北师大版高中数学必修5《三章 不等式 4 简单线性规划 4.1二元一次不等式与平面区域》赛课导学案_1
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第03讲:二元一次不等式组与简单线性规划问题(一)基础知识回顾:1.二元一次不等式表示的平面区域:直线l : ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:(1)直线l 上的点(x,y )的坐标满足 ax+by+c=0(2)直线l 一侧的平面区域内的点(x,y )的坐标都满足 ax+by+c>0(3)直线l 另一侧的平面区域内的点(x,y )的坐标满足 ax+by+c<0所以,只需在直线l 的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x 0 , y 0),从a 0x+b 0y+c 值的正负,即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划:如果两个变量x,y 满足一组一次不等式,求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值,称这个线性函数为目标函数,称一次不等式组为约束条件,像这样的问题叫作二元线性规划问题。
其中,满足约束条件的解(x,y)称为可行解,由所有可行解组成的集合称为可行域,使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤:(1)先写出决策变量,找出约束条件和线性目标函数;(2)作出相应的可行域; (3)确定最优解(二)例题分析:例1.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )A .34 B .1 C .74D .5 例2如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点O 在曲线1)2(22=++y x 上,那么的||PQ 最小值为( ) (A)23 (B)154- (C)122- (D)12- 例3、已知实数,x y 满足302500x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则2y x -的最大值是_________.(三)基础训练:1、点P (x ,y )在直线4x + 3y = 0上,且满足-14≤x -y ≤7,则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A. [0,5]B. [0,10]C. [5,10]D. [5,15]2.若x y ,满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩,,,≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 .3.已知变量x y ,满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤,≥,≤,则y x 的取值范围是( )A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 B .[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ,, C .(][)36-∞+∞ ,, D .[36],4. 已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a 的取值范围是( )(A )a<-7或a >24 (B )-7<a<24(C )a=7或a=24 (D )-24<a<75.设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1,40,32102y x y x y x ,表示的平面区域, 则D 中的点P (x ,y )到直线x +y =10距离的最大值是 .6.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .7.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?8.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示:每张钢板的面积,第一种为1m ,第二种为2m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小?参考答案第03讲:二元一次不等式组与简单线性规划问题(二)例题分析: 例1.C; 例2. A; 例3、___0_____.(三)基础训练: 1、B; 2. 9 ; 3.A; 4. B; 5.24; 6. 5 ;7.解:设分别对甲、乙两个项目投资x 万元、y 万元,则x ≥0,y ≥0,且10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩,设0.5z x y =+ 当46x y =⎧⎨=⎩时,z 取最大值7万元 8.解:设用第一种钢板x 张, 第二种钢板y 张,依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,27315212 ,求目标函数为y x z 2+=的最小值, 列表得答:当两种钢板分别截6,7快,或者4,8快时,可得所需三种规格成品,且使所用面积最小。
0 xy11 x+y-1=0课题: §4.1二元一次不等式与平面区域第1课时教学分析本节介绍了用二元一次不等式表示平面区域,使学生会用二元一次不等式表示平面区域,会由平面区域得出二元一次不等式授课类型:新授课 教学目标1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式表示平面区域;2.过程与方法:经历用二元一次不等式表示平面区域3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣。
教学重难点用二元一次不等式表示平面区域; 教学过程探究二元一次不等式的解集表示的图形 (1)回忆、思考回忆:初中一元一次不等式的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般:先研究具体的二元一次不等式x+y-1>0的解集所表示的图形。
如图:在平面直角坐标系内,x+y-1=0表示一条直线。
平面内所有的点被直线分成三类:第一类:在直线x+y-1=0上的点;第二类:在直线x+y-1=0左下方的区域内的点; 第三类:在直线x+y-1=0右上方的区域内的点。
直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于0吗?先完成下表,再观察有何规律呢?0 xy11 x+y-1=0根据此说说,直线x+y-1=0左下方的坐标与不等式x+y-1>0有什么关系? 直线x+y-1=0右上方点的坐标呢? 学生思考、讨论、交流,达成共识:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点都在直线x+y-1=0的右上方;反过来,直线x+y-1=0左下方的点的坐标都满足不等式x+y-1>0因此,在平面直角坐标系中,不等式x+y-1>0表示直线x+y-1=0右上方的平面区域;类似的:二元一次不等式x+y-1<0表示直线x+y-1=0左下方的区域;如图直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况: (3)结论:二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点,C =0时,常取(0,1)或(1,0)右上方点 左下方点 区域内的点 x+y-1值的正负代入点的坐标(1,1) (2,0)(0,0) (2,1) (-1,1) (-1,0) (-1,-1)(2,2)作为特殊点)【应用举例】例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。
数学导学案设计景,激发学生兴趣问题1:一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收益,其中从企业贷款中获益12﹪,从个人贷款中获益10﹪,那么,信贷部应该如何分配资金呢?设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元,则:列出不等式组之后,二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集,有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标,于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。
二、探究二元一次不等式表示的平面区域问题2:二元一次不等式x+y>8在平面直角坐标系下表示什么区域?围绕问题2师生展开如下活动。
活动一:由数到形【教师演示】运用多媒体进行动态展示:在平面直角坐标系中,所有的点被直线x+y -8=0分成三类:即在直线x+y-8=0上;直线左下方的平面区域;直线右上方的平面区域。
【学生尝试】设点P(x,y1)是直线l上的点,选取点A(x,y2)使它的坐标满足x+y>教学目标、重难点说明】本节是高中数学教材新增内容之一,在不等式、直线方程后学习,它既是这两部分内容的延伸和交汇,又是图解法解决线性规划的基础;同时,在探求问题的过程中培养学生数形结合、等价转化的数学思想;旧教材将它安排在直线方程后学习,体现的是它与方程的联系,而新教材将它与不等式的知识合在一起,整章知识凸显的是通过数学的直观性进行学习,将重要的不等关系都给出了相应的几何背景,从而弱化了以逻辑性推导为主的传统学习不等式的方式;基于以上对教材的分析,定教学目标为 1.初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。
2.了解二元一次不等式(组)的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)表示的平面区域。
3.培养学生观察,分析数学图形的能力,在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。
课题:二元一次不等式(组)与平面区域
课型:新授课
一、教材分析:本节所处的地位、特点、作用
本节选自北师大教版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修5第三章第四节第一课时内容,教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域,了解线性规划的意义,并会简单的应用。
这是《新大纲》中增加的新内容,不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液,而且给学生提供了学数学、用数学的机会,体现了新课程理念。
在此之前,学生已经学习了直线的方程,已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系,同时也学习了数形结合的思想方法。
为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。
这一节内容,是介绍直线方程的简单应用(即简单的线性规划)的基础,起到承前启后的作用。
二、学生情况分析:
1)学习者的阶段性特征:通过已教过的经验和学生已有知识基础看,对于二元一次不等式(组)与平面区域二元一次不等式(组)与平面区域的学习,关键在于弄清楚和理解掌握口诀“直线定界,取点定域”,“系数化正、左小右大”。
学生前两节学习的基础上,对不等式的理性思维能力已经有了初步形成,但存在个别差异。
2)学习者个性特征:高一(E)班是普通班,而且是高一中数学比较差的一个班级。
全班整体数学基础比较薄弱。
在讲解的过程中要做到细致,耐心。
三、教学目标分析
1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的相关概念,能画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解决简单的关于二元一次不等式(组)的实际问题;
2、过程与方法:学生在学会知识的过程中,培养学生运用数学方法解决问题的能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知能力;
3、情态与价值:通过本节内容的学习,培养学生的数学应用意识,体会数学在实际问题中的重要应用,提高学习数学的兴趣;通过自主探索、合作交流,增强数学的情感体验,提高创新意识。
四、教学重点、难点和关键
教学重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),会画二元一次不等式(组)表示的平面区域;
教学难点:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域;
关键:理解掌握口诀“直线定界,取点定域”,“系数化正、左小右大”。
教具准备:多媒体课件、三角板
五、教学策略分析
1、教学方法:启发式教学。
启发学生用数形结合的思想,循序渐进的理解掌握二元一次不等式(组)表示的平面区域;
2、教学手段:利用多媒体技术优化课堂教学,体现辅助功能;直观形象,激发学生的学习兴趣,增大教学容量;
3、学法指导:这是一节抽象的概念作图课,教师应注重创设认知情境,引导学生进行尝试、自主探究法。
在教师的启发引导下,借助多媒体的直观演示,让学生观察、讨论,主动地获取知识。
六、教学过程设计
的解为坐标的点都在直线
系数化正、左小右大”,系数指x 前系数指不等式的小于(大于)号。
探究点三:二元一次不等式组表示的平面区域(难点) 例2:画出不等式组⎪⎪⎨⎧+≤≥-20y x x y x 表示的平面区域。
变式2:由直线2,02+=++y x y x 用不等式可表示为___________________________.
(三)当堂检测(限时10分)
.不等式02≥-y x 表示的平面区域是(。