坐标变换总结Clark变换和Park变换

坐标变换总结Clark变换和Park变换

⼀个坐标系的坐标变换为另⼀种坐标系的坐标的法则。

由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正⽐与主磁通与电流，⽽这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，⼜为多变量，⾮线性系统（关键是有⼀个复杂的电感矩阵），这使得建⽴异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链⼊⼿。

解决的思路与基本分析：1.已知，三相( ABC )异步电动机的定⼦三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120

ω的旋转磁场。

度的三相正弦交流电时，在空间上会建⽴⼀个⾓速度为1

⼜知，取空间上互相垂直的（α，β）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建⽴与三相绕组等效的旋转磁场。此时的电机数学模型有所简化。2. 还知, 直流电机的磁链关系为：

F---励磁绕组

轴线---主磁通的⽅向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。A---电枢绕组

轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈⼊的直流电产⽣电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。

由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。换⾔之，主磁通唯⼀地由励磁电流决定，由此建⽴的直流电机的数学模型⼗分简化。

如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得⼤⼤简单了。

电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产⽣的磁动势(⼤⼩、旋转）完全⼀致。

关于旋转磁动势的认识：1) 产⽣旋转磁动势并不⼀定⾮要三相绕组不可。结论是：

除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产⽣旋转磁动势。

根据这⼀道理，利⽤其在空间上互差90度的静⽌绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产⽣旋转磁场（或磁动势F），因⽽可等效代替三相绕组的作⽤。这就是ABC——αβ(3-2)变换的思路。2)进⽽认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂直的绕组M，T分别通以直流电流，产⽣的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产⽣αβ——dq(2-2)变换。

⽮量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标变换⽅法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静⽌绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因⼦减少，使系统数学模型简化。

以产⽣同样的旋转磁动势为准则，可以⽤以下关系来表⽰ 三相交流绕组

两相交流绕组 整体旋转直流绕组 空间互差120，通以时间上互

差120的三相平衡交流电 空间互差90，通以时间上互差90的两相平衡交流电 空间互差90，分别通以直流电流，且整个铁⼼以同步速度

旋转（即磁动势与坐标系⼀起

旋转）

所谓坐标变换的⽅法就是⽤⼀组新的变量来代替原⽅程中的⼀组变量，使得原⽅程（数学模型）得以简化（弱化强耦合或解耦）。1．变换原则---功率不变约束条件

设电压⽅程为u=Zi

新定义的变量为'u 、'i

设电压变换矩阵为u C ，电流变换矩阵为i C ，则变换前后的电压和电流关系式为'u C u u = 'i C i i =

假设变换前后功率不变，即u i P T = '''u i P T = 'P P = ''u i u i T T =

经代⼊整理后，有 E C C u T i =

为简化变换阵，⼀般取 C C C i u ==

代⼊上式，则有 E C C T = 1-=C C T

式中，C 为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。

满⾜上述功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统⼀变换关系。2．(3s/2s 变换) 三相静⽌轴系A-B-C 到两相静⽌轴系βα-的变换

为便于分析，取三相绕组匝数相等：3N N N N C B A ===

并取两相绕组匝数也相等， 2N N N ==βα

可得到，两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式：240sin 120sin 0240cos 120cos C C B B C C B B A A i N i N i N i N i N i N i N ++=++=ββαα

从⽽找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，=??????C B

A i i i N N i i 240sin 120sin 0240cos 120cos 123βα

（为保证推导的严谨性，在⾮⽅阵中引⼊⼀个独⽴变量，称为零轴电流。当定⼦绕组为Y 形接线时，可在变换矩阵中消去该独⽴因⼦）经推导整理可以得到3/2变换表达式，---=??????C B A i i i i i 232302121132βα

已知⽆零线Y 形接线时，0=++C B A i i i ，则有B A c i i i --= 。 代⼊上式进⽽可简化为：-=????????????/??????????=??????βαβαi i i i i i i i B A B A 2161

03222

1023

上式对电压和磁链也成⽴。3．(2s/2r 变换) ⼆相静⽌轴系α，β到⼆相旋转轴系 d ，q 的变换

假如有两个相互垂直的绕组，在两绕组中分别通以直流电流，并且将此固定磁场以同样的⾓速度旋转，则两相旋转绕组产⽣的合成磁场也是⼀个旋转磁场。再进⼀步使两绕组轴线与三相绕组（或与两相静⽌绕组的轴线同⽅向）的旋转磁场⽅向相同。由此即可⽤两个直流分量来替代三相交流电。这可进⼀步简化参变量间的关系。

设两相静⽌坐标系与两相旋转坐标系间的夹⾓为（且随时间变化）01?ω?+=t

由两相静⽌轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可

以得到变换关系，---=??????βαi i i i q d

sin cos cos sin

当定⼦三相电流为：)34sin()3

2sin()

sin(111φπωφπωφω--=--

=-=t I i t I i t I i m C m B m A 代⼊3/2变换式，有

---=??

)cos()sin(112φωφωt t I i i m q d

其中 m m I I 232=

式说明，从静⽌三相A-B-C 变换到静⽌⼆相d-q ，在D 、Q 绕组中通以互

差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静⽌

绕组等效的磁动势。

⼜可知，将上式部分（d 轴）展开后有，t

I i t

I i m dq m dp 1212cos sin sin cos ωφωφ== 因此，d 轴分量⼜可分别定义为瞬时有功电流和瞬时⽆功电流之和， →→→+=dq

dp d i i i 因此，d 轴分量⼜可分别定义为瞬时有功电流和瞬时⽆功电流之和， →→→

+=dq

dp d i i i

5．3/2变换结果代⼊2/2变换后有 ------='')cos()sin(sin cos cos sin 112φωφωt t I i i m q d

=''φφsin cos 22m m q d I I i i

上式说明，在D-Q 轴上通以两个直流电流，其⼤⼩分别为三相绕组中的有功电流和⽆功电

流。这样也可获得与三相绕组等效的磁动势。6．由3/2变换的瞬时⽆功功率理论可以获得与上述同样的结果

已知，-=??????=??????βααβ

βαi i e e e e i i e q p q p 假定三相瞬时电压为三相平衡电压源，A 相电压为，代⼊电压3/2 变换有 -=??

t t E e e m 11cos sin 23ωωβα 代⼊上式整理后，有 ---=??????βαωωωωi i t t t t E q p m 1111sin cos cossin 23

---=??????βαωωωωi i t t t t i i q p 1111sin cos cos sin

可见，上式与2/2变换结果相同。7.进⼀步引申还可知道可以看出，经过3/2和2/2变换，三相交流系统中的基波有功分量和基波⽆功分量在d-q 坐标系表⽰为直流分量，或者讲，被变换的三相电流中若既含有基波电流，⼜有⾼次谐波电流，则经过变换后所获得的直流分量对应原来的基波电流，⽽变换获得的谐波分量将对应原来的 （n-1）次谐波电流（注意到，3/2变换的结果仍保持频率不变，且两变量为正交分量）。 由此启发⼈们利⽤这样的变换/反变换结果来获取除了基波成分之外的其它畸变分量。

应注意到，虽然上述对电压的3/2变换代⼊到瞬时功率表达式中，可以得到与2/2变换同样的结果。但在实际应⽤时却属两种检测算法。例如，它们的低通滤波器设计参数不同；由于d-q 坐标系是以1w 旋转的，它与轴的夹⾓是随时间变化的，还需从系统电压提取同步相位信息。另外，当考虑电压畸变时，2/2变换仍是准确的。http://www.doczj.com/doc/cd1a6c5076eeaeaad0f3306f.html /link?url=e29j9JEmQX5N8sSd2oCmrehRAtH2O81y4hpGOi_WJPcgsdMjy6n30mL9pZfVrdI_bYPMmwv2Pvgzyn6UMfgdtoFdv1_9RF1bXXJxyDyk-dy

坐标变换

由于直流电机的主磁通基本上唯⼀地由励磁绕组的励磁电流决定，所以这是直流电机的数学模型及其控制系统⽐较简单的根本原因。

如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以⼤⼤简化。坐标变换正是按照这条思路进⾏的。

不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产⽣的磁动势完全⼀致。1．坐标变换原理

交流电机三相对称的静⽌绕组A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，产⽣的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速ws（即电流的⾓频率）顺着A-B-C 的相序旋转。这样的物理模型绘于下图1中。

图1交流电机绕组的等效物理模型图2等效的两相交流电机绕组

旋转磁动势并不⼀定⾮要三相不可，除单相以外，⼆相、三相、四相、……等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产⽣旋转磁动势，当然以两相最为简单。

图2中绘出了两相静⽌绕组a和b它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产⽣旋转磁动势F。

图3旋转的直流绕组

当图1和2的两个旋转磁动势⼤⼩和转速都相等时，即认为图2的两相绕组与图1的三相绕组等效。

图3两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q，其中分别通以直流电流id和iq，产⽣合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁⼼以同步

转速旋转，则磁动势F⾃然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。

把这个旋转磁动势的⼤⼩和转速也控制成与图1 和图2中的磁动势⼀样，那么这套旋转的直流绕组也就和前⾯两套固定的交流绕组都等效了。

由此可见，以产⽣同样的旋转磁动势为准则，图1的三相交流绕组、图2的两相交流绕组和图3中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB 、iC，在两相坐标系下的ia、ib和在旋转两相坐标系下的直流id、iq 是等效的，它们能产⽣相同的旋转磁动势。

坐标变换的任务就是求出iA、iB 、iC 与ia、ib和id、iq 之间准确的等效关系。2．三相--两相变换（3/2变换）

在三相静⽌绕组A、B、C和两相静⽌绕组a、b之间的变换，或称三相静⽌坐标系和两相静⽌坐标系间的变换，简称3/2 变换。