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反证法与数学归纳法1.反证法步骤：（1）反设：假定所要证的结论不正确，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理/定理/定义/明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。
既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
（结论成立）2.数学归纳法步骤：（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N∗)时命题成立；（2）假设n=k(k≥n0,k∈N∗)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
（只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
）【例1】已知a,b,c是互不相等的非零实数。
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a= 0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根。
证明：假设没有一个方程有两个相异实根，则方程ax2+2bx+c=0的判别式∆1=4b2−4ac≤0，方程bx2+2cx+a=0的判别式∆2=4c2−4ab≤0，方程cx2+2ax+b=0的判别式∆3=4a2−4bc≤0,则有∆1+∆2+∆3=2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc≤0，配方得2∆1+∆2+∆3=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤0.2又因为a,b,c是互不相等的非零实数，所以(a−b)2>0，(b−c)2>0，(c−a)2>0.即∆1+∆2+∆32=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2>0与假设得出的结论∆1+∆2+∆32=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤0相矛盾，故假设不成立。
所以，三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根。
【例2】若x,y,z均为实数，且a=x2−2y+π2，b=y2−2z+π3，c=z2−2x+π6，则a,b,c中是否至少有一个大于零？请说明理由。
专题十三 推理与证明
第三十九讲 数学归纳法
解答题
1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．
证明：当n ∈*
N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1
122
n n n n x x x x ++-≤
； （Ⅲ）1211
22
n n n x --≤≤．
2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ，e 为自然对数的
底数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n +与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算12
12
n
n
b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1
12()n
n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．
3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0)x f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．
（Ⅰ）求()()
122f f πππ+的值；
（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()
(
)
1n n nf f -πππ+成立．
4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*
N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p
+>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p
c a 11>，p
n n n a p
c a p p a -++-=
111， 证明：p n n c
a a 1
1>>+．
5．（2014
重庆）设1
11,(*)n a a b n N +==+∈
（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1b
=-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明
你的结论．
6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)r f x rx x r =-+-(0)x >，其中r 为有理数，且01r <<.
求()f x 的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，
则12121122b b a a a b a b ≤+；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．
证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.
7．（2011湖南）已知函数3
()f x x =，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{n a }（*
n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数
M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．。
