2011四川高考理数(含部分答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9 [23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 1l [31．5，35．5) 12 [35．5．39．5) 7 [39．5,43．5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是 (A)16 (B )13 (C)12 （D ）232．复数1i i-+=(A )2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥1l ⇒∥3l （B ）12l l ⊥，2l ∥3l ⇒13l l ⊥ (C) 1l ∥2l ∥3l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D )CF5．5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B )必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (C )(0，3π] (D) [ 3π，π) 7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元10．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn = （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．14．双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 ．15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ． 16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象；④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==． 答案：A解：12i i i i i-+=--=-答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 答案D解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续． 答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A 答案：B解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a---=-,设直线方程为(2)y a x b=-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩ 答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=- 答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)； 其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 答案：20-解：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=- 答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d d a==⇒= 答案：22R π解：max 24S r S π=⋅=⇒侧侧时，2222222R r R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=答案：②③ 解 ：①错，12x x =±;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x Rππ=++-∈(Ⅰ)求()f x的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552aπββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20fβ-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D；(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n nn n n n n a C d C d n C d nC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(I)当|CD | =322时，求直线l的方程；(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP OQ为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 22．(本小题共l4分)已知函数21(),()32f x x h x x =+= (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ) 7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 222sin()4x x x π==-max 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ=2()2(())20f f ββ∴=⇒-=本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=故ξ的分布列为ξ 0 2 468P18 516 51631611684822E ξ=+++=本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ⊂=1面面面BA1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1ACD PC D ∴∆≅∆1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点．（II ）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接BH ，则BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D ∆中，11551,,22AA AD A D ===,则252535253355AH AH BH AHB BH ==∠===(Ⅲ)因为11C B PD B PCD V V -=，所以1111133B PD PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B = 11111244PCD PC C PC D S S S ∆∆∆=-=-=, 在1B DP ∆中，11119553525544,5,32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅， 1135315,2243B PD S h ∆∴=⋅== 解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，AC ∥1PC ，111C P C D xAC CD x∴==-． 由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1xP x+-， 1(1,0,1)A B ∴=，1(0,1,)A D x ∴=，1(1,1,0)1xB P x=-+-． 设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ，111(1)(1)(1)001xn B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=- 由此可得12x =，故1CD C D =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =-， 又2(1,0,0)n =为平面1AA D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A D B --的平面角的余弦值为23． （Ⅲ）1(1,2,0)PB =-，1(0,1,)2PD =-设平面1B DP 的一个法向量为3111(,,)n a b c =，则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 令11c =，可得31(1,,1)2n =． 又1(0,0,)2DC =，C ∴到平面1B DP 的距离33||13||DC n d n ==． 解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11k k n n k C C n --=，所以1111110(1)n n nk k k k k k n n n n n k k k k a C d C d d C d d d n ----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列； 当1d =-，11a =-，0n a =（n ≥2），此时{}n a 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n n a d d -=+，从而21(1)n n b nd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21n S d ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]n n d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)n n n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+ 化得即得：1(1)(1)nn S dn d =+-+ 综上，1(1)(1)nn S dn d =+-+．解：由已知可得椭圆方程为2212y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()2(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=++ l ∴的方程为1y =+或1y =+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k-． 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k +=-+，12212x x k=-+， 直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1yy x x =-- 将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--． 因为121,1x x -<<，所以11x x +-与21y y 异号． 222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------ 22222211122()211122k k k k k k k k --++-++==--+-+++． 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号， 1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，01(,0)(,)1OP OQ k y k=--=故OP OQ 为定值．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+（x ≥0）知， 2()32F x x '=，令()0F x '=，得916x = 当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=． （Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log (4)log ()xh x h a x -+-=-；即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=-等价于:10400(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得: (1)当14a <≤时,原方程有一解35x a =--(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a =-(3)当5a =时,原方程有一解3x =; (4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k===∑．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n g n =-，*()n N ∈． 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=-，又1[(4(46k a k k =--220==>则对任意的2100k ≤≤，有k a又因为11a ==10010011k k k a ==>∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。

2024届四川省绵阳市部分学校数学八下期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．将分式22x x y -中的x ，y 的值同时扩大为原来的2015倍，则变化后分式的值（ ） A ．扩大为原来的2015倍B ．缩小为原来的12015C ．保持不变D ．以上都不正确2．某铁工艺品商城某天销售了110件工艺品，其统计如表：货种 A B C D E销售量（件） 10 40 30 10 20该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差3．把一根长7m 的钢管截成2m 长和1m 长两种规格的钢管，如果保证没有余料，那么截取的方法有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 4．使二次根式有意义的x 的取值范围为A ．x≤2B ．x≠－2C ．x≥－2D ．x ＜25．已知第一象限内点(4,1)P a +到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ）A ．3B ．4C ．－5D ．3或－56．己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形7．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =;②当2x >时，0y <；③当0x <时，3y <． 其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①③②8．如图，将等边△ABC沿直线BC平移到△DEF，使点E与点C重合，连接BD，若AB＝2，则BD的长为（）A．2B．C．3 D．29．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．910．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a2＝b2，则a＝b；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．以上命题为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若关于x的不等式3x-2m≥0的负整数解为-1，-2，则m的取值范围是（）A．96m2-≤<-B．96m2-<≤-C．9m32-≤<-D．9m32-<≤-12．将直线y＝﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是（）A．y＝﹣7x+7B．y＝﹣7x+1C．y＝﹣7x﹣17D．y＝﹣7x+25二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为___．14．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.15．化简2211xy x y x y ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的结果是______． 16．4的算术平方根是 ．17．如图，双曲线y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 ．18．若点(), 1A a 与点()3-B b ，关于原点对称，则b a =_______________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy ，ABC 的三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，2)．（1）平移ABC ，使得点A 的对应点为A 1(2，﹣1)，点B ，C 的对应点分别为B 1，C 1，画出平移后的A 1B 1C 1； （2）在（1）的基础上，画出A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到的A 2B 2C 2，其中点A 1，B 1，C 1的对应点分别为A 2，B 2，C 2，并直接写出点C 2的坐标．20．（8分）学校为了更新体育器材，计划购买足球和篮球共100个，经市场调查：购买2个足球和5个篮球共需600元；购买3个足球和1个篮球共需380元。

第一部分 函数的概念及表示方法函数的定义域、值域1．（2010广东文数）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞解：01>-x ，得1>x ，选B.2．（2010湖北文数）5.函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞）3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==， 所以B 正确.4．（2010重庆文数）（4）函数y =（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 5．（2010山东文数）(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 答案：A6．（2010天津文数）（10）设函数2()2()g x xx R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或7．（2010浙江理数）（10）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B ，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题8．（2010陕西文数）13.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=29．（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ . 解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =- 10．（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-1x,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

【2022高考真题】1. 【2022高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π= C.3x π= D.6x π=2.【2022高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 3.【2022高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .4.【2022辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 5.【2022全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．6.【2022全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B7. 【2022全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2022山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.9. 【2022四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上全部的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A10. 【2022高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2022全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】C【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象． 12. 【2022全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=13. 【2022高考北卷理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 14. 【2022高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π 15. 【2022高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________..16. 【2022江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.3317. 【2022四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈）18. 【2022浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2022浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了精确 瞄准目标点，需计算由点观看点的仰角的大小.若则的最大值 .【答案】53920．【2022重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式肯定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤21. 【2022陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π22. 【2022天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．23. 【2022大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>24. 【2022大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．25. 【2022高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.26. 【2022高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.28. 【2022高考福建理第16题】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)12 ;(2) π,3[,],88k k k Z ππππ-+∈29. 【2022高考广东理第16题】已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.30. 【2022高考湖北理第17题】某试验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（1）求试验室这一天的最大温差；（2）若要求试验室温度不高于11C ，则在哪段时间试验室需要降温？31. 【2022高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.32. 【2022高考江苏第15题】已知5sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值.33. 【2022高考江西理第16题】已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.34. 【2022高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.35. 【2022高考山东卷第16题】已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【考点定位】平面对量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质. 36. 【2022高考四川第16题】已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是其次象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.37.【2022高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.38.【2022高考重庆理科第17题】已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.【2021高考真题】 （2021·新课标I 理）15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______（2021·浙江理）6.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-（2021·天津理）6. 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = （ ） (A)1010(B)105(C)31010(D)55（2021·上海理）11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += （2021·上海理）4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）（2021·陕西理）7. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的外形为 （ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B（2021·山东理）5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A.43π B.4π C. 0 D. 4π- （2021·辽宁理）（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=（2021·辽宁理）（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π（2021·江西理） 11．函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.（2021·新课标Ⅱ理）（15）设θ为其次象限角，若tan （θ+π4）=12，则sin θ+cos θ=_________. （2021·江西理）10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。

有理数与实数专题复习专题一 有理数与无理数的意义知识回顾１. 实数的分类２．在实际生活中正负数表示＿＿＿＿＿的量．典例分析例１：（2010四川巴中）下列各数：2π,错误！未找到引用源。

0．23·,cos60°，227，0．30003……，1 )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个解析：无理数是无限不循环的小数，其中的无理数有2π,0．30003……，1故选Ｃ． 评注：解决此类问题的关键是准确把握有理数，无理数及实数的概念，不能片面的从形式上判断属于哪一类数，另外对有关实数进行归类时，必须对已给出的某些数进行化简，以最简的结果进行归类．专题训练一1．(2010年南宁)下列所给的数中，是无理数的是( )A ．2B ． 2C ．12D ．0．1 ２．(2010年湖北襄樊)下列说法错误的是（ )A 2± 是无理数 C D ．2是分数３．（2010年上海）下列实数中，是无理数的为（ ）A ． 3．14B ． 13C ． 3D ． 9 ４．（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2专题二 实数的有关概念知识回顾１． 数轴：规定了＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿的直线叫数轴．数轴上的点与＿＿＿是一一对应．２．相反数:到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数a 的相反数是＿＿,零的相反数是＿＿，a 与b 互为相反数，则＿＿＿＿＿；３．绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0___()0(___)0(___||a a a a典例分析例1：（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ )A ．0的绝对值是0B ．31是无理数 C ．|—2|的相反数是２ D ．1的倒数是1-解析：Ａ评注：解决本题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义是表示点到原点的距离，还应理解“正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵；关于无理数应从概念上突破：表示无限不循环小数；|—2|＝２,２的相反数为－２；对于倒数，掌握它们的乘积为１．专题训练１．（2009年滨州）对于式子(8)--，下列理解：（1）可表示8-的相反数；（2）可表示1- 与8-的乘积；（3）可表示8-的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 ２．（2010年内蒙古鄂尔多斯）如果a 与1互为相反数，则a 等于（ ）．A ．2B ．2-C ．1D ．1-３．（2010年山东菏泽）负实数a 的倒数是（ ）．A ．a -B ．1aC ．1a- D ．a ４．（2010年绵阳）－2是2的（ ）．A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根５．（2010年镇江）31的倒数是 ；21-的相反数是 ． ６．（2010年四川成都）若,x y 为实数，且20x ++=，则2010()x y +的值为________． 7．（2010吉林）如图，数轴上点A 所表示的数是_________．8（2010河南）若将三个数是 ．专题三 实数的大小比较知识回顾比较实数大小的一般方法：① 性质比较法：正数大于___,负数____0,正数_____任何负数；② 数轴比较法：在数轴上的实数，右边的数总是比左边的数___；差值法：③ 设a ，b 是任意实数，如a －b ．>0,则a ___b ，如a －b ．<0,则a b ，如a －b =0,则a ___b ;④ 商值法：如a ÷b ．>1,则a ___b ，如a ÷b ．<1,则a ___b ，如a ÷b ．=1,则a ___b ，⑤扩大法；⑥倒数比较法，当然还有分子、分母有理化和换元法等。

2011年全国各地高考数学试题(四川卷)数 学(文史类)本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第1部分1至2页,第二部分3至4页,共4页.考生作答时,须将答案打在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效,满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分(选择题 共60分)1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.本大题共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.1.若全集{1,2,3,4,5}M =,{2,4}N =,则M N =ð(A)∅ (B){1,3,5} (C){2,4}(D){1,2,3,4,5}答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =,则M N =ð{1,3,5},选B.2.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于31.5的数据约占(A)211 (B) 13(C)12 (D)23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12＋7＋3=22个,约占221663=,选B.3.圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是(A)(2,3) (B)(－2,3) (C)(－2,－3) (D)(2,－3) 答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=,圆心(2,－3),选D.4.函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2),且单调递减,故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减,选A. 5.“x ＝3”是“x 2＝9”的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件答案：A解析：若x ＝3,则x 2＝9,反之,若x 2＝9,则3x =±,选A. 6.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒(B)12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥(C)233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面(D)1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面答案：B解析：由12l l ⊥,23//l l ,根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°,选B. 7.如图,正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD(D)CF答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=,选D.8.在△ABC 中,222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是(A)(0,]6π(B)[,)6ππ(C)(0,]3π(D)[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-,即222122b c a bc +-≥,∴1cos 2A ≥,∵0A π<<,故03A π<≤,选C.9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n ＋1 =3S n (n ≥1),则a 6=(A)3 × 44(B)3 × 44＋1(C)44(D)44＋1答案：A解析：由a n ＋1 =3S n ,得a n =3S n －1(n ≥ 2),相减得a n ＋1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ,则a n ＋1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A.10.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为(A)4650元 (B)4700元 (C)4900元 (D)5000元 答案：C 解析：设派用甲型卡车x (辆),乙型卡车y (辆),获得的利润为u (元),450350u x y =+,由题意,x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域,45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元,选C. 11.在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切,则抛物线顶点的坐标为 (A)(2,9)-- (B)(0,5)- (C)(2,9)- (D)(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -,则2AB k a =-,由22y x a a '=+=-,故切点为(1,4)a ---,切线方程为(2)60a x y ---=,该直线又和圆相切,则d =,解得4a =或0a =(舍去),则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-,定点坐标为(2,9)--,选A.12.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n ,其中面积等于2的平行四边形的个数为m ,则mn=(A)215 (B)15 (C)415 (D)13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个,可作平行四边形的个数2615n C ==个,结合图形进行计算,其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2,共有3个,则31155m n ==,选B.第二部分(非选择题 共90分)注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.2.本部分共10小题,共90分.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________.(用数字作答)答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==.14.双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么P 到左准线的距离是____.答案：16 答案：16解析：离心率54e =,设P 到右准线的距离是d ,则454d =,则165d =,则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=.15.如图,半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________. 答案：32π解析：如图,设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α,圆柱侧面积24s i n 24c o S παα=⨯⨯⨯＝32sin 2πα,当4πα=时,S 取最大值32π,此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.16.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()f x =2x ＋1(x ∈R )是单函数.下列命题：①函数2()f x x =(x ∈R )是单函数； ②指数函数()2x f x =(x ∈R )是单函数；③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 答案：②③④解析：对于①,若12()()f x f x =,则12x x =±,不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题；根据定义,命题④满足条件.三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题共l2分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时.(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算,考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力.解：(Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ,则111()1424P A =--=,111()1244P A =--=.答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14.(Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ,则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418.(本小题共l2分)已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-,x ∈R .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值；(Ⅱ)已知4cos()5βα-=,4cos()5βα+=-,02παβ<<≤.求证：2[()]20f β-=.本小题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化等数学思想.(Ⅰ)解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x 2sin()4x π=-,∴()f x 的最小正周期2T π=,最小值min ()2f x =-.(Ⅱ)证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=,4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=,∵02παβ<<≤,∴cos 0β=,则2πβ=.∴22[()]24sin 204f πβ-=-=.19.(本小题共l2分)如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1=1,延长A 1C 1至点P ,使C 1P ＝A 1C 1,连接AP 交棱CC 1于D .(Ⅰ)求证：PB 1∥平面BDA 1；(Ⅱ)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决问题的能力. 解法一：(Ⅰ)连结AB 1与BA 1交于点O ,连结OD ,∵C 1D ∥平面AA 1,A 1C 1∥AP ,∴AD =PD ,又AO =B 1O , ∴OD ∥PB 1,又OD ⊂面BDA 1,PB 1⊄面BDA 1, ∴PB 1∥平面BDA 1.(Ⅱ)过A 作AE ⊥DA 1于点E ,连结BE .∵BA ⊥CA ,BA ⊥AA 1,且AA 1∩AC =A , ∴BA ⊥平面AA 1C 1C .由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角. 在Rt △A 1C 1D 中,1A D ==,又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=,∴AE =. 在Rt △BAE 中,BE ==,∴2cos 3AH AHB BH ∠==.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. 解法二：如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ,则1(0,0,0)A ,1(1,0,0)B ,1(0,1,0)C ,(1,0,1)B ,(0,2,0)P .(Ⅰ)在△P AA 1中有1112C D AA =,即1(0,1,)2D .∴1(1,0,1)A B =,1(0,1,)A D x =,1(1,2,0)B P =-.设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ,则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-,则11(1,,1)2=-n . ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ,∴PB 1∥平面BA 1D ,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n .又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量.∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n .故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. 20.(本小题共12分)已知{}n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,n S 为它的前n 项和.(Ⅰ)当1S 、3S 、4S 成等差数列时,求q 的值；(Ⅱ)当m S 、n S 、l S 成等差数列时,求证：对任意自然数k ,m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列. 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力.解：(Ⅰ)由已知,1n n a aq -=,因此1S a =,23(1)S a q q =++,234(1)S a q q q =+++.当1S 、3S 、4S 成等差数列时,1432S S S +=,可得32aq aq aq =+.化简得210q q --=.解得q =. (Ⅱ)若1q =,则{}n a 的每项n a a =,此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列.若1q ≠,由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=,即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---. 整理得2m l n q q q +=.因此,11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==. 所以,m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列.21.(本小题共l2分)过点C (0,1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -,过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ,并与x 轴交于点P ,直线AC 与直线BD 交于点Q .(I)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长； (Ⅱ)当点P 异于点B 时,求证：OP OQ ⋅为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.解：(Ⅰ)由已知得1,c b a ==解得2a =,所以椭圆方程为2214x y +=.椭圆的右焦点为,此时直线l 的方程为 1y x =+,代入椭圆方程得270x -=,解得120,x x ==,代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-,所以1,)7D -,故16||7CD =. (Ⅱ)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符.设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且.代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=.解得12280,41kx x k -==+,代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+,所以D 点的坐标为222814(,)4141k kk k --++.又直线AC 的方程为12x y +=,又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-,联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+,又1(,0)P k-.所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=.故OP OQ ⋅为定值. 22.(本小题共l4分)已知函数21()32f x x =+,()h x =(Ⅰ)设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；(Ⅲ)设*n ∈N ,证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥,2()312F x x '∴=-+.令()0F x '∴=,得2x =(2x =-舍去).当(0,2)x ∈时.()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时,()0F x '<,故当[0,2)x ∈时,()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时,()F x 为减函数. 2x =为()F x 的极大值点,且(2)824925F =-++=.(Ⅱ)方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---,即为4222log (1)log log log x -==且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时,1x a <<,则14a xx x--=-,即2640x x a -++=, 364(4)2040a a ∆=-+=->,此时3x ==±∵1x a <<,此时方程仅有一解3x =-②当4a >时,14x <<,由14a xx x--=-,得2640x x a -++=,364(4)204a a ∆=-+=-,若45a <<,则0∆>,方程有两解3x = 若5a =时,则0∆=,方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >,原方程无解.方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-,即2221log (1)log log 2x -+10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时,原方程有一解3x = ②当45a <<时,原方程有二解3x = ③当5a =时,原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时,原方程无解.(Ⅲ)由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++,11()()66f n h n -.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1()()6n S f n h n =-(*n ∈N )从而有111a S ==,当2100k ≤≤时,1k k k a S S-=-=又1[(4(46k a k k+-2216=106=>. 即对任意2k ≥时,有k a >,又因为11a ==,所以1212n a a a n +++≥+++.则(1)(2)()n S h h h n ≥+++,故原不等式成立.。

2011年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（）A．B．C．D．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布表．【专题】计算题．【分析】根据所给的数据的分组及各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知这组数据的总数是66，根据等可能事件的概率个数得到结果．【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5，43.5）范围的有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，∴满足题意的数据有12+7+3=22个，总的数据有66个，根据等可能数据的概率得到P=，故选：B．【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查频率分布表的应用，考查等可能事件的概率，是一个必得分题目．2．（5分）（2011•四川）复数=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可．【解答】解：复数==﹣2i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2011•四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．4．（5分）（2011•四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得===故选D【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．5．（5分）（2011•四川）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】函数的连续性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】由f（x）在点x=x0处连续的定义，函数f（x）在点x=x0处有定义；但是函数f（x）在点x=x0处有定义，f（x）在点x=x0处不一定连续，分析选项可得答案．【解答】解：由f（x）在点x=x0处连续的定义，可知f（x）在点x=x0处连续⇒函数f（x）在点x=x0处有定义；反之不成立．故为必要而不充分的条件故选：B【点评】本题考查函数在某点连续的概念和充要条件的判断，属基本概念的考查．6．（5分）（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π） C．（0，]D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）（2011•四川）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反函数．【专题】综合题；数形结合．【分析】根据已知条件我们易得f（x）的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是R的奇函数，故f（x）的反函数也为奇函数，又∵x＞0时，此时其反函数（1＜x＜2）分析四个答案，发现只有A答案满足条件故选A【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．8．（5分）（2011•四川）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．9．（5分）（2011•四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．10．（5分）（2011•四川）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11．（5分）（2011•四川）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．【考点】数列的求和；数列的极限．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以a n=，S n=，==故选D【点评】本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．12．（5分）（2011•四川）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15中取法，平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，根据等可能事件的概率得到P==故选B．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2011•四川）计算÷=﹣20．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题．【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．【解答】解：=lg=﹣20故答案为：﹣20【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．14．（4分）（2011•四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离．【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6所以c=10准线方程为x=；离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题．15．（4分）（2011•四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2πR2．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR2sin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2πR2，球的表面积为：4πR2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR2．故答案为：2πR2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．16．（4分）（2011•四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及其应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2011•四川）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]2﹣2=0．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）∴T=2π，最小值为﹣2（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，两式相加得2cosβcosα=0，∵0＜α＜β，∴β=∴[f（β）]2﹣2=4sin2﹣2=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．18．（12分）（2011•四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）（2011•四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1∥平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离．【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D=x，∵AC∥PC1∴可设D（0，1，x），∴=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则⇒令a=1，则=（1，x，﹣1）∵PB1∥平面BA1D∴0=0⇒x=；故CD=C1D．（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜．故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为．（III）∵设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），则⇒令z=1，∴又∴C到平面B1PD的距离d=．【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．20．（12分）（2011•四川）设d为非零实数，（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛a n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设b n=nda n（n∈N*），求数列﹛b n﹜的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】计算题；综合题．【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得a n=d（d+1）n﹣1，进而分类讨论问题即可获得解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，进而可计算b n，结合b n的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当n≥2，k≥1时，，∴=d（C n﹣10d0+C n﹣11d1+C n﹣12d2+…+C n﹣1n﹣1d n﹣1）=d（d+1）n﹣1．所以，当d≠﹣1时，{a n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．当d=﹣1时，a1=﹣1，a n=0（n≥2），此时{a n}不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，∴b n=nd2（d+1）n﹣1=d2n（d+1）n﹣1，∴S n=d2[1•（d+1）0+2•（d+1）1+3•（d+1）2+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣2+n•（d+1）n﹣1]，当d=﹣1时，S n=d2=1当d≠﹣1时，（d+1）S n=d2[1•（d+1）1+2•（d+1）2+3•（d+1）3+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣1+n•（d+1）n]，∴﹣dS n=d2[1+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n﹣1﹣n（d+1）n]，∴S n=（d+1）n（nd﹣1）+1．综上可知：S n=（d+1）n（nd﹣1）+1，n∈N*．【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．21．（12分）（2011•四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想．【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直线l的方程为y=x+1；（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴与y1y2异号，与同号，∴=，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y0），=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．22．（14分）（2011•四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a 的讨论）．（Ⅲ）把f（100）h（100）﹣转化为一新数列{a n}的前100项和，再比较新数列{a n}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．。

2011年全国统一招生考试（四川卷）理科数学本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B) =P(A)+P(B) 球的表面积公式 24s R π= 其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式243v R π=其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=第一部分（选择题 共60分） 注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是(A)16 (B)13 (C)12 （D ）232、复数1i i -+=(A)2i - （B ）12i（C ）0 （D ）2i3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒P（B ）12l l ⊥，23l l P ⇒13l l ⊥[来源:] (C)233l l l P P ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 4、如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r=[来源:] (A)0 (B)BE u u u r (C)AD u u u r(D)CF uuu r5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件6.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是(A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π)7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元10.在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-11.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）3212.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则m n =（A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.计算121(lg lg 25)100=4--÷ .14.双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .16.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：① 函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题17、 已知函数73()sin()cos(),44f x x x x Rππ=++-∈(1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。