212二次根式乘除1

新人教版九年级数学第二十一章二次根式21.2二次根式的乘除教学设计教学时间课题21.2二次根式的乘除（第1课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.过程方法1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法.情感态度培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.学习者分析本节首先介绍二次根式的乘法运算。

教科书从具体例子出发，有特殊到一般的归纳给出二次根式的乘法法则，探究中的两个问题是两个不同层次的探究活动。

第一步是让学生通过计算发现规律，第二步是让学生对发现的规律进行验证，因此第一步中的被开方数都是完全平方数，这样有利于学生发现规律，第二步中的被开方数不是完全平方数，要求用计算器检验，已验证规律是否正确。

二次根式的乘法法则是利用从特殊到一般的方法归纳给出的，考虑到学生的年龄特征和知识水平，对法则的合理性没有给出一般的说明。

教学重点双向运用abba=⋅(a≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算.教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。

二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动1、1.填空，完成课本探究1 点题，板书课题.学生计算，观察对比，找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式乘法的前提是二次根式有意义.乘法法则推广使学2.用1中所发现的规律比较大小36×4436⨯；2×36活动2、给出二次根式的乘法法则 活动3、思考下列问题：① 公式中为什么要加a ≥0, b ≥0？② 两个二次根式相乘其实就是不变，相乘 ③ c b a ⋅⋅（a ≥0, b ≥0，c ≥0）=练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）a a 4⋅ 归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质 完成课本例2，在（1）（2）之间补充48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外. 例3. 计算:（1）714⨯ （2）10253⨯；（3）xy x 313⋅分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）. 三、课堂训练 完成课本练习.补充：1.1112-=-⋅+x x x 成立，求x 的取值范围.2.化简：()03≤-x y x四、小结归纳1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 五、作业设计必做：P12：1、3（1）（2）、4 补充作业： 1．计算:学生板演 利用它就可以将二次根式化简教师归纳总结，学生边听边作笔记.找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结学生独立练习，巩固新知组织学生交流，讨论，达成共识. 师生共同归纳生初步掌握如何计算二次根式乘法.使学生学会化简二次根式双向使用公式，熟练进行计算形成运用技巧，便于解题速度与正确率的 深化理解公式及运用，提高解题能力.纳入知识系统(1)57⨯； (2)2731⨯； (3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简：(1)3227y x ； (2)ab a1832⋅. 3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积 教 学 反 思。

二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。

本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。

一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。

例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。

例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。

因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。

二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。

以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。

例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。

需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。

三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。

例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。

Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。

例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。

Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。

对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。

二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。

在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。

本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。

一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。

例如√3+√3=2√3。

二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。

例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。

化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。

三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。

例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。

四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。

有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。

例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。

运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。

接下来，我们通过一些例题来加深理解。

例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。

解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。

例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。

解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。

例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。

解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。

通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。

二次根式乘除运算法则二次根式乘除运算法则是数学中重要的乘除运算方法，也是高等数学和数学分析中的重要技能。

二次根式乘除运算可以帮助我们解决复杂的算术表达式，它是数学中的重要操作之一。

一般地说，二次根式乘除运算就是将多项式拆分成几个关于根式的乘除运算，再利用乘方公式求解结果。

因此，二次根式乘除运算具有高效性，在解决多个多项式之间乘除运算更受重视。

要掌握二次根式乘除运算，首先要熟悉它的基本运算法则和注意事项：首先，我们要清楚乘方公式，尤其是负数的乘方公式。

这个公式被用来计算多个多项式的运算结果，比如，当x(a+b)的n次方等于x^a*x^b时，就用到了乘方公式。

第二，当处理多项式时，要注意数值的符号问题，例如，当多项式的系数为正和负系数时，必须要确保其合并结果是正的。

第三，在进行根式乘除运算时，要特别注意分母和分子的乘除关系，例如，当根式的分母为1时，可以直接化简；当分子为1时，也可以直接化简，这样可以节约时间和精力。

第四，任何一个多项式乘除运算都不能忽视乘除法则，例如，如果有一个多项式(ax^2+bx+c)*(dx+e)，由乘除法则，应该有(adx^3+ (ae+bd)x^2 + (be+cd)x + ce)的结果。

第五，有时多项式的乘除运算有较强的难度，而二次根式乘除运算可以使求解过程变得容易，比如，当ax^2+bx+c=0时，可以用一次根式乘除运算法求出x1和x2。

另外，在掌握二次根式乘除运算的过程中，要注意把握逻辑思维和推理的能力，因为在计算的过程中，逻辑思维和推理能力是非常重要的。

以上就是对二次根式乘除运算的基本概念和注意事项，可以说，了解了二次根式乘除运算的基本法则，就可以更好的应用这种运算方式，解决多种复杂的算术表达式，从而提高计算效率、增强逻辑思维能力和抽象思维能力。

二次根式乘除运算是数学中重要的操作，如果正确把握规律，并通过一定的实践来熟悉运算，就可以在解决多种复杂算术表达式时发挥重要作用，从而提高解题的效率。

212二次根式的乘除加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力教学目标理解a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab=a2b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）．关键：要讲清ab （a<0,b<0）=，如(2)(3)=(2)(3)或(2)(3)=23=233．教学过程一、复习引入1、对于二次根式a中的被开方数a，我们有什么规定？2、当a≥0时，(a)2等于多少？3、当a≥0时，二、探索新知我们看下面的例子：439＝233＝6，a2等于多少？49＝36＝6由此可以得一般地，对二次根式的乘法规定为：439＝4913加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力a2b＝ab．（a≥0，b≥0）反过来：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

(注：1、注意公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；3、ab=a2b（a≥0，b≥0）积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根。

(注：a≥0,b≥0是公式ab=a2b成立的必要条a2b＝ab件，如果不满足这个条件，等式的可以推广为右端就无意义。

)a2b2＝aba≥0，b≥0，c≥0)例1．计算（1）35（2）11327（3）9327（4）3632分析：直接利用a2b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）35=15（2）1271327==9333（3）9327=927923=93（4）1136=6=322例2化简（1）916（2）1681（3）8110022（4）9某y（5）（－15）3（－16）（6）4a2b3分析：利用ab=a2b（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1）916=9316=334=12（2）1681=16381=439=36（3）81100=813100=9310=90222（4）9某y=33某2y2=323某23y2=3某y14加强教学研究促进对话交流拓展专业视野《全校学习》让课堂教学焕发出生命的活力（5）（－15）3（－16）＝25316＝25316＝534=20警示误区（题5）：(6)4ab＝2abb23222应先进行符号运算，不要直接把（－15）3（－16）＝223a23b23b＝2abb注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利化为－153－用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。

二次根式乘除法二次根式乘除法是数学中的一种常见运算方法，用于对含有二次根式的表达式进行乘法和除法运算。

本文将围绕二次根式乘法和除法展开讨论，详细介绍其运算规则和应用场景。

一、二次根式乘法二次根式乘法是指两个含有二次根式的表达式进行相乘的运算。

在进行二次根式乘法时，我们需要注意以下几个规则：规则1：二次根式相乘时，可以将根号内的数相乘，并将根号外的系数相乘。

例如，对于√a * √b，可以将根号内的数a和b相乘，得到√(a*b)；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √b = √(a*b)。

规则2：二次根式相乘时，如果根号内的数相同，则可以合并为一个根号，并将根号外的系数相乘。

例如，对于√a * √a，可以将根号内的数a相乘，得到√(a^2) = a；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √a = a。

规则3：二次根式相乘时，如果根号内的数不同，则无法进行合并。

例如，对于√a * √b，根号内的数a和b不同，无法进行合并，所以√a * √b无法进行简化。

通过以上规则，我们可以进行二次根式的乘法运算。

举个例子，计算√2 * √3：将根号内的数2和3相乘，得到√(2*3) = √6；然后，将根号外的系数1和1相乘，得到√2 * √3 = 1 * 1 = 1；所以，√2 * √3 = 1 * √6 = √6。

二、二次根式除法二次根式除法是指将一个含有二次根式的表达式除以另一个含有二次根式的表达式的运算。

在进行二次根式除法时，我们需要注意以下几个规则：规则1：二次根式除法可以转化为乘法，即将除法转化为分子与倒数的乘法。

例如，对于√a / √b，可以转化为√a * (1 / √b)。

规则2：二次根式的倒数等于二次根式中根号内的数的倒数乘以根号外的系数。

例如，对于1 / √a，其倒数为1 / √a = （1 / a）√a。

通过以上规则，我们可以进行二次根式的除法运算。

举个例子，计算√6 / √2：将除法转化为乘法，即√6 / √2 = √6 * (1 / √2)；然后，根号内的数6除以2，得到√(6/2) = √3；根号外的系数1除以根号内的数2，得到√6 / √2 = √3。

二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。

例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。

2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。

例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。

需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。

此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。

二次根式的乘除运算二次根式是数学中的一个重要概念，它是指含有变量的项的平方根。

在数学运算中，我们常常会遇到二次根式的乘除运算，通过对二次根式的乘除进行合理展开和化简，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

首先，让我们来了解一下二次根式的定义和性质。

二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

若a为正实数，则√a为正实数；若a为零，则√a为零；若a为负实数，则√a无意义。

对于二次根式的乘法运算，我们可以使用分配律来进行展开。

例如，当我们需要计算(√a)(√b)时，可以将其展开为√(ab)。

这是因为二次根式的乘法满足√a × √b = √(ab)，其中a、b分别为非负实数。

举个例子来说明这个运算规则。

假设我们要计算√3 × √5的值，根据上述乘法展开规则，我们可以得到√(3 × 5)，即√15。

因此，√3 × √5 = √15。

在二次根式的乘法运算中，可以根据需要使用其他的运算规则。

例如，如果要计算(√a)^2的值，我们可以将其展开为a。

这是因为二次根式的平方与根号内的数相等，即(√a)^2 = a，其中a为非负实数。

对于二次根式的除法运算，我们可以利用有理化的方法来进行。

具体来说，我们要将除号转换为乘号，并且将除数的二次根式分子、分母分别进行有理化的处理。

例如，当我们需要计算√a/√b时，将其有理化可以得到√(a/b)。

这是因为二次根式的除法满足√a / √b =√(a/b)，其中a、b分别为非负实数。

举个例子来说明这个运算规则。

假设我们要计算√6/√2的值，根据上述除法有理化规则，我们可以得到√(6/2)，即√3。

因此，√6/√2 = √3。

通过对二次根式的乘除进行合理展开和化简，我们可以简化复杂的数学表达式，从而更好地解决各种数学问题。

在实际应用中，二次根式的乘除运算经常出现在代数、几何等数学领域的问题中。

掌握了二次根式的乘除运算规则，我们可以更加灵活地运用数学知识进行问题求解。

二次根式的乘除公式
二次根式是指其中包含有根号的代数式，如√2、√3、√5等。

在数
学中，二次根式乘除公式是指用于简化二次根式计算的公式，包括二次根
式的乘法公式和除法公式。

对于任意的非负实数a和b，有以下公式：
√(a) 某√(b) = √(ab)
例如，计算√2某√3，使用乘法公式可以得到：
√2某√3=√(2某3)=√6
在实际应用中，通常需要对二次根式进行简化，因此我们需要化简一
些形如√(2某2)的乘积。

化简乘积的方法是将其中的相同因子提取出来，例如：
√(2某2)=√2某√2=2
因此，我们可以使用乘法公式简化二次根式的乘积，也可以使用化简
乘积的方法将其化简。

对于任意的非零实数a和b，有以下公式：
√(a)÷√(b)=√(a÷b)
例如，计算√6÷√2，使用除法公式可以得到：
√6÷√2=√(6÷2)=√3
在实际应用中，我们也需要对二次根式进行简化。

因此，除了使用除
法公式外，我们还可以使用约分的方法将二次根式化简，例如：
√(6÷2)=√3
因此，二次根式的除法公式可以帮助我们简化二次根式的除法计算。

总结：
二次根式的乘法公式和除法公式，是数学中常用的公式之一、通过使用这些公式，我们可以简化二次根式的计算，使得计算过程更加简洁、高效。

在实际应用中，我们应当熟练掌握这些公式，并且能够根据实际情况进行转化和化简。