2019届苏教版(理科数学) 直线与圆的位置关系 单元测试

2.5 直线与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图所示，已知∠BAC=45∘，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是( )A. 0<x≤√2B. 1<x≤√2C. 1≤x<√2D. x>√22. 在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，3为半径的圆一定( )A. 与x轴相切，与y轴相切B. 与x轴相切，与y轴相交C. 与x轴相交，与y轴相切D. 与x轴相交，与y轴相交3. 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O有交点，则d与r的关系为( )A. d=rB. d<rC. d>rD. d≤r4. 如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定5. 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360∘，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )A. 3次B. 4次C. 5次D. 6次6. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定二、填空题（共8小题；共40分）7. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是．8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，若以点C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则R的取值范围是．9. 已知直线l与半径为4的⊙O相交，则点O到直线l的距离d可取的整数值是．10. 如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m= 4．由此可知：（1）当d=3时，m=；（2）当m=2时，d的取值范围是．11. Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是．12. 如图，△ABC为等边三角形．AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为每秒1个长度单位，以O为圆心，√3为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第秒．13. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．14. 如图，已知∠APB=30∘，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是；（2）若圆心O的移动距离是d cm，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是．三、解答题（共2小题；共30分）15. 在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆．探究、归纳：（1）当r=时，⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3；（2）当r=时，⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于3；（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有什么变化，并求出相对应的r的值或取值范围（不必写出计算过程）．16. 已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l1，l2（如图①）．（1）在图②的平面直角坐标系中，画出到直线y=x+2√2的距离为1的所有点的集合的图形．并写出该图形与y轴交点的坐标．（2）试探讨在以坐标原点O为圆心，r为半径的圆上，到直线y=x+2√2的距离为1的点的个数与r的关系．（3）如图③，若以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上有两个点到直线y=x+ b的距离为1，则b的取值范围为．答案第一部分1. A2. C3. D 【解析】当d=r时，直线与圆相切，则直线l与⊙O有一个交点；当d<r时，直线与圆相交，则直线l与⊙O有两个交点，∴若直线l与⊙O有交点，则d与r的关系为d≤r．4. A 【解析】过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，由AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90∘，∴AM⋅BC=AC⋅AB，=4.8．∴AM=6×810∵D，E分别是AC，AB的中点，BC=5，∴DE∥BC，DE=12AM，∴AN=MN=12∴MN=2.4．∵以DE为直径的圆的半径为 2.5，∴r=2.5>2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．5. B【解析】如图，∵⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4，∴⊙O与正方形ABCD的边AB，AD只有一个公共点的情况各有1次，与边BC，CD只有一个公共点的情况各有1次．∴在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次．6. A 【解析】过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB=2+BC2=5，∵△ABC的面积=12AC×BC=12AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4<2.5，即d<r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交．第二部分7. 相离8. 2.4<R≤3【解析】过点C作CD⊥AB交AB于点D．∵BC>AC，∴要使以点C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD的长，小于或等于AC的长，由勾股定理知，AB=√AC2+BC2=5．∵S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB，即12×3×4=12×5×CD，∴CD=2.4，即R的取值范围是 2.4<R≤3．9. 0，1，2，3【解析】∵直线l与半径为4的⊙O相交，∴点O到直线l的距离d的取值范围为0≤d<4，∴d可取的整数值是0，1，2，3．10. 1，1<d<3【解析】（1）当d=3时，d>r，∴直线l与⊙O相离，此时圆上只有一个到直线l的距离等于1的点，∴m=1；（2）当d=3时，m=1；当d=1时，m=3，∴当m=2时，d的取值范围是1<d<3．11. r=60或5<r≤1213【解析】根据勾股定理求得直角三角形的斜边是2+122=13．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于60；13当圆和斜边相交，且只有一个交在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于或等于长直角边，则5<r≤12．故半径r的取值范围是r=60或5<r≤12．1312. 4【解析】根据题意，该圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是与BC边相切．作OD⊥BC于D，则OD=√3．在Rt△OCD中，∠C=60∘，OD=√3，∴OC=2，∴OA=6−2=4，∴4÷1=4（秒），∴以O为圆心，√3为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．13. 1或5【解析】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．14. 相切，1<d<5【解析】（1）如图①，当圆心O向左移动1cm时，POʹ=PO−OʹO=3−1=2(cm)，作OʹC⊥PA于C，∴∠P=30∘，POʹ=1(cm)．∴OʹC=12∵圆的半径为1cm，∴⊙O与直线PA的位置关系是相切．（2）如图②，当圆心O由Oʹ向左继续移动时，PA与圆相交，当移动到Oʺ时，相切，此时OʺP= POʹ=2cm，∴点O移动的距离d的范围满足1<d<5时相交．第三部分15. （1）2（2）8（3）当0<r<2时，⊙O上没有点到直线l的距离等于3；当r=2时，⊙O上有1个点到直线l的距离等于3；当2<r<8时，⊙O上有2个点到直线l的距离等于3；当r=8时，⊙O上有3个点到直线l的距离等于3；当r>8时，⊙O上有4个点到直线l的距离等于3．16. （1）如图，与y轴交点的坐标为(0,√2)和(0,3√2)．（2）（线定圆动）当0<r<1时，0个；当r=1时，1个；当1< r<3时，2个；当r=3时，3个；当3<r时，4个．（3）（圆定线动）−3√2<b<−√2或√2<b<3√2。

2.2 直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点； （2）=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点； （3）<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点.2、代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法：1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：222=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l k x k x x x x 三、直线与圆相切时的切线问题1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。

（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。

2、求过圆上一点()00,x y 的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ； 若0=k ，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k ，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程。

学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是________．【解析】 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 的斜率存在，∴l 与圆一定相交．【答案】 相交2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为______________．【解析】 由圆的性质可知，此弦与过点P 的直径垂直，故k AB ＝－1－20＋1＝1.故所求直线方程为x －y －3＝0.【答案】 x －y －3＝03．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【解析】 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a2＝5，解得a ＝2. 【答案】 24．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a ＝________.【解析】 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即|a －2＋3|2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0，所以a ＝2－1.【答案】 2－15．(2016·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为__________．【解析】 设圆心为(2，b )，则半径r ＝b 2＋1.又|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1，r ＝ 2.【答案】 2 6．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意．【答案】 37．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则c ＝__________. 【导学号：60420087】【解析】 圆心到直线的距离为d ＝|c |5，因为弦AB 的长为23，所以4＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |52，所以c ＝±5. 【答案】 ±58．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．【解析】 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当MN ＝23时，AC ＝MC 2－MA 2＝4－3＝1.∴当MN ≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋1≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. ∴－34≤k ≤0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 二、解答题9．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．【解】 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行，∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25， ∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b －1a －2＝12， 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ：kx －y －4k ＋3＝0，(1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求当k 取何值时，圆被直线l 截得弦最短，并求此最短值．【解】 (1)证明：由圆的方程(x －3)2＋(y －4)2＝4得圆心(3,4)，半径r ＝2，由直线方程得l ：y －3＝k (x －4)，即直线l 过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4,3)点在圆内．故直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交．(2)因为直线经过定点P (4,3)，所以当PC 与直线l 垂直时，圆被直线截得的弦最短，设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2， 所以AB ＝22，又因为PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1， 所以直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1. 所以当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2 2.[能力提升]1．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 如图，直线夹在l 1与l 2之间，不含l 2含l 1，故1≤b ＜ 2.【答案】[1，2)2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．【解析】由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1<r<d ＋1，∴4<r<6.【答案】(4,6)3．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形P ABC面积的最小值是________. 【导学号：60420088】【解析】当CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，切线长最短，四边形P ABC 的面积最小，此时：CP＝|3＋4＋8|32＋42＝155＝3.又r＝1，∴切线长为32－12＝22，∴S＝2×12×22×1＝2 2.【答案】2 24．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；(2)当a≠2时，证明：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．【解】(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 点(4，－2)满足C 的方程，故曲线C 过定点(4，－2)．(2)证明：配方得(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2， ∵当a ≠2时，5(a －2)2>0，∴C 的方程表示圆心是(2a ，－a )，半径是5|a －2|的圆．设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a ，y ＝－a ，消去a 得y ＝－12x ，故圆心必在直线y ＝－12x 上．(3)由题意知5|a －2|＝|a |，解得a ＝5±52.。

一、填空题1．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是________．解析：由于d＝|sin θ－2－sin θ|sin2θ＋cos2θ＝2＝r，∴直线与圆相切．答案：相切2．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|的最小值为2 3.答案：2 33．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是________．解析：将两圆方程分别化为标准式，圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，则|C1C2|＝(m＋1)2＋m2＝2m2＋2m＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3，∴两圆相离．答案：相离4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为________．解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝|a－2|2，则(2)2＋(|a－2|2)2＝22，∴a＝0或4.答案：0或45．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝4.消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，∴x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2，y 1＋y 2＝21＋k 2，∴M (－2k 1＋k 2，21＋k 2)，又M 在x 2＋y 2＝4上，代入得k ＝0.答案：06．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3.答案：3或－ 37．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________．解析：圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a 2>3－2a，解得a <－3或1<a <32. 答案：(－∞，－3)∪(1，32)8．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则|AB |＝________.解析：由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25，解得m ＝±5.∴|AB |＝2×5×205＝4. 答案：49．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要求圆心到直线的距离小于1， 即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.答案：(－13,13)二、解答题10．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.求：(1)直线PQ 与圆C 的方程；(2)求过点(0,5)且与圆C 相切的直线方程．解析：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4(x ＋1)，即x ＋y －2＝0， 解法一 由题意圆心C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×(x －4－12)，即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 为：(x －1)2＋y 2＝13.解法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知得⎩⎨⎧ 4D －2E ＋F ＝－20D －3E －F ＝10E 2－4F ＝48， 解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎨⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4. 当⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12时，r ＝13<5； 当⎩⎨⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4时，r ＝37>5(舍)．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.(2)当切线斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋5， 则|k ＋5|1＋k 2＝13，解得k ＝32或－23， ∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0，当切线斜率不存在时，不满足题意，∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0.11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A (－2,0)，C (a,0)(a >0)．设△AOB 和△COD的外接圆圆心分别为M 、N .(1)若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2)若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3)是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．解析：(1)圆心M (－1,1)．∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，直线CD 的方程为x ＋y －a ＝0.∵⊙M 与直线CD 相切，∴圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a |2＝2， 化简得a ＝2(舍去负值)．∴直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2)直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心N (a 2，a 2)， 圆心N 到直线AB 的距离为|a 2－a 2＋2|2＝ 2. ∵直线AB 截⊙N 所得的弦长为4，∴22＋(2)2＝a 22. ∴a ＝23(舍去负值)．∴⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3)存在，由(2)知，圆心N 到直线AB 的距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立， ∴当且仅当圆N 的半径a 2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.此时，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.12．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，∴a ＋2b ＝0，①(2－a )2＋(3－b ) 2＝r 2.②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22，∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2.③ 解由方程①、②、③组成的方程组得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝6，r 2＝52，或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－7，a ＝14，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.。

2.5 直线与圆的位置关系（2）1、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．拓展：如果A B不是直径，其余条件不变，上面的结论还成立吗？2、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠ABC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？从中你有什么启发？23．如图，AB 是⊙O 的直径， ∠ABC ＝45°，AB ＝AC ．判断直线AC与⊙O 的位置关系，并说明理由．拓展提升4、如图：在△ABC 中AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．求证：直线DE是⊙O 的切线．BO AC达标检测1.下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线2C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线2．如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y 轴相切于点C，则圆心M•的坐标是_______．3．如图3，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O 的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=______．4．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD 切⊙O于点C，交AB•的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．35．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2，求BD和FG的长度．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

随堂练习：直线与圆的位置关系1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．2．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______________．3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．5．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为____________________．6．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为____________．8．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．9．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．相交2．(x －2)2＋(y －1)2＝1 3.74．35．x 2＋y 2＝46．2 37．(x －3)2＋y 2＝48．解 设圆心坐标为(3m ，m)，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m|2＝2|m|. 由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.9.（1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M(3,1)． 又∵M 到圆心C(1,2)的距离为d ＝－2＋－2＝5<5，∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB 的最小值|AB|min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1. ∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到的最短弦长为4 5.。

2.5 直线与圆的位置关系（1）一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断2．已知直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r<6 B．r=6 C．r>6 D．r≥63．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C 与直线AB相切，则r的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm4．若⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交5．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交7．如图，已知⊙O是以平面直角坐标系的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动（点P与点O不重合），若过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，设点P(x，0)，则x的取值范围是（）A．‐1≤x＜0或0＜x≤1B．x＜0或0＜x C．0＜x D．x二、填空题（本题包括5小题）8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，若⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙的位置关系是．9．已知⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离是4 cm，则直线l与⊙O的位置关系是．10．在平面直角坐标系x O y中，以点P(‐3，4)为圆心，r为半径的圆与两坐标轴恰有四个公共点，则r的取值范围是．11．如图，已知∠APB=30°，O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，1.5cm 为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动s后与PA相切．12．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在反比例函数12yx=上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．三、解答题（本题包括3小题）13．如图，⊙P的圆心为P(–3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N 在点M的上方．（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．14．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设当拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？15．如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2=8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现几次？2.5 直线与圆的位置关系（1）参考答案一、选择题（本题包括8小题.每小题只有1个选项符合题意）1．C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B二、填空题（本题包括5小题）8．相离 9．相离 10．4r >且5r ≠ 11．2 12．（6，2）或（‐6，‐2）三、解答题（本题包括2小题）13．（1）如右图所示，相交（214．24秒15．5次2.5 直线与圆的位置关系（2）一、选择题（本题包括8小题.每小题只有1个选项符合题意）1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B=20°，则∠C 的大小为（）A．20°B．25°C．40°D．50°第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系x O y中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）3．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．67.5°第3题第4题4．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，若以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C 的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.65．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC6．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，弦AC平分∠BAD 且交BD于点F．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（）A．97°B．104°C．116°D．142°第6题第7题7．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．8．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O 于点B，则PB的最小值是（）A B C．3 D．2二、填空题（本题包括5小题）9．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数（单位：cm）如图所示，那么该圆的半径为cm．10．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为2.5，CD=4，则弦AC的长为．11．如图，线段AB是⊙O的一条直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．12．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D，AC=2，OD的长度为．第12题第13题13．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右移动，经过t s，以点P为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值：．三、解答题（本题包括2小题）14．在平面直角坐标系x O y中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．15．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）求证：AF=CF；（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．2.5 直线与圆的位置关系（2）参考答案一、选择题（本题包括8小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D2.C3.D4.B5.C6. C7.B8.B二、填空题（本题包括5小题）9．25610． 11．50° 12．1 13．2t =或37t ≤≤或8t = 三、解答题（本题包括2小题）14．（1）如右图所示，点D 在⊙P 上（2）直线l 与⊙P 相切15．（1）（2）证明略；（3）2.5 直线与圆的位置关系（3）一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1．如图，△ABC的内心为点O，∠BOC=110°，则∠A的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°第1题第2题2．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．60°3．已知在△ABC中，内切圆⊙I和BC，CA，AB边分别相切于点D，E，F，则点I是△ABC （）A．三条高的交点B．三个内角平分线的交点C．三边中线的交点D．三边垂直平分线的交点4．下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．圆有且只有一个外切三角形C．三角形有且只有一个内切圆D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等5．如图，⊙O 是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．3-πC ．2πD 3π第5题 第6题 6．如图，EB 、EC 是⊙O 的切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上的两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数为（ ）A ．64°B ．96°C ．99°D ．104°7．如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在AD ，DC 上，现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE=2，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．2D ．二、填空题（本题包括6小题）8．如图，在△ABC 中，⊙I 是△ABC 的内切圆，与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系为 ．第8题第9题9．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，并与⊙O的切线分别相交于D、C两点，已知PA=7 cm，则△PCD的周长等于．10．在△ABC中，如果∠A=m°，点I是内心，那么∠BIC= ．11．已知⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，则⊙O的半径为．12．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A，B，DE切⊙O 于点E，交AM于点D，交BN于点C，OD=6cm，OC=8cm，则CD的长为．13．已知点I为△ABC的内心，AB=8，BC=5，AC=7，则内切圆⊙I的半径r= ．三、解答题（本题包括2小题）14．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．（不写作法，保留作图痕迹）15．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点D ，交BC 于点E ．求证：BD=ID ．2.5 直线与圆的位置关系（3）参考答案一、选择题（本题包括7小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D2.C3.B4.C5.D6.C7.C二、填空题（本题包括6小题）8．∠A+2∠FDE=180° 9．14 cm 10．(90)2m +︒ 11．ab a b c++ 12．10 cm 13．3三、解答题（本题包括2小题）14．图略（画三角形的三条内角平分线，交点即为所求）15．证明略。

2.2.2 直线与圆的位置关系双基达标 限时15分钟1．直线3x ＋4y －14＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝4的位置关系是________．解析 ∵圆心(1，－1)到直线3x ＋4y －14＝0的距离为d ＝|3－4－14|5＝3＞2，∴相离． 答案 相离2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________．解析 圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离即为圆的半径，即r ＝d ＝|6＋4＋5|5＝3， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝93．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析 ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1(k 为切线斜率)． 解得k ＝33.∴切线方程为x －3y ＋2＝0. 答案 x －3y ＋2＝04．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析 直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，此点在圆x 2＋y 2＝2的内部．∴直线与圆的位置关系是相交．答案 相交5．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于________．解析 曲线即为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心到直线的距离d ＝5，圆的半径r ＝5，所以弦长的一半为r 2－d 2＝25，弦长为4 5.答案 4 56．(1)求证：直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)求过点A(2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引的切线方程．(1)证明 由(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0得a(x ＋y －4)＋(3y －x)＝0，∴无论a 取何值，直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0必过两条直线x ＋y －4＝0与3y －x ＝0的交点A(3,1)；圆的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为C(3,0)，半径为r ＝2；∵AC ＝3－32＋1－02＝1，故AC ＜r ，所以点A(3,1)在圆的内部， 所以直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)解 显然x ＝2为所求切线之一；设另外一条切线方程为y －4＝k(x －2)，即为kx －y ＋4－2k ＝0，由|4－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，∴切线为3x －4y ＋10＝0. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0 .综合提高 限时30分钟7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析 ∵圆心在第一象限，与x 轴相切，半径为1，∴可设圆心为(a,1)(其中a ＞0)；又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴d ＝r 即|4a －3|5＝1，解得正数a ＝2； ∴圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝18．如果直线l ：y ＝kx －10与圆x 2＋y 2＋mx ＋2y －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则直线l 截圆所得的弦长为________．解析 ∵圆上两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，∴圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，－1在直线x ＋2y ＝0上，即－m 2－2＝0，解得m ＝－4； ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，即为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9；又直线l ：y ＝kx －10上两点M 、N 关于x ＋2y ＝0对称，∴直线l 的斜率k ＝2，即直线l 方程为y ＝2x －10；∵圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|4－－1－10|5＝5，圆的半径r ＝3. ∴直线l 截圆所得的弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.答案 49．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，则实数m 的值为________．解析 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得k OP ×k OQ ＝－1，即y 1x 1y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0①另一方面，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个解，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275③ 又P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝14(3－x 1)(3－x 2)＝14， 将③代入得y 1y 2＝m ＋125④ 将③④代入①解得：m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立．∴m ＝3.答案 310．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(abc≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形．解析 由题意得|a·0＋b·0＋c|a 2＋b 2＝1，即c 2＝a 2＋b 2，∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形答案 直角11．已知一条直线经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此直线的方程．解 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求方程为y ＋32＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM|＝52－42＝3 ∴⎪⎪⎪⎪k·0－0＋3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34. 所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0. 综上，所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．一个圆的圆心在直线x －y －1＝0上，与直线4x ＋3y ＋14＝0相切，在3x ＋4y ＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程．解 由圆心在直线x －y －1＝0上，可设圆心为(a ，a －1)，半径为r ，由题意可得⎩⎨⎧ |4a ＋3a －1＋14|5＝r ，r 2＝9＋⎝⎛⎭⎫3a ＋4a －1＋1052，经计算得a ＝2，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.13．(创新拓展)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(a,0)(a ＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设ΔAOB 的外接圆为⊙E ，(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)问是否存在这样的⊙ E ，⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个；若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a. 由⊙E 与直线CD 相切，得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)要使⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个，只须与CD 平行且与CD 距离为32的两条直线中的一条与⊙E 相切、另一条与⊙E 相交；∵OE ∥CD ，∴圆心E 到直线CD 的距离也就是点O 到CD 的距离．∴圆心E 到直线CD 距离为22，∴圆E 的半径为22＋32＝52，即r ＝22a ＝52，解得a ＝10.∴存在满足条件的⊙E ，其标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.。

2018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册 2.5 直线和圆的位置关系 同步课堂检测题【含答案】1 / 92018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册2.5 直线和圆的位置关系 同步课堂检测题考试总分： 100 分 考试时间：90分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.已知圆的半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，则直线 与该圆的公共点的个数是（ ）A. B. C. D.不能确定2.如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 切 于 ，若 ， ，则 的直径为（ ）A. B. C. D.3.如图，在 中， ， ， ，点 为 上的点， 的半径 ，点 是 边上的动点，过点 作 的一���切线 （点 为切点），则线段 的最小值为（ ）A. B. C.D.4.下列命题中正确的是（ ）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 5.如图，已知 、 分别是 的直径和弦， 为的中点， 垂直于 的延长线于点 ，连结 ，若 ， ，下列结论错误的是（ ）A. 是 的切线B.直径 长为C.弦 长为D. 为弧 的三等分点6.如图，直线 ， 与 和 分别相切于点 和点 ．点 和点 分别是 和 上的动点， 沿 和 平移． 的半径为 ，．下列结论错误的是（）A. B.和的距离为C.若，则与相切D.若与相切，则7.如图，在梯形中，．①若，，则以为直径的圆与相切；②若，当以为直径的圆与相切，则以为直径的圆也与相切；③若以为直径的圆与相切，则；④若以为直径的圆与相切，则以为直径的圆与相切．以上判断正确的个数有（）A. B. C. D.8.如图，正方形的边长为，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（）A. B.C. D.以上都不对9.如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（）A. B. C. D.10.下列命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②经过半径的端点与这条半径垂直的直线是圆的切线；2018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册 2.5 直线和圆的位置关系同步课堂检测题【含答案】③经过直径的端点与这条直径垂直的直线是圆的切线；④圆内接平行四边形是矩形．其中正确命题有（）A.个B.个C.个D.个二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11.如图，与分别切于、两点，是上任意一点，过作的切线交及于、两点，若，则的周长为________．12.如图，已知是的直径，、是半圆的弦，，，若，则的长为________．13.如图，已知的半径为，与相切于点，割线交于点和，在上，若，则________．14.已知三角形的周长为，面积为，其内切圆半径，则________．15.如图所示，在直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，如果与轴所在直线相切，那么________，如果与轴所在直线相交，那么的取值范围是________．16.如图，、是的两条切线，，是切点，若，，则________．三、解答题（共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分）17.如图，在中，，，，是的外接圆，的平分线分别交、于点、，延长使．3 / 9求的长．试判断直线与的位置关系，并说明理由．18.中，，在上，以为圆心，为半径的圆与交于点，于．判断与的位置关系，并说明理由．若与相切于，，，求的半径．19.如图，为的直径，割线交于、，．求证：是的切线；若，，求的长．2018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册 2.5 直线和圆的位置关系同步课堂检测题【含答案】20.已知，如图，为直径，内接于，点是的内心，延长交圆于点，连接．求证：；已知的半径是，，求的长．21.如图所示，点坐标为，半径为，点在轴上．若点坐标为，半径为，��判断与位置关系；若过且与相切，求点坐标．5 / 9答案1.C2.C3.C4.D5.D6.D7.C8.C9.A10.B11.12.13.14.15.16.17.解： ∵ ，，，∴，∵ 平分，∴ ，∴ ，∴ 为等腰直角三角形，∴；直线与相切．理由如下：连结，如图，∵ ，∴ ，∵ ，，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，而，∴ ，即，∴ ，2018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册 2.5 直线和圆的位置关系同步课堂检测题【含答案】∴ 为的切线．18.解：与相切；理由如下：连接，∵ ，∴ ；∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；∵ ，∴ ，∴ 与相切．与相切于点，连接，则，在中，，在中，，∴，又∵ ，∴，∴∴ 的半径．19.证明：连接；∵ 为的直径，∴ ；∵ ，，∴ ，∴ ，∴ 是的切线．7 / 9解：设；∵ ，∴ ；∵ 是的切线，是割线，∴ ，即，解得，，∴ ．20.证明：∵ 为直径，∴ ，∵点是的内心，∴ ，，∴ ，∵ ，，∴ ，∴ ；解：连接，如图所示：∵ 是直径，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵ ，，∴ ，∴，∴．21.解： ∵ ，，∴ ，，∴ ，∴ 与位置关系是：外离；2018-2019学年度第一学期苏科版九年级数学上册 2.5 直线和圆的位置关系同步课堂检测题【含答案】①当两圆外切，设半径为，，，，，解得：，即，∵ ，∴圆心坐标为；②当两圆内切，设半径为，，，，则，即，解得：，∴圆心坐标为；∴ 点坐标为：．9 / 9。

直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。

A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。

A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。

A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。

A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。

7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。

8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。