2019届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题1小题专练专题能力提升练四2.1.4排列组合二项式定理

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专题对点练4 从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A 。

（—1,3）B 。

（-1，） C.（0，3) D.(0,）2.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x 〈2时，f (x ）=x 3-x ，则函数y=f (x ）的图象在区间[0,6］上与x 轴的交点的个数为( ) A 。

6 B .7 C .8 D 。

9 3.已知F 1,F 2是双曲线C ：=1（a 〉0，b>0）的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2｜=6a ,且△PF 1F 2最小的内角为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ）A 。

x±y=0B .x±y=0C 。

x±2y=0D .2x±y=0 4.已知双曲线C :x 2—=1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l 的条数共有（ ) A 。

3 B 。

2 C .1 D 。

45。

已知二次函数f (x ）=ax 2+bx+c ,其中b>a ，且对任意x ∈R 都有f （x )≥0,则M=的最小值为（ )A .B .C 。

谈谈解数学问题中的审题教学目标1.知识与技能：通过对例题的分析，复习已学过的数学知识。

提高对审题的认识，知道怎样审题.2.过程与方法：通过学习过程，体会审题的过程是数学阅读的过程，即是文字，符号，图形等语言的相互转化的过程，并复习运用相关知识解决问题的方法.3.情感态度与价值观：通过对考过的高考题的阅读，使学生认识到数学阅读在数学解题中的重要性.引导学生发现问题，鼓励学生大胆质疑，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力. 教学重点 审题的过程与方法.教学难点 文字，符号，图形等语言的相互转化的过程. 教学过程例1下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段弧AB,弧BC ，弧CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A.123x x x >>B.132x x x >>C.231x x x >>D.321x x x >>例2已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数.若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =____________.例3若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *=_______；(())n a **=_______．例4已知双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）、（0 ，b ）两点，且原点到直线l ，求双曲线的离心率.例5在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=，设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]1()Q f f P βα=, 2()Q f f P αβ⎡⎤=⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则 （ ）A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒课堂练习1若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ={,,}a b c ，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 _____________．课堂练习2 若六位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）A.1或3B.1或4C. 2或3D.2或4课堂练习3某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小. 例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3， 则铺设道路的最小总费用为____________.课堂练习4函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） A .0a >，0b <，0c >，0d > B.0a >，0b <，0c <，0d > C.0a <，0b <，0c >，0d > D.0a >，0b >，0c >，0d <课堂小结：2019年数学高考考纲解读与二轮数学复习建议童嘉森第一部分 2019年考试说明解读与高考信息介绍一、形势分析《落实立德树人根本任务 进一步深化高考内容改革》——教育部考试中心主任姜钢 《新时代的高考定位与内容改革实施路径》——教育部考试中心副主任于涵 建立“一核四层四翼”的高考评价体系二、2019年高考数学考试大纲解读1.考纲变化2.2019年高考命题趋势分析 （1）试题结构稳定（2）聚焦主干内容，突出关键能力 （3）注重通性通法，淡化解题技巧 （4）降低计算难度，强调数学应用 （5）更加注重数学文化，体现育人导向三、二轮复习的几点建议建议1：回归课本建议2：注重知识的广度 建议3：注重知识的网络化建议4：加强定时练习、抓牢考练质量第二部分 二轮复习中几个值得关注的问题一、部分2018年高考试题的回顾特点1注重“四基”反思1：我们可能出现的问题 例1（全国3理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+〖答案〗B例2（全国2文、理14）若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________． 〖答案〗9 例3（全国2理9）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B C D 〖答案〗C例4（全国2理11、文12）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(f f f++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50〖答案〗C例5（全国2理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 〖答案〗12-例6（全国2理10）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π〖答案〗A例7（全国1文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= （ ）A ．15B CD ．1〖答案〗B例8（全国1理17）在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =．⑴求cos ADB ∠；⑵若DC =，求BC ．〖答案〗（1（2）5特点2尊重教材，立足课本。

第1练 集合、复数、常用逻辑用语集 合集合运算的4个性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.集合运算的4个技巧(1)先“简”后“算”．进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．(2)遵“规”守“矩”．定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”．灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U(M∩N)＝(∁U M)∪(∁U N)，∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．[考法全练]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B.法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x＜1}，则P∩Q＝()A．{0，1，2} B．{1，2}C．(0，2] D．(0，e)解析：选B.由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0，1，2}．因为ln x＜1，所以0＜x＜e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1，2}，故选B.3．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.4．(一题多解)(2018·太原模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.5．(2018·惠州第二次调研)已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＞2D ．a ≥2解析：选D.集合B ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，所以a ≥2.故选D.复 数复数代数形式的2种运算(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．复数运算中的4个常见结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.(4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[考法全练]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D.1＋2i 1－2i ＝(1＋2i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝－35＋45i ，故选D.2．(2018·惠州第二次调研)若z1＋i＝2－i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意知z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，其在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，在第一象限．故选A.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2解析：选 C.法一：因为z ＝1－i 1＋i＋2i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1，故选C.法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i(1＋i)1＋i ＝－1＋i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋i 1＋i ＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1，故选C.4．(2018·昆明调研)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B.法一：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i)＝(1＋i)22(1＋i)＝1＋i 2＝12＋12i ，所以复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 2＝12＋12i ，所以复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(1＋i)z ＝i ，所以(1＋i)(a ＋b i)＝i ，所以(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，所以z ＝12＋12i ，所以复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.5．(2018·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i 解析：选D.设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.命题的真假判断与否定四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )．它的否定﹁p ：∃x 0∈M ，﹁p (x 0)． (2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)．它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(﹁p )∧(﹁q )假． (2)p ∧q 假⇔p ，q 均假⇔(﹁p )∧(﹁q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(﹁p )∨(﹁q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(﹁p )∨(﹁q )真． (5)﹁p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真．[考法全练]1．(2018·贵阳模拟)命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则﹁p 为( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 B ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≥0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0 D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≥0解析：选A.命题p 为特称命题，所以﹁p 为“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0”，故选A. 2．(2018·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b ，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧﹁qC ．﹁p ∧qD ．﹁p ∧﹁q解析：选B.对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题﹁p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b ，所以命题q 为假命题，命题﹁q 为真命题，所以p ∧﹁q 为真命题，故选B.3．(2018·郑州第一次质量预测)下列说法正确的是( ) A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1” B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0＞4x 0成立 D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题解析：选D.对于选项A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x ＞3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.4．(2018·唐山模拟)已知命题p ：“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件；命题q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( )A ．﹁p ∨q 为真命题B ．p ∨q 为真命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∧﹁q 为假命题解析：选B.由函数y ＝2x 是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1＞x ；当x ＋1＜0，即x ＜－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x －1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以﹁p ∨q 为假命题，A 错误；p ∨q 为真命题，B 正确；p ∧q 为假命题，C 错误；p ∧﹁q 为真命题，D 错误．故选B.充要条件的判断充分、必要条件的3种判断方法1．(2018·石家庄质量检测(二))设a ＞0且a ≠1，则“log a b ＞1”是“b ＞a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.由log a b ＞1得，当a ＞1时，b ＞a ；当0＜a ＜1时，b ＜a .显然不能由log a b ＞1推出b ＞a ，也不能由b ＞a 推出log a b ＞1，故选D.2．(2018·沈阳模拟)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(n ，1)，则“mn ＝1”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若mn ＝1，则m ＝n ，此时a ＝b ，显然满足a ∥b ；反之，若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，所以m ＝n ，但不能推出m n ＝1.所以“mn＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·成都第一次诊断性检测)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sinA ＞sinB ”是“tan A ＞tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A ＞B ⇔tan A ＞tan B ．故选C.4．(2018·高考天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. 5．(2018·湖南湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.一、选择题1．(2018·高考天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}解析：选B.因为B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x <1}，因为A ＝{x |0<x <2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}，故选B.2．(2018·沈阳教学质量监测(一))若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( )A ．－54B.54C.54i D ．－54i解析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝(2＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.3．(2018·南宁模拟)已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋3i 2，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 4．(2018·西安模拟)设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x2}，则A ∩B ＝( )A ．(0，2]B ．(1，2]C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，所以A ∩B ＝(1，2]，故选B.5．(2018·太原模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.6．(2018·洛阳第一次联考)已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B.22C. 2D ．1解析：选B.因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝22，故选B.7．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →＞0，即|AB →|·|BC →|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.法二：由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →＜0，即cos B ＜0，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.8．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]解析：选C.集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]，故选C.9．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析：选D.A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.10．(2018·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2(x ＜0)在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.11．(2018·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.12．(2018·成都模拟)下列判断正确的是( ) A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 对立 B ．函数y ＝x 2＋9＋1x 2＋9(x ∈R )的最小值为2 C ．若直线(m ＋1)x ＋my －2＝0与直线mx －2y ＋5＝0互相垂直，则m ＝1 D ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件解析：选D.对于A 选项，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不一定对立，反之，若事件A 与事件B 对立，则事件A 与事件B 一定互斥，所以A 选项错误；对于B 选项，y ＝x 2＋9＋1x 2＋9≥2，当且仅当x 2＋9＝1x 2＋9，即x 2＋9＝1时等号成立，但x 2＋9＝1无实数解，所以等号不成立，于是函数y ＝x 2＋9＋1x 2＋9(x ∈R )的最小值不是2，所以B 选项错误；对于C 选项，由两直线垂直，得(m ＋1)m ＋m ×(－2)＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以C 选项错误；对于D 选项，若p ∧q 为真命题，则p ，q 都是真命题，于是p ∨q 为真命题，反之，若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，此时p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，所以D 选项正确．综上选D.二、填空题13．已知z 1－i＝2＋i ，则z －(z 的共轭复数)为________．解析：法一：由z 1－i＝2＋i 得z ＝(1－i)(2＋i)＝3－i ，所以z －＝3＋i.法二：由z 1－i ＝2＋i 得⎝ ⎛⎭⎪⎫z －1－i ＝2＋i －，所以z －1＋i ＝2－i ，z －＝(1＋i)(2－i)＝3＋i. 答案：3＋i14．(一题多解)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素． 答案：315．下列命题中，是真命题的有________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ；②在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin B ；③函数f (x )＝tan x 的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π2，0；④∃x 0∈R ，sin x 0cos x 0＝22. 解析：①中，设g (x )＝sin x －x ，则g ′(x )＝cos x －1＜0，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝0，即x ＞sin x 成立，故①正确；②中，在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理，有sin A ＞sin B 成立，故②正确；③中，函数f (x )＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是函数f (x )的图象的一个对称中心，故③正确；④中，因为sin x cos x ＝12sin 2x ≤12＜22，所以④错误．答案：①②③16．已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥2x ；命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0.若命题“p ∨q ”是真命题，“﹁p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：命题p 为真，则a ≥2x (x ∈[0，1])恒成立， 因为y ＝2x 在[0，1]上单调递增，所以2x ≤21＝2，故a ≥2，即命题p 为真时，实数a 的取值集合为P ＝{a |a ≥2}．若命题q 为真，则方程x 2＋4x ＋a ＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a ≥0，解得a ≤4. 故命题q 为真时，实数a 的取值集合为Q ＝{a |a ≤4}．若命题“p ∨q ”是真命题，那么命题p ，q 至少有一个是真命题； 由“﹁p ∧q ”是假命题，可得﹁p 与q 至少有一个是假命题． ①若p 为真命题，则﹁p 为假命题，q 可真可假， 此时实数a 的取值范围为[2，＋∞)；②若p 为假命题，则q 必为真命题，此时，“﹁p ∧q ”为真命题，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)。

2019年高考数学二轮复习技巧大家已经进入二轮复习了，二轮复习是知识系统化、条理化的关键时期，必须明确重点，对高考“考什么”“怎样考”应了若指掌。

相应的也要掌握一些技巧性的答题策略。

今天给大家分享一下四字抢分诀，仅供参考。

套——常规模式题目直接套拿到一道高考题，你的第一反应是什么？迅速生成常规方案，也即第一方案。

为什么要有套路，因为80％的高考题是基本的、稳定的，考查运算的敏捷性，没有套路，就没有速度。

在理解题意后，立即思考问题属于哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个题目有哪些方法？哪个方法可以首先拿来用？这样一想，答题的方向也大体确定了。

这就是高考解题中的模式识别。

运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说，就从辨认题型模式入手，就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进。

对高考解题来说，“模式识别”就是将新的高考考试题化归为已经解决的题。

有两个具体的途径：①化归为课堂上已经解过的题。

理由1：因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导。

离开了课堂和课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法？高考解题一定要抓住“课堂和课本”这个根本。

理由2：因为课本是高考命题的基本依据。

有的试题直接取自教材，或为原题，或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求。

按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的。

②化归为往年的高考题。

靠——陌生题目往熟悉题目上靠遇到稍新、稍难一点的题目，可能不直接属于某个基本模式，但将条件或结论作变形后就属于基本模式。

当实施第一方案遇到障碍时，我们的策略是什么？转换视角，生成第二方案。

转换视角，转换到哪里？转换到知识丰富域，也就是说把问题转换到我们最熟悉的领域。

这就包括：（1）把一个领域中的问题，用另一个领域中的方法解决。

专题二集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、算法、推理与证明、计数原理第1讲集合与常用逻辑用语知识网络【p11】考情分析【p11】备考建议【p11】从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了．要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．典例剖析【p11】探究一集合的含义与表示、集合的运算例1(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．【解析】[－1，＋∞)∵A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝∅时，由2m－1＞m＋1，解得m>2；当B≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≤m＋1，2m－1≥－3，m＋1≤4，解得－1≤m≤2.综上，可知，m∈[－1，＋∞)．【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B，则有A ＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．(2)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[]a，b⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[]a，b内是单调函数；②f(x)在[]a，b上的值域为[]ka，kb，则称区间[]a，b为y ＝f(x)的k级“理想区间”．下列结论错误的是()A．函数f(x)＝x2(x∈R)存在1级“理想区间”B．函数f(x)＝e x()x∈R不存在2级“理想区间”C．函数f(x)＝4xx2＋1()x≥0存在3级“理想区间”D．函数f(x)＝tan x，x∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2不存在4级“理想区间”【解析】选D.易知[]0，1是f (x )＝x 2的1级“理想区间”，A 正确；设g (x )＝e x －2x ，g ′(x )＝e x －2，当x <ln 2时，g ′(x )<0，当x >ln 2时，g ′(x )>0，因此g (x )min＝g ()ln 2＝2－2ln 2>0，即g (x )＝0无零点，因此f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”，B 正确；由h (x )＝4xx 2＋1－3x ＝0，得x ＝0或x ＝33，则⎣⎡⎦⎤0，33是f (x )＝4x x 2＋1的一个3级“理想区间”，C 正确；借助正切函数图象知y ＝tan x 与y ＝4x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有三个交点，因此f (x )＝tanx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2有4级“理想区间”，D 错误． 故选D.探究二 常用逻辑用语例2 (1)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 【解析】选D.由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”．(2)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1，2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)【解析】选C.由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0， 即－1·(2a －2)<0，得a >1； 对命题q ，令2－a <0，即a >2， 则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]． 因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.故选C.探究三 充要条件例3 (1)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】选A .如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆及其内部；⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 及其内部． 实数x ，y 满足②，则必然满足①，反之不成立． 故p 是q 的必要不充分条件．(2)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】a ≥1∵p ：|x ＋1|>2，∴p ＝{x|x>1或x<－3}，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，则q ⊆p ，∴a ≥1，故答案为a ≥1.规 律 总 结 【p 12】1．解答集合问题的策略：(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．2．命题真假的判定方法：(1)一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假根据p ，q 的真假与逻辑联结词的含义判定；(4)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题．3．充分条件必要条件的判定方法：(1)定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p ⇒q ”及“q ⇒ p ”的真假；下结论，根据推式及定义下结论；(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断； (3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围． 4．解决创新题的问题常分三步：①信息提取，确定化归方向；②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；③将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与化归是解题的关键，也是解题的难点．高 考 回 眸 【p 12】考题1[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{x|x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |x ≤－1或x ≥2} 【解析】选B.∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}，∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 【命题意图】本题考查集合补集的运算、一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力． 考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4【解析】选A.将满足x 2＋y 2≤3的整数x 、y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．【命题意图】本题考查集合中元素的个数，考查了学生的理解能力与推理能力．考题3[2017·天津卷] 设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A.当⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12时，可解得0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，故必要性不成立．故选A.【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件，考查三角函数的图象及性质，考查学生的计算能力及推理能力．考点限时训练 【p 113】 A 组 基础演练1．已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{}1，2，3，5，C ＝{}0，2，4，8，则A 可以是( ) A.{}1，2 B.{}2，4 C.{}2 D.{}4【解析】选C.由题A ⊆C ，A ⊆B ，∵B ＝{1，2，3，5}，C ＝{0，2，4，8}， ∴A 可以是{2}．2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】选B.∵x >0，∴x sin 2x <1⇔sin 2x <1x，∵0<x <π2，∴sin 2x <1.sin 2x <1x 不能推导出sin x <1x ，充分性不满足；sin x <1x ⇒sin 2x <1x，必要性满足，所以是必要不充分条件．3．已知命题p ：函数y ＝2－a x ＋1的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧qD ．p ∨綈q 【解析】选D.在y ＝2－a x ＋1中令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝1，所以y ＝2－a x ＋1的图象恒过(－1，1)，所以命题p 为假，綈p 为真．由y ＝f (x －1)为偶函数和f (x －1)＝f (－x －1)，即f (－1＋x )＝f (－x －1)，所以f (x )的对称轴为x ＝－1，所以命题q 为假，綈q 为真，所以p ∨綈q 为真，故选D.4．已知集合A ＝{x |}y ＝4－x 2，B ＝{x |}a ≤x ≤a ＋1，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】选C. 由题A ＝⎩⎨⎧x |}y ＝4－x 2＝{x |}－2≤x ≤2，∵A ∪B ＝A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，a ≤a ＋1，∴－2≤a ≤1，选C.5．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 【解析】选D.全称命题的否定是特称命题，故选D.B 组 能力提升6．已知p ：∀m ∈R ，x 2－mx －1＝0有解，q ：∃x 0∈N ，x 02－x 0－1≤0，则下列选项中是假命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 【解析】选B.对于命题p ：方程x 2－mx －1＝0，则Δ＝m 2＋4＞0，因此：∀m ∈R ，x 2－mx －1＝0有解，可得：命题p 是真命题．对于命题q ：由x 2－x －1≤0，解得1－52≤x ≤1＋52，因此存在x ＝0，1∈N ，使得x 2－x －1≤0成立，因此是真命题．∴选项中是假命题的为p ∧(綈q )，故选B.7．命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】(－3，3)由题意，命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题， 则a 2＋1<2，∴－3<a <3，则实数a 的取值范围是(－3，3)．8．已知集合A ＝{(x ，y )|y －3x ≤0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】a ≤－2因为A ∩B ＝B ，所以x 2＋(y －a )2≤1表示的圆面在不等式y －3x ≤0表示的平面区域内， 所以圆心(0，a )一定在y 轴负半轴上，当直线y －3x ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切时， d ＝|a |2＝1，所以a ＝±2，因为a <0.所以a ＝－2，那么由题意及数形结合可知a ≤－2.*9.已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，并且a 2＝2，S 5＝15，数列{}b n 满足b n ＝2－n ＋22n()n ∈N *，记集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n |2S n ()2－b n n ＋2≥λ，n ∈N *，若M 的子集个数为16，则实数λ的取值范围为________．【解析】⎝⎛⎦⎤1516，1由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ()n ＋12，又b n ＝2－n ＋22n ，故2－b n ＝n ＋22n ，则λ≤n ＋22n ×n ()n ＋1n ＋2，即λ≤n ()n ＋12n.∵M 的子集个数为16，所以有且仅有1，2，3，4四个正整数n 满足该不等式，所以λ≤1；又λ>5×（5＋1）25＝1516，所以实数λ的取值范围为1516<λ≤1，应填答案1516<λ≤1.第2讲平面向量与复数知识网络【p13】考情分析【p14】备 考 建 议 【p 14】对于平面向量要把握破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”．对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．典 例 剖 析 【p 14】探究一 复数的概念及运算例1(1) 已知i 是虚数单位，若复数z ＝－i ()a ＋i ()a ∈R 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z －＝( )A ．－1＋iB ．1＋iC ．1－iD ．－1－i【解析】选C.复数z ＝－i ()a ＋i ＝1－a i.实部与虚部相等，则a ＝－1.z ＝1＋i ，z －＝1－i.故选C. (2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(O 为坐标原点，λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选A.因为复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，∴A ()－1，2，B ()1，－1，C ()3，－4，因为点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同，所以由OC →＝λOA→＋μOB →，得()3，－4＝λ()－1，2＋μ()1，－1＝()－λ＋μ，2λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1，故选A. 探究二 平面向量的线性运算例2 (1)如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝30°，CD →＝xOA →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．－ 3B ．0C ．1D ．－33【解析】选B .由题意得CD 过圆心，所以CD →＝2CO →＝2(CB →＋BO →)＝2(－BC →＋OA →)⇒x ＝2，y ＝－2，x ＋y ＝0.(2)在△ABC 中，P 为BC 边中点，点A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c.若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形非等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】选A .将PA →·PB →都用基向量AB →、AC →表示出来可得cAC →－a 2(AB →＋AC →)－b 2(AC →－AB →)＝0，⎝⎛⎭⎫c －a 2－b 2AC→－⎝⎛⎭⎫a 2－b 2AB →＝0，∴⎩⎨⎧c －a 2－b2＝0，a 2－b2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．【点评】用已知向量来表示一些未知向量是用向量解题的基本要求，除利用向量的加减法、实数与向量相乘外，还应充分利用平行四边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法则、平行四边形法则、三角形的减法法则，充分利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．探究三 平面向量的数量积例3 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】选C .解法一：如图，AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34BC →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14BC →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34AD →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14AD → ＝13AB →2－316AD →2＝13×62－316×42＝9.解法二：特殊化处理，将平行四边形ABCD 视为矩形，以A 为坐标原点，以AB 为x轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，由已知可得M(6，3)，N(4，4)，∴AM →＝(6，3)，NM →＝(2，－1)，∴AM →·NM →＝6×2－3×1＝9.【点评】涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝__________．【解析】223cos β＝a·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 12－9e 1·e 2＋2e 229e 12－12e 1·e 2＋4e 229e 12－6e 1·e 2＋e 22＝9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×22＝223.【点评】在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．探究四 平面向量与三角函数结合问题例4 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(1＋cos β，－sin β)．(1)若α＝π3，β∈(0，π)，且a ⊥b ，求β；(2)若β＝α，求a·b 的取值范围． 【解析】(1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝cos α＋cos αcos β－sin αsin β＝0， ∵α＝π3，∴cos π3＋cos π3cos β－sin π3sin β＝0，整理得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－12，∴β＋π3＝2π3＋2k π(k ∈Z )或β＋π3＝4π3＋2k π(k ∈Z )，∵β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)a·b ＝cos α＋cos 2α－sin 2α＝cos α＋2cos 2α－1， 令t ＝cos α，t ∈[－1，1]，∴a·b ＝2t 2＋t －1＝2⎝⎛⎭⎫t ＋142－98，∴当t ＝1时，(a·b )max ＝2，当t ＝－14时，(a·b )min ＝－98，∴a·b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－98，2. 【点评】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．探究五 平面向量与其他知识结合问题例5 (1)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分(包括边界)运动．若AP →＝xAB →＋yBC →，其中x ，y ∈R ，则4x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，3＋324B.⎣⎡⎦⎤2，3＋52C.⎣⎡⎦⎤3－24，3＋52D.⎣⎡⎦⎤3－172，3＋172 【解析】选B.以A 点为坐标原点，AB →，AD →方向为x 轴，y 轴正方向建立直角坐标系，设点P 的坐标为P (m ，n )，由意可知：AP →＝x (2，0)＋y (－1，1)，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x －y ，n ＝y ，则⎩⎨⎧x ＝m ＋n2，y ＝n ，目标函数：z ＝4x －y ＝2m ＋n ， 其中z 为直线系n ＝－2m ＋z 的截距， 当直线与圆相切时，目标函数取得最大值3＋52. 当直线过点⎝⎛⎭⎫12，1时，目标函数取得最小值2， 则4x －y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，3＋52. 故选B.【点评】本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题．求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b >0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当b <0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎭⎫0，π6D.⎣⎡⎦⎤2π3，π【解析】选D.设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5， 所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a·b ， 又函数f (x )在R 上单调递减， 所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a·b )≤0，解得a·b ≤－14|a |2，因为a·b ＝|a|·|b |cos θ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.【点评】本题是平面向量和函数的交汇，由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意θ∈[0，π]．平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．规 律 总 结 【p 15】1．复数的基本概念与运算问题的解题思路：(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z 的模|z |和共轭复数有关的问题，一般都要设出复数z 的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入条件，用待定系数法解决．2．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA →(其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．3．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b|＝|a －b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b|＝|a －b|等价于向量a ，b 互相垂直．4．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．在解决有关向量夹角及共线问题时，要避免忽视向量共线时的方向性而导致错误．5．数量积运算不适合结合律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a·b )·c 与a·(b·c )不一定相等．6．若a ＝0，则a·b ＝0，但由a·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b 时a·b ＝0.7．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系．高 考 回 眸 【p 16】考题1[2018·全国卷Ⅰ]若z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z|＝( )A ．0B .12 C ．1 D . 2【解析】选C .∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z|＝1，故选C .【命题意图】本题考查了复数的四则运算和复数的模的概念，考查学生的计算能力．考题2[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A .34AB →－14AC → B .14AB →－34AC → C .34AB →＋14AC → D .14AB →＋34AC →【解析】选A .作出示意图如图所示： EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝34AB →－14AC →，故选A . 【命题意图】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑思维能力． 考题3[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【解析】选B.a·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B.【命题意图】本题考查了平面向量的数量积的概念，考查了学生的逻辑思维能力． 考题4[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________________________________________________________________________.【解析】122a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2得λ＝12.【命题意图】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了平面向量平行的条件．考点限时训练 【p 114】A 组 基础演练1．已知复数z 1＝k 2－4＋(k 2－5k ＋6)i ，z 2＝3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )．若z 1<z 2，则k 的值为( )A ．2B ．3C ．2或3D ．不存在【解析】选C.由z 1<z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4<3k ，k 2－5k ＋6＝0，解得k ＝2或k ＝3.故选C.2．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．4－iD ．4＋i 【解析】选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2－i.故选A. 3．已知单位向量a ，b 满足a ⊥(a ＋2b )，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 【解析】选D.由a ⊥(a ＋2b )，可得，a·(a ＋2b )＝0，a 2＋2a·b ＝0，cos 〈a·b 〉＝a·b |a|·|b |＝－12，所以选D.4．向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．2B ．－2C ．6 D.12【解析】选A.如图，以a ，b 的公共点为原点，建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，因为a ＝(－1，1)，b ＝(5，2)，c ＝(－3，－4)，因为c ＝λa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋5μ＝－3，λ＋2μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1，所以λμ＝2，选A.5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )A.32B.32C ．3D ．－32【解析】选A.由于AB →＋AC →＝2AO →，由向量加法的几何意义，O 为边BC 中点，因为△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝|AC →|＝1，三角形应该是以BC 边为斜边的直角三角形，斜边BC ＝2AO ＝2，直角边AB ＝3，所以∠ABC ＝30°，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA |cos 30°＝3×32＝32，故选A.6．已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ，点M 满足AM →＝tAB →＋(1－t )AC →，若∠BAM ＝π3，则t 的值为( )A.3－ 2B.2－1C.3－12D.3＋12【解析】选C.由题意可得：AM →＝tAB →＋AC →－tAC →， 则AM →－AC →＝tAB →－tAC →，即CM →＝tCB →⇒t ＝|CM →||CB →|.其中CB AC ＝2，由正弦定理：CM AC ＝sin 30°sin 105°，整理可得：t 的值为3－12. B 组 能力提升7．现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，若a ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ，b ＝C 51cos 4θsin θ－C 53cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( )A ．cos 5θ＋isin 5θB ．cos 5θ－isin 5θC ．sin 5θ＋icos 5θD ．sin 5θ－icos 5θ【解析】选A.a ＋b i ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ＋ iC 51cos 4θsin θ－iC 53cos 2θsin 3θ＋iC 55sin 5θ ＝C 50cos 5θ＋i 2C 52cos 3θsin 2θ＋i 4C 54cos θsin 4θ ＋iC 51cos 4θsin θ＋i 3C 53cos 2θsin 3θ＋i 5C 55sin 5θ ＝()cos θ＋isin θ5＝cos 5θ＋isin 5θ，选A.*8.已知a ，b 是单位向量，a ，b 的夹角为90°，若向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的最大值为( )A ．2－ 2 B. 2 C ．2D ．2＋ 2【解析】选D.依题意，设a ，b 分别是x 轴与y 轴正方向上的单位向量， 则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，a ＋b ＝(1，1)，设c ＝(x ，y )， 则c －a －b ＝(x －1，y －1)， 因为|c －a －b |＝（x －1）2＋（y －1）2＝2，所以(x －1)2＋(y －1)2＝4，故c ＝OC →，点C 的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆， 圆心M (1，1)到原点的距离为2，则|c |的最大值为2＋ 2.9．如果复数z 满足||z ＋3i ||＋z －3i ＝6，那么||z ＋1＋i 的最小值是__________． 【解析】1复数z 满足|z ＋3i|＋|z －3i|＝6，∴z 的几何意义是以A (0，3)，B (0，－3)为端点的线段AB ，则|z ＋1＋i|＝|z －(－1－i)|的几何意义为AB 上的点到C (－1，－1)的距离， 则由图象知C 到线段AB 的距离的最小值为1.*10.对任意两个非零的平面向量α和β，定义新的运算“⊗”：α⊗β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ⊗b 和b ⊗a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ⊗b ＝__________．【解析】12根据新定义，得a ⊗b ＝a·b b·b ＝|a||b|cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ⊗a ＝b·a a·a ＝|a||b|cos θ|a |2＝|b||a|cos θ.因为a ⊗b 和b ⊗a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ⊗b ＝n 12，b ⊗a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ⊗b )·(b ⊗a )＝cos 2θ＝n 1n 24.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以整数n 1，n 2的值均为1.故a ⊗b ＝n 12＝12.第3讲 不等式与线性规划知识网络 【p 17】考情分析 【p 17】备 考 建 议 【p 17】1．复习简单线性规划问题时，要重视数形结合思想的运用，同时因为最优解是通过图形观察的，所以作图要精确，否则可能导致结果有误．典 例 剖 析 【p 17】探究一 不等式性质的应用及解不等式例1设x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．2－22<m<2＋2 2 B ．m<2C ．m<2＋2 2D ．m ≥2＋2 2 【解析】选C .令t ＝3x (t>1)，则由已知得函数f(t)＝t 2－m·t ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴上方．则对于方程f(t)＝0，有Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m 2≤1，f （1）≥0，解得m<2＋22.探究二 基本不等式的应用例2已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x>0，2x －1，x ≤0.若不等式f(x)＋1≥0在x ∈R 上恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．[－2，2]C ．(－∞，2]D ．[0，2]【解析】选C.例3已知函数f(x)＝ln (x ＋1＋x 2)，若正实数a ，b 满足f(2a)＋f(b －1)＝0，则1a ＋1b的最小值是__________．【解析】3＋22 因为f(x)＝ln (x ＋1＋x 2)，f(－x)＝ln (－x ＋1＋x 2)，所以f(x)＋f(－x)＝0, 即f(x)在R上为奇函数．又因为f (x )在其定义域上是增函数，故2a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22(当且仅当a ＝2－22，b ＝2－1时等号成立)．探究三 线性目标函数的最值及取值范围例4 (1)[2017·全国卷Ⅱ]设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9【解析】选A .作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当目标函数线经过可行域中的点A(－6，－3)时，目标函数取得最小值，即z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A .(2)实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A .⎣⎡⎤－1，13B .⎣⎡⎦⎤－12，13C .⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D .⎣⎡⎭⎫－12，1 【解析】选D .点(x ，y)在图中阴影部分，w ＝y －1x ＋1表示动点(x ，y)与定点A (－1，1)连线的斜率，l 1为斜率k 1＝k AB ＝－12. l 2与x －y ＝0平行，∴w ∈⎣⎡⎭⎫－12，1.(3)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A .12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】选D .作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 选D .规 律 总 结 【p 18】1．实数大小的比较方法：作差法、作商法、函数单调性法、不等式的性质法． 2．利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值，即化为y ＝m ＋Ag （x ）＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．3．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界，特殊的定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．4．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法：将目标函数z ＝ax ＋by 化成直线的斜截式方程(z 看成常数)，根据z b 的几何意义，确定zb的最值，从而得到z 的最值．5．线性规划中参数问题及其解题思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值或取值范围．高 考 回 眸 【p 18】考题1[2018·全国卷Ⅰ]设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为__________．【解析】6作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.【命题立意】 本题考查简单的线性规划，考查学生的转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考题2[2015·全国卷Ⅰ]设x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__________．【解析】3 yx的几何意义为点(x ，y)与坐标原点连线的斜率． 画出可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得C(1，3)， 由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.【命题立意】本题考查简单的线性规划，考查学生的转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考题3[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】216 000设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域． 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.【命题立意】本题考查简单的线性规划，考查学生的分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考点限时训练 【p 115】 A 组 基础演练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】选D.作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y 经过可行域中的点A (3，0)时，目标函数取得最大值，故z max ＝3.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围是( )A ．[0，1－2lg 2] B.⎣⎡⎦⎤1，52 C.⎣⎡⎦⎤lg 2，12 D.[]－lg 2，1－2lg 2【解析】选A. 如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域： 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，P 点与B 点重合时，t 取得最小值，P 点与C 点重合时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3，2)；。