中考代数综合题教材分析

中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案一、教学目标：1. 让学生掌握代数应用性问题的基本类型及解题方法。

2. 提高学生将实际问题转化为代数问题的能力。

3. 培养学生运用代数知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 代数应用性问题的基本类型：方程问题、不等式问题、函数问题。

2. 解题方法：列方程、列不等式、列函数关系式。

3. 实际问题转化为代数问题的步骤：（1）理解实际问题的背景，找出关键信息。

（2）设未知数，找出已知数。

（3）根据实际问题建立代数模型。

（4）解代数方程（不等式、函数）。

（5）检验解的合理性，解释实际意义。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：代数应用性问题的基本类型及解题方法。

2. 教学难点：实际问题转化为代数问题的步骤，解题方法的灵活运用。

四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对代数应用性问题的思考。

2. 讲解：介绍代数应用性问题的基本类型及解题方法，结合实际问题引导学生转化为一元一次方程、一元一次不等式、函数关系式。

3. 案例分析：分析几个典型代数应用性问题，引导学生掌握解题思路。

4. 练习：布置一些代数应用性问题，让学生独立解答，巩固所学知识。

五、课后作业：1. 总结代数应用性问题的解题步骤。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 收集一些实际问题，尝试将其转化为代数问题，提高解决实际问题的能力。

六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生了解代数应用性问题的特点和解题方法。

2. 问题驱动：引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生解决问题的兴趣。

3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

4. 反馈与评价：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高课堂效果。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对代数应用性问题的理解和掌握程度。

代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

北京市西城区2013年初三数学中考代数综合题例题分析初中代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要是以方程、函数这两部分为重点，因此牢固的掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键. 解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破． 注意知识间的横向联系，在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，这就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.解代数综合题用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．一、中考对代数内容的C 级要求：1.C 能运用有理数的运算解决简单问题.2.C 能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值；能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题；能选用恰当的方法进行代数式的变形；能根据需要，运用公式进行变形；能运用因式分解的知识进行代数式变形，解决有关问题.3.C.会运用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程解决简单的实际问题.4.C 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围.5.C 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题.6.C 能探索具体问题中的数量关系和变化规律并用函数加以表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.7.C 能用一次函数解决实际问题.8.C 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题.二、代数综合题的主要类型：（一）方程与根的判别式例1．(西城07期末)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程22244044450mx x x mx m m -+=-+--=与的根都是整数.注：分别讨论得范围，验证.例2．（学探诊基础与综合P9页12题）如果要使关于x 的方程3123+=+--m m m x x 有唯一解，那么m 需要满足 .（m ≠1且m ≠3）注：此分式方程有唯一解需要所化的整式方程有唯一解且唯一解不是增根.。

5.3代数式的值（1）一、问题情景矿泉水1.5元/瓶，面包 2元/个，若买10瓶矿泉水、12个面包共需_________元矿泉水 a元/瓶，面包 b元/个，若买10瓶矿泉水、12个面包共需_________ 元二、知识回顾1、代数式：是用基本运算符号把____、_____连接起来的式子。

单独的一个_____或____也是代数式。

运算符号包括____、____、_____、____、_____2、考考你：（1）下列式子中,其中属于代数式的有哪些?（2）用字母表示数量关系:⒈边长为 a cm的正方形的周长是cm，面积是cm2.⒉小华、小明的速度分别为x米/分钟，y米/分钟，6分钟后它们一共走了米.3. 小亮t秒走了s米，他的速度为米/秒.4. 温度由2℃上升t℃后是 .⒌小彬拿166元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔n支，则剩下的钱为元，他最多能买这种钢笔支.三、学习目标及重难点（一）学习目标1、了解代数式的值的概念；2、能用具体的数值代替代数式中的对应的字母，求出代数式的值；3、利用代数式的值解决生活中实际问题；（二）学习重点与难点1、重点：代数式的值的概念及求法2、难点：会正确的求代数式的值四、生活链接学校举办迎奥运智力竞赛，竞赛的计分方法是：开始前，每位参赛者都有100分作为底分，竞赛中每答对一道题加10分，答错或不答得0分。

小亮代表七年级一班参加竞赛，共答对了x个问题，他的最后得分是多少？根据计分方法，他的最后得分是分。

如果小亮答对2个问题,即x=2,他的最后得分是？想一想（1）若小亮答对了3个问题，怎样计算其得分？议一议（2）代数式的值是由谁的取值确定的？知识小结：1、概念：一般地，用数值代数式里的字母，按照代数式的运算关系得出的结果，叫做代数式的值。

2、求代数式的值的方法：，五、典型例题例一当a=-2时，求代数式2a3+3a+5的值例二为了保护黄河流域的生态环境,减少水土流失,共青团中央等部门共同发起了“保护母亲河行动”, 要在沿河流域大力植树,号召青少年积极参加义务植树活动。

2020 年中考代数综合第12 讲：以二次函数为主导的等腰三角形的存在性问题【案例赏析】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【案例赏析】4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【参考答案】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ 中CP＝x，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P 的坐标．②当CM＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；∴解得：． （3） 根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4） 由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EF ⊥x 轴于 F ，S 四边形 BOCE ＝S △BFE +S 梯形 FOCE ．直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长．在△ BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长．如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值．即可求出此时 E 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B （﹣3， 0），，∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）如答图 1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴其对称轴为 x ＝＝﹣1，∴设 P 点坐标为（﹣1，a ），当 x ＝0 时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当 CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得 a ＝，∴P 点坐标为：P 1（﹣1，）；∴当 CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得 a ＝±， ∴P 点坐标为：P 2（﹣1，）或 P 3（﹣1，﹣）；∴当 CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得 a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点 P ，其坐标为 P （﹣1，）或 P （﹣1，﹣）或 P （﹣1，6）或 P （﹣1， ）；，解得 （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图 2，点 C （0，3）关于对称轴 x ＝﹣1 的对称点 C ′的坐标是（﹣2，3），连接 AC ′，直线 AC ′与对称轴的交点即为点 Q ．设直线 AC ′函数关系式为：y ＝kx +t（k ≠0）．将点 A （1，0），C ′（﹣2，3）代入，得，所以，直线 AC ′函数关系式为：y ＝﹣x +1． 将 x ＝﹣1 代入，得 y ＝2，即：Q （﹣1，2）；（4）过点 E 作 EF ⊥x 轴于点 F ，设 E （a ，﹣a 2﹣2a +3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a +3，BF ＝a +3，OF ＝﹣a∴S 四边形 BOCE ＝BF •EF + （OC +EF ）•OF＝ （a +3）•（﹣a 2﹣2a +3）+ （﹣a 2﹣2a +6）•（﹣a ）＝﹣ a 2﹣ a + ＝﹣ （a + ）2+ ，∴当 a ＝﹣时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为． 此时，点 E 坐标为（﹣）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）①过点D 作y 轴的平行线交OB 于点H，△BOD 面积＝×DH×x B，即可求解；②分OP＝PC、OP＝OC、PC＝OC 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B 的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+ x；（2）将点A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP 的表达式为：y＝﹣x；①过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD 面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+ x+x）＝﹣x2+ x，∵，故△BOD 面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC 时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC 时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）②要注意分类求解，避免遗漏．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c 的值．（2）过P 作直线x＝1 的垂线，可求P 纵坐标，知道M、P、F 三点坐标，就能求出三角形各边的长．（3）存在，Rt△PNH 中，利用勾股定理建立起y 与t 的关系式，推出t 的值，即可得知存在这样的点．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得﹣＝1，＝1，c＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝0．（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，故设P点的坐标为（m，﹣m2+2m），则M点的坐标（m，），∵△PFM 是以PM 为底边的等腰三角形∴PF＝MF，即（m﹣1）2+（﹣m2+2m﹣）2＝（m﹣1）2+（﹣）2∴﹣m2+2m﹣＝或﹣m2+2m﹣＝﹣，①当﹣m2+2m﹣＝时，即﹣4m2+8m﹣5＝0∵△＝64﹣80＝﹣16＜0∴此式无解②当﹣m2+2m﹣＝﹣时，即m2﹣2m＝﹣∴m＝1+ 或m＝1﹣Ⅰ、当m＝1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）Ⅱ、当m＝1﹣时，P点的坐标为（1﹣，），M点的坐标为（1﹣，），经过计算可知PF＝PM，∴△MPF 为正三角形，∴P点坐标为：（1+，）或（1﹣，）．（3）当t＝时，即N 与F 重合时PM＝PN 恒成立．证明：过P 作PH 与直线x＝1 的垂线，垂足为H，在Rt△PNH 中，PN2＝（x﹣1）2+（t﹣y）2＝x2﹣2x+1+t2﹣2ty+y2，PM2＝（﹣y）2＝y2﹣y+，P 是抛物线上的点，∴y＝﹣x2+2x；∴PN2＝1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+，∴1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+ ，移项，合并同类项得：﹣y+2ty+ ﹣t2＝0，∴y（2t﹣）+（﹣t2）＝0 对任意y 恒成立．∴2t﹣＝0 且﹣t2＝0，∴t＝，故t＝时，PM＝PN 恒成立．∴存在这样的点．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）求直线y＝﹣x+4 与x 轴交点B，与y 轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C 坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x 轴于点E，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB＝t 求得BE＝PE＝t，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证△MPQ∽△ NCQ，故有，把用t 表示的MP、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3 种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP ＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD ＝45°，进而得AE＝ME，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD ＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠ CDF 进而得CF＝CD．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF＝CD，解方程即得到t 的值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0 时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x 轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP 中，sin∠PBE＝∴BE＝PE＝PB＝t∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t∵点M 在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t∵PN⊥y 轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：t1＝，t2＝4（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°DG ＝①若 MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即 DM ∥x 轴，与题意矛盾②若 DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0 时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若 MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记 AM 与 y 轴交点为 F ，过点 D 作 DG ⊥y 轴于点 G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线 AM 解析式为 y ＝ax +m∴解得：∴直线 AM ：y ＝tx +t∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：x ＝∴DG ＝x D ＝∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°∴CD ＝∴4﹣t ＝解得：t ＝ ﹣1综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1 或 t ＝ ﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．【分析】（1）根据点M 的坐标，利用待定系数法可求出m，b 的值；（2）由（1）可得出抛物线及直线AB 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x 的方程，解之即可得出结论；（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，由点P 的坐标可得出PN，PO 的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP 的值．【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，∴m＝1；将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，∴b＝2．（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB 的解析式为y＝﹣x+2．当y＝0 时，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．∵△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形，∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，如图所示．当点P 的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，∴sin∠BOP＝＝；当点P 的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2 ，∴sin∠BOP＝＝．∴满足（2）的条件时，sin∠BOP 的值的值为或．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE 的表达式，联立求得点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2 ﹣m）（2﹣﹣2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CF＝PF 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得：函数PB 的表达式为：y＝﹣mx+ ，∵CE⊥PE，故直线CE 表达式中的k 值为，将点C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE 的表达式为：y＝，解得：x＝2﹣，＝故点F（2﹣，0）， S△PCF×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，解得：m＝5 或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F 的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF 时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；（2）由已知易得点P 为AB 的垂直平分线与抛物线的交点，点P 的纵坐标是1，则有 1 ＝﹣﹣x+2，即可求P；﹣ ）2+ ；（4）设点 Q （m ，0），直线 BC 的解析式 y ＝x +2，直线 AQ 的解析式 y ＝﹣（x +2） +2，求出点 K （0，），H （﹣，），由勾股定理可得 OK 2＝，OH 2＝+，HK 2＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可．【解答】解：（1）设函数解析式为 y ＝ax 2+bx +c ， 将点 A （﹣2，2），C （0，2），D （2，0）代入解析式可得，∴y ＝﹣ ﹣ x +2；（2）∵△PAM ≌△PBM ，∴PA ＝PB ，MA ＝MB ，∴点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB ＝2，∴点 P 的纵坐标是 1， ∴1＝﹣ ﹣ x +2， ∴x ＝﹣1+ 或 x ＝﹣1﹣，∴P （﹣1﹣，1）或 P （﹣1+，1）；（3）CM ＝t ﹣2，MG ＝ CM ＝2t ﹣4， MD ＝4 ﹣（BC +CM ）＝4 ﹣（2+t ﹣2）＝4﹣ t ，MF ＝MD ＝4﹣t ，∴BF ＝4﹣4+t ＝t ，∴ ，2+ ；当t＝时，S 最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ 的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（﹣，），∴OK2＝，OH2＝+ ，HK2＝+ ，①当OK＝OH 时，＝+ ，∴3m2+12m+8＝0，∴m＝﹣2+ 或m＝﹣2﹣；②当OH＝HK 时，+ ＝+ ，∴m2+4m+8＝0，∴m 无解；③当OK＝HK 时，＝+ ，∴m2+4m﹣8＝0，∴m＝﹣2+2 或m＝﹣2﹣2；综上所述：Q（﹣2+2 ，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+ ，0）或Q（﹣2﹣，0）【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF 时，②当DE＝EF 时，③当DF＝EF 时，分别求解即可．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时 E 与B 重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF 时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△BEF∽△ADE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE 的长为5 或时，△CFE 为等腰三角形．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+ ×3×（n﹣2）﹣×4 则S△PBD×3＝﹣（n﹣4）2+ ，∵﹣＜0，∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P 的个数有4 个，当m＝时，满足条件的点P 的个数有3 个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2 （PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），则PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+ ﹣4﹣2m）＝﹣（m+ ）2+ ，∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG 周长最大，此时，点P 的横坐标为﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM 时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN 时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③当DN＝DM 时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1 或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）将A、B 关坐标代入y＝﹣x2+bx+c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F 关于直线x＝1 对称，即可求解；（3）①△AOC 与△BMN 相似，则，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ 、OQ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c 中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，∵点E、F 关于直线x＝1 对称，又E 到对称轴的距离为1，∴EF＝2，∴F 点的横坐标为2，将x＝2 代入y＝﹣x+3 中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC 交MN 于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC 与△BMN 相似，则，即：，解得：t＝或﹣或1（舍去、﹣），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ 为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ 时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t＝；第二种，当BO＝BQ 时，在Rt△BMQ 中∵∠OBQ＝45°，∴BQ＝，∴BO＝，即3＝，∴t＝；第三种，当OQ＝OB 时，则点Q、C 重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意综上述，当t＝或秒时，△BOQ 为等腰三角形．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第31页（共31页）。

2020 年中考代数综合第 2 讲：二次函数图象与线段公共点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【专项突破】6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1 y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．13.已知：直线l：y＝x+2与过点（0，﹣2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x＝﹣1 的对称点为点B．（1）求A，B 两点的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2 个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．16.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y＝x﹣1 交于点A，点A 关于直线x＝1 的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点A，B 的坐标；（2）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．17.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4 个单位长度，得到点E，求直线BE 的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 与y 轴交于点C．（1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m 的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．19.直线y＝﹣3x+3 与x 轴、y 轴分别父于A、B 两点，点A 关于直线x＝﹣1 的对称点为点C．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线y＝mx2+nx﹣3m（m≠0）经过A、B、C 三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A，B 两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2 的对称轴是直线x＝1．（1）用含a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n 的值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F 与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．参考答案与试题解析1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点；【解答】解：（1）当a＝0时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 A（0，﹣3），∵将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．∴B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A 时，a＝0，有三个交点．∵图形M 与线段AB 恰有两个公共点，∴y＝a 要在AB 线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a＜0，当a＝1 时，y＝x2﹣2x+a﹣3 沿着y＝1 翻折，此时，图形M 与线段AB 恰有两个公共点．综上所述：﹣3＜a＜0 或a＝1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2 或x2＞4 ；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．【分析】（1）①把m＝2 代入抛物线解析式，利用x＝﹣，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n 的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（﹣1，2），抛物线的顶点在线段PQ 上，三种情况分类讨论，得出相应的m 值，从而得结论．【解答】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1 时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2 到x＝1 的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2 或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ 上时，＝2，解得m＝±2．结合图象可知，m 的取值范围是m≤﹣2 或m＝2 或．故答案为：m≤﹣2 或m＝2 或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a 即可求出MN 的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，y＝a 要在线段AB 的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3 与直线y＝a 交于M、N 两点，∴x2+2x+a﹣3＝a 即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3 时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，∴y＝a 要在线段AB 的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【点评】本题考查二次函数的图象与性质；能够画出M 图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B 的坐标；（2）根据抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；（3）根据翻折的性质和二次函数的性质可以求得a 的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＜3，点B 在抛物线C2 下方，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a＝，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＝2，点B 在抛物线C2 上，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 有一个交点，∴a 的取值范围是；同理可得，当抛物线C2：y＝﹣ax2+2ax+3a 过点A（0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a＝﹣1 或a＝﹣，∴a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）求出x＝0 时y 的值与y＝0 时x 的值即可得答案；（2）分m＞0 和m＜0 两种情况，结合函数图象可得．【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝2．∴A（0，2）．∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，∴对称轴为直线x＝1．∴B（1，0）．（2）由题意，C（﹣1，0），D（3，0）．①当m＞0 时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x 轴下方，即2﹣m＜0．∴m＞2．②当m＜0 时，过C（﹣1，0）的抛物线的顶点为E（1，）．结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点 E 上方或与点E 重合，即2﹣m≥．∴m≤．综上所述，m 的取值范围为m＞2 或m≤．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出点A、B、C 的坐标；（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3 时；②当n＝3 时；③ 当0＜n＜3 时，抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，∵直线y＝2x﹣3 与直线l 交于点C，∴点C坐标为（3，3），（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），∵点B（0，3），点C（3，3），①当n＞3 时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC 无公共点；②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3 时，抛物线最小值为n，与线段BC 有两个公共点；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点B，则3＝5n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点C，则3＝2n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点；综上所述，当≤n＜或n＝3 时，抛物线与线段BC 有一个公共点．【点评】本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n 的不等式组是解题的关键．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．【分析】（1）将点A 的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2 表达式成方程组，解方程组即可得出点B 的坐标；（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y＝a（x﹣1）2﹣2，再根据点C 的坐标利用待定系数法即可得出结论；（3）根据两直线相交，求出点C、D 的坐标，将其分别代入y＝a（x﹣1）2﹣2 中求出a 的值，由此即可得出抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y＝x+b中，0＝3+b，解得：b＝﹣3，∴直线l1：y＝x﹣3．联立直线l1、l2 表达式成方程组，，解得：，∴点B的坐标为（1，﹣2）．（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），∴y＝a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，∴a（3﹣1）2﹣2＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2．（3）∵直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C、D 两点，∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），当抛物线y＝ax2+bx+c 过点C 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣4，解得：a＝﹣；当抛物线y＝ax2+bx+c 过点D 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝2，解得：a＝1．∴当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围为﹣≤a≤1 且a≠0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两直线相交与平行、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的三种形式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l1的表达式；（2）将二次函数一般式改写为顶点式；（3）分别代入C、D点的坐标求出a 值．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1＜y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由抛物线的对称性可知当开口向上时，离对称轴越近其函数值则越小，则可求得答案；（3）由于抛物线的顶点确定，且开口向上，所以当抛物线开口越大时a 的值越小，当抛物线开口越小时a 的值越大，可知当抛物线过C 时a 有最小值，当抛物线过F 时a 有最大值，则可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝a （x 2+4x+4 ）＝a （x+2 ）2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）；（2）∵a＞0，且对称轴为直线x＝﹣2，∴当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，∵﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，∴A 点离对称轴x＝﹣2 近，∴y 1＜y 2，故答案为：＜；（3）∵y＝a（x+2）2开口向上，且顶点为（﹣2，0），∴当开口越大时a 的值越小，当开口越小时 a 的值越大，∴当抛物线过点C 时 a 有最小值，当抛物线过点F 时a 有最大值代入点C（1，2），得a＝，代入点F（﹣3，2），得a＝2，∴＜a＜2．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、二次函数的开口大小、二次函数的比较大小及数形结合思想等知识．在（1）中把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）中掌握抛物线上的点离对称轴的距离的远近与函数值的大小关系是解题的关键，在（3）中掌握抛物线的开口大小与二次项系数的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但综合性很强，难度适中．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．【分析】（1）先求得点B 的坐标，再根据△OAB 是等腰直角三角形得出点A 的坐标，代入求得n 即可；（2）分两种情况：抛物线的顶点在x 轴上和抛物线的顶点在x 轴下方两种情况求解可得．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x＝﹣＝1，则B的坐标是（1，0），当△OAB 是等腰直角三角形时，OA＝OB＝1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1＝1 或n﹣1＝﹣1，解得n＝2 或n＝0；（2）①当抛物线的顶点在x 轴上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣1）＝0，解得：n＝2；②当抛物线的顶点在x 轴下方时，如图，由图可知当x＝0 时，y＜0；当x＝3 时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1 或n＝2．【点评】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段OC 有且只有一个公共点得出x＝0 时y＜0；x＝3 时，y≥0 的结论．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．【分析】（1）由OC＝8、tan∠ABC＝2 得点 B 坐标，将点A、B 坐标代入求解可得；（2）先求出直线CD 解析式和点E、F 坐标，设平移后解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，求得临界时m 的值，从而得出答案，【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即OC＝8；Rt△OBC 中，OB＝OC•tan∠ABC＝8×＝4，则点B（4，0）．将A、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8，∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）．（2）设直线CD 的表达式为y＝kx+8，∵点D（1，9），∴直线CD 表达式为y＝x+8．∵过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，可得：E（﹣2，6），F（4，12）．设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+9+m；当抛物线过E（﹣2，6）时，m＝6，当抛物线过F（4，12）时，m＝12，∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，∴m 的取值范围是6＜m≤12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与直线的交点问题，利用图象与线段只有一个交点得出临界是m 的值是解题关键11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，于是得到结论；（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；（3）根据题意得到线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得到x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y′＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，于是得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m＝1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m＝3 或m＝1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，即函数y 在﹣3≤x≤1 范围内只有一个零点，当x＝﹣3 时，y＝m2+4m+11＞0，∵△＞0，∴此种情况不存在，当x＝1 时，y＝m2﹣4m+3≤0，解得1≤m≤3．解法二：由题意或，解得1≤m≤3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据顶点在x轴上，得出﹣m+1＝0，求出m＝1，即可得出抛物线的解析式；（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；（3）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点坐标是（m，﹣m+1），∵抛物线的顶点在x 轴上，∴﹣m+1＝0，∴m＝1，∴y＝﹣x2+2x﹣1；（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1 上；（3）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝﹣3，当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝1，故﹣3≤m≤1．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键．13. 已知：直线 l ：y ＝x +2 与过点（0，﹣2），且与平行于 x 轴的直线交于点 A ，点 A 关于直线 x ＝﹣1 的对称点为点 B ．（1） 求 A ，B 两点的坐标；（2） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 经过 A ，B 两点，求抛物线解析式；（3） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点在直线 l 上移动，当抛物线与线段 AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标 t 的取值范围．【分析】（1）由点 A 在直线 l 上可得 A 的坐标，根据点 A 、B 关于直线 x ＝﹣1 对称可得点 B 坐标；（2） 根据（1）中 A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3） 由顶点在直线 l 上可设顶点坐标为（t ，t +2），继而可得抛物线解析式为 y ＝﹣（x﹣t ）2+t +2，根据抛物线与线段 AB 有一个公共点，考虑抛物线过点 A 或点 B 临界情况可得 t 的范围．【解答】解：（1）由题可知 A 点的纵坐标为﹣2，∵点 A 在直线 l ：y ＝x +2 上，∴A （﹣4，﹣2），由对称性可知 B （2，﹣2）；（2） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 过点 A 、B ，，∴抛物线解析式为 y ＝﹣x 2﹣2x +6；（3） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 顶点在直线 y ＝x +2 上，由题可知，设抛物线顶点坐标为（t ，t +2），∴抛物线解析式可化为 y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2．把 A （﹣4，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（﹣4﹣t ）2+t +2，解得：t ＝﹣3 或 t ＝﹣4．∴﹣4≤t ＜﹣3，把 B （2，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（2﹣t ）2+t +2．∴解得：，解得：t＝0 或t＝5，∴0＜t≤5．综上可知t 的取值范围时﹣4≤t＜﹣3 或0＜t≤5．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本、前提，将抛物线与线段AB 有一个公共点转化为方程问题是解题关键．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称；（3）①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，所以函数与AB 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；【解答】解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，∴函数与PQ 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x 轴交点：令y＝0 代入直线y＝4x+4 得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a 中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0 时，如图1，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5 代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图2，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥ 或a＜﹣或a＝﹣1．。

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

课题 5.2代数式课型新授课第1 课时教学目标1、借助现实情景，了解代数式的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用数量关系表示。

2、经历探索事物之间的数量关系并用代数式表示的过程，发展符号意识。

内容分析教学重点能分析简单问题中的数量关系，并能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义教学难点体会数和符号是刻画现实世界数量关系的重要工具。

教法学法教具学具教学过程教材处理二次备课一、创设情境，导入新课（1）大西洋是世界第二大洋，据测量，它的东西宽度每年增加4厘米，经过n年将增[加厘米。

（2）长方形的长和宽分别是a和b，正方形的边长是c，长方形与正方形面积的和是。

（3）小亮用t秒走了s米，他的速度是为米/秒.（4）小彬拿166元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔n支，则剩下的钱为元，他最多能买这种钢笔支？[来源:学,科,网Z,X,X,K]二、自主探究，归纳整理（一）、代数式的意义：[来源:学科网]1、像4n ，ab+c 2，n-m ， a ，2(a+b ），ab+ac 等，都是代数式。

注意：1.单独一个字母或一个数也是代数式。

如x 、m 、0、-9等都是代数式。

2. 公式、等式和不等式都不是代数式；如：s=ab ，x+1=2，3>2等都不是代数式。

代数式不含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”。

：练习：判断下列式子哪些是代数式，哪些不是。

(1) a 2+b 2 (2) ts (3) 13 (4) x=2 (5) 3×4 －5 (6) 3×4 -5 =7 (7) x －1≤0(8) x+2＞3 (9) 10x+5y=15 (10)ba +c （二）、列代数式例1、设数字a 表示甲数，用代数式表示下列各题中的乙数：（1）乙数比甲数大3；（2）甲、乙两数的和为10；（3）甲数是乙数的5倍；（4）乙数比甲数的平方少2。

代数式的规范写法❖ (1) a ×b 通常写作 a·b 或ab ； ❖ (2) 1÷a 通常写作a 1 ; ❖ (3) 数字通常写在字母前面; 如：a ×3通常写作3a ；❖ (4)带分数一般写成假分数. 如：511×a 通常写作56a ； ❖ (5)和、差形式的代数式后有单位时，应将代数式用括号括起来。

中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案第一章：代数应用性问题概述1.1 教学目标让学生了解代数应用性问题的基本概念和特点。

培养学生解决代数应用性问题的基本思路和方法。

1.2 教学内容代数应用性问题的定义和特点。

代数应用性问题解决的步骤和方法。

1.3 教学过程引入代数应用性问题的概念，让学生举例说明。

引导学生分析代数应用性问题的特点，如实际背景、数学模型等。

讲解代数应用性问题解决的步骤，如理解问题、建立方程等。

第二章：一元一次方程的应用2.1 教学目标让学生掌握一元一次方程的基本概念和解法。

培养学生应用一元一次方程解决实际问题的能力。

2.2 教学内容一元一次方程的定义和性质。

一元一次方程的解法和应用。

2.3 教学过程引入一元一次方程的概念，让学生举例说明。

讲解一元一次方程的性质和解法，如加减法、代入法等。

给出实际问题，让学生应用一元一次方程解决。

第三章：二元一次方程组的应用3.1 教学目标让学生掌握二元一次方程组的基本概念和解法。

培养学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力。

3.2 教学内容二元一次方程组的定义和性质。

二元一次方程组的解法和应用。

3.3 教学过程引入二元一次方程组的概念，让学生举例说明。

讲解二元一次方程组的性质和解法，如代入法、消元法等。

给出实际问题，让学生应用二元一次方程组解决。

第四章：不等式的应用4.1 教学目标让学生掌握不等式的基本概念和解法。

培养学生应用不等式解决实际问题的能力。

4.2 教学内容不等式的定义和性质。

不等式的解法和应用。

4.3 教学过程引入不等式的概念，让学生举例说明。

讲解不等式的性质和解法，如大小比较、解集表示等。

第五章：整式的应用5.1 教学目标让学生掌握整式的基本概念和运算规则。

培养学生应用整式解决实际问题的能力。

5.2 教学内容整式的定义和性质。

整式的运算规则和应用。

5.3 教学过程引入整式的概念，让学生举例说明。

讲解整式的性质和运算规则，如加减法、乘除法等。