湖南师大附中2019年思沁中学高一数学新生入学分班摸底考试

⑤2019年师大附中思浓中学高一新生入学分班摸底卷满分：120分时间：120分钟一、积累与运用（22分）1.读下面这段文字，根据拼音写出相应的汉字。

（3分）世上有一部永远写不完的书，那便是母亲；世上有一种最香c hún（）的茶值得永远品味，那便是母爱。

母爱是一种最无私的感情，它保春天的甘lín（），洒落在我们的心田，虽然悄无声息，却滋rùn （）着一棵棵生命的幼苗。

2.下列标点符号使用正确的一项是（2分）A.杜庸和大叫了一声：“我的鸭子”，几乎晕倒在地上。

B.现在我明白了，镇上那些老年人为什么坐在教室里？C.虽然已经是深夜，也感到有点困乏；但他还是把课文温习了一遍。

D.他看到某大学主办的《中国文化讲习班》的招生启事，立刻就报了名。

3.阅读下面语段，按要求答题。

（3分）在人生的赛场上，信心就是力量。

是它，让我们突破了克服挫折的难关；①是它，让我们鼓起战胜困难的决心；②是它，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1）划线句①有一处语病，请写出修改意见：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）在画线句②处仿写一个句子，使之与前面的句子构成排比句：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2分）4.古诗词名句默写。

[（1）~（4）题必做，（5）（6）任选一题]（6分）（1）学而不思则罔，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（《论语》）（2）黄梅时节家家雨，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（赵师秀《约客》）（3）无丝竹之乱耳，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（刘禹锡《陋室铭》）（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，忽复乘舟梦日边。

（李白《行路难》）（5）岑参的《白雪歌送武判官归京》中以梨花比喻冬雪的干古名句是：＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿（6）《渔家做·秋思》中表现身处边察的征人们矛盾心理的句子是：___________，____________。

湖南师大附中 2019届高三摸底考试数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于 A ．3＋4i B ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于 A ．－7 B ．－5 C ．5 D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1； ②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示) 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.湖南师大附中 2019届高三摸底考试 数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B.4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35. 14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， 故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分 (2)由cos β＝17，得sin β＝437， 故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分 由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD ， 故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分 故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分 18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q＝38， 即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1， ∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）， 解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)．∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1， 点P ⎝⎛⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.② 由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2. 当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22. 当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点，即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0， 所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22，所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2≥0， 所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1， 所以－a 22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)， 当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0. 综上，当a ≤2时，g (x )>0.12分。

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 •已知复数z满足(2 + i)z = 2-i (i为虚数单位)，贝U z等于A. 3 + 4iB. 3—4i3 4C5+5i2. 已知P= ｛x|x 2—5x + 4v0｝, Q= ｛x|y = 4 —2x｝，贝U P QQ 等于A. (1 , 4)B. [2 , 4)C. (1 , 2]D. (—3 2]3. 已知两组样本数据｛x 1, X2,…,x n｝、｛y 1, y2,…,y m｝的平均数分别为h和k,则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为h+ k nh + mkA B.2 m+ nmh+ nk h+ kC - D.-—m+ n m+ n4. 已知｛a n｝为等比数列，a1>0, a4 + a7= 2, a5a6=—8,贝U a1 + a4 + a7 + ae等于A. —7B.—5C. 5D. 75. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E, F分别为PA PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF//平面PBC；④平面BCEL平面PAD.其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 2 2 2x y y x6. 已知双曲线孑―孑=1(a>0 , b>0)以及双曲线?—孑=1(a>0 , b>0)的渐近线将第一象2 2限三等分，则双曲线％—書=1(a>0 , b>0)的离心率为a bA 2或孚B 6或乎C. 2 或(3 或J6n7. 函数f(x) = sin (2x +0 )(0 w $ w n )图像向右平移—个单位后关于y轴对称，贝U 0 的值是A. 0B.-6- D.&在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A, B, C的距离都大于该三角形边长一半的概率为A 1-脊B. 1—罟C -D 1—曙9.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A2^2n BC^/3n D^/1AA 3B 3C 3D 310 .在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x + y—4= 0相切，则圆C面积的最小值为4 n 3 n5 nA—B—C (6 —2 ,5) n D —e x, x<0,11.已知函数f(x) = 2F(x) = f(x) —x —1,且函数F(x)有2个零点，l x + ax + 1, x>0,则实数a的取值范围为A. ( —g, 0]B. ( —g, 1)C. [1 ,+g)D. (0，+g)12 .已知[x)表示大于x的最小整数，例如[3) = 4,[ —1.3) =—1，下列命题中正确的是①函数f(x) = [x) —x的值域是(0, 1];②若｛a n｝是等差数列，则｛[aj｝也是等差数列;③若｛a n｝是等比数列，则｛[ a n) ｝也是等比数列；1④若x€ (1 , 2 018)，则方程[x) —x = 1有2 017个根.A.②④B.③④C.①③D.①④选择题答题卡第卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.13 .从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为.(结果用最简分数表示)14 .《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二•术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” •这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十1二而一•”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积V= （底面的圆周长的平方X高），则该问题中圆周率n的取值为__________ •（注：一丈=10尺）15. H + 土（1 + X）6展开式中X2的系数为 ______ •（结果用数字表示）16. 如图2, “六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点0且三组对边分别平行•点A, B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若0P= xOA+ yOB贝U x+ y的最大值是________I钏六芒星I帅三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分11分）如图，△ ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记/ BAD= a，/ ADC= 3 •（1）求2C0S a —COS 3的最大值；1⑵若BD= 1 , COS 3 = 7，求厶ABD的面积.。

2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高考模拟（一）数学（理）试题一、单选题 1．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4 B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =【答案】D【解析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 【详解】若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.4．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.5．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A【解析】由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.7．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④. 【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞- B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D【解析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】 由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.9．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C【解析】以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决. 【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =，故2x y t +=+[]2,3∈. 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ）A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.15【答案】B【解析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A．()B．()C．()D．()【答案】A【解析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决. 【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =， 122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF+=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF+()∈. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.12．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．561【答案】C【解析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案. 【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===3()3n nxf =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时，()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.二、填空题13．设()1223310101010101010190909019090kk k n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，则n 除以88的余数是______. 【答案】1【解析】利用二项式定理得到1089n =，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可. 【详解】101010(190)89(188)n =-==+12233101010101010188888888C C C C =⋅++++⋅⋅+，因展开式中后面10项均有88这个因式，所以n 除以88的余数为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.【答案】6π【解析】先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决. 【详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示2222116++=r 为62球的表面积246S r ππ==. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.15．如图，ABC 的外接圆半径为23，D 为BC 边上一点，且24BD DC ==，90BAD ∠=︒，则ABC 的面积为______.【答案】33【解析】先由正弦定理得到120BAC ∠=，再在三角形ABD 、ADC 中分别由正弦定理进一步得到B =C ，最后利用面积公式计算即可. 【详解】依题意可得6BC =，由正弦定理得2sin BC R BAC =∠，即3sin 43BAC ∠==，由图可知BAC ∠是钝角，所以120BAC ∠=，30DAC ∠=，在三角形ABD 中，sin AD BD B =，4sin B =，在三角形ADC 中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠即4sin AD C =， 所以，sin sin B C =，故30B C ==，23AB =2AD =，故ABC 的面积为1sin 332AB BC B ⋅⋅=故答案为：33【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.16．如图，在平面四边形ABCD 中，点A ，C 是椭圆22143x y +=短轴的两个端点，点B 在椭圆上，90BAD BCD ∠=∠=︒，记ABC 和ADC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S =______.【答案】43【解析】依题意易得A 、B 、C 、D 四点共圆且圆心在x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B 的横坐标，进一步得到D 横坐标，再由12||||B D S x S x =计算比值即可. 【详解】因为90BAD BCD ∠=∠=︒，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，直径为BD ，又A 、C 关于x 轴对称，所以圆心E 在x 轴上，设圆心E 为(,0)t ，则圆的方程为222()3x t y t -+=+，联立椭圆方程22143x y +=消y 得280x tx -=，解得8x t =，故B 的横坐标为8t ，又B 、D 中点是E ，所以D 的横坐标为6t -， 故12||||B D S x S x =43=. 故答案为：43. 【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B 、D 横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.三、解答题17．在数列{}n a 中，已知11a =，且()()1131n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11n n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1143n T ≤<.【答案】（1）232n a n n =-；（2）见解析.【解析】（1）由已知变形得到131n na a n n +-=+，从而{}n a n是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可；（2）先求出数列{}n b 的通项，再利用裂项相消法求出n T 即可. 【详解】 （1）由已知，131n n a a n n +=++，即131n n a an n +-=+，又111a =，则数列{}n a n是以1为首项3为公差的等差数列，所以1(1)332na n n n=+-⨯=-，即232n a n n =-. （2）因为(32)n a n n =-，则()111(32)(31)n n n n n b a a n n ++==-+111()33231n n =--+，所以111111[(1)()()]34473231n T n n =-+-++-=-+111(1)3313n T n =-<+，又1{1}31n -+是递增数列，所以114n T T ≥=，综上，1143n T ≤<. 【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形//AB DC ，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2CD =，PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 为CD 的中点.（1）证明：BE AP ⊥；（2）设点M 是线段BP 上的动点，当直线AM 与直线DP 所成的角最小时，求三棱锥P CDM -的体积.【答案】（1）见解析；（2）229. 【解析】（1）要证明BE AP ⊥，只需证明BE ⊥平面PAC 即可；（2）以C 为原点，分别以,,CD CB CP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求cos ,AM DP <>，并求其最大值从而确定出13BM BP =使问题得到解决. 【详解】（1）连结AC 、AE ，由已知，四边形ABCE 为正方形，则AC BE ⊥①，因为PC ⊥底面ABCD ，则PC BE ⊥②，由①②知BE ⊥平面PAC ，所以BE AP ⊥.（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)D ，2)P ，所以(1,0,0)AB =-，(0,2)BP =-，(2)DP =-，设BM BP λ=，(01)λ≤≤，则(1,2)AM AB BM λλ=+=--，所以cos ,AM DP <>=||||AM DPAM DP ⋅=22613613λλ=+⋅+1[1,2]t λ+=∈2213364t t λ==+-+ 2211462333()24t t t =-+-+232t =，即43t =时，cos ,AM DP <>取最大值，从而,AM DP <>取最小值，即直线AM 与直线DP 所成的角最小，此时113t λ=-=， 则13BM BP =，因为BC CD ⊥，BC CP ⊥，则BC ⊥平面PDC ，从而M 到平面PDC 的距离2233h BC ==，所以11222323P CDM M PCD V V --==⨯⨯⨯⨯=229. 【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.19．购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 2018.11 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03 销售量（万辆） 0.5 0.6 1.0 1.41.7试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）1.7；（2） 2.4EX =，见解析；（2）2.【解析】（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得(4,0.6)XB ，由二项分布列的期望公式计算；（3）利用所给公式计算出回归直线ˆˆˆybx a =+即可解决. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以方差的估计值为22(1.5 3.5)0.1s =-⨯2(2.5 3.5)0.3+-⨯2(3.5 3.5)0.3+-⨯2(4.5 3.5)0.15+-⨯2(5.5 3.5)0.1+-⨯2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=；（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的 频率为0.30.150.10.050.6P =+++=，则(4,0.6)XB ，所以X 的分布列为44()0.60.4,0,1,2,3,4k k k P X k C k -===，数学期望40.6 2.4EX =⨯=；（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，记 (1,2,3,4,5)i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由 散 点 图可知，5组样本数据呈线性相关关系，因为3x =， 1.04y =，10.5 1.23nii i x y==++∑ 5.68.518.8++=，21149162555nii x==++++=∑，则18.853 1.040.325559b -⨯⨯==-⨯，1.040.3230.08a =-⨯=，所以回归直线方程为0.320.08y x =+，当6x =时，0.3260.082y =⨯+=，预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆. 【点睛】本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线:1l x =-上的动点，()1,0F 为定点，点Q 为PF 的中点，动点M 满足0MQ PF ⋅=，且()MP OF R λλ=∈，设点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，T 为曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 分别交直线l 于D ，E 两点.问DFE ∠是否为定值？若是，求DFE ∠的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）是定值，2DFE π∠=.【解析】（1）设出M 的坐标为(,)x y ，采用直接法求曲线C 的方程；（2）设AB 的方程为1x ty =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ,20(,)4y T y ，求出AT 方程，联立直线l 方程得D 点的坐标，同理可得E 点的坐标，最后利用向量数量积算FD ⋅FE 即可. 【详解】（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，由()MP OF R λλ=∈知MP ∥OF ，又P 在直线:1l x =-上，所以P 点坐标为(1,)y -，又()1,0F ，点Q 为PF 的中点，所以(0,)2yQ ，(2,)PF y =-，(,)2yMQ x =--，由0MQ PF ⋅=得2202y x -+=，即24y x =；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，代入24y x =得2440y ty --=，设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则124y y t +=，124y y =-，设200(,)4yT y ，则10221010444AT y y k y y y y -==+-， 所以AT 的直线方程为2104()4y y y x y y -=-+即1010104y y y x y y y y =+++，令1x =-，则10104y y y y y -=+，所以D 点的坐标为10104(1,)y y y y --+，同理E 点的坐标为20204(1,)y y y y --+，于是FD =10104(2,)y y y y --+， FE =20204(2,)y y y y --+，所以FD ⋅4FE =+10104y y y y -⨯+20204y y y y -+212001221212004()164()y y y y y y y y y y y y ⋅-++=++++ 20020041616444y ty ty y --+=+-++2200002001616441616044ty y y ty ty y -++--+==-++，从而FD ⊥FE ，所以2DFE π∠=是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.21．已知函数()()ln 12af x x x =+++，其中a 为实常数. （1）若存在1n m >≥-，使得()f x 在区间(),m n 内单调递减，求a 的取值范围； （2）当0a =时，设直线1y kx =-与函数()y f x =的图象相交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，证明：1222x x k++>. 【答案】（1）(4,)+∞；（2）见解析.【解析】（1）将所求问题转化为'()0f x <在(1,)-+∞上有解，进一步转化为函数最值问题；（2）将所证不等式转化为12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，进一步转化为1212111111x x x x +++>+-+1221ln 1x x ++，然后再通过构造()ln m t t =-2(1)1t t -+加以证明即可. 【详解】（1）'21()(1)1(2)a f x x x x =->-++，根据题意，()f x 在(1,)-+∞内存在单调减区间，则不等式'()0f x <在(1,)-+∞上有解，由2101(2)a x x -<++得2(2)1x a x +>+，设2(2)()1x g x x +=+， 则2(1)2(1)11()(1)2411x x g x x x x ++++==+++≥++，当且仅当0x =时，等号成立， 所以当1x >-时，min ()4g x =，所以存在1x >-，使得()a g x >成立， 所以a 的取值范围为(4,)+∞。

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试解析版数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝(D )A .{}1B .{}1，5C .{}4，5D .{}1，4，5(2)复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数(其中i 为虚数单位)，则z ＝(A ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．－1－2i(3)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A )A .13B .14C .15D .16(4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于(A )A .π4B .3π4 C . π4或3π4D . 以上都不对 (5)为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位 (6)设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是(B ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．b<c<a【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .(7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为(D )【解析】由题意得，函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cosx －sin x ＝x cos x ，显然在⎝⎛⎭⎫0，π2上，y ′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是(B )A ．k>5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.(9)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .14B ．－14C .12D ．－12【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角， 又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°， 则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A .(其它的平移方法均可)(10)如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A )A ．2＋23＋ 6B ．4＋23＋ 6C ．4＋43＋ 6D ．2＋3＋ 6【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ，该几何体的表面积是S ＝12×1×2×2＋34×(22)2＋12×22×3＝2＋23＋ 6.(11)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(－3，t)，|MF|＝1532，则双曲线的离心率为(C )A .22B .33C .52D . 5 【解析】依题意有－p 2＝－3，p ＝6，又|MF|＝1532，∴⎝⎛⎭⎫15322＝t 2＋62，∴t ＝±32，∴b a (－3)＝－32，b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，e ＝52.故选C . (12)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2－2x －2a －32在区间⎣⎡⎦⎤－3，－32上存在次不动点，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，0) B .⎣⎡⎦⎤－14，0 C .⎣⎡⎦⎤－314，0 D .⎣⎡⎦⎤－314，－14 【解析】由题意，存在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2－x －2a －32＝0，解得a ＝x ＋32x 2－2，设h(x)＝x ＋32x 2－2，则由h′(x)＝－x 2－3x －2（x 2－2）2＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝－2，且h(x)在(－3，－2)上递减，在⎝⎛⎭⎫－2，－32上递增，又h(－3)＝－314，h(－2)＝－14，h ⎝⎛⎭⎫－32＝0，所以h(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32的值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝__－3__．(14)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝__－79__．【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79.(15)点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为__－3__．【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.(16)已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0__．【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，2分 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥24分 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，6分故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.8分(Ⅱ) S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n 2－12.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(Ⅰ)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(Ⅱ)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(Ⅲ)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．【解析】(Ⅰ)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，2分由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.4分(Ⅱ)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.7分(Ⅲ)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，b2，8分在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，10分其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710＝0.7.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝DC ＝2，AD ⊥DC ，AC ＝CB ，AB ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ADC ；(Ⅱ)求点A 到平面DMC 的距离．【解析】(Ⅰ)∵AD ＝DC ＝2且AD ⊥DC ， ∴AC ＝CB ＝22，又AB ＝4，满足AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .4分∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC .6分(Ⅱ)取AC 中点N ，连接MN ，DN ，DM ，CM在Rt △ADC 中，DN ⊥AC 且DN ＝2，又平面ABC ⊥平面ADC ， ∴DN ⊥平面ABC .在△ABC 中，MN ∥BC 且MN ＝12BC ＝2，由(Ⅰ)知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN 平面ADC ，∴MN ⊥DN ，即DM ＝DN 2＋MN 2＝2，8分在△ABC 中，AC ＝BC ＝22，AB ＝4，∴CM ＝2，∴S △DMC ＝34×4＝ 3.10分设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由V A －DMC ＝V D －AMC ， 得13×S △DMC ×h ＝13×S △AMC ×DN ， 解得h ＝263，∴点A 到平面DMC 的距离为263.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ) 由e ＝63， 得c a ＝63，即c ＝63a ， ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，8分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋110分要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为⎝⎛⎭⎫73，0.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R )．(Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1(其中e 为自然对数的底数)．【解析】 (Ⅰ)当b ＝1时，f (x )＝12ax 2－(1＋a 2)x ＋a ln xf ′(x )＝ax －(1＋a 2)＋a x ＝（ax －1）（x －a ）x 1分当a ≤0时，x －a >0，1x>0，ax －1<0f ′(x )<0此时函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间2分当a >0时，令f ′(x )＝0x ＝1a或a①当1a ＝a (a >0)，即a ＝1时， 此时f ′(x )＝（x －1）2x≥0(x >0)此时函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间3分②当0<1a<a ，即a >1时，此时在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)上函数f ′(x )>0， 在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上函数f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，a .4分③当0<a <1a，即0<a <1时，此时函数f (x )单调递增区间为(0，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，1a .6分 (Ⅱ)证明：当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1，只需证明：e x－ln x －1>0，(法一)设g (x )＝e x －ln x －1(x >0)， 问题转化为证明x >0，g (x )>0，由g ′(x )＝e x －1x ， g ″(x )＝e x ＋1x2>0，∴g ′(x )＝e x －1x为(0，＋∞)上的增函数，且g ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，g ′(1)＝e －1>0.8分 ∴存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g ′(x 0)＝0，e x 0＝1x 0， ∴g (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增.10分∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1≥2－1＝1，∴g (x )min >0，∴不等式得证.12分 (法二)先证：x －1≥ln x (x >0)，令h (x )＝x －1－ln x (x >0)，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＝0x ＝1，∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝0，∴h (x )≥h (1)x －1≥ln x ．8分 ∴1＋ln x ≤1＋x －1＝x ln(1＋x )≤x ，∴e ln(1＋x )≤e x ，10分∴e x ≥x ＋1>x ≥1＋ln x ，∴e x >1＋ln x ， 故e x －ln x －1>0.12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，1分 C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1. 5分(Ⅱ)设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22|2＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4|，当cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1－22，22.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(Ⅰ) 若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)， 即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，3分由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.5分 (Ⅱ) 原不等式等价于，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立， 即m ≥[|1－2n |＋|1＋2n |＋2]min ，8分而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2， 从而实数m ≥4.10分。

2020-2021学年湖南师范大学附属中学新高一入学考试
数学模拟试卷解析版
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）
A．﹣3B．|﹣4|C．−1
3D．
1
3
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣3＜−1
3＜
1
3＜|﹣4|，
∴最小的数是﹣3，
故选：A．
2．（3分）以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a3
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，错误；
B、2（a+1）＝2a+2，错误；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；
D、a6÷a3＝a3，正确；
故选：D．
4．（3分）下列说法正确的是（）
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师大附中思沁中学2019-2020学年度高一新生入学分班摸底卷化 学考试时间：100分钟满分：60分可能用到的相对原子质最：H —1 C —12 O —16 Zn —65 —. 选择题(每小题3分，共45分)1. 古诗词是古人为我们留下的宝贵精神财富。

下列诗句中，只涉及物理变化的是( ). A. 只要功夫深，铁杵磨成针B. 春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干 C. 野火烧不尽，春风吹又生D. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏2. 市场上“加碘食盐”“加铁酱油”等商品，这里的“碘、铁”应理解为( ).A. 原子B. 单质C. 分子D. 元素3. 下列不属于氧气用途的是( ).A. 潜水B. 急救C. 灭火D. 气焊4. 日常生活中，与肥皂水作用容易起泡沫的是( ). A. 湘江水 B. 矿泉水C. 蒸馏水D. 含较多可溶性钙、镁化合物的水5. 在催化剂、加热的条件下，氨能和氧气发生反应：4NH 3＋5O 2=======催化剂△4X ＋6H 2O ，则X 的化学式为( ).A. N 2B. NOC. NO 2D. N 2O6. 下列各组物质按纯净物、单质、化合物分类正确的是( ). A. 糖水、一氧化碳、铁粉 B. 水、金刚石、氯酸钾C. 氮气、氢气、澄清石灰水D. 矿泉水、红磷、高锰酸钾7. 某同学加热氯酸钾制取氧气时，错把高锰酸钾当成二氧化锰混入氯酸钾内，其结果是( ).A. 反应速率不变B. 反应速率加快，生成氧气的质量增加C. 生成氧气的质量不变D. 反应速率加快，生成氧气的质量不变8. 下列符号与所表示的含义正确的是( ).A. 2H ：2个氢元素B. +1Na ：1个钠离子C. 3A3＋：3个铝原子D. CO2：1个二氧化碳分子9. “酒驾”是当前热门话题之一。

交警检查驾驶员是否饮酒的仪器里装有K2Cr2O7，K2Cr2O7中Cr元素的化合价为( ).A. ＋2价B. ＋5价C. ＋6价D. ＋7价10. 下列变化不能用质量守恒定律解释的是( ).A. 水沸腾后质量明显减轻B. 铁丝燃烧后生成的固体质量比原来重C. 煤着火燃烧，灰烬的质量比煤的质量轻D. 铁与硫酸铜溶液反应后，总质量不变11. 推理是化学学习中常用的思维方法。

2021-2021 年高一数学开学分班一致考试一试题一、选择题〔每题 4 分，共 40 分〕1.圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，那么圆柱的侧面积是2B 2C2D2A． 30cm．30π cm． 15cm． 15π cm2.一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5 个白球和假设干个红球，在不一样意将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用以下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，尔后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100 次，其中有10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大体有________个A、 45B、 48C、50D、553.矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长为xcm和ycm，那么y与x之间的函数图像大致是A B C D4.要使分式的值为0，你认为x 可获取数是A．9B．±3C．﹣3D．35.假设 ab＞ 0，那么一次函数 y=ax+b 与反比率函数 y= 在同一坐标系数中的大体图象是A．B．C．D．6.如图，点 P〔a，a〕是反比率函数 y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为极点作等边△ PAB，使 A、 B 落在 x 轴上，那么△ POA 的面积是A． 3B． 4C．D．7.在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=3， AC=4． AD均分∠ BAC交 BC于 D，那么 BD的长为A．B．C．D．第6题图第7题图8. 如图 2，函数y=2x和y=ax+4 的图象订交于点A( m,3),那么不等式2x<ax+4 的解集为A、x3C、 x3、 x 3B、x 3D22yAxy1 O图 2x–1O1图 3第8题图第 9题图9.如图 3 所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：〔 1〕b2-4ac>0(2)c>1 (3)2 a- b<0 (4)a+b+c<0,其中错误的有A、1 个B、2个C、3个D、 4 个10．点〔 0， 0〕，〔 0，4〕，〔3，+4〕，D〔 3，〕.记〔t 〕为内部〔不A B Ct t N□ABCD含界线〕整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，那么N〔 t 〕所有可能的值为A． 6、7B． 7、8C．6、7、8D． 6、8、 9题序12345678910答案二、填空题〔每题 4 分，共 20 分〕11.a 1 | a b 1| 0 ，那么a b =_________。