下载文档原格式
2015高考文科数学模拟试卷及答案解析目录2015高考文科数学模拟试卷 ......................................................................... 1 2015高考文科数学模拟试卷答案解析 (5)2015高考文科数学模拟试卷（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．复数1iZ i=+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A.12- B.12i C.12 D.12i -2．已知集合(){}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则A B =（ ） A. (3,2]- B.(3,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[3,)-+∞ 3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A. 1y x x=+B. sin y x x =C. 1y x =-D. cos y x = 4.命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或B.若11<<-x ，则12<xC.若1x >或1x <-，则12>xD.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 5．若向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =A.(5,7)B.(3,3)--C.(3,3)D.(5,7)--6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为（ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.57．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ） A ．22 B ．16 C ．15 D ．11（7题） （8题）8．函数())(,0,)2f x x x Rπωϕωϕ=+∈><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D. 4,3π9．若双曲线22221x y a b-= ）A.2±B.12±D.2± 10．已知函数222,0()()()2(1),2,0x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是 A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]2,2-二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） （一）必做题（11～13题） 11. 计算33log 18log 2-= ．12．变量x 、y 满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为 .13（二）选做题：第14、15全答的，只计前一题的得分。
【高中数学】高考数学《平面解析几何》练习题一、选择题1．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵233AF BF AB +=,∴2323AB mn≥,∴213mn AB≤,在△AFB中,由余弦定理得22222()2cos22m n AB m n mn ABAFBmn mn+-+--∠==212213222AB mn mn mnmn mn--=≥=-∴∠AFB的最大值为23π.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y=+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A．①③B．②④C．①②③D．②③④【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y+≤，可判断②；224x y+=和()3222216x y x y+=联立解得222x y==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．2C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】由120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，可知l 的方程为by x a=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ay x c b=+设1MF ，与l 相交于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab N c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得222124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以e == 故选：C 【点睛】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.5．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B两点，且AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >.由AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.6．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭ D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.7．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a ==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．10．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.11．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．22D 3【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF PM PAM PAPA==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.12．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B.13．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B - 则222222AB =+=，又点M 到直线的最大距离为44285211+-+=+，所以最大面积为12252102⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D．(45,±【答案】B 【解析】 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18 B ．30C ．32D ．36【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF+=，∴2p =， 即24y x =设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k-． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）， 联立214y k x y x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k+， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32． 故选C16．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=．=234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．17．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．223C ．22D ．63【答案】B 【解析】 【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =，11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 2． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.20．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a 27+==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ 27+==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a 27∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ 27∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，7为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
新单元《平面解析几何》专题解析一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.2．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A ．3B 3C ．2D ．22【答案】A 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，212512x x =-+，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） 又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||23MN =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④C ．①②③D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x yx y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.5．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则22||ME NE -=（ ）A ．2pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】C 【解析】 【分析】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x ＝p ，由2y 2pxx p⎧=⎨=⎩，解得y ＝2p ，则A （p 2p ），B （p 2p ），∵直线BM 的方程为y 2x ，直线AM 的方程为y ＝2x ，解得M （﹣p），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y＝k （x +p ），由()2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣+2p 2k ）＝0， 解得k， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为yp＝2（x +p ），由()=2x p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．6．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12 B．C ．24D．【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线8．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B，两点，OAB ∆，则双曲线的离心率为（ ） ABC．2D．3【答案】D 【解析】 【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±=± OAB V的面积为21223b c a ⋅⋅=3b a ⇒=可得3c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1C． D【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．10．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A ．2B ．2CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭，，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为22=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C ．3D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.13．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =±C ．23y x =±D ．324y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B.14．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为23，则符合条件的点M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】由直线的斜率为tan 603k ︒==，设直线的方程为3y x b =-+. 圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得： 圆心(0,2)到直线3y x b =+的距离为2222232122r d l ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎪⎝， 即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为3y x =或34y x =+. 直线3y x =过坐标轴上的点(0,0)，直线34y x =+过坐标轴上的点()0,4与43,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C. 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A．90,7⎛±⎝⎭B．135,7⎛⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D．(45,±【答案】B 【解析】 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.17．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于4，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=．=234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．2D 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF PM PAM PAPA==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==.∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin 2PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线):2l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v，则λ的值等于（ ）A ．B ．3C ．2D 【答案】C【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.由)222195y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，解得34x =-或218x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321,48x x =-=-． ∵11AF F Bλ=u u u v u u u v， ∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+, ∴122(2)x x λ--=+． ∴3212()(2)48λ---=-+， 解得2λ=．选C。
2015年新课标高考立体几何分类赏析
2015年的新课标高考，在立体几何方面给出了一些新的考题设计，与往年的考题有很大的不同，这也使得高考考生在取得好成绩的同时，要加强对立体几何的学习。
下面，就以2015年新课标高考立体几何考题为例，对其进行分类赏析，希望能为考生提供参考。
一、平面几何
2015年新课标高考立体几何考题中，有很多是关于平面几何的知识点，比如，定义平面图形、计算面积、计算周长等。
在发现相关几何图形时，涉及到一些经典的几何命题，比如直角三角形中，直角线的边长乘积等于其他两边的长度的平方之和，或者求解两个平行四边形的面积之比等。
二、曲面几何
2015年新课标高考立体几何考题中，也有一些是关于曲面几何的知识点，比如球的表面积和体积的计算、棱柱的表面积和体积的计算、圆柱的表面积和体积的计算等。
有关曲面几何的问题，往往是求出某个特定几何形状面积和体积，或者求解特定几何形状的一些角度等。
三、几何关系
2015年新课标高考立体几何考题中，也有一些是关于几何关系的知识点。
比如，利用几何关系推导某个几何图形的边长，或者通过几何关系推导某个几何图形的面积、体积等。
有关几何关系的问题，往往是求出某个特定几何形状的定义，或者求解特定几何形状的一些
参数等。
总之，2015年新课标高考立体几何考题中，考查的知识点有平面几何、曲面几何以及几何关系等三大类。
考生在备考时，需重点掌握球的表面积和体积计算、棱柱的表面积和体积计算、圆柱的表面积和体积计算以及几何关系的使用等。
只有利用好这些知识点，考生才能够取得理想的成绩。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、（2015届广州市）直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2、（2015届江门市）双曲线C ：1422=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θta n A ．158 B ．815 C ．43 D ．343、（2015届揭阳市）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D.24、（2015届茂名市）以点（3，－1）为圆心且与直线34x y +＝9相切的圆的方程是（ ） A 、22(3)(1)x y -++＝1 B 、22(3)(1)x y ++-＝1 C 、22(3)(1)x y ++-＝2 D 、22(3)(1)x y -++＝25、（2015届梅州市）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是A 、2y ＝8x B 、2y ＝－8x C 、2y ＝4x D 、2y ＝－4x6、（2015届汕头市）若双曲线的标准方程为22184x y -=，则它的渐近线方程为（ ）A ．0x =B ．0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=7、（2015届湛江市）抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（ ）A ．2 B C ．2D ．2 8、（2015届中山市）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D.24y x =选择题参考答案1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、A 二、填空题1、（2015届江门市）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，P 是C 上一点，若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 的坐标为2、（2015届茂名市）已知A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>学科网长轴的两个顶点，M ，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿3、（2015届梅州市）以F 1（－1,0）、F 2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－32）的椭圆的标准方程为＿＿＿4、（2015届深圳市）已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为5、（2015届佛山市）已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为________填空题参考答案1、)34 , 6( 23、13422=+y x 4、 5、112-或 三、解答题1、（2015届广州市）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.2、（2015届江门市）平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． ⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．3、（2015届揭阳市）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.4、（2015届茂名市）已知F （0,1），直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且（1）求动点P 的轨迹C 的方程。
第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8、离心率是34、则此椭圆的标准方程是________。
答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 解析：∵ a ＝4、e ＝34、∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 2. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的________条件。
答案：必要不充分解析：若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆、则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ， ∴ 2＜m ＜6且m ≠4、故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件。
3. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点、P 为椭圆C 上一点、且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9、则b ＝________。
答案：3解析：依题意、有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2、即a 2－c 2＝9、故b ＝3. 4. 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2、点P 在椭圆上。
若|PF 1|＝4、则|PF 2|＝________、∠F 1PF 2＝________。
答案：2 120°解析：∵a 2＝9、b 2＝2、∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7、∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6、∴|PF 2|＝2.又由余弦定理、得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4＝－12、∴∠F 1PF 2＝120°.5. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1、长轴在y 轴上。
专题六 平面解析几何平面的基本性质、异面直线1.（ 浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期末考试) 若a 和b 是异面直线, b 和c 是异面直线, 则a 和c 的位置关系是( ) .A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、 平行或异面 【答案】D【解析】通过演示可以判断三种位置关系都有2. （南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∈，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A.//,l m l α⊥B.,l m l α⊥⊥C.,//l m l α⊥D.//,//l m l α 【答案】C【解析】 3. (2014东北三校联考)已知a ，b ，c ，d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( )．A ．a ∥b 且c ∥dB ．a ，b ，c ， d 中任意两条可能都不平行C ．a ∥b 或c ∥dD ．a ，b ，c ，d 中至多有一对直线互相平行 【答案】C 【解析】：若a 与b 不平行，则存在平面β，使得a ⊂β且b ⊂β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C. 4. （山东省济南市2014届高三数学上学期期末考试）给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 【解析】：(1)中有可能互相垂直；(2)正确；(3)α⊥β，m ⊂α不一定有m ⊥β.而m ⊥β则α⊥β一定成立，故“α⊥β”是 “m ⊥β”的必要不充分条件；(4)只有两异面直线互相垂直时，才能有这样的平面．5. （2014届江西省景德镇市高三第二次质检） 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线DD 1异面； ④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】 ③④ 【解析】： AM 与C 1C 异面，故①错；AM 与BN 异面，故②错；③，④正确．平行关系与垂直关系（一）1. （2014年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查） 直线m 在平面α内，直线n 在平面β内，下列命题正确的是A ．m n αβ⊥⇒⊥B ．////m αββ⇒C ．m n m β⊥⇒⊥D ．////m n αβ⇒ 【答案】B【解析】由面面平行的性质定理可以判断B 正确 2（山东省青岛二中2014届高三12月月考）已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( ) A ．m ∥α，n ∥α B ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ⊂α D ．m 、n 与α所成的角相等3. （2014届安徽省合肥市高三第一次质量检测）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④ 【答案】C【解析】当//αβ时，有l β⊥，所以l m ⊥，所以①正确。
若//l m ，则m α⊥，又m ⊂平面β，所以//αβ，所以③正确，②④不正确，所以选C.4.设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β 【答案】D【解析】A 中直线b 也可能在平面α内；B 中两个平面也可以相交；C 中两个平面也可以相交，只有D 正确 5. （云南省昆明三中2014高三高考适应性月考）若βα,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，βα⊥⊥a a ,；②存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，；③存在两条平行直线a b a b a ,,,,βα⊂⊂∥,b β∥α；④存在两条异面直线,,,α⊂a b aa b ,β⊂∥,b β∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】①可以；②,αβ也有可能相交，所以不正确；③,αβ也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是α∥β的充分条件有2个，选C. 6. （2014年兰州市高三第一次诊断考试数学）已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【解析】①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,，正确，此为面面垂直的判定定理； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂，错误，若m//n 就得不出//αβ；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交，错误，m 与n 还可能相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂，正确。
平行关系与垂直关系（二）1. （宁夏银川一中2014届高三年级月考）设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题【答案】D【解析】若//m n ，则面,αβ也可能相交，故命题p 是假命题，因为,m m βα⊥⊂，故αβ⊥，则命题q 是真命题，所以“非p 且q ”是真命题．2. （吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4组条件中：①,α⊂a b ∥β，βα⊥； ②βαβα⊥⊥⊥,,b a ；③,α⊂a β⊥b ，α∥β； ④α⊥a ，b ∥β，α∥β. 能推得b a ⊥的条件有（ ）组. A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】①不成立；②中由,a a a b ^^得a a b b ÌP 或，又b b ^，所以b a ⊥；③中由β⊥b ，α∥β得b a ^，又,α⊂a ，所以b a ⊥；同理④也正确3. （天津市新华中学2014高三第三次月考）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( )A. βαβα⊥⊥,//,b aB. βαβα//,,⊥⊥b aC. βαβα//,,⊥⊂b aD. βαβα⊥⊂,//,b a【答案】C【解析】若b β⊥，//αβ，所以b α⊥，又a α⊂，所以b a ⊥，即a b ⊥，所以选C. 4.（河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）A ． MN 与CC 1垂直B ． MN 与AC 垂直 C ． MN 与BD 平行 D ． MN 与A 1B 1平行【答案】D 【解析】5. （南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考） 已知直线l ⊥平面α，直线⊆m 平面β，则下列四个结论：①若βα//，则m l ⊥ ②若βα⊥，则m l // ③若m l //，则βα⊥ ④若m l ⊥，则βα// 其中正确的结论的序号是：（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③6.（ 河北邯郸市2014届高三教学质量检测）设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β． 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】Ａ【解析】①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α，是错误的，因为有可能b αÜ；②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β，是错误的，因为有可能a βÜ，也可以a β，还可以a 与平面β相交；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α，是错误的，因为有可能a αÜ；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β，显然是错误的．直线及其方程 1. (2014届安徽省蚌埠市高三第一次质量检查考试)设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤ C ．344k -≤≤D ．4k ≥或34k ≤-【答案】A【解析】如图：当直线l 从PB 的位置旋转到PA 的位置时，直线的斜率范围是34k ≥或4k ≤- 2.（广州市2014届高三年级调研测试）若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【答案】C【解析】如图圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，则与两个圆同时相切的直线符合题意，共有3条3. (2014银川一中高三第六次月考) 若直线x k y l )1(2:1-=-和直线2l 关于直线1+=x y 对称，那么直线2l 恒过定点( )A ．（2，0）B ．（1，－1）C ．（1，1）D ．（－2，0）【答案】C【解析】直线x k y l )1(2:1-=-恒过定点（0,2），该点关于直线1+=x y 的对称点是（1，1），故直线2l 恒过定点（1，1）4.使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】：D【解析】：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4； 若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16；若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23.综上可知，m 值最多有4个．二、填空题5. （2014杭州市第一次统测）与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且距离等于3的直线方程是________．【答案】 7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0【解析】 设所求的直线方程为7x ＋24y ＋b ＝0，由两条平行线间的距离为3，得|b ＋5|25＝3，则b ＝－80或b ＝70，故所求的直线方程为7x ＋24y －80＝0或7x＋24y ＋70＝0.6.（宁夏银川一中2014届高三年级月考）与直线x y -1=0垂直的直线的倾斜角为________． 【答案】3π【解析】所求直线的斜率tan k α==3πα=．7.（ 河北邯郸市2014届高三教学质量检测） 直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为_________。
