初中数学动点问题专题讲解

七年级数学动点问题知识点

数学中的动点问题是数学中常见的类型。这类问题的特点是有一个或多个运动的“点”，并且需要根据这些点的运动轨迹来求解问题。在初中数学中，学生通常会学习到直线运动、圆周运动和两点之间的相对运动等知识。下面将对这些知识点进行具体的讲解。

1. 直线运动

直线运动是动点问题中最基本的一种。在直线运动中，动点随着时间的推移，沿着一定的直线方向进行移动。对于一个匀速直线运动的动点，我们可以通过公式 s = vt 来求解。

其中，s 表示位移，v 表示速度，t 表示时间。

例如，一辆时速为 60 公里/小时的汽车从 A 地出发，向 B 地驶去，经过 2 小时后到达 B 地。则这辆汽车的位移 s = vt = 60 * 2 =

120 公里。

对于存在加速度或减速度的直线运动，我们则需要通过加速度来求解。对于匀加速直线运动的动点，我们可以通过公式 s = vt +

1/2at^2 来求解。

其中，s 表示位移，v 表示初速度，t 表示时间，a 表示加速度。

例如，一个起始速度为 0 m/s，加速度为 5 m/s^2 的物体，经过

3 秒后的位移为 s = vt + 1/2at^2 = 0 * 3 + 1/2 * 5 * 3^2 = 22.5m。

2. 圆周运动

圆周运动也是动点问题中较为常见的一种。在圆周运动中，动点会绕着圆心进行运动，通常会涉及到角度的概念。

对于一个匀速圆周运动的动点，我们可以通过公式 s = rθ 来求解。

其中，s 表示弧长，r 表示半径，θ 表示圆心角的大小（弧度制）

例如，半径为 5cm 的圆周上，一个匀速运动的动点在 3 秒钟内绕圈一周，求其位移。

由于一周为 2π rad，那么圆心角大小为 θ = 2π。

则动点的位移 s = rθ = 5 * 2π = 10π ≈ 31.4cm。

对于存在变速的圆周运动，我们需要通过变速率来求解。对于一个圆周运动的动点，它的速度通常都是变化的，而其加速度方向则指向圆心。我们可以通过斜坡上滑动的小球做圆周运动的情况来理解圆周运动。

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-- 专题一：建立动点问题的函数解析式

例1(2０00年·上海)如图1，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，ＰH⊥OＡ,垂足为H,△OPH的重心为Ｇ．

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度．

(２)设PHx,GPy,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围）．

(３）如果△PＧH是等腰三角形,试求出线段PH的长．

解：(１)当点Ｐ在弧AＢ上运动时,ＯP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是ＧH=32NH=2132OP=2.

(2)在Rt△POH中, 22236xPHOPOH, ∴2362121xOHMH.

在Ｒt△MPH中,

.

∴y=GP=32MＰ＝233631x （０

(3）△PGH是等腰三角形有三种可能情况:

①GP＝PＨ时，xx233631,解得6x. 经检验, 6x是原方程的根，且符合题意.

②GＰ=GＨ时, 2336312x,解得0x. 经检验, 0x是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH时，2x.

综上所述，如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2(2００6年·山东）如图2,在△ＡBC中,ＡB=ＡC＝1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,xCE=y．

(１)如果∠BＡC＝３0°,∠DAE＝1０５°,试确定y与x之间的函数解析式；

(2)如果∠BＡC的度数为，∠DAＥ的度数为，当,满足怎样的关系式时,（1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由．

解:(1）在△ABC中,∵AＢ＝AＣ,∠BＡＣ＝３0°,

∴∠AＢC＝∠AＣB＝7５°, ∴∠ＡBＤ＝∠ＡCＥ=105°.

∵∠BAC=3０°,∠DＡE＝105°, ∴∠DAB＋∠CAE＝７5°,

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文案大全 O M A N B C y

x 初中数学动点问题练习题

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．

1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2、如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MNAB∥时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．

(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，

并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？

若有最小值，最小值是多少？ C

P Q

B A M N

A D

C B M N

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文案大全 EDBCAQP(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？

若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

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初中数学动点问题的特殊解法

作者：邬鹤

来源：《知识窗·教师版》2018年第12期

摘要：动点问题是初中数学的教学重点和难点，它对学生综合运用能力和解决复杂问题能力要求较高，学生往往会感到学习困难，存在恐惧心理。本文分析了初中数学动点问题的解题策略，旨在打开学生解决动点问题的思路，培养学生的发散思维。

关键词：初中数学 动点问题 特殊解法

动点问题一直以来都是中考数学的重要考点，也是初中生数学学习的重点和难点。通常来说，动点问题常常会综合多个模块的知识内容，如一次函数与几何图形结合、二次函数与几何图形结合等，然后将一个大主题细化成多个小问题，由浅入深地层层推进，对学生知识综合运用能力有着较高要求。动点问题的教学有利于促进学生数学思维、变通能力的发展，所以在解决动点问题时，学生要做到动中求静、以动制动、动静互化，从而探究出解决问题的方法。

一、动中求静

动点问题是指题设图形中存在一个或几个动点在图形线段、射线运动的开放性题目。如果在动点问题中有较多的不变量，那么在解答时学生要学会动中求静，找到问题中的不变量，并探寻其与变量之间的关系，以明确解题思路，探究解题途径。

例1.如图1所示，已知圆直径AB延长线上有一点动点P，过P点作圆切线，连接A点和切除切点C，过P点做∠CPA平分线，与AC线段相交于M点，问：∠CMP的大小？

在这道题中，虽然P点、M点为动点，但无论P点怎样运动，其与C点的连线都为圆的切线，这也意味着∠CPO角度不变，一直为90°。基于此，运用圆周角定理及外角定理即可得出无论P点在AB延长线上如何运动，∠CMP的大小都不会改变的结论，且可以算出该角的角度为45°。

二、以动制动

在动点问题中运用以动制动的解题思路，主要是借助函数图像描述动点变化轨迹，深入研究运动函数，建立图形变量函数关系，通过分析函数关系解决动点问题。