高考数学压轴专题专题备战高考《复数》易错题汇编附答案
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【最新】数学《复数》专题解析
一、选择题
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2cos2sin2iei，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
2．已知m为实数，i为虚数单位，若24mm 0i，则222mii（ ）
A．i B．1 C．- i D．1
【答案】A
【解析】
因为2(4)0mmi，所以2(4)mmi是实数，且20{240mmm，故22(1)222(1)miiiii，应选答案A．
3．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若231zii，则4zi（ ）
A．6 B．50 C．52 D．34
【答案】C
【解析】
【分析】
计算5zi，再代入计算得到答案. 【详解】
由231zii，得2315ziii，则4545552ziiii.
故选：C．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
4．设3izi，i是虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】
因为z=3ii13iz的虚部为-3，选D.
5．复数z满足1|1|zii，则复数z在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简2222zi，再结合复数的几何表示方法，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足1|1|zii，可得21|1|2211122iiziiii，
则复数z在复平面内对应的点为22(,)22位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．已知i是虚数单位，则复数242izi的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A 【解析】
【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】
解：∵242232424242105iiiziiii，
∴32105zi，
∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限．
故选：A．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭为.abi
7．已知i是虚数单位，则31ii=（ ）
A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意，由于33124121112iiiiiiii，故可知选D.
考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
8．已知i是虚数单位，复数z满足12izi，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．1 D．i
【答案】A
【解析】
12izi22(1)112iiizii，所以z的虚部是1，选A.
9．已知为虚数单位， mR，复数22288zmmmm，若z为负实数，则m的取值集合为（ ） A．0 B．8 C．2,4 D．4,2
【答案】B
【解析】由题设可得2280{280mmmm，解之得8m，应选答案B。
10．已知复数1322zi，则zz（ ）
A．1322i B．1322i C．1322i D．1322i
【答案】C
【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得1322zzi，从而求得结果.
详解：根据1322zi，可得1322zi，且13144z，所以有131312222zzii，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
11．已知复数21iz，则（ ）
A．2z B．z的实部为1 C．z的虚部为1 D．z的共轭复数为1i
【答案】C
【解析】
分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.
详解：由复数的运算法则可得：21211112iiziii，
则2z，选项A错误；
z的实部为1，选项B错误；
z的虚部为1，选项C正确；
z的共轭复数为1zi，选项D错误.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知复数z满足13izi，i为虚数单位，则z等于（
）
A．1i B．1i C．1122i D．1122i
【答案】A
【解析】
因为|3+|2(1)11(1)(1)iiziiii，所以应选答案A．
13．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若，，则的充要条件是；
②若，且，则；
③若，则．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
考点：复数的有关概念.
14．已知复数z在复平面内对应点是1,2，i为虚数单位，则21zz（ ）
A．1i B．1i C．312i D．312i
【答案】D
【解析】
21zz323122iii ，选D.
15．复数52i的共轭复数是( )
A．2i B．2i C．2i D．2i
【答案】C
【解析】
【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】
因为522ii，所以复数52i的共轭复数是2i，选C.
【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
16．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是zz.则其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数1z和2z的模相等,例如1=1+zi,2=2zi,则1z和2z是共轭复数是错误的;对于②1z和2z都是复数,若12+zz是虚数,则其实部互为相反数,则1z不是2z的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z是实数,令za,则za所以zz,反之当zz时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是zz是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
17．已知复数z满足11zii，则z （ ）
A．i B．1 C．i D．1
【答案】B
【解析】
1i1iz，则21i1i2i1i1i1i2zi，1z，故选B.
18．在复平面内，复数z满足112zii，则z对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 ∵112zii，∴221211212213131111222iiiiiiiziiiii，∴1322zi，故对应的点在第二象限．故选B．
19．复数满足48izz，则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
设(,)zabiabR,则2248zzabiabi,可得2248aabb,即可得到z,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设(,)zabiabR,则2248zzabiabi,
2248aabb,6,68i8azb,
所以复数z在复平面内所对应的点为6,8,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
20．已知i是虚数单位，则2331iii（ ）
A．32i B．33i C．24i D．22i
【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()22231i3i3iii12ii33i1i2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌
故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．
