正余弦定理应用举例课件新课标人教A版必修5

B C


解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
D
A
27.3 cos 501' sin 54 40' sin( 54 40' 501' ) 177 (m) CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答：山的高度约为150米。
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处，观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时，汽车到A的距离 为31千米，汽车前进20千米后，到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远，才能到达M汽车站？
2 2 2
余弦定理： 2 2
a 2 b2 c2 cosC 。 2ab
c2 a2 b2 cos B ， 2ca
三角形边与角的关系：
1、A B C 180
2、 大角对大边，小角对小边 。
2.余弦定理的作用 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角； （3）判断三角形的形状。 推论:
B
C ？ A
B
A
D
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ， ∠ADB=δ
A B
δ D
γ
a
β
α C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 D 出建筑物的高。所以应该设 G 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
A

C

E B
H
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 中， 器的高是h.那么，在 ACD 根据正弦定理可得
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
解：在⊿ABC中， ∠A=15°,
15°=10°. ∠C= 25°
根据正弦定理，
BC AB sin A sin C
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得 AB sin 20 16.1sin 20 SB 7.787( n mile) sin 45 sin 45 设点S 到直线AB的距离为h, 则 h SB sin 65 7.06( n mile) h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行 答：此船可以继续沿正北方向航行
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC AC sin ACB 55sin ACB AB sin ABC sin ABC 55sin 75 55sin 75 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。

a sin a sin BC sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
AB AC BC 2 AC BC cos
2 2
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两 60 30 45 点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
AC AB 2 BC 2 2 AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0 cos137 113.15
练习
1．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转
时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
解斜三角形中的有关名词、术语：
– （1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 – （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 方的角叫俯角。 – （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向 的夹角。 – （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球 内交叉而成的角
B 75o
C
51o 55m
A
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析：要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件，可以计算出BC的长。
一般解法
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
正弦定理
两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)
用余弦定理求第三边，再用余弦 余弦定理 定理求出一角，再由 A+B+C=180˚得出第三角。 用余弦定理求出两角，再由 余弦定理 A+B+C=180˚得出第三角。
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile）?
解：在 △ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，
解：由余弦定理，得
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.95 1.40 cos 66 20 3.571
最大角度
BC 1.89(m)
C A B
答：顶杆BC约长1.89m。
测量垂直高度
1、底部可以到达的
1.2.1 应用举例
解斜三角形公式、定理
正弦定理： a
b c 2R sin A sinB sinC
2
b2 c2 a 2 cos A ， 2bc
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B c a b 2abcosC
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(3)测量角度.
例6.如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile ).
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A0 A ）（精确到1mm）
解 题 过 程
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
D A C B


解：在⊿ABC中，∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
A
a sin AC sin( )
D B
a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54 0 40' , 在塔底
C处测得A处的俯 角 50 01'. 已知铁 塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).