高中数学-对数函数的图像和性质

对数函数总结

对数函数是高中数学中的重要概念之一，它在各种科学与工程领域中都有广泛应用。本文将对对数函数进行详细的总结，并介绍其定义、性质以及应用。

一、定义

对数函数是指函数y = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x和y是实数。

对数函数可以看作是指数函数y = aˣ的反函数。对数函数y = logₐ(x)的定义域是正实数集合，值域是实数集合。

二、常用对数函数

2. 通用对数：y = log₁₀(x)，其中a = 10。

3. 二进制对数：y = log₂(x)，其中a = 2

三、性质

1. 对数函数的图像：通用对数函数y = log₁₀(x)的图像是一条上升的曲线，自然对数函数和二进制对数函数也具有相似的性质。

2.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集合，即x>0。

3.对数函数的值域：对数函数的值域是所有的实数集合，即(-∞,+∞)。

4.对数函数的基本性质：对数函数满足以下基本性质：

（1）对数函数的对称性：logₐ(aˣ) = x； （2）对数函数的换底公式：logₐ(x) = logᵦ(x)/logᵦ(a)，其中a、b是正实数且不等于1；

（3）对数函数的推广：logₐ(m·n) = logₐ(m) + logₐ(n)，logₐ(m/n)

= logₐ(m) - logₐ(n)，logₐ(mˣ) = x·logₐ(m)，其中a、m、n是正实数且不等于1

五、对数函数的应用

对数函数在各种科学与工程领域中都有广泛应用，主要包括以下几个方面：

1.声音与音乐：声音的强度、功率以及音乐的音量等常用以对数函数作为数学模型。

2.生物学与医学：生物学中的激素浓度、细胞的增殖和死亡速率等可以使用对数函数进行建模。此外，医学中的药物浓度、毒性等也可以通过对数函数进行分析。

3.经济学与金融学：经济学中的利润增长、利息的计算等可以使用对数函数进行建模。金融学中的复利计算、收益率的估计等也可以通过对数函数进行分析。

第1页 共10页 对数函数的图象与性质

• 对数函数的图形：

•

对数函数的图象与性质：

• 对数函数与指数函数的对比：

第2页 共10页 (1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．

(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O

(3)指数函数与对数函数的联系与区别：

第3页 共10页 • 对数函数单调性的讨论：

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．

利用对数函数的图象解题：

涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a>l与O

• 底数对函数值大小的影响：

1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O

2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应

第4页 共10页 函数，则必有

指数函数与对数函数是高中数学的重点及难点，高考也常有考题出现，现在我们将指数函数与对数函数的关系，指数函数与对数函数之间的相互转换、指数函数与对数函数图像及性质整理如下：

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第10页 共10页

创作；朱本晓

2022年元月元日

创作；朱本晓

2022年元月元日 凤凰中学高三数学 函数的图像与性质

1.对于函数f〔x〕=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f〔1〕和f〔-1〕，所得出的正确结果一定不可能是〔 〕

〔A〕4和6 〔B〕3和1 〔C〕2和4 〔D〕1和2

2.〔2021·高考·Ｔ10〕设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，1,10()2,011axxfxbxxx，，其中,abR，假设13()()22ff，那么3ab的值是 .

3.〔2021·高考文科·Ｔ9〕函数3()sin4(,)fxaxbxabR，2(lg(log10))5f，那么(lg(lg2))f

A.5 B.1 C.3 D.4

4．〔2021·高考文科T8〕函数f(x)=1xe,g(x)=.342xx假设有f(a)=g(b)，那么b的取值范围为〔 〕

〔A〕]22,22[ 〔B〕)22,22( 〔C〕[1，3] 〔D〕(1,3)

5.〔2021·新课标全国高考理科·Ｔ12〕函数11yx的图象与函数2sin(24)yxx的图象所有交点的横坐标之和等于〔 〕

〔A〕2 〔B〕4 〔C〕6 (D)8

6.〔2021·高考理科·Ｔ9〕函数2sin2xyx的图象大致是〔 〕

创作；朱本晓

课 题：对数函数及其性质

第二课时

濮阳市综合高中 张吉颖

学习目标

1．能说出对数函数的性质；

2．会画出对数函数的大致图象；

3．能根据对数函数的性质解决大小比较问题；

4．能解决与对数函数相关的综合问题.

学习重点：对数函数的图像和性质

学习难点：对数函数性质的综合应用；

授课类型：复习课

课时安排：一课时

教学方法：采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与教学的积极性。

教 具： 多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.对数函数的概念

函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是

),0(，值域为),(。其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．

想一想？

判断：以下函数是对数函数的是（ ）

A、y=log2(3x-2) B、y=2lgx

C、 213logyx D、y=lnx

2.对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1

图象

性

质 定义域 (0，＋∞)

值域 R

过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值

的变化 当0＜x＜1时，y＜0

当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0

当x＞1时，y＜0

单调性 在(0，＋∞)上递增 在(0，＋∞)上递减

二、自主自测

1.求下列函数的定义域：(a >0 且a≠1 )

(1) y=logax2

(2) y=loga(4－x)

解：(1)因为x2＞0即x≠0所以函数y=logax2的定义域是｛x│x≠0 ｝

(2)因为 4－x＞0即x＜4

所以函数y=loga(4－x)的定义域是｛x│x＜4 ｝

2. 根据对数函数单调性比较大小

1）、log30.5 ___ 0 2）、log0.20.5 ___0