A．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D．51,4⎛⎤⎥⎝⎦8．已知函数()1211xf x ex+=-+，则使得()()21f x f x>-成立的x的取值范围是（）A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛∞-,131,C．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∞-，3131,9．函数2lnx xyx=的图象大致是（）A B C D10．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（）A．3600 B．1080 C． 1440 D．252011．设点),(yxP在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥32yxyxx表示的平面区域上，则1222+-+=xyxz的最小值为（）A. 1B.51C. 4D.5412．已知可导函数()f x的导函数为()f x'，若对任意的x R∈，都有()()2f x f x>'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20172x f x e -<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：13．平面向量a r 与b r 的夹角为23π，且(1,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r ．14．设5498728998710(2)(3)x y x y a x a x y a x y a xy a y -+=+++++L ，则8a = ．15．已知点1(1,)A y ，2(9,)B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若||5||BF AF =，则212y y +的值是 ．16．某沿海四个城市,,,A B C D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=o ，135BCD ∠=o，80AB n mile =，40303BC n mile =+，706AD n mile =，D 位于A 的北偏东75o 方向．现在有一艘轮船从A 出发向直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ= ．三、解答题17、（本小题满分12分）已知x f ⋅=)(，其中)1,cos 2(x =，)2sin 3,cos (x x =)(R x ∈．（1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2)(=A f ，2a =，求ABC ∆ 的周长的取值范围．18．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实根，命题q ：,R x ∈∀01)2(442>+-+x m x 恒成立；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．19．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值；（3分）（2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3分）（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．20. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .21. 已知函数2()2ln 311f x x x x =--. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若关于x 的不等式2()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+恒成立，证明：0a >且12ln 3a a+≥22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=. （1）写出C e 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.23.已知函数()|3||2|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x a ≥-有解，求a 的取值范围.17.解：（1）1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f ……3，分π=T …4分单调递增区间]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈……………6分（2）21)62sin(2)(=++=πA A f ，由21)62sin(=+πA ，得3π=A …………8分设ABC ∆ 的周长为l ，则22sin sin 33l B B π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=24cos 3B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭… 11分 ,333B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q (]4,6l ∴∈…………12分 18．{|312}m m m ≥<≤或.试题解析：当p 真时，可得2400m m ⎧∆=->⎨>⎩，解之得2m >当q 真时，得到：2[4(2)]160m ∆=--<，解之得13m << ∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p 真q 假或p 假q 真 若p 真q 假时，由2313m m m m >⎧⇒≤⎨≤≥⎩或若p 假q 真时，由21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩所以m 的取值范围为{|312}m m m ≥<≤或.19．（1）0；（2）函数()f x 是奇函数；（3）{|1}x x <.试题解析：（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=; (2)()()()f x y f x f y -=-Q(0)(0)()f x f f x ∴-=-由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=--Q (0)0f =∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=- Q 当0x >时，()0f x >12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=-Q ()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++<Q ()(2)(4)f x f x f ∴++<(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-Q 函数()f x 是定义在R 上的增函数24x x ∴+<- 1x ∴<∴不等式()(2)2f x f x ++<Q 的解集为{|1}x x <20.解：（1）由27a =，3a 为整数知等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤， 解得132134d -≤≤-，因此2d =数列{}n a 的通项公式为112n a n =-.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为11222n n n na nb -==， 所以239751122222n nnT -=++++…，① 2341197511222222n n nT +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222n n n nT -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，整理得11772222n n nT +--=-+，因此2772n nn T -=+.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.（1）解：因为2(61)(2)'()611x x f x x x x-+=--=-， 由于0x >，令'()0f x >得106x <<；令'()0f x <得16x >，所以()f x 在1(0,)6上单调递增，在1(,)6+∞上单调递减.（2）证明：令22()()(3)(213)12ln (22)1g x f x a x a x x ax a x =-----=-+--，所以222(22)2'()2(22)ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=.当0a ≤时，因为0x >，所以'()0g x >.所以()g x 是(0,)+∞上的递增函数， 又因为(1)221310g a a a =-+--=-+>，所以关于x 的不等式2()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+不能恒成立， 因此，0a >.当0a >时，212()(1)2(22)2'()a x x ax a x a g x x x--+-+-+==，令'()0g x =，得1x a =，所以当1(0,)x a ∈时，'()0g x >；当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <， 因此函数()g x 在1(0,)a上是增函数，在1(,)a +∞上是递减函数.故函数()g x 的最大值为1111()2ln 32ln 30g a a a a a=+-=--≤，即12ln 3a a-≥.22.解：（1）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以22(3x y +=.（2）设1(3)2P t +，又C ，则|PC == 故当0t =时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0). 23.解：（1）()|3||2|3f x x x =+--≥， 当2x ≥时，有3(2)3x x +--≥，解得2x ≥； 当3x ≤-时，3(2)3x x --+-≥，解得x ∈∅； 当32x -<<时，有213x +≥，解得12x ≤<. 综上，()3f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由绝对值不等式的性质可得，|3||2||(3)(2)|5x x x x +--≤+--=，则有5|3||2|5x x -≤+--≤，若()|4|f x a ≥-有解，则|4|5a -≤，解得19a -≤≤，所以a 的取值范围是[1,9]-.。

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第三次大考数学（文）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知两点，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．2B ．12- C ．12 D ．2-2、设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β3、若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．914、如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )A.甲户比乙户大B.乙户比甲户大C.甲、乙两户一般大D.无法确定哪一户大5、观察下列各图形，其中两个变量x y ，具有相关关系的图是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．③6、某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ） A ．630 B ．615 C ．600 D ．5707、已知水平放置的ABC ∆是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1,B O C O ''''==3A O ''=，那么原ABC ∆的面积是( )A ．3B ．22C ．32D ．348、若一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为2，方差为3，则125x +，225x +，325x +，…，25n x +的平均数和方差分别是（ ）A ．9，11B ．4，11C ．9，12D ．4，179、某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内填（ ）A.4k ≥？B.5k ≥？C.6k ≥？D.7k ≥？ 10、经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是( )A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=11、在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ） A ．192π B ．19π C ．756πD ．7π12、著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)M x y 与点(,)N a b 的距离结合上述观点，可得22()420210f x x x x x =+++++的最小值( )A.32B.42C.52D.72二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13、向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是 14、如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，异面直线AD 与CB 1所成的角为15、2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为17，则所抽到的第五组号码为________ 16、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC，AE⊥DC，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN∥平面DEC ；②不论D 折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.开始结束是否1,1S k ==1k k =+2S S k=+S输出A B C N MD E三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足833aa =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD平面ABB 1A 1；（Ⅱ）已知AA 1＝3，AB ＝2，求正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面积。

江西省南康中学2020学年高二数学上学期期中（第二次大考）试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1、某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是（ ） A ．27 26B ．26 27C ．26 28D ．27 282、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70/km h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有 ( ) A ．80辆 B ．60辆 C ．40辆 D ．20辆3、甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下： 甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用1x ，2x 表示，方差分别用21s ，22s 表示，则（ ） A ．12x x >，2212s s >B ．12x x >，2212s s <C ．12x x <，2212s s <D ．12x x <，2212s s >4、若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）A.B.C.D.5、已知点P 是函数的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴距离的最小值为4π，则的最小正周期是（ ）A ．B ．C ．D ．6、过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7、设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个结论：①如果//m α，//n α，那么//m n ；② 如果m α∥，m β⊂，n αβ=I ，那么m n ∥； ③如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ④如果αβ∥，m α⊂，//n β，那么m n ∥. 其中正确的是( ) A ．① ②B ．② ③C ．② ④D ．③④8、如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ．9、三棱锥P ABC -， PA ABC ⊥平面 ， AC BC ⊥， 2,AC BC == 22PA =三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π10、如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-11、两圆222210x y my m +-+-=和2224490x y nx n +-+-=恰有一条公切线，若m R ∈， n R ∈，且0mn ≠，则2241m n +的最小值为（ ） A ． 4B ． 3C ．2D ．112、 矩形ABCD 中，32=AB ，2=BC ，沿AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD -，当四面体A BCD -的体积取最大值时，四面体A BCD -的表面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13、已知一组数据1x ，2x ，L ，n x 的方差为5，则这组数据132x +，232x +，L ，32n x +的方差为______．14、已知直线60x ay ++=与圆228x y +=交于,A B 两点，若AB =，则a =____.15、表面积为_____． 16、在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 的中点，若1BC D ∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17、已知向量(4,2),(,1)a b x =-=r r．（1）若a b ⊥r r，求x 的值；（2）当2x =时，求a r 与2b a +r r角θ的余弦值．18、已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）若x∈[0，2π]，求函数f （x ）的最值19、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：单价x （元） 67 8 9 10 销量y （件）5548443825且1122551610x y x y x y +++=L ，222125330x x x +++=L ，1122222212n n nx y x y x y nx y b x x x nx+++-=+++-L L ，a y bx =-.（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求出y 关于x 回归直线方程； （2）预测当单价为12元时其销量为多少？20、某快递公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）在这60天中包裹件数在[100，200）.[200，300）的两组中，用分层抽样的方法抽取30件，求落在这两组中分别抽取多少件？21、如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,222DC AD AB ===，DAB ∠=90ADC ∠=o ,2PB =PDC ∆为等边三角形.（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离.22、已知圆()()22:2216C x y -+-=，点()10,0A ．（1）设点P 是圆C 上的一个动点，求AP 的中点Q 的轨迹方程； （2）直线:100l kx y k --=与圆C 交于,M N ，求·AM AN u u u u r u u u r的值．南康中学2020－2020学年度第一学期高二第二次大考数学（文）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1－12 ACDDB BBACD AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13、4514、5156π16、3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、解：（1）∵a b ⊥，∴420x -=，∴12x =（2）∵2x =，∵2x =，()2,1b =，()28,0b a += ∴()224225a =+-=，22808b a +=+=又∵()232a b a ⋅+=， ∴()23225cos 25165a b a a b aθ⋅+===⋅+．18、（1）f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=sin2x+2cos 2x+1=sin2x+cos2x+2=sin （2x+）+2， 令2k π﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣38π，kπ+8π]，k∈Z． （2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin （2x+）∈[22-，1]， 则当x=时，f （x ）取得最小值，且为1， 当x=时，f （x ）取得最大值，且为+219、（1）由题意得：()167891085x =++++=， ()15548443825425y =++++=， 216105842ˆ733058b -⨯⨯==--⨯∴，()ˆ427898a =--⨯=， y ∴关于x 回归直线方程为$798y x =-+；（2）当12x =时，$7129814y =-⨯+=， 即当单价为12元时预测其销量为14件. 20、（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6， 所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x ，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）件数在[100，200）.[200，300）的频率分别为0.1，0.5 频率之比为1:5，所抽取的30件中，在[100，200）的件数为130=56⨯， 在[200,300)的件数为530=256⨯. 21、（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝2AD ＝2AB ＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB 2=为等边三角形．∴BC＝BD 22112=+=，∴BD 2+BC 2＝CD 2，PB 2+BC 2＝PC 2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B ，∴BC⊥平面PBD ，∵PD？平面PBD ，∴PD⊥BC． （2）由（1）知，3143,2212PCD BCD S S ====V V ， 故11631233B PCD P BCD V V d d --=⇒=⨯⨯∴=故得点B 到面PCD 622、（1）由题意，设()()00,,,Q x y P x y ，由点P 是圆C 上的一个动点，则()()22002216x y -+-=， 又由Q 是AP 的中点，根据中点公式得00100,22x y x y ++==， 解得00210,2x x y y =-=．代入圆的方程可得：()()2221022216x y --+-=， 整理得()()22614x y -+-=．∴AP 的中点Q 的轨迹方程为：()()22614x y -+-=．（2）由直线:100l kx y k --=与圆C 交于()()1122,,,M x y N x y ， 把直线l 的方程代入圆的方程可得：()()22210216x kx k -+--=， 整理得()()22221204410040120kx kk x k k +-++++-=80=． 则221212221004082044,11k k k k x x x x k k +-++=+=++， ∴1212(10)(10)(10)(10)AM AN x x kx k kx k =--+--u u u u r u u u rg g()()()222121************k x x k x x k =+-++++=()()22222221004082044110101001005211k k k k k k k k k+-+++-+++=++.。

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考数 学（理）试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1．直线l 的方程为3310x y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒2．在空间直角坐标系中，已知(1,0,2)M -，(3,2,4)N -，则MN 的中点P 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．2C ．2D ．33．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )4．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的21，则圆锥的体积（ ） A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的一半C ．缩小到原来的61D. 不变5．等比数列{}n a ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．486．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，N ，M 分别是11B A 和1BB 的中点，则直线AM 与CN 所成角θ的余弦值为( ) A ．51 B ．52C ．521 D ．562 7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是 ( )A ． 36B ． 18C ． 5 2D ． 6 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9. 已知空间中不同直线m n 、和不同平面α、β，下面四个结论：①若m n 、互为异面直线，//m α，//n α，β//m ，//n β，则//αβ； ②若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥； ③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，m n //，则//n β.其中正确的是（ ） A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 101B ．221C ．22D 1011．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A ．98B ．32C ．334D 212．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置） 13．已知向量(1,2),(,1)a b m =-=，若向量a b +与a 垂直，则m = .14．如图,'''AO B ∆为水平放置的AOB ∆斜二测画法的直观图，且2,3O A O B ''''==,则AOB ∆的周长为 .15．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：()()2234x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是 .16．已知边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，9AC =，12BC =，15AB =，点D 是AB 的中点． （1）求证：1AC B C ⊥； （2）求证：1AC ∥平面1CDB ．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+．（I ）求B ∠的大小；（II ）求C A cos cos 2+的最大值．19．（本小题满分12分）设数列{}n a的前n项和为n S，且11=a，121+=+nnSa,n∈N*．（I）求数列{}n a的通项公式；（II）设21nnnca-=，求数列{}n c的前n项和n T．20．（本小题满分12分）如图所示，正三棱柱111ABC A B C-的高为2，点D是1A B的中点，点E是11B C的中点.（1）证明：//DE平面11ACC A；（2）若三棱锥E DBC-3，求该正三棱柱的底面边长.21．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，//DE AC，AC⊥平面BCD，24AC DE==，2BC=，1DC=，60BCD∠=︒.（1）证明：BD⊥平面ACDE；（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值.22．（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，圆4:22=+y x O 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于,M N 两点,设直线AM AN 、的斜率分别为12k k 、.（1）若1212,2k k ==-，求△AMN 的面积； （2）若122k k =-，求证：直线MN 过定点.南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AADBABDDDACC13. 7 14. 12 15.7 16. 28π三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.解: （1）直三棱柱111ABC A B C -，1CC ∴⊥面ABC ，1CC AC ∴⊥，又9AC =，12BC =，15AB =，222AB BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥，1CC BC C =，AC ∴⊥面11BB C C ，1AC B C ∴⊥．----------5分（2）取11A B 的中点1D ，连结11C D 和1AD ， 11AD D B ∥，且11AD D B =， ∴四边形11ACB D 为平行四边形，11AD DB ∴∥，1AD ∴面1CDB ，11CC DD ∥，且11CC DD =，∴四边形11CC D D 为平行四边形，11C D CD ∴∥，11C D ∴∥面1CDB ， 1111AD C D D =，∴面11AC D ∥面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB ．----------10分18.解: （1），又∵，∴......................6分（2）由（1）知............................ 10分因为，所以当时，取得最大值.................................12分19.解:（1）由a n+1=2S n +1可得a n =2S n ﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n =2a n即a n+1=3a n （n≥2）．又a 2=2S 1+1=3，所以a 2=3a 1．故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列． 所以a n =3n ﹣1． ................................................................5分 （2）因为1213n n n c --= ，所以．则，两式相减得：．所以=．...........................................................12分20. 解：（1）如图，连接11,AB AC ，因为D 是1A B 的中点，E 是11B C 的中点，所以在11B AC ∆中，1//DE AC ,DE ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂ 平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A . -------------5分 （2）由等体积法，得E DBC D EBC V V --=， 因为D 是1A B 的中点，所以点D 到平面11BCC B 的距离是点A 到平面11BCC B 的距离的一半.如图，作AF BC ⊥交BC 于点F ，由正三棱柱的性质可知，AF ⊥平面11BCC B . 设底面正三角形的边长a ，则三棱锥的高132h AF ==， ------------9分 122EBC S a a ∆=⨯⨯= ,所以21333D EBC EBC V S h -∆=⋅==，解得1a =， 所以该正三棱柱的底面边长为1. -------------12分21.解：(1)在BCD ∆中，2221212603BD cos =+-⨯⨯=.所以222BC BD DC =+，所以BCD ∆为直角三角形，BD CD ⊥. -------------3分 又因为AC ⊥平面BCD ，所以AC BD ⊥.而AC CD C ⋂=，所以BD ⊥平面ACDE . -------------5分(2)(方法一)如图延长AE ，CD 相交于G ，连接BG ， 则平面AEB ⋂平面BCD BG =.二面角A BG C --就是平面BCD 与平面BAE 所成二面角. 因为,2DEAC AC DE =，所以DE 是AGC ∆的中位线.1GD DC ==，这样2,60,GC BC BCD BGC ==⊥=∆是等边三角形.取BG 的中点为H ，连接,AH CH ，因为AC ⊥平面BCD . 所以AHC ∠就是二面角A BG C --的平面角. -------------10分 在,4,3Rt AHC AC CH ∆==4191919sin AHC ∠==. -------------12分 (方法二)建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 可得())()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,2,0,1,4D BC E A .()()3,1,4,0,1,2BA EA =-=.设(),,n x y z =是平面BAE 的法向量，则34020n BA x y z n EA y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令3z =(2,23,3n =-. -------------9分取平面BCD 的法向量为()0,0,1m =. -------------10分 设平面BCD 与平面BAE 所成二面角的平面角为θ， 则319n m cos n mθ⋅==，从而419sin θ=. -------------12分 22.解:（1）由题知，得直线AM 的方程为42+=x y ，直线AN 的方程为121--=x y 所以，圆心到直线AM 的距离5|4|=d ，所以，55451642=-=AM ，-------------3分 由题知121k k =-，所以AN ⊥AM ，558=AN ，51655855421=⨯⨯=S -----------5分 （2）方法一:由题知直线AM 的方程()12y k x =+，直线AN 的方程为()122y x k =-+联立方程()12224y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，所以()()221121220x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦， 得2-=x 或2121221k x k -=+ 所以2112211224,11k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，-------------7分 同理，2112211288,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，-------------8分 所以直线MN 为1122211112222111122114881428()22284414k k k k k k y x k k k k k k ---++--=---++-++ 即21112221118328()424k k k y x k k k ---=-+-+，得1112221113232()2223k k k y x x k k k =+=+---， 所以直线MN 恒过定点2(,0)3-．-------------12分 方法二:由122k k =-知直线MN 的斜率不为0,设直线MN 的方程为(2)x ty n n =+≠-,1122(,),(,)M x y N x y联立224x ty nx y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)240t y tny n +++-= 22222244(1)(4)4(44)0t n t n t n ∴=-+-=+->且212122224,11tn n y y y y t t -+=-=++ -------------7分 122k k =-,1212222y yx x ∴⋅=-++ 12122(2)(2)0x x y y ∴+++= 又1122,x ty n x ty n =+=+ 12122(2)(2)0ty n ty n y y ∴+++++=即221212(21)2(2)()2(2)0t y y t n y y n ++++++=2222242(21)2(2)2(2)011n tnt t n n t t --∴+++++=++ -------------9分化简整理得23840n n ++=,解得23n =-或2n =-(舍去) -------------11分∴直线MN 的方程为23x ty =-,故直线MN 恒过定点2(,0)3- -------------12分。

2020-2021学年江西省南康中学高二上学期第三次大考数学（理）试题一、单选题1．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（）A．上面为圆台，下面为圆柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为棱台，下面为棱柱D．上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【分析】观察三视图判断上面和下面几何体的形状即可.【详解】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.【点睛】本题考查利用三视图判断几何体的形状，考查学生的空间想象能力，是基础题．2．惠州市某工厂10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14 、14、15 、15 、16 、17 、17 、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】根据平均数的求法，所有数据的和除以总个数即可，中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平均数，众数是在一组数据中出现次数最多的即是众数，根据以上方法可以确定出众数与中位数．【详解】平均数10121421521617314.7a++⨯+⨯++⨯==，中位数15b=，众数=17c ，则c b a >>，故选：D ．3．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人． ∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人， 接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 【解析】系统抽样4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1A B 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【分析】连接11A C 、1BC ，由题意结合正方体的性质可得11BA C ∠或其补角即为异面直线AC 和1A B 所成的角，即可得解. 【详解】连接11A C 、1BC ，如图：由正方体的性质可得11//A C AC ，则11BA C ∠或其补角即为异面直线AC 和1A B 所成的角， 由1111BA AC C B ==可得1160BA C ∠=， 所以异面直线AC 和1A B 所成的角的大小为60. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力，属于基础题.5．已知a ，b 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a α，//a β，b αβ=，则//a bC ．若//a α，//αβ，则//a βD ．若//a α，//a β，则//αβ【答案】B【分析】本题根据直线与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可. 【详解】解：A 选项：若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，所以A 选项错误；B 选项：若//a α，//a β，b αβ=，则//a b ，所以B 选项正确；C 选项：若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，所以C 选项错误；D 选项：若//a α，//a β，则//αβ或b αβ=，所以D 选项错误.故选：B.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，特别注意直线在平面内的情况容易忽略，是中档题.6．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6B ．8C ．232+D ．223+【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果.【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段//C B x '''轴， 所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则22OB =，所以3OC =，则四边形OABC 的长度为8．故选：B.【点睛】本题考查了平面图形的直观图，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是10，那么输出的S 是（ ）A ．2B 101C 111D ．31【分析】模拟执行程序框图可知，程序框图的功能是求S =【详解】模拟执行程序框图，可得10N =，0S =，1k =S ，满足条件10k <，2k =，S ， 满足条件10k <，3k =，S =，⋯满足条件10k <，10k =，11S =，不满足条件10k <，退出循环，输出S 1． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项相消法求和，属于基本知识的考查．8．若圆锥的轴截面是一个顶角为23π，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A ．B ．1C D ．2【答案】D【分析】根据题意得到，母线长为2，截面顶角为2π，此时截面面积最大，即可得到答案.【详解】由题知：圆锥的轴截面是一个顶角为23π，母线长为2， 所以当截面顶角为2π，此时截面面积最大，max 12222=⨯⨯=S .故选：D【点睛】本题主要考查圆锥截面面积问题，属于简单题.9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且236a a e =，则128ln ln ln a a a +++=（ ）【答案】A【分析】由已知结合等比数列的性质可得128a a a ⋯的值，再由对数的运算性质即可求得128ln ln ln a a a ++⋯⋯+的值．【详解】等比数列{}n a 的各项均为正数，且236a a e =，由等比数列的性质可得：218274536a a a a a a a a e ====，8128128ln ln ln ln()ln 8a a a a a a e ∴++⋯⋯+=⋯==． 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列与对数的运算性质，考查数列和的求法，是基础题． 10．五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x 具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）A ．34B ．13C ．35D ．25【答案】D【解析】分析：由高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分，求得x 取值范围，再根据古典概形求得概率．解析：由径叶图可得高三（1）班的平均分为89929327433x ++==，高三（2）的平均分为88(90)9126933x xy ++++==，由x y <，得10>x>5,又x ∈N ，所以x 可取，6，7，8，9，概率为42105P ==，选D. 点睛：求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏. 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是11A C 的中点，则O 到平面11ABC D 的A ．3 B ．24C ．12D ．33【答案】B【分析】O 是11A C 中点，1112OC AC =，因此O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半，求出1A 到平面11ABC D 距离即可．【详解】如图，连续1A D 与1AD 交于点M ，11ADD A 是正方形，则11A D AD ⊥，1111ABCD A B C D -是正方体，AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∴1A D ⊥平面11ADD A ，又111222A M A D ==， ∴1A 到平面11ABC D 的距离为22， 又1112AC OC =，∴O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半即为24． 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P 到平面α的距离方法如下： （1）直接过P 作平面α的垂线，垂足为M ，求出PM 的长即可；（2）（转化法）若Q α∈，O 是直线PQ 上的点，且PQ OQ λ=，求出O 到平面α的距离d ，则P 到α距离为d λ．（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面为底面，换底后求出体积，则可求得点面距．的绝对值即为P 到平面α的距离．12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin B ＋2sin A cos C ＝0，则当cos B 取最小值时，ca＝（ ）A BC ．2D ．3【答案】B【分析】把sin B ＋2sin A cos C ＝0利用正余弦定理统一成边，再利用余弦定理表示出cos B ，结合基本不等式可得结果【详解】由sin B ＋2sin A cos C ＝0，根据正弦定理和余弦定理得222202a b c b a ab+-+⋅=， ∴22220a b c +-=，∴2222c ab -=，∴2222233cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===+≥，当且仅当344a c c a =，即c a =cos B 故选：B ．【点睛】此题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属于基础题二、填空题13．已知数列{}n a 满足120a =，12n n a a n +-=，则通项n a =______. 【答案】220n n -+【分析】用累加法求通项公式． 【详解】由题意121321(1)(222)()()()2021222(1)202n n n n n a a a a a a a a n --⋅+-=+-+-++-=+⨯+⨯++-=+=．故答案为：220n n -+．【点睛】方法点睛：两种特殊的递推式求通项的方法：（2）已知1()nn a f n a -=时，用连乘法求通项公式． 14．若a ，{}1,1,2b ∈-，则函数()22f ax x b x =++有零点的概率为__________. 【答案】23【分析】基本事件的总数有339⨯=种，而函数()f x 有零点必须1ab ≤，找到满足1ab ≤的种数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，函数()f x 解析式一共有339⨯=种不同的情况，函数()f x 有零点， 则相应的一元二次方程的440ab ∆=-≥，即1ab ≤，所以有1,1a b =-=-；1,1a b =-=；1,2a b =-=；1,1a b ==-；1,1a b ==；2,1a b ==-共6种情况，由古典概型的概率计算公式可得函数()22f ax x b x =++有零点的概率为6293=. 故答案为：23【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，涉及到函数的零点知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB 重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为______． 【答案】193π【分析】先确定三角形ACD 外心1O ，再根据MA ⊥平面ACD ，确定外接球球心在过1O 且平行于MA 直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果.【详解】AC AD A ⋂=，故MA ⊥平面ACD ，将图形旋转得到如图所示的三棱锥M ACD -，其中ACD 为等边三角形，过ACD 的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O ⋂=，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可得11123O C OO ==,在1Rt OO C 中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R ππ==，故答案为193π. 【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．16．边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点P 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为______ 36+【分析】将对角面D A BC ''与平面ACD '放到同一个平面，化曲为直，连接1A B ，取A B '的中点I ，在1A BI 利用勾股定理即得．【详解】如图甲，将等边ACD '△沿CD '向后旋转到与面D A BC ''共面，得到等边1A CD '△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B '的中点I ，由题意知：等边ACD '△2，四边形D A BC ''是以1BC =，2A B '=的矩形，所以2222112613622A B BI A I ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查空间距离的最小问题，考查转化思想，计算能力，空间想象能力，属于基础题．三、解答题17．平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份 123 4 5违章驾驶员人数120105100 9085（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （Ⅱ）预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：()()()1122211nni iii i i nnii i ix ynxyxx y yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．【答案】（Ⅰ）8.5 125.5y x =-+；（Ⅱ）66人.【分析】（Ⅰ）计算出x 和y ，然后根据公式，求出ˆa 和ˆb ，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，代入7x =【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051009085)1005y =⨯++++=，12211120210531004908555310!141515008.51491625595545ni ii nii x ynxy b xnx==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-====-++++-⨯--∑∑，1008.53125.5a y bx =-=+⨯=所以y 与x 之间的回归直线方程为8.5 125.5y x =-+； （Ⅱ）7x =时，8.5 125.566y x =-+=，预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人．【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题. 18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）证明：1//AB 平面1BC D ； （2）证明：BD ⊥平面11AAC C ；（3）若1AA AB =，求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）64【分析】（1）通过构造中位线的方法，证得1AB 与平面1BC D 平面内的一条直线平行，由此证得//AB 平面1BC D .（2）通过证明1AA BD ⊥、AC BD ⊥来证明BD ⊥平面11AAC C .（3）判断出1BC D ∠为直线1BC 与平面11AAC C 所成的角，解直角三角形求得1sin BC D ∠.【详解】（1）证明：连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD . 因为11BCC B 为矩形，则O 为1B C 的中点； 因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB ，又因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊂平面1BC D ， 所以//AB 平面1BC D.（2）在正三棱柱111ABC A B C -中， 因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥.因为ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点， 所以AC BD ⊥. 又因为1AA AC A =，1,AA AC ⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ；（3）由（2）知，BD ⊥平面11AAC C ，所以1BC D ∠ 即为直线1BC 与平面11AAC C 所成的角， 设等边ABC 的边长为2，则112CC AA AB BC ====， 所以在1Rt BC D △中，3BD =122BC = 所以1136sin 22BD BC D BC ∠===即直线1BC 与平面11AAC C 6【点睛】本小题主要考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．（1）求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图：（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）（3）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 【答案】（1）0.3（2）75%；71 （3）715【分析】根据各组的频率之和等于1，即可得出成绩在[)70,80的频率。

2s s k =+南康中学2019-2020学年度第一学期高二第二次大考数学(理)试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1.直线l310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A ． 150︒B ． 120︒C ． 60︒D ． 30︒2.在空间直角坐标系中，已知(1,0,2)M -，(3,2,4)N -，则MN 的中点P 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3 B ．2 C ．2D ．33.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 9B. 45C. 126D. 2704. 若样本12,,,n x x x 平均数是4，方差是2，则另一样本 1232,32,,32n x x x +++的平均数和方差分别为（ ）A ．12，2B ．14，6C ．12，8D ．14，185.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）A ． 02B ． 07C ． 01D ． 066.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错．误．的一个是（ ） A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是217.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），00(,)x y 的线性回归方程为2y x ∧=+，则00x y -的值为（ ） A ．3-B ．5-C ．2-D ．1-8. 已知空间中不同直线m n 、和不同平面α、β，下面四个结论：①若m n 、互为异面直线，//m α，//n α，β//m ，//n β，则//αβ； ②若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥； ③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，m n //，则//n β.其中正确的是（ ） A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③9.若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A.6k <B. 7k <C. 8k <D. 9k <10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A.9811.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( )A.152+ B.132+12.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆ （1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第三次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.1.1.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是A. {x|－2≤x＜1}B. {x|1＜x≤2}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|x＜2}【答案】B【解析】试题分析：图中阴影部分表示的是，，，，所以考点：1．韦恩图表示集合；2．集合的运算．2.2.若i为虚数单位，已知(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为（）A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由题意分子、分母同乘以，再进行化简并且整理出实部和虚部，求出和，再求出，故判断出点在圆外．【详解】由题意知，∵，∴点在圆外．故选：A．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位的幂运算性质，还涉及了点与圆的位置关系的判断，两个复数相除时，一般分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简．3.3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（）A. 24B. 30C. 36D. 40【答案】C【解析】试题分析：因,故,应选C.考点：抽样方法及计算．4.4.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.详解：由题得∵∴.∴∵,∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.5.5.若成等差数列，成等比数列，且，则m 的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，联立可求代入已知不等式即可求解的范围【详解】∵成等差数列，，即①∵成等比数列，②由①②得．，即m故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：：∵边长为1的正三角形的高为∴侧视图的底边长为，又侧视图的高等于正视图的高，故所求的面积为：考点：三视图7.7.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将函数的图象向左平移个单位使其等于，然后根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简整理可求得到的关系式，再由平移的知识得到的解析式，最后根据微积分的知识得到函数的解析式．【详解】函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，又因为，。

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第三次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.1.1.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是A. {x|－2≤x＜1}B. {x|1＜x≤2}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|x＜2}2.2.若i为虚数单位，已知(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为（）A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不能确定3.3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为（）A. 24B. 30C. 36D. 404.4.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A. B. C. D.5.5.若成等差数列，成等比数列，且，则m 的取值范围是（）A. B. C. D.6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为（）...A. B. C. D.7.7.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.8.8.把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在上任取，则的概率为（）A. B. C. D.9.9.已知点是双曲线的左、右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.10.10.在中，，，边的四等分点分别为，靠近，执行下图算法后结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 911.11.任取集合中三个不同数且满足则选取这样的三个数的方法种数共有（）A. 27B. 30C. 35D. 4812.12.已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.13.13.若，则=__________14.14.若展开式中的常数项为，则____________15.15.随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为_________16.16.如图，等腰梯形中，且，，（）．以为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为_________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.17.已知函数.(1)当时，求函数的最小值和最大值(2)设△ABC的对边分别为，且，,若，求的值.18.18.甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及期望．19.19.等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).（1）求证:平面;（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出线段的长; 若不存在,请说明理由.20.20.已知椭圆的离心率为，椭圆过点⑴求椭圆的标准方程；⑵过点作圆的切线交椭圆于两点，记(为坐标原点)的面积为，将表示的函数，并求的最大值21.21.设函数，，其中．（1）若函数图象恒过定点,且点在的图象上,求的值；（2）当时,设,讨论的单调性；（3）在(1)的条件下,设,曲线上是否存在两点、,使(为原点)是以为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在轴上?如果存在,求的取值范围;如果不存在,说明理由．。

南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考数 学（文）试 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品3．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( )A ．∀x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤ 1 B ．∀x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1 4．已知抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点到准线的距离为2，则a ＝( ) A ．4B ．2C.14D.125．如图是2019年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图。

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,866.若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交7．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，则a ＝ ( ) A ． 2.62-B ．2.62C ．26.2D ．26.2-8.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.329．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4， 则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．12B ．8C ．6D ．410.执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．511.已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x －y －4＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．9x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝012.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )二、填空题（每题5分，满分20分）13．椭圆22143x y +=的离心率是_____________. 14．若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[1,360]内的人数是________． 15．如图，P A ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是_______．第15题图 第16题图16．如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系为两圆________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立． (1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．18.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点， AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B －DAA 1C 1的体积．19.最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革 不赞成改革无所谓 教师120y 40 学生xz130(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．20.如图，已知圆x 2＋y 2＝12与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为22，F 为抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程；(2)若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个 不同的点，从左至右依次为P 1，P 2，P 3，P 4，求：①|P 1P 3|； ②|P 1P 3|－|P 2P 4|的值．21.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证： (1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考••••1P 2P 3P 4P数学（文）试卷参考答案一、选择题1-5: BBBAA 6-10: DDCCB 11、12：CA5.A 解析 由图可知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为85，众数为84.6.D 解析 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．7.D 解析 x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x ，y )，∴将点(170,69)代入回归直线方程得y ^＝0.56x －26.2.8.C 解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.9.C 解析 抛物线准线方程x ＝－2，∴点P 到准线的距离为6，∴P 到焦点的距离也为6. 10.B 解析 当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7>6，输出S ＝3.结束循环．11.C 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12，即9x ＋y －5＝0. 12.A 解析 在空间直角坐标系中，易知O (0,0,0)，A (1,0,1)，B (1，1,0)，C (0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC 在zOx 平面的投影是看得见的，而OA 的投影即它本身，在投影面中是看不见的． 二、填空题13.1214. 18 15. ①②④ 16. 内切 15.①②④ 解析 ①AE ⊂平面P AC ，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ⇒AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ⇒AE ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ⇒AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ⊂平面AEF ⇒EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确．16.内切 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 、F ′分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2，如图所示．设PF 中点为M ，连接PF ′，∴OM 是△PFF ′的中位线，可得|OM |＝12|PF ′|，即两圆的圆心距为12|PF ′|根据椭圆定义，可得|PF |＋|PF ′|＝2a ，∴圆心距|OM |＝12|PF ′|＝12(2a －|PF |)＝a －12|PF |，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2相内切． 三、解答题17.解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2. 因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．18.解 (1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示．∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1. ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D . ∴AB 1∥平面BC 1D .(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . ∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C . ∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13. ∴BE ＝AB ·BC AC ＝613.∴四棱锥B －AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·A 1A ·BE ＝16×3213×2×613＝3.19.解 (1)由题意知x500＝0.3，所以x ＝150，所以y ＋z ＝60，因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50500×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为50500×40＝4.(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同 选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)， (b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种， 至少有1名教师的选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)， (a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种， 故至少有1名教师被选出的概率P ＝1620＝45.20.解 (1)设B (22，y 0)，由题意得，22020(22)12(22)2y py ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y . (2)设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，P 4(x 4，y 4)，由题意得，P 1，P 3在圆上，P 2，P 4在抛物线上，直线l 的方程为y ＝x ＋1. ①由2213||()()1222PP += ，得13||46PP ②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4x －4＝0，所以x 2＋x 4＝4，x 2x 4＝－4.2224||1144(8P P =+-⨯=所以|P 1P 3|－|P 2P 4|＝46－8.21.证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥P A .又CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC . 故CD ⊥AE .(2)∵P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故P A ＝AC .∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC . 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD . 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE . 22.解 (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)， 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b2＝2， 所以a 2＝4，b 2＝2.因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0得m 2<4k 2＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1，所以D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1. 又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m2k 2＋1＋m 2，整理得|ND |2＝4m 2(1＋3k 2＋k 4)(2k 2＋1)2.因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1)(2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2.令t ＝8k 2＋3，t ≥3， 故2k 2＋1＝t ＋14.所以|ND |2|NF |2＝1＋16t(1＋t )2＝1＋16t ＋1t＋2. y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4.由(*)得－2<m <2且m ≠0，故|NF ||ND |≥12.设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.。