分数阶微分方程积分边值问题上下解方法

西北师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　第４３卷２００７年第４期　Ｖｏ１．４３　２００７　Ｎｏ．４　

Ｂａｎａｃｈ空问中非线性积分微分方程周期边值　

问题的一种拟上下解法　

李相锋　

（陇东学院数学系，甘肃庆阳　７４５０００）　

摘要：利用Ｌ一拟上下解方法和混合单调迭代法，通过建立一个新的积分微分不等式，研究了Ｂａｎａｃｈ空间中积分微　分方程周期边值问题解的存在唯一性，并给出了解的迭代序列和误差估计式．　关键词：积分微分方程；Ｌ　拟上下解；混合单调迭代法；周期边值问题　中图分类号：０　１７５．１５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１＿９８８　Ｘ（２００７）０４＿０００６　０４　

Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｌ—ｑｕａｓｉ—ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　

ｃ　ｂｏｕｎｄａｒ￣ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎＯａｒｙ　Ｖａ１Ｕｅ　ｐｒｏ　１ｅｍｓ　ｏ　ｎｏｎ１１ｎｅａｒ　

・　‘‘＾　‘　●　０　１一、　’　ｌｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｔｔ　ｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑ　ｕａｔｌｏｎ　ｉｎ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ　

ＬＩ　Ｘｉａｎｇ—ｆｅｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ　ａｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ，ｂｙ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ　ａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ｉｎｔｅｇｒａｌ　

第２９卷第５期　２０１１年０９月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２９　Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．　２０１１　

文章编号：１００８—１４０２（２０１１）０５－０７７８一ｏ２　

探究分数阶微分方程边值问题的解的存在性①　

周明益　

（江苏省扬州工业职业技术学院基础部．江苏扬州２２５０１７）　

摘要：　主要对一类带有积分边值的分数阶微分方程的两点边值问题进行分析和研究．在特定　

的因素下，利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，最终得出分数阶微分方程边值问题解的存在性．　

关键词：　分数阶微分方程；边值问题；Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理；存在性　

中图分类号：０２４１．８　文献标识码：Ａ　

近年来，分数阶微分方程的研究成为国际关注　

的热点之一，分数阶微分方程在高分子材料的解　

链、扩散和运输理论、非牛顿流体力学、粘弹性力学　

及混沌与湍流等领域得到广泛的运用．分数阶微分　

方程在化学、物理及工程方运用越来越多，人们开　

始关注分数阶微分方程的研究，本文主要研究分析　

分数阶微分方程两点边值问题　

ｆＤ；＋　（ｔ）＋　ｔ，　（ｆ））＝０，０＜ｔ＜１，　Ｉｕ（ｏ）：Ｍ（１）：０　

的解，以及多解的存在性．本文还对带积分边值的　

分数阶微分方程　

ｒ　＋ｕ（ｔ）＋厂（ｔ，ｕ（ｔ）），（ｒｕ（ｔ））＝０，ｔ∈Ｊ，　｛　，　【ｕ（０）：０，ｕ（Ｉ）一Ｉ　ｑ（　（ｓ））ｄｓ　

的解的存在性进行了研究．这里　

Ｊ＝［０，１］，（Ｔｕ）（　）＝【　（ｔ，ｓ）　（ｓ）ｄｓ，　

ｆ∈Ｃ（Ｊ×Ｒ×Ｒ，Ｒ）ｑ∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），　

ｋ∈ｃ（Ｊ×．，，Ｒ＋），Ｒ＋＝［０，＋∞］，　

１＜ａ≤２，Ｄｏ＋　

是Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌ　ｉｏｕｖｉｌｅ导数．　

１　知识准备　

令ｋ。＝ｍａｘ｛ｋ（ｔ，ｓ）：　，ｓ∈Ｊ｝，对ｃ［ｏ，１］，定　

义ＩＩ　ｕ　ＩＩ　ｃ＝㈣ｍａ　ｘ　Ｉ　ｕ（ｆ）Ｉ　

定义Ｉ　对），：（０，＋∞）＿÷Ｒ，ｑ阶Ｒｉｅｍａｎｎ—　

一类分数边值问题的Lyapunov-型不等式

一、引言

在数学中，分数边值问题是一类非常有趣的问题，而Lyapunov-型不等式则是解决这类问题时的重要工具。本文将围绕这一主题展开讨论，并深入探究其数学内涵和应用实例。

二、分数边值问题的定义与特点

分数边值问题指的是一类边值问题，其中微分方程的导数阶数为分数阶。这类问题的特点是无法直接应用传统的边值问题的解法，而需要借助特定的数学工具来解决。分数阶微积分的引入使得这类问题具有了更丰富的内涵和更广阔的应用领域。

三、Lyapunov-型不等式的基本形式与含义

Lyapunov-型不等式是解决分数边值问题的重要方法之一。其基本形式为V(x)≤-W(x)，其中V(x)和W(x)分别为Lyapunov函数和比较函数。这一不等式的含义是通过选择合适的Lyapunov函数和比较函数，可以证明分数阶微分方程的边值问题存在唯一性解。

四、Lyapunov-型不等式在分数边值问题中的应用

以具体的数学应用为例，考虑分数阶边值问题Dαu(x) = f(x,u(x),u′(x))，u(a) = u(b) = 0。其中Dα为Riemann-Liouville分数微积分算子。通过构造Lyapunov函数V(x)，选择合适的比较函数W(x)，并应用Lyapunov-型不等式，可以证明该边值问题存在唯一性解，并且给出解的性质和特点。这一过程既深刻又复杂，需要借助Lyapunov-型不等式的严格推导和应用。

五、总结与回顾

本文围绕一类分数边值问题的Lyapunov-型不等式展开了深入的讨论。通过对该主题的全面评估和丰富展开，我们不仅对分数边值问题有了更深入的理解，同时也领略了Lyapunov-型不等式在数学中的重要作用。Lyapunov-型不等式的应用不仅局限于分数边值问题，还可以推广至动力系统、控制理论等领域，具有广泛的应用前景和理论意义。

六、个人观点与理解

个人认为Lyapunov-型不等式作为一种重要的数学工具，不仅在解决分数边值问题中具有重要应用，同时也在其他领域发挥着重要作用。通过对Lyapunov-型不等式的深入理解和灵活应用，可以为数学研究和工程实践带来新的思路和方法，对于推动学科发展具有重要意义。

第３９卷第１期　２０１３年１月　曲阜师范大学　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｖ０１．３９　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．２０１３　

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—５３３７．２０１３．１．００４　

分数阶微分方程边值问题正解的存在和唯一性　

曾庆云，　赵增勤　

（曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市）　

摘要：研究分数阶微分方程边值问题正解的存在性和唯一性，得到分数阶微分方程边值问题Ｇｒｅｅｎ函　数良好的性质，用单调迭代方法证明了分数阶微分方程边值问题正解的存在性和唯一性．　

关键词：单调迭代方法；分数阶微分方程；不动点定理　

中图分类号：０１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１－５３３７（２０１３）０１－００２９－０４　

１　引　言　

分数阶微分方程在现实生活诸多领域如工程学、经济学、物理、化学等有广泛应用，近几十年，人们深入　

研究了各种边值问题的分数阶微分方程，并取得了重要成果　引．　

文献［７］研究非线性分数阶微分方程边值问题　

ｆＤ　＋　（ｔ）＋０（ｆ）　ｔ，　（￡））＝０，０＜　＜１，１＜ｏｔ　２，　１　（０）　＝　（１）　＝０　

正解的存在性．其中Ｄ；＋是标准的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分，文章用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌ￣ｋｉｉ不动点定理和Ｌｅｇｇｅｔｔ—　

Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理得到正解的存在性．　

受以上文献的启发，本文研究下面分数阶微分方程边值问题　

ｆＤ　＋ｕ（￡）＋厂（ｔ，　（ｔ））＝０，０　ｔ≤ｌ，ｎ一１＜　ｓ　ｎ，　

｛Ｍ（０）＝ｕｔ０）＝…＝　’（０）＝０，　（１．１）　

［ｏｏ＋Ｍ（￡）］　：１＝０，１　一２　

正解的存在性和唯一性．其中凡∈　且ｎ＞３，Ｄｏ＋是标准的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分　（　，　）∈ｃ（［０，１］　

×［０，＋。。），［０，＋∞））且－厂（ｔ，　）关于Ｍ非减．　

文献［８］给出了分数阶微分方程边值问题（１．１）的Ｇｒｅｅｎ函数，本文得到该Ｇｒｅｅｎ函数的良好性质，并用