不定积分考点要求

数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。

理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。

下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。

一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。

＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。

二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。

三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。

2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。

第四章 不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形： （1sin x a t =； （2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）． （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】 【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰， 故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+． 【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++． 【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰． 解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =， 则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰， 故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是 （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

目 录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1 基本概念、定理及公式 (2)2 直接积分法易犯错误举例剖析 (3)2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰” (3)2.2 自创运算法则致误 (3)2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用 (4)2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用 (4)3 第一换元积分法应注意问题 (5)3.1 牢记凑微分公式 (5)3.2 注意解的不同表示方法 (6)4 第二换元积分法中易犯错误剖析 (6)5 分部积分法应注意事项 (8)6 计算某类特殊积分注意事项 (9)6.1 有理函数的不定积分 (9)6.2 分段函数的不定积分 (10)参考文献 (12)致谢 (13)本科生毕业论文1计算不定积分应该注意的几个问题摘要 不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念，我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域.文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题，并对这些问题进行了分析和探讨.例如：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法.关键词 不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 特殊积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method.Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitutionDivision integral method Special integral method引言 不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识.1 基本概念、定理及公式定义1[1] 设函数f 与F 在区间I 上有定义.若()(),,F x f x x I '=∈则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2[1] 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作 (),f x dx ⎰其中称⎰为积分号,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.注意 函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.计算不定积分应该注意的几个问题2定理1 若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即()(),F x f x x I '=∈.定理2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则()i F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；()ii f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，1k 、2k 为两个任意常数，则12k f k g I +在上也存在原函数，且1212[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰ 常用基本积分公式:()10dx C =⎰. ()2ln xxa a dx C a =+⎰ (0,1)a a >≠-. ()31dx dx x C ==+⎰⎰. ()14cos sin axdx ax C a =+⎰ (0)a ≠. (5)11x x dx C ααα+=++⎰ (1,0)x α≠->. ()16sin cos axdx ax C a =-+⎰ (0)a ≠. ()17ln dx x C x =+⎰ (0)x ≠. ()128arcsin arccos 1dx x C x C x=+=-+-⎰. ()9x x e dx e C =+⎰. ()1210arctan cot 1dx x C arc x C x =+=-++⎰2 直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法，这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰”例1 求3x dx ⎰.错解 434x x dx =⎰.例2 求()34x dx +⎰.本科生毕业论文3错解 ()4334444x x dx x dx dx x C +=+=++⎰.剖析 发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“⎰” 意义不清楚；2）对“C ”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容时，应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“⎰”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础.2.2 自创运算法则致误例3 求 ()323x x dx -⎰.错解 ()()432323133343x x x dx x dx x dx x x C ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰. 例4 求421x dx x +⎰. 错解 ()544223151113x x dx x dx C x x dx x x ==++++⎰⎰⎰.剖析 发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的 极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则 ()()()()f x g x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰ （1）； ()()()()f x dx g x dx f x dx g x =⎰⎰⎰ （2）. 我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解.2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用[2]例5 求31dx x⎰. 错解 331ln dx x C x=+⎰. 例6 求21cos dx x⎰.计算不定积分应该注意的几个问题4 错解 221ln cos cos dx x C x=+⎰. 剖析 这种错误主要是源于对公式的特征识别有误，要想真正掌握基本积分公式， 我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用[2] 例7 求 3sin xdx ⎰.错解 341sin sin 4xdx x C =+⎰. 例8 求2sin sin xd x ⎰.错解 由 ()()1cos sin ,,a a x x x ax -''=-= 32cos sin sin 3x xd x C =-+⎰. 剖析 这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看， 第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为[]()()a x d x ΦΦ形式时 才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.总结 以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：()21112dx d dx d x x x ==-、像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.3 第一换元积分法应注意问题第一换元积分法[3]若函数()[,]u x D a b ϕ=∈，且()x αϕβ≤≤，[,],u αβ∀∈有本科生毕业论文5()()F u f u '=，则函数[()]()f x x ϕϕ'存在原函数[()]F x ϕ，即[][]()()().f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助.3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.例9[4] 求ln x dx x⎰. 解 原式=21ln ln ln 2xd x x C =+⎰. 分析 由凑微分公式1ln dx d x x=可以看出中间变量可以确定为ln x ，即可求解. 例10 求tan xdx ⎰.解 sin 1=tan cos ln cos cos cos x xdx dx d x C x x ==-=-+⎰⎰⎰原式. 分析 因为sin tan cos x x x=，sin cos xdx d x =-由凑微分公式可知中间变量为cos x ，其解可根据上述公式求出.从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大的麻烦，易导致最后的结果错误.3.2 注意解的不同表示方法我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这 时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异 ，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.例11[4] 求sin cos x xdx ⎰.解法一 原式=21sin sin sin 2xd x x C =+⎰.计算不定积分应该注意的几个问题6解法二 原式=211cos cos cos 2xd x x C -=-+⎰=()2111sin 2x C --+ =2111sin 22x C +- = 21sin 2x C +. 解法三 原式=2111sin 2sin 22cos 2244xdx xd x x C ==-+⎰⎰=()22112sin 4x C --+ =2211sin 24x C +- =21sin 2x C +. 从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为 一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.总结 以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察，用适合自己的方法解决此类问题.4 第二换元积分法中易犯错误剖析第二换元积分法 设函数[](),,()x t D a t b ϕαβϕ=∈≤≤，且()0t ϕ'≠，函数()f x 在 [][],,,a b t αβ∀∈有定义，有[]()()()G t f t t ϕϕ''=，则函数()f x 在[],a b 存在原函数，且1()().f x dx G x C ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成，即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.例12[5] 求22x a dx x-⎰ (0)a >. 错解 令sec x a t =，则原式可化为原式=tan sec tan sec a t a t tdt a t⎰本科生毕业论文7()()2222tan sec 1tan arccos .a tdta t dt a t t Ca x a a C x ==-=-+=--+⎰⎰剖析 从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是x a ≥，经过变量代换sec x a t =后，t 对应定义域为22t ππ-≤≤，因此2222tan tan x a a t a t -==，但是上述解法却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在x a >的定义域，从而导致只计算了一半把另一半忽略了.例13 求35sin sin x xdx -⎰.错解 ()3532sin sin sin 1sin x xdx x x dx -=-⎰⎰ =322sin cos x xdx ⎰(令sin t x =)32t dt =⎰5225t C =+522sin 5x C =+. 剖析 根据在化简过程可以确定被积函数的定义域x [22]k k π,π+π∈ k z ∈，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.总结 通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面过程，这样就很容易避免类似错误发生.5 分部积分法应注意事项分部积分法 若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '⎰存在，则()()u x v x dx '⎰ 也存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.计算不定积分应该注意的几个问题8 例14[6] 求cos sin x dx x⎰. 错解 原式=1sin sin d x x ⎰ 211sin sin sin sin 11sin cos sin cos 1,sin x xd x xx xdx x x dx x =-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰ 等式两边消去cos sin x dx x⎰，得 1=0. 剖析 此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数C ,因此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.注意 有时用分部积分法计算不定积分几次分部后，又出现原积分，可移项求解，此时要求：（1）移项后的相同不定积分系数可合并，但不可为零；（2）移项后等式另一边要加上“C ”.例15 求cos x e xdx ⎰.解 =cos cos sin x x x xde e x e xdx =+⎰⎰原式cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx =+=+-⎰⎰则 2cos (cos sin )x x e xdx e x x C =++⎰从而 (sin cos )cos 22x xe x x C e xdx +=+⎰. 6 计算某类特殊积分注意事项计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外，我们在计算过程中可能会遇到更复 杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等，这时我们会发现再用平常的积分方法根本解决不了问题，但是不管再复杂，我们还是可以按照一定的步骤计算出来，计算这类特殊积分必须熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举几个例子来分析一下.本科生毕业论文96.1 有理函数的不定积分有理函数 由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为101101...()()()...n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++， 其中n ,m 为非负整数，0101,,...,,,...,n m αααβββ与都是常数，且000,0αβ≠≠.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤1）把被积函数作部分分式分解；2）把所求积分化为部分分式不定积分；3）逐一求每一个分式积分，然后合并起来.下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤.例16 求()2261141x x dx x x -+-⎰.解 第一步：设()()2226114111x x A B C x x x x x -+=++--- 有 ()()22611411x x A x Bx Cx x -+=-++-62114A C A B C A +=⎧⎪-+-=-⎨⎪=⎩解得 A =4,B =-1,C =2, 第二步：()()222611442111x x dx dx dx dx x x x x x -+=-+---⎰⎰⎰⎰ 第三步：经过前两步做好后可以直接计算得出结果 ()22611414ln 2ln 111x x dx x x C x x x -+=++-+--⎰. 注意 上述计算不定积分的方法非常通用，但是有时候这种分解会很繁琐的，而且必须是得知道分母根时才能进行这种分解，所以在遇到题目时要灵活，不能死套此做法，要和前面几种方法结合起来才是最好的.例17[7]求421xdx x x ++⎰计算不定积分应该注意的几个问题10解 222=1322x dx x ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰原式222211221322d x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =21112arctan 23322x C ++=2321arctan .33x C ++6.2 分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间内的不定积分，然后考查 被积函数在各分段点处的连续性.例18[8]令2,0;()sin ,0.x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩求()f x dx ⎰.错解 3212,0;3()sin cos ,0.x x dx C x f x xdx x C x ⎧=+≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰⎰剖析 由于分段函数()f x 在分段点0x =处连续()(),f x ⇒-∞+∞在连续()f x ⇒ 的原函数在(),-∞+∞存在，注意到对每一组确定的12C C ，,显然原函数在0x =连续，故121C C =-+,所以311,0;()3cos 1,0.x C x f x dx x C x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩⎰注意 1）若被积函数在分段点上连续，则该分界点相邻两分段不定积分中的12,C C 相关，根据原函数在该点的连续性，确定出12,C C 的关系；2）若被积函数在分段点上为第一类间断点，则在包含该点的某区域内，不定积分不存在.故该分点相邻两分段内求出的不定积分中的12,C C 是无关的.例19 令0,0;()1,01;2, 1.x g x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()g x dx ⎰解 由于0x =为()g x 第一类间断点，则在该点附近原函数不存在，但1x =为()g x 连续点，从而()g x 在(),-∞+∞不存在原函数，()g x 不定积分只能在(),0-∞与()0,+∞得到本科生毕业论文1112223,0;1(),01;2,1.C x g x dx x x C x x C x <⎧⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪+>⎩⎰其中1C 与2C 相互独立，2C 与3C 相关，从而231112C C ++=+，化简得2312C C +=，则：12222,0;1(),01;21, 1.2C x g x dx x x C x x C x ⎧⎪<⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰以上我们一共介绍了五种方法在计算不定积分过程中需注意的几个问题，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把它表示出来.在这个意义下，但并不是任何初等函数的不定积分都能求出来，例如: 2sin ,,ln x dx xe dx dx x x⎰⎰⎰等等.最后顺便指出我们可以利用现成的积分表来计算有些不定积分，但是作为初学者，我们首先应掌握各种基本的积分方法. 参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001: 176-181. [2] 唐小丹.不定积分计算中几类常见错误分析[J].贵州教育学院学报，2004, 15(2): 4-5. [3] 陈纪修.数学分析（上册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5.[4] 刘雷.利用第一换元积分法求不定积分应注意问题[J].成都教育学院学报，2006, 20(11):98-99.[5] 毕迎鑫.不定积分第二类换元积分法错误解析[J].六盘水师范高等专科学校学报，2010, 22(3):52-54.[6] 邓乐斌.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.12. [7] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：北京教育出版社，2003.7. [8] 刘后邘.微积分全程导学[M].2版.湖南：湖南科学技术出版社，2004.8.。

第七讲 不定积分考点【考试要求】1.理解原函数的概念，理解不定积分概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.考点：原函数与不定积分的概念、基本积分公式 1.原函数与不定积分的概念()()()()()()()(),,,.,I F x f x x I F x f x F x f x I F x F x ∀∈'=如果在区间上某可导函数的导数为即对有,那么称此为在区间上的一个原函数由于原函数是可导的因而原函数必定是连续的.定义1注:()()()()()()()(),,.f x I f x I f x dx f x f x dx F x C F x f x I =+⎰⎰在区间上的所有原函数称为在区间上的不定积分,记为这里称为被积函数,且其中是在上的一个原函数定义2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222221,11,ln ,11,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x f x f x F x x x x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧-<=⎡⎤⎨⎣⎦≥⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩例设则的一个原函数是____.()()()()()()2sin ,____.1sin 1sin 1cos 1cos f x x f x A x B x C x D x⎡⎤⎣⎦+-+-例若的导函数是则有一个原函数为2.原函数的存在定理()()()()()222,,sin cos 1;;;sin ;cos ;.ln x f x I f x I f x I f x I f x x x e dx dx dx x dx x dx dx x x x±⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果在区间上连续那么在区间上必有原函数;如果在区间上有第一类间断点那么在区间上必没有原函数.虽然很多确有原函数,但其原函数未必都是可求的,如等定理1定理2注:()()2111sin ,02sin cos ,03?0,00,0x x x x F x f x x x x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪==⎡⎤⎨⎨⎣⎦⎪⎪==⎩⎩例问:是否是的原函数3.基本积分公式11.,2.ln ,13.+,4.+,ln 5.sin cos , 6.cos sin ,7.tan ln cos ,8.cot ln sin ,9.sec ln sec tan ,10.csc ln csc cot ,11.sec tan se xx xxx dxx dx C x C xa e dx e C a dx C a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C x xdx μμμ+=+=++===-+=+=-+=+=++=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222c ,12.csc cot csc ,13.sec tan +,14.csc cot ,115.arcsin ,16.arctan ,11117.arcsin,18.arctan ,1119.ln ,20.2x C x xdx x C xdx x C xdx x C x C dx x C xx xC dx C aa x a ax adx C x a a x a +=-+==-+=+=++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln +21.ln .x C x C =+=，()()()22241ln ,ln ,.2x f x f x x x dx x ϕϕ-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎰例设且求()()()()()5,,00.xf x e f x dx F f x F x -==⎡⎤⎣⎦⎰例设求不定积分及满足的的原函数考点：凑微分法求不定积分()()()()()()(),.f x dx F x C f x x dx f x d x F x C ϕϕϕϕϕ=+'==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰设则()()()()2222211002111,ln 2cos sin sin cos ,cos sin sin cos sec tan ,csc cot ,sec tan sec ,csc cot csc 11x x dx d ax b a xdx d ax b a a ae dx de dx d x dx d x x x xdx d x xdx d x x x dx d x x xdx d x x d x x x d x x x d x d x =+≠=+≠===-===-±=±==-==-+（1）常用的凑微分有（）,（）；,，；；注:()()()222arctan arcsin ;2sin sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos cos cos 1111ln ln ;,x d x d x xd x d x xdx x xdx xdx d x x xd x d xdx d x x dx d x x x x ==⎧===⎨-=-⎩⎛⎫⎛⎫±=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,；；（2）对被积函数复杂部分求导再试图凑微分.()125112.12ln xdx dx x x x ⎡⎤⎣⎦+⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）2.⎡⎤⎣⎦例求不定积分()21ln ln tan 312.cos sin ln xxdx dx x xx x +⎡⎤⎣⎦⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）14.1x dx e ⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：换元法求不定积分()()()()()()()()110,,t x x t t f x dx f t t dtt x x t ϕϕϕϕϕϕϕ--='=≠'===⎡⎤⎣⎦⎰⎰设单调、可导数且则这里的是的反函数.sin ,,22tan ,,22sec ,0.2.1.x a t t x a t t x a t t t t x tπππππ→=-<<→=-<<→=<<==常用的换元有（1）三角代换（2）根式代换:,（3）倒代换:被积函数分母的幂次比分子的幂次高两次及以上时,可考虑作倒带换注:1⎡⎤⎣⎦例求不定积分2.⎡⎤⎣⎦例求不定积分()713.2dx x x ⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：分部积分法求不定积分()()()()()().1a sin ;cos ;b ln arcsin ;arctan ;c sin cos .2.x n n n n n n x x udv uv vdu P x e dx P x xdx P x xdx P x xdx P x xdx P x xdx e xdx e xdx u αααααααββ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）对两类不同函数乘积在一起的积分优先考虑使用分部积分,比如,（）；（）；（）；（）使用分部积分时往往按照"反、对、幂、三、指"的顺序保留作公式中的分部积分公式:注:11arctan 2arctan .xdx x xdx ⎡⎤⎣⎦⎰⎰例（直接用分部积分）求下列不定积分:（）；（）()32ln 2.x dx x ⎡⎤⎣⎦⎰例（多次用分部积分）求不定积分3sin .x e xdx ⎡⎤⎣⎦⎰例（循环积分）求不定积分()224tan 1.xe x dx +⎡⎤⎣⎦⎰例（相消积分）求不定积分()()()51sin ln .x x f x xf x dx '+⎡⎤⎣⎦⎰例已知是的一个原函数,求考点：有理函数的积分()()()()()()()()()()()()()()()1222211222222,120.nnnnn nnP x Q x Q x Q x x a P x A A A Q x x a x a x a Q x x px q p q P x A x B A x B A x B Q x x px q x px q xpx q -+++---++<++++++++++++设有真分式这里假设已被因式分解,则（）若分母中有一个因子,则的分解式中有；（）若分母中有一个因子（-4）,则的分解式中有()()231.11x dx x x -⎡⎤⎣⎦--⎰例求不定积分()()22362201910.11x dx x xx +⎡⎤⎣⎦-++⎰例（数二,分）求不定积分()()213.11dx x x⎡⎤⎣⎦+-⎰例求不定积分2414.1x dx x +⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：三角函数的积分及不定积分的综合计算433cos 12112.sin sin cos xx dx dx x x x ⎡⎤⎣⎦⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）222212,,0.sin cos I dx a b a x b x =⎡⎤⎣⎦+⎰例计算其中是不全为的非负常数3sin 2cos 3.2sin 3cos x x dx x x +⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分14.1sin cos dx x x ⎡⎤⎣⎦++⎰例求不定积分5ln 10.dx x ⎛>⎡⎤ ⎣⎦ ⎝⎰例求不定积分（）6.x ⎡⎤⎣⎦例求不定积分。

高中数学知识点归纳不定积分基础知识高中数学知识点归纳：不定积分基础知识在高中数学学科中，不定积分是一个重要的概念和工具。

它与定积分密切相关，并且在微积分学中具有广泛的应用。

本文将归纳和总结高中数学中关于不定积分的基础知识点，帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。

一、不定积分的定义和性质不定积分是定积分的逆运算，它可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中f(x)为被积函数，F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数。

不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

2. 累次积分法：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx = F(x) + C。

3. 整体常数原则：不定积分无法确定具体的数值，只能确定一个函数族，因此在不定积分结果上需要添加一个常数C。

二、基本不定积分公式在高中数学中，有一些基本的不定积分公式经常被使用，它们是计算不定积分的重要工具。

下面列举几个常见的基本不定积分公式：1. ∫x^n d x = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1。

2. ∫cosx dx = sinx + C。

3. ∫sinx dx = -cosx + C。

4. ∫1/x dx = ln|x| + C，其中x不等于0。

5. ∫e^x dx = e^x + C。

三、换元积分法换元积分法是不定积分中常用的一种方法，通过变量代换来求解较复杂的积分。

其基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来表示，从而简化积分过程。

换元积分法的步骤如下：1. 选取适当的换元变量，通常选择与被积函数中的某部分形式相同或相似的变量。

2. 计算出新的微元，并将原来的被积函数用新的变量表示。

3. 计算新的不定积分。

4. 将新的变量换回原来的自变量，得到最终的不定积分结果。

四、分部积分法分部积分法是求解一类积分的常用方法，它通过将不定积分转化为一个乘积的形式，从而简化求解过程。

不定积分知识点归纳专升本不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础之一。

在专升本考试中，不定积分的知识点是必考内容。

以下是对不定积分知识点的归纳总结：不定积分的定义：不定积分是求导数的逆运算，如果一个函数\( f(x) \)的导数是\( F'(x) \)，那么\( F(x) \)被称为\( f(x) \)的一个原函数。

数学上表示为：\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]其中，\( C \)是积分常数。

基本积分公式：掌握基本的积分公式是解决不定积分问题的关键。

例如：- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)- \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0, a\neq 1 \)）- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)- \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)- \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)换元积分法：换元积分法是一种常用的积分技巧，适用于那些直接积分较难的函数。

它包括两种形式：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（代换法）。

- 第一类换元法适用于积分函数中含有根式或可以转化为根式的函数。

- 第二类换元法适用于积分函数中含有复合函数的情况。

分部积分法：分部积分法是另一种解决复杂积分问题的方法，适用于两个函数的乘积形式。

其公式为：\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]有理函数的积分：有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。

高等数学复习之不定积分详情解读高等数学复习之不定积分详情解读不定积分是考研数学的重要内容之一，后续的积分运算都是以微积分基本定理作为纽带,以不定积分的运算为基础的。

这说明，不定积分在考研高等数学这个学科来说是很重要的，下面我们就总结一下不定积分的考点以及题型。

一、原函数的定义如果在区间上，可导函数的导函数是，即对任意的都有或，则称为在区间上的原函数。

从原函数的定义来看我们要注意1、原函数是在局部范围内说的2、原函数有很多个，代表的是相差常数的一类函数的集合。

考试的时候会以注意点出小题。

二、不定积分的计算首先我们要知道不定积分与原函数的关系。

不定积分的'计算方法有换元法，分部积分法。

我们考试常考的题型有有理函数的积分，三角有理式积分，指数有理式积分，根式积分，特殊题型分部积分法。

1、有理函数的积分：做题的思想就是拆分。

如果分母形如则应拆出一项：;如果分母形如，则应拆出两项：;如果分母形如(该式为无实根的二次多项式)，应拆出一项。

具体例题略。

2、三角有理式积分一般的三角函数积分我们用下面两个式子或者凑微分法，另外我们一般的思路就是利用万能公式，则我们可以得到，。

具体例题略。

3、指数有理式积分指数有理式积分指的是被积函数分母上含有的函数，我们通常的做法就是I在分子分母上同时乘以，然后凑微分。

4、根式积分如果根号下一次函数，则直接令 ;如果根号下是以下二次函数，则利用三角代换：，令; ，令; ，令。

如果根号下是一般的二次函数，我们先将其配方，再作上面的三角代换。

5、特殊题型分部积分法我们可以总结一句话就是反对幂指三，这五种函数进行分部积分时，反函数和对数函数我们一般当作是，排在后面指数函数和三角函数就当作，幂函数做哪个都可以。

当指数函数和三角函数的乘积作为被积函数时，与随便取哪一个。

以上就是不定积分的全部考点及题型。

这里我系统的总结了各种题型的方法，虽然没有举例说明，但我相信大家看到一个不定积分就知道它属于哪个类型，然后可以利用其方法做题就可以了。

1. 原函数存在定理:连续函数一定存在原函数。

原函数有无穷多个，它们之间相差C 。

即：()()f x dx F x C =+⎰ 2. 基本积分表共13个，课本要求必须熟记，如下几个应记下：21tan'cos x x =；21cot'()sin x x =-；11()'sin sin tan x x x =-；1tan ()'cos cos xx x=； 应注意的是：ln dxx c x=+⎰3. 设如下(),()f x g x 都存在原函数，则：()()()()f x g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ ()()kf x dx k f x dx =⎰⎰4. 换元积分法（第一类，第二类换元法）在推导公式时，发现：()()f x dx F x =⎰。

若x 是复合函数，即()x x t =，那么仍有简单的(())()(())f x t dx t F x t =⎰关系。

可见，积分函数中的x 可以是任何形式的复合函数，而不仅仅是一个自变量，仍然满足平时运算时的条件。

第一类换元法指的是将x(t)当成一个整体x 用。

第二类换元法指的是讲x 换成一个函数x(t)用。

不多这个意思，该式子不标准）大概这种形式时，将x 换成sint 啊，sect 啊等等。

因为，请注意有如下关系22sin cos 1x x +=；221tan sec x x -=）5. 补充积分公式：cot ln |sin |tan ln |cos |xdx x C xdx x C⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩⎰⎰自己瞎靠ln 吧。

csc ln |csc cot |sec ln |sec tan |xdx x x C xdx x x C⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩⎰⎰实质是a n .2要求自己推导。

221arctan dx xC a x a a=++⎰恰好是arctan 221ln 2dx x aC x a a x a -=+-+⎰利用1112dx C a x a x a-+-+⎰ 方法arcsinxC a=+恰好是arcsin 。

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数复习重点：不定积分的注意事项考研数学在考研中一直占有重要的地位，影响着考生的初试成绩。

为帮助各位考研同学尽快尽早地对数学试卷的分值、题型、内容等有一个整体的把握。

避免在复习过程中存在偏差。

在此，针对考研高数复习重点之不定积分，对考生的复习提出如下注意事项：不定积分是定积分的基础，也是考研数学考查的重点内容之一，特别是不定积分的基本公式、换元积分法及分部积分法的掌握显得尤其重要。

1. 连续函数一定存在原函数，反之不对。

2. 有第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数。

例如：4. 若一个函数有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之间相差常数，在求一个函数的所以原函数时，只要找出一个原函数，然后再加上任意常数就得到一个函数的所有原函数，即不定积分，所以不定积分本质上是一个集合。

综上所述，被积函数的问题大部分都是与原函数相关，同学们在复习时一定要理解透被积函数和其原函数的关系。

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