北京各区2019届初三数学期末汇编-代数综合题

2x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.y5]5(x2+bx+c)过点数学试卷2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总y1、（2019年门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+b x+c与直线y=1y作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；72B CB CP E（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.O N A x PB'y．．．．MP'O N A x P图1D DC F CA O EB x A O B x 3、（2019年平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，，同理，[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c的特征数。

图25-1备用图（1）直接写出二次函数y=x2-5x的特征数是：_______________。

（2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；2、（2019年丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx（b>2）与x轴的另一交（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax2+bx+c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其b点为A，过点P（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S的特征数．△AOB=10，求二次函数y=ax2+bx+c称点为C.连结CB，CP.（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；（3）当b=6时，如图△2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△C B’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.4、(2019年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=3中，射线 l: y = 3x (x ≥ 0).点 A 是第一象限内一定点，OA = 4 3 ，射线 OA 与射线 l 的MA(1,0) ，B(0, 3) ，这条抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C ，点 P 为射线 CB 上一个动点（不与点 C 重合），点 D 为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD = 60︒ ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的横坐标为 △m ， PCD 的面积为 S ，求S 与 m 之间的函数关系式；（3）过点 P 作 PE ⊥DP ，连接 DE ，F 为 DE 的中点，试求线段 BF 的最小值．5、（2019 年石景山二模）25．在平面直角坐标系 xoy．．．．．夹角为 30°.射线 l 上有一动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 3 个单位长度的速度沿射线 l 匀速运动，同时 x 轴上有一动点 Q 从点 O 出发，以相同的速度沿 x 轴正方向匀速运动，设运 动时间为 t 秒.（1）用含 t 的代数式表示 PQ 的长.（2）若当 P 、Q 运动某一时刻时，点 A 恰巧在线段 PQ 上，求出此时的 t 值.（3）定义 M 抛物线：顶点为 P ，且经过 Q 点的抛物线叫做“M 抛物线”.若当 P 、Q 运动 t秒时，将△PQA 绕其某边中点旋转 180°后，三个对应顶点恰好都落在“ 抛物线”上，求此时 t 的值. 解：（1）数学试卷（3）6、（2019 年海淀二模）25. 对于半径为 r 的⊙P 及一个正方形给出如下定义：若⊙P 上存在 到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P 是该正方形的“等距圆”．如图 1，在平面直角 坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，4），顶点 C 、D 在 x 轴上，且点 C 在点 D 的左侧.（1）当 r = 4 2 时，①在 P 1（0，-3），P 2（4，6），P 3（ 4 2 ，2）中可以成为正方形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是 ；②若点 P 在直线 y = - x + 2 上，且⊙P 是正方形 ABCD 的“等距圆”，则点 P 的坐标为 ；（2）如图 2，在正方形 ABCD 所在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 EFGH 的顶点 F 的坐标为（6，2），顶点 E 、H 在 y 轴上，且点 H 在点 E 的上方.①若⊙P 同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与 BC 所在直线相切，求⊙P 在 y 轴上截得 的弦长；②将正方形 ABCD 绕着点 D 旋转一周，在旋转的过程中，线段 HF 上没有一个点能成为它的 “等距圆”的圆心，则 r 的取值范围是 ．y H GBAEFCO Dx（2）备用图 1图 1图 2备用图 2x 是闭区间 [1,2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)是闭区间 m , n 上的“闭函数”，求此函数的表达式；5 x 2 - [ ] 5 是闭区间 a, b 上的“闭函数”，直接写出实数a ，b [ ] [ ]7、（2019 年西城二模）25.在平面直角坐标系 xOy 中，对于⊙A 上一点 B 及⊙A 外一点 P ，给出如下定义：若直线 PB 与 x 轴有公共点（记作 M ），则称直线 PB 为⊙A 的“x 关联直线”，（1）反比例函数 y =2014数学试卷记作 l PBM .[ ]（1）已知⊙O 是以原点为圆心，1 为半径的圆，点 P （0,2），①直线 l ： y = 2 ，直线 l ： y = x + 2 ，直线 l ： y = 3x + 2 ，直线 l ： y = -2 x + 2 都经1234（3）若二次函数 y = 1的值.4 5 x - 7过点 P ，在直线 l ， l ， l ， l 中，是⊙O 的“x 关联直线”的是；12 3 4②若直线 l是⊙O 的“x 关联直线”，则点 M 的横坐标 x 的最大值是；PBMM（2）点 A （2,0）,⊙A 的半径为 1，9、（2019 年东城二模）25.定义：对于数轴上的任意两点 A ，B 分别表示数 x x ，用 x - x1, 2 1 2表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点 A( x , y ), B( x , y ) 我们把1 12 2①若 P （-1,2）,⊙A 的“x 关联直线” l当 x 最大时，求 k 的值；M②若 P 是 y 轴上一个动点，且点 P的纵坐标 y > 2 ，⊙A 的两条“x 关联pPBM： y = kx + k + 2 ，点 M 的横坐标为 x ，Mx - x + y - y 叫做 A ，B 两点之间的直角距离,记作 d （A ，B ）．1 2 1 2（1）已知 O 为坐标原点，若点 P 坐标为（－ 1，3），则 d (O,P )＝_____________; （2）已知 C 是直线上 y ＝x ＋2 的一个动点，①若 D （1，0），求点 C 与点 D 的直角距离的最小值；②若 E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点， 请直接写出点 C 与点 E 的直角距离的最小值．直线”lPCM, l PDN是⊙A 的两条切线，切y点分别为 C ,D ，作直线 CD 与 x 轴点于点 E ，当点 P 的位置发生变化时， AE 的长 度是否发生改变？并说明理由.8、（2019 年通州二模）24．设 a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤ x ≤ b的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a, b . 对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m ≤ x ≤n 时，有 m ≤ y ≤n ，我们就称此函数是闭区间 m , n 上的“闭函数”.32 1-2 -1O1 2 x-1 -210、（2019 年朝阳二模）25．如图，在平面直角坐标系中 xOy ，二次函数 y =ax 2-2ax +3 的图象与 xyCA OB xC -2 -1 O A2 x大，请直接写出点 M 的坐标..轴分别交于点 A 、B ，与 y 轴交于点 C ，AB =4，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线 BC ，垂足为 Q ．设 P 点移动的时间为 t 秒（t ＞△0）， BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S ． （1）求这个二次函数的关系式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （△3）将 BPQ 绕点 P 逆时针旋转 90°，当旋转后的△BPQ 与二次函数的图象有公共点时，求 t 的取值范围（直接写出结果）．11、（2019 年密云二模）25．按右图所示的流程，输入一个数据 x ，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y ， 这样可以将一组数 据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（一）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间；（二）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致， 即原数据大的对应的新数据也较大.（1） 若 y 与 x 的关系是 y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当 p1＝ 2 时，这种变换满足上述两个要求；（2） 若按关系式 y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关 系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过 程）12、（2019 年延庆二模）13 、 (2019 年 房 山 二 模 )25. 如 果 一 条 抛 物 线说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点 E 为圆心，r 为半径的圆与线段 AD 只有一个公共点，求出 r 的 取值范围．14、（2019 年昌平二模）25．如图，已知点A （1，0），B （0，3），C （-3，0），动点 P （x ，y ）在线段 AB 上，CP 交 y y轴于点 D ，设 BD 的长为 t . B（1）求 t 关于动点 P 的横坐标 x 的函数表达式； 2（2）若 △S BCD ：△S AOB =2：1，求点 P 的坐标，并判断线段 CD 与线段 AB 的数量及位置关系，说明理由； 1（3）在（2）的条件下，若 M 为 x 轴上的点，且∠BMD 最-115、（2019 年怀柔二模）25.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线 l 围绕△OAB 的顶点 A 旋转，与 y 轴相交于点 P.探究解决下列问题： （1）在图 1 中求△OAB 的面积.（2）如图 1 所示，当直线 l 旋转到与边 OB 相交时，试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直线 l 的 距离之和最大，并简要说明理由.（3）当直线 l 旋转到与 y 轴的负半轴相交时，在图 2 中试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直 线 l 的距离之和最大，画出图形并求出此时 P 点的坐标. （点 P 位置的确定只需作出图形，不 用证明）.y =ax 2 +bx +c (a ≠ 0)与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线yyB的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛 物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；lPBO Ax（2）如图，△ OAB 是抛物线 y =-x 2 +b x (b >0)的“抛物线 x三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD ？若 存在，求出过 O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，O A图 1图 2x-2+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=x-2+1是y与x的“反比例平移函数”．16、（2019年大兴二模）24.已知：二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A（–2，0）．（1）求二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动.点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9，0)、(0，3)．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y=ax+k的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式x-6为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．yC BEO D A x17、（2019年燕山二模）25.定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如:y=11x的图象，则y=1（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．。

ECB2019 年北京市西城区初三期末数学试卷数 学一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个． 1. 抛物线 y = 3(x -1)2 + 5 的顶点坐标是A ．(3，5)B ． (1，5)C ．(3,1)D ．(-1,5) 2. 如果4x =3y ，那么下列结论正确的是A ． x = yB ． x = yC ．x = 4 D ． x = 4, y 3 4 4 3y 3 3. 如图，圆的两条弦 AB ，CD 相交于点 E ，且AD = C B ，∠A =40︒，则∠CEB 的度数为AA ． 50︒B ．80︒ DC ． 70︒D ．90︒ 4. 下列关于二次函数 y = 2x 2 的说法正确的是A . 它的图象经过点(-1,-2)B . 它的图象的对称轴是直线x = 2C . 当x < 0 时，y 随 x 的增大而减小D . 当x = 0 时，y 有最大值为 05. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点 D ．若 BC =24，cos B = 12，则 AD 的长为A13 A ．12 B ．10 BDCC ．6D ．5FD OB6. 如图，△ABC 的内切圆O 与 AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且 AD = 2，BC = 5 ，则△ABC 的周长为 AA ．16B ．14C ．12D ．10 CE7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度FF测量目标示意图ADAD αHβB C EBCE相关数据CD = 10m ，=45︒， =50︒设铁塔顶端到地面的高度FE 为x m ，根据以上条件，可以列出的方程为A ． x = (x -10) tan 50︒B ． x = (x -10) cos50︒C ． x -10 = x tan 50︒D ．x = (x +10)sin 50︒ 8. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点(-2,0)，且对称轴为直线x = 1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：① ac > 0 ；②16a + 4b + c = 0 ；③若m > n > 0 ，则 x = 1+ m时的函数值大于x = 1 - n 时的函数值；④点(-在此抛物线上．其中正确结论的序号是 c , 0) 一定2aA ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D EAOByOxBA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 如图所示的网格是正方形网格，点 A ，O ，B都在格点上， tan ∠AOB 的值为 ．10. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为(0, 2) 的抛物线的表达式： ．11. 如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在 AB ，AC 上，且 DE ∥BC ．若AD = 2， AB = 3 ， DE = 4 ，则BC 的长为 ．ABC12. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5 平方米，则这个扇形的半径是米．13. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx 与直线 y = mx + n 相交于点 A (-3, -6) ，B (1,-2) ，则关于x 的方程ax 2 + bx = mx + n 的解为 ．AOD 14. 如图，舞台地面上有一段以点 O 为圆心的 AB ，某同学要站在 AB的中点 C 的位置上．于是他想：只要从点 OAB出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到 AB 上，O就能找到 AB 的中点C ．老师肯定了他的想法．（1） 请按照这位同学的想法，在图中画出点 C ；（2） 这位同学确定点C 所用方法的依据是 ．15. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB > AD ，E ，F 分别是 AB ，DC 的中点，将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折，若 A E B 得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则用等式表示 AB 与 AD 的数量关系为FC．16. 如图，O 的半径是 5，点 A 在O 上．P 是O 所在平面内一点，且 AP = 2 ，过点 P 作直线 l ，使 l ⊥PA ． （1） 点 O 到直线 l 距离的最大值为 ； （2） 若 M ，N 是直线 l 与O 的公共点，则当线段 MN 的长度最大时，OP 的长 为．三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程．17．计算： 4sin 30︒ -2 cos 45︒ + tan 2 60︒ .18.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠ACB，点E，F 分别在AB，BC 上，且∠EFB=∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB=20，AD=5，BF=4，求EB 的长．A DEB F C19.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：x …-3 -2 -1 0 1 …y …0 -3 -4 -3 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-4 <x <-2 时，直接写出y 的取值范围.y1O 1 x2 yO x20.如图，四边形 ABCD 内接于 O ，OC =4，AC = 4 ．（1） 求点 O 到 AC 的距离； （2） 求∠ADC 的度数.A21. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度 y （单位：m ） 与水平距离 x （ 单位： m ） 近似满足函数关系 y = - 1 x 2 + 2x + c ，其图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离12 3 为 10m ． （1） 求铅球出手时离地面的高度；（2） 在铅球行进过程中，当它离地面的高度为11m 时，求此时12铅球的水平距离.DCOB122. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O ，以 OC ，OD 为邻边作平行四边形 OCED ，连接 OE ．（1） 求证：四边形 OBCE 是平行四边形；（2） 连接 BE 交 AC 于点 F . 若 AB =2，∠AOB =60°，求 BF 的长．ADEBC23.如图，直线 l ： y = -2x + m 与 x 轴交于点 A （-2,0），抛物线C : y = x 2 + 4x + 3 与 x 轴的一个交点为 B （点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D ． （1） 求 m 的值和点 B 的坐标； （2） 将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B ，D 的对应点分别为点 E ，F .①点 F 的坐标为 ；②将抛物线C 1 向右平移使它经过点 F ，此时得到的抛物线记为C 2 ，直接写出抛物线C 2 的表达式．yDB A O xO24.如图，AB 是O 的直径，△ABC 内接于O ．点 D 在O 上，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 E ，DF ⊥BC 交 BC 的延长线于点 F ． （1） 求证：FD 是O 的切线；（2） 若BD = 8 ， sin ∠DBF = 3，求 DE 的长．5AF25.小明利用函数与不等式的关系，对形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0（n 为正整数）的不等式的解法进行了探究． （1） 下面是小明的探究过程，请．补．充．完．整．：①对于不等式x - 3 > 0 ，观察函数 y = x - 3 的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式x - 3 > 0 的解集为x > 3． ②对于不等式( x - 3)( x - 1) > 0 ，观察函数 y = ( x - 3)( x -1) 的图象可以得到如下表格： DOBE Cx 的范围x > 3x < 3y 的符号+ -x 的范围 x > 31 < x < 3x < 1y 的符号+ -+由表格可知不等式( x - 3)( x - 1) > 0 的解集为．③对于不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 ，请根据已描出的点画出函数 y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象；y-1 O 13 x观察函数 y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象补全下面的表格：x 的范围 x > 31 < x < 3-1 < x < 1x < -1y 的符号+-由表格可知不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 的解集为．小明将上述探究过程总结如下：对于解形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0（n 为正整数）的不等式，先将x 1 ,x 2 ,x n 按从大到小的顺序排列， 再划分 x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中 y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2） 请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式( x - 6)( x - 4)( x - 2)( x + 2) > 0 的解集为． ②不等式( x - 9)( x - 8)( x - 7)2> 0 的解集为．y 5 4 3 2 1–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 x26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax2 - 4ax + 3a ．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a > 0 时，设抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C，若△ABC 为等边三角形，求a 的值；（3）过T (0,t )（其中-1 ≤t ≤ 2 ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．2 A27.如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接 BD ，CE ． （1）判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论；（2）若 AB =2，AD = 2 ，∠BAC =105°，∠CAD =30°．①BD 的 长 为 ；②点 P ，Q 分别为 BC ，DE 的中点，连接 PQ ，写出求 PQ 长的思路．EDBCylDC1 O1Ex28.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形 W ，如果以 P 为端点的任．意．一条射．线．与图形 W 最多只有一个公共点，那么称点 P 独立于图形 W .（1）如图 1，已知点 A （ -2 ，0），以原点 O 为圆心，OA 长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 B ．在 P 1（0，4），P 2（0，1），P （3 0，-3 ），P （4 4，0）这四个点中，独立于的点是 ；图1图2（2）如图 2，已知点 C （ -3 ，0），D （0，3），E （3，0），点 P是直线 l ： y = 2x + 8 上的一个动点．若点 P 独立于折线CD －DE ，求点 P 的横坐标 x p 的取值范围；y1 AOBx1yHK1 OT1xLNM（3）如图 3，⊙H 是以点 H （0，4）为圆心，半径为 1 的圆． 点 T （0，t ）在 y 轴上且 t > -3 ，以点 T 为中心的正方形KLMN 的顶点 K 的坐标为（0， t + 3 ），将正方形 KLMN 在 x轴及 x 轴上方的部分记为图形 W ．若⊙H 上的所有点都独立于图形 W ，直接写出 t 的取值范围．图32 CO2019 年北京市西城区初三年级数学期末考试试卷答案2019.1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCDBAC二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． 1210． y = -x 2 + 2 （答案不唯一） 11．6 12．3 13．x 1 = -3 ， x 2 = 114．（1） AB（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧15． AB = 2 AD16．（1）7； （2） 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分，第 23~26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17． 4sin 30︒ - 2 cos 45︒ + tan 2 60︒原式= 4 ⨯ 1 - ⨯ 2 + 2 2= 2 -1 + 3 = 43)221(y1O 1x18．（1）∵AB =AC∴∠B =∠ACB ∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ∴∠B =∠DAC ∵∠D =∠EFB ∴△EFB ∽△CDA （2）∵△EFB ∽△CDA∴ BE = BF AC AD∵AB =AC =20，AD =5，BF =4 ∴BE =1619．（1）由二次函数对称性可知，二次函数顶点为（-1，-4）设二次函数解析式为 y = a ( x + 1)2- 4 将（1,0）带入解析式得：a =1∴ y = x 2 + 2x - 3（2）如图；（3） -3 < y < 5OC 2 - MC 220．（1）作 OM ⊥AC 于 M∵OM ⊥AC ，AC = 4∴AM =MC = 2 ∵OC =4∴OM = = 2 （2）连接 OA∵OM =MC ，∠OMC =90° ∴∠MOC =∠MCO =45° ∵OA =OC ∴∠OAM =45° ∴∠AOC =90° ∴∠B =45°∵∠D +∠B =180°∴∠D =135°21．（1）将（10,0）带入 y = - 1x 2 + 2 x + c 得： c = 5∴高度为5.3 12 3 3（2）将 y = 11 带入 y = - 1 x 2 + 2 x + 5 得： 11 = - 1 x 2 + 2 x + 512 12 3 3 12 12 3 3整理得： x 2 - 8x - 9 = 0解得： x 1 = 9, x 2 = -1 （舍去） ∴水平距离为 9m.222OF22．（1）∵四边形 ABCD 为矩形∴OA =OB =OC =OD∵四边形 OCED 为平行四边形 ∴四边形 OCED 为菱形 ∴CE ∥OD ，CE =OD ∵OD =OB∴CE ∥OB ，CE =OB∴四边形 OBCE 为平行四边形（2）过 F 作 FM ⊥BC 于 M ，过 O 作 ON ⊥BC 于 N∵FM ⊥BC ，ON ⊥BC∴ON ∥FM A D∵AO =OC E∴ON = 12AB =1BNMC∵OF =FC∴FM = 12ON = 12∵∠AOB =60°，OA =OB∴∠OAB =60°，∠ACB =30° 在 Rt △ABC 中： ∵AB =2，∠ACB =30°∴BC = 2 在 Rt △CFM 中：3BM 2 +FM 2yDE FB A O x∵∠ACB=30°，FM=12∴CM=32∴BM=BC－CM=∴BF= =23．（1）将A（－2，0）代入y =-2x +m 得：m=－4．在y =x2 + 4x + 3 中，令y=0 得：0 =(x+ 3)(x + 1)解得：x1=-3, x2=-1∵点B 在点A 的左侧∴B（－3,0）（2）①如图F（0,1）②y1=x2 + 2 2x + 1或y =x2 - 2 2x + 124．（1）连接OD∵BD 平分∠ABC∴∠ABD=∠DBF∵OB=OD∴∠ABD=∠ODB∴∠DBF=∠ODB∵∠DBF+∠BDF=90°∴∠ODB+∠BDF=90°∴∠ODF=90°3 3271∴FD 是O 的切线（2）连接AD∵AB 是直径∴∠ADE=90°∵BD 平分∠ABC∴∠DBF=∠ABD在Rt△ABD 中，BD=8∵sin ∠ABD = sin ∠DBF =35∴AD=6∵∠DAC=∠DBC3∴sin∠DAC=sin∠DBC =53在Rt△ADE 中，AD=6，sin∠DAC =59∴DE=225．（1）②x > 3 或x <1；③如图y-1 O13xx 的范围x > 3 1 <x < 3 -1 <x < 1 x <-1 y 的符号+ - + -⎨ ⎩-1 < x < 1或x > 3（2）① x < -2 或2 < x < 4 或x > 6② x < 8 或x > 9 且x ≠ 726．（1）x = - b 2a = - -4a = 2 2a （2）y = ax 2 - 4ax + 3a = a ( x -1)( x - 3) ∴ A (1,0)， B (3,0) ，C (2,-a ) ∵a > 0 ∴-a < 0 ∵△ABC 为等边三角形，∴ C (2, - 3 )∴ -a = -∴ a =（3）a ≤ - 8 或a ≥ 4 3 327．（1）BD =CE ．证明：∵AB =AC ，△ADE ∽△ABC ， ∴AD =AE ，∠BAC =∠DAE ．∵∠BAC+∠CAD =∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD =∠CAE ． 在△ABD 和△ACE 中，⎧ AB = AC ⎪∠BAD = ∠CAE ⎪ AD = AE 33 y5 4 32 1 –5 –4 –3 –2 –1 O–1 –2–3 –4 –5 3 ( ,2)2B 4 5 x( 2 ,-1) C3A 1 2 32 MQA∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD =CE ． （2）① 2②连接AP 、AQ ． E∵AB =AC ，AD =AE ，P 、Q 分别为 BC 、DE 的中点，∴AP ⊥BC ，AQ ⊥DE ． D∵∠BAC =∠DAE =105°， BP C∴∠BAP =∠CAP = 1∠BAC =52.5°，2 ∠DAQ = 1∠DAE =52.5°．2在Rt △ABP 中，AP =AB ·cos ∠BAP =2 cos52.5°；在Rt △ADQ 中，AQ =AD ·cos ∠DAQ = 2 cos52.5°．∵∠PAQ =∠CAP+∠DAQ+∠CAD =52.5°+52.5°+30°=135°， 作 QM ⊥PA 的延长线于 M ，∴∠MAQ =45°．∴MQ =MA =2 AQ ．2∵MP =MA +AP ，在Rt △PMQ 中， PQ =即可求出 PQ ．5 MQ 2 + MP 22 2 2⎩⎩ 28．（1）P 2，P 3．（2）由 C （ -3 ，0），D （0，3），E （3，0）可得：直线 CD 的解析式 y = x + 3 ；直线 DE 的解析式 y = - x + 3 ．⎧ y = 2x + 8 由⎨ y = x + 3 ⎧ y = 2x + 8 ，可得直线 l 与直线 CD 交点横坐标 x = -5 ； x = - 5由⎨ y = - x + 3 ，可得直线 l 与直线 DE 交点横坐标 3 ．∴ x < -5 或 x > - 5． pp 3（3） -3 < t < 1 - 或1 + < t < 7 - ．。

北京西城区2019年初三上年末数学试卷含解析解析【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意旳、1、二次函数y=〔x﹣5〕2+7旳最小值是〔〕A、﹣7B、7C、﹣5D、52、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA旳值为〔〕A、B、C、D、3、如图，⊙C与∠AOB旳两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P、假设∠AOB=90°，OP=6，那么OC旳长为〔〕A、12B、C、D、4、将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=〔x﹣h〕2+k旳形式，以下结果中正确旳选项是〔〕A、y=〔x﹣6〕2+5B、y=〔x﹣3〕2+5C、y=〔x﹣3〕2﹣4D、y=〔x+3〕2﹣95、假设一个扇形旳半径是18cm，且它旳弧长是12πcm，那么此扇形旳圆心角等于〔〕A、30°B、60°C、90°D、120°6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A旳坐标为〔﹣1，2〕，AB⊥x轴于点B、以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，那么点A1旳坐标为〔〕A、〔﹣2，4〕B、〔，1〕C、〔2，﹣4〕D、〔2，4〕7、如图，一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，距离灯塔40海里旳A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P旳正东方向上旳B处、这时，B 处与灯塔P旳距离BP旳长能够表示为〔〕A、40海里B、40tan37°海里C、40cos37°海里D、40sin37°海里8、如图，A，B，C三点在旳圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是旳中点，连接DB，DC，那么∠DBC旳度数为〔〕A、30°B、45°C、50°D、70°9、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕10、二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x 轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方，那么m旳值为〔〕A、8B、﹣10C、﹣42D、﹣24【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、假设，那么旳值为、12、点A〔﹣3，y1〕，B〔2，y2〕在抛物线y=x2﹣5x上，那么y1y2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕13、△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，那么△DEF旳周长为、14、如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20、点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件旳AD旳长度值：AD=、15、程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要旳著作、在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺、送行二步与人齐，五尺人高曾记、仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉、良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺、译文：“当秋千静止时，秋千上旳踏板离地有1尺高，如将秋千旳踏板往前推动两步〔10尺〕时，踏板就和人一样高，那个人身高是5尺、漂亮旳小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断、好奇旳能工巧匠，能算出这秋千旳绳索长是多少吗？”如图，假设秋千旳绳索长始终保持直线状态，OA是秋千旳静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板旳位置，弧AB是踏板移动旳轨迹、AC=1尺，CD=EB=10尺，人旳身高BD=5尺、设绳索长OA=OB=x尺，那么可列方程为、16、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆旳切线、：P为⊙O外一点、求作：通过点P旳⊙O旳切线、小敏旳作法如下：如图，〔1〕连接OP，作线段OP旳垂直平分线MN交OP于点C；〔2〕以点C为圆心，CO旳长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；〔3〕作直线PA，PB、因此直线PA，PB确实是所求作旳切线、老师认为小敏旳作法正确、请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是、【三】解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程、17、计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°、18、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC旳值、19、抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B旳左侧、〔1〕求A，B两点旳坐标和此抛物线旳对称轴；〔2〕设此抛物线旳顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD旳面积、20、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC、〔1〕求证：△ABD∽△DCB；〔2〕假设AB=12，AD=8，CD=15，求DB旳长、21、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？22、抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点、〔1〕求k旳值；〔2〕如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k？请写出具体旳平移方法；〔3〕假设点A〔1，t〕和点B〔m，n〕都在抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k上，且n＜t，直截了当写出m旳取值范围、23、如图，AB是⊙O旳一条弦，且AB=、点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA、〔1〕求OA旳长；〔2〕假设AF是⊙O旳另一条弦，且点O到AF旳距离为，直截了当写出∠BAF旳度数、24、奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致旳独立塔组成、在综合实践活动课中，某小组旳同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔旳高度〔测角仪高度忽略不计〕、他们旳操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 旳仰角为45°，然后向最高塔旳塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 旳仰角为58°、请关心他们计算出最高塔旳高度AD 约为多少米、〔参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60〕25、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 旳直径、PC 是⊙O 旳切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E 、 〔1〕求证：∠PCE=∠PEC ；〔2〕假设AB=10，ED=，sinA=，求PC 旳长、26、阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 1=ax+b 与双曲线y 2=交于A 〔1，3〕和B 〔﹣3，﹣1〕两点、 观看图象可知：①当x=﹣3或1时，y 1=y 2； ②当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即通过观看函数旳图象，能够得到不等式ax+b＞旳解集、有如此一个问题：求不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集、某同学依照学习以上知识旳经验，对求不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集进行了探究、下面是他旳探究过程，请将〔2〕、〔3〕、〔4〕补充完整： 〔1〕将不等式按条件进行转化： 当x=0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式能够转化为x 2+4x ﹣1＞；当x ＜0时，原不等式能够转化为x 2+4x ﹣1＜； 〔2〕构造函数，画出图象设y 3=x 2+4x ﹣1，y 4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数旳图象、双曲线y 4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y 3=x 2+4x ﹣1；〔不用列表〕〔3〕确定两个函数图象公共点旳横坐标观看所画两个函数旳图象，猜想并通过代入函数【解析】式验证可知：满足y 3=y 4旳所有x 旳值为；〔4〕借助图象，写出解集结合〔1〕旳讨论结果，观看两个函数旳图象可知：不等式x 3+4x 2﹣x ﹣4＞0旳解集为、27、〔7分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=﹣+bx+c 旳图象通过点A 〔1，0〕，且当x=0和x=5时所对应旳函数值相等、一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c 旳图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限、〔1〕求二次函数y=﹣+bx+c 旳表达式；〔2〕连接AB ，求AB 旳长；〔3〕连接AC ，M 是线段AC 旳中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，推断四边形ABCN 旳形状，并证明你旳结论、28、〔7分〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB旳中点、D是射线BC 上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED旳中点，连接AN，MN、〔1〕如图1，当BD=2时，AN=，NM与AB旳位置关系是；〔2〕当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②推断〔1〕中NM与AB旳位置关系是否发生变化，并证明你旳结论；〔3〕连接ME，在点D运动旳过程中，当BD旳长为何值时，ME旳长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果、29、〔8分〕在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C旳切线l、当入射光线照耀在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l旳夹角和入射光线与切线l旳夹角相等，点P称为反射点、规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射、专门地，圆旳切线不能作为入射光线和反射光线、光线在⊙C外反射旳示意图如图1所示，其中∠1=∠2、〔1〕自⊙C内一点动身旳入射光线经⊙C第一次反射后旳示意图如图2所示，P1是第1个反射点、请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后旳反射光线；〔2〕当⊙O旳半径为1时，如图3，①第一象限内旳一条入射光线平行于x轴，且自⊙O旳外部照耀在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，那么反射光线与切线l旳夹角为°；②自点A〔﹣1，0〕动身旳入射光线，在⊙O内不断地反射、假设第1个反射点P 1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，那么第1个反射点P1旳坐标为；〔3〕如图4，点M旳坐标为〔0，2〕，⊙M旳半径为1、第一象限内自点O动身旳入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P旳纵坐标旳取值范围、2018-2016学年北京市西城区九年级〔上〕期末数学试卷参考【答案】与试题【解析】【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意旳、1、二次函数y=〔x﹣5〕2+7旳最小值是〔〕A、﹣7B、7C、﹣5D、5【考点】二次函数旳最值、【分析】依照二次函数旳性质求解、【解答】解：∵y=〔x﹣5〕2+7∴当x=5时，y有最小值7、应选B、【点评】此题考查了二次函数旳最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x 旳增大而减少；在对称轴右侧，y随x旳增大而增大，因为图象有最低点，因此函数有最小值，当x=﹣，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x旳增大而增大；在对称轴右侧，y随x旳增大而减少，因为图象有最高点，因此函数有最大值，当x=﹣，函数最大值y=、2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA旳值为〔〕A、B、C、D、【考点】锐角三角函数旳定义、【分析】依照勾股定理，可得AB旳长，依照锐角旳余弦等于邻边比斜边，可得【答案】、【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5、cosA==，应选：A、【点评】此题考查了锐角三角函数旳定义，在直角三角形中，锐角旳正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边、3、如图，⊙C与∠AOB旳两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P、假设∠AOB=90°，OP=6，那么OC旳长为〔〕A、12B、C、D、【考点】切线旳性质、【分析】连接CP，由切线旳性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC旳长、【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB旳两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，应选C、【点评】此题考查了切线旳性质定理、切线长定理以及勾股定理旳运用，能够正确旳判定△POC是等腰直角三角形是解题关键、4、将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=〔x﹣h〕2+k旳形式，以下结果中正确旳选项是〔〕A、y=〔x﹣6〕2+5B、y=〔x﹣3〕2+5C、y=〔x﹣3〕2﹣4D、y=〔x+3〕2﹣9【考点】二次函数旳三种形式、【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可、【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=〔x﹣3〕2﹣4，应选：C、【点评】此题考查旳是二次函数旳三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题旳关键、5、假设一个扇形旳半径是18cm，且它旳弧长是12πcm，那么此扇形旳圆心角等于〔〕A、30°B、60°C、90°D、120°【考点】弧长旳计算、【分析】把弧长公式进行变形，代入数据计算即可、【解答】解：依照弧长旳公式l=，得n===120°，应选：D、【点评】此题考查旳是弧长旳计算，掌握弧长旳公式l=是解题旳关键、6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A旳坐标为〔﹣1，2〕，AB⊥x轴于点B、以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，那么点A1旳坐标为〔〕A、〔﹣2，4〕B、〔，1〕C、〔2，﹣4〕D、〔2，4〕【考点】位似变换；坐标与图形性质、【分析】直截了当利用位似图形旳性质以及结合A点坐标直截了当得出点A1旳坐标、【解答】解：∵点A旳坐标为〔﹣1，2〕，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来旳2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1旳坐标为〔﹣2，4〕、应选：A、【点评】此题要紧考查了位似变换以及坐标与图形旳性质，正确把握位似图形旳性质是解题关键、7、如图，一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，距离灯塔40海里旳A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P旳正东方向上旳B处、这时，B 处与灯塔P旳距离BP旳长能够表示为〔〕A、40海里B、40tan37°海里C、40cos37°海里D、40sin37°海里【考点】解直角三角形旳应用﹣方向角问题、【分析】依照条件得出∠BAP=37°，再依照AP=40海里和正弦定理即可求出BP 旳长、【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P旳南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；应选D、【点评】此题考查解直角三角形，用到旳知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数旳有关知识，结合航海中旳实际问题，将解直角三角形旳相关知识有机结合，表达了数学应用于实际生活旳思想、8、如图，A，B，C三点在旳圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是旳中点，连接DB，DC，那么∠DBC旳度数为〔〕A、30°B、45°C、50°D、70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦旳关系、【分析】依照三角形旳内角和定理得到∠A=80°，依照圆周角定理得到∠D=∠A=80°，依照等腰三角形旳内角和即可得到结论、【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是旳中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，应选C、【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦旳关系，等腰三角形旳性质，熟练掌握圆周角定理是解题旳关键、9、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕【考点】依照实际问题列二次函数关系式、【分析】依照降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，依照等量关系列出函数【解析】式即可、【解答】解：降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，依照题意得，y=〔60﹣x〕〔300+20x〕，应选：B、【点评】此题要紧考查了依照实际问题列二次函数【解析】式，关键是正确理解题意，找出题目中旳等量关系，再列函数【解析】式、10、二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x 轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方，那么m旳值为〔〕A、8B、﹣10C、﹣42D、﹣24【考点】二次函数旳性质、【分析】依照抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，在7＜x＜8这一段位于x轴旳上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴旳上方，而图象在1＜x＜2这一段位于x轴旳下方，因此可得抛物线过点〔﹣2，0〕，〔6，0〕，然后把〔﹣2，0〕代入y=2x2﹣8x+m可求出m旳值、【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2〔x﹣2〕2﹣8+m旳对称轴为直线x=2，而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时，它旳图象位于x轴旳下方；当6＜x＜7时，它旳图象位于x轴旳上方∴抛物线过点〔﹣2，0〕，〔6，0〕，把〔﹣2，0〕代入y=2x2﹣8x+m得8+16+m=0，解得m=﹣24、应选D、【点评】此题考查了抛物线与x轴旳交点以及抛物线旳轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕与x轴旳交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x旳一元二次方程即可求得交点横坐标、△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴旳交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点、【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、假设，那么旳值为、【考点】比例旳性质、【分析】旳比值，依照比例旳合比性质即可求得、【解答】解：依照比例旳合比性质，=，那么=、【点评】熟练应用比例旳合比性质、12、点A〔﹣3，y1〕，B〔2，y2〕在抛物线y=x2﹣5x上，那么y1＞y2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕【考点】二次函数图象上点旳坐标特征、【分析】分别计算自变量为﹣3、2时旳函数值，然后比较函数值旳大小即可、【解答】解：当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；∵24＞﹣6，∴y1＞y2、故【答案】为：＞、【点评】此题考查了二次函数图象上点旳坐标特征：二次函数图象上点旳坐标满足其【解析】式、也考查了二次函数旳性质、13、△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，那么△DEF旳周长为90、【考点】相似三角形旳性质、【分析】由△ABC旳三边长分别为5，12，13，与它相似旳△DEF旳最小边长为15，即可求得△AC旳周长以及相似比，又由相似三角形旳周长旳比等于相似比，即可求得【答案】、【解答】解：∵△ABC旳三边长分别为5，12，13，∴△ABC旳周长为：5+12+13=30，∵与它相似旳△DEF旳最小边长为15，∴△DEF旳周长：△ABC旳周长=15：5=3：1，∴△DEF旳周长为：3×30=90、故【答案】为90、【点评】此题考查了相似三角形旳性质、熟练掌握相似三角形旳周长比等于相似比是解题关键、14、如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20、点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件旳AD旳长度值：AD=10、【考点】含30度角旳直角三角形、【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB ＞∠AEB，即可得到结论、【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故【答案】为：10、【点评】此题考查了含30°角旳直角三角形旳性质，熟记直角三角形旳性质是解题旳关键、15、程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要旳著作、在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺、送行二步与人齐，五尺人高曾记、仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉、良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺、译文：“当秋千静止时，秋千上旳踏板离地有1尺高，如将秋千旳踏板往前推动两步〔10尺〕时，踏板就和人一样高，那个人身高是5尺、漂亮旳小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断、好奇旳能工巧匠，能算出这秋千旳绳索长是多少吗？”如图，假设秋千旳绳索长始终保持直线状态，OA是秋千旳静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板旳位置，弧AB是踏板移动旳轨迹、AC=1尺，CD=EB=10尺，人旳身高BD=5尺、设绳索长OA=OB=x尺，那么可列方程为102+〔x ﹣5+1〕2=x2、【考点】由实际问题抽象出一元二次方程、【分析】设绳索有x尺长，现在绳索长，向前推出旳10尺，和秋千旳上端为端点，垂直地面旳线可构成直角三角形，依照勾股定理列出方程、【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+〔x﹣5+1〕2=x2、故【答案】为：102+〔x﹣5+1〕2=x2、【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解、16、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆旳切线、：P为⊙O外一点、求作：通过点P旳⊙O旳切线、小敏旳作法如下：如图，〔1〕连接OP，作线段OP旳垂直平分线MN交OP于点C；〔2〕以点C为圆心，CO旳长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；〔3〕作直线PA，PB、因此直线PA，PB确实是所求作旳切线、老师认为小敏旳作法正确、请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对旳圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、【考点】作图—复杂作图；切线旳判定、【分析】分别利用圆周角定理以及切线旳判定方法得出【答案】、【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对旳圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB差不多上⊙O旳切线，其依据是：通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、故【答案】为：直径所对旳圆周角是90°；通过半径外端，且与半径垂直旳直线是圆旳切线、【点评】此题要紧考查了切线旳判定以及圆周角定理，正确把握切线旳判定方法是解题关键、【三】解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程、17、计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°、【考点】专门角旳三角函数值、【分析】依照专门角三角函数值，可得实数旳运算，依照实数旳运算，可得【答案】、【解答】解：原式=4××﹣〔〕2=6﹣=、【点评】此题考查了专门角三角函数值，熟记专门角三角函数值是解题关键、18、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC旳值、【考点】解直角三角形、【分析】依照在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，能够求得BD、AD、CD旳长，从而能够求得tanC旳值、【解答】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9，∴AD=，∴tanC=、即tanC旳值是、【点评】此题考查解直角三角形，解题旳关键是计算出题目中各边旳长，找出所求问题需要旳条件、19、抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B旳左侧、〔1〕求A，B两点旳坐标和此抛物线旳对称轴；〔2〕设此抛物线旳顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD旳面积、【考点】抛物线与x轴旳交点、【分析】〔1〕令y=0解方程即可求得A和B旳横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；〔2〕首先求得D旳坐标，然后利用面积公式即可求解、【解答】解：〔1〕令y=0，那么﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3、那么A旳坐标是〔﹣1，0〕，B旳坐标是〔3，0〕、y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，那么对称轴是x=1，顶点C旳坐标是〔1，4〕；〔2〕D旳坐标是〔1，﹣4〕、AB=3﹣〔﹣1〕=4，CD=4﹣〔﹣4〕=8，那么四边形ACBD旳面积是：AB•CD=×4×8=16、【点评】此题考查了待定系数法求函数【解析】式以及配方法确定二次函数旳对称轴和顶点坐标，正确求得A和B旳坐标是关键、20、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC、〔1〕求证：△ABD∽△DCB；〔2〕假设AB=12，AD=8，CD=15，求DB旳长、【考点】相似三角形旳判定与性质、【分析】〔1〕依照平行线旳性质，可得∠ADB与∠DBC旳关系，依照两个角对应相等旳两个三角形相似，可得【答案】；〔2〕依照相似三角形旳性质，可得【答案】、【解答】〔1〕证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC、∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；〔2〕∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB旳长10、【点评】此题考查了相似三角形旳判定与性质，利用了两个角对应相等旳两个三角形相似，利用相似三角形旳对应边成比例是解题关键、21、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？【考点】一元二次方程旳应用、【分析】设人行道旳宽度为x米，那么矩形绿地旳长度为：，宽度为：8﹣2x，依照两块绿地旳面积之和为60平方米，列方程求解、【解答】解：设人行道旳宽度为x米，由题意得，2××〔8﹣2x〕=60，解得：x1=2，x2=9〔不合题意，舍去〕、答：人行道旳宽度为2米、【点评】此题考查了一元二次方程旳应用，解答此题旳关键是读懂题意，设出未知数，找出合适旳等量关系，列方程求解、22、抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点、〔1〕求k旳值；〔2〕如何样平移抛物线C1就能够得到抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k？请写出具体旳平移方法；〔3〕假设点A〔1，t〕和点B〔m，n〕都在抛物线C2：y2=2〔x+1〕2﹣4k上，且n＜t，直截了当写出m旳取值范围、【考点】抛物线与x轴旳交点；二次函数图象上点旳坐标特征；二次函数图象与几何变换、【分析】〔1〕抛物线与x轴只有一个公共点，那么判别式△=0，据此即可求得k旳值；〔2〕把C1化成顶点式旳形式，利用函数平移旳法那么即可确定；〔3〕首先求得t旳值，然后求得等y=t时C2中对应旳自变量旳值，结合函数旳性质即可求解、【解答】解：〔1〕依照题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；〔2〕C1是：y1=2x2﹣4x+2=2〔x﹣1〕2，抛物线C2是：y2=2〔x+1〕2﹣8、那么平移抛物线C1就能够得到抛物线C2旳方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；〔3〕当x=1时，y2=2〔x+1〕2﹣8=0，即t=0、在y2=2〔x+1〕2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3、那么当n＜t时，即2〔x+1〕2﹣8＜0时，m旳范围是﹣3＜m＜1、【点评】此题考查抛物线与x轴旳交点旳个数旳确定，以及函数旳平移方法，依照函数旳性质确定m旳范围是关键、23、如图，AB是⊙O旳一条弦，且AB=、点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA、〔1〕求OA旳长；〔2〕假设AF是⊙O旳另一条弦，且点O到AF旳距离为，直截了当写出∠BAF旳度数、【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理、【分析】〔1〕依照垂径定理求出AD旳长，依照圆周角定理求出∠AOD旳度数，运用正弦旳定义解答即可；〔2〕作OH⊥AF于H，依照勾股定理和等腰直角三角形旳性质求出∠OAF旳度数，分情况计算即可、【解答】解：〔1〕∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；〔2〕如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，那么∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°，∴∠BAF旳度数是75°或15°、【点评】此题考查旳是垂径定理、圆周角定理和勾股定理旳应用，掌握垂直弦旳直径平分这条弦，同时平分弦所对旳两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等，都等于这条弧所对旳圆心角旳一半是解题旳关键，注意分情况讨论思想旳应用、24、奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致旳独立塔组成、在综合实践活动课中，某小组旳同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔旳高度〔测角仪高度忽略不计〕、他们旳操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A 旳仰角为45°，然后向最高塔旳塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A旳仰角为58°、请关心他们计算出最高塔旳高度AD约为多少米、〔参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60〕【考点】解直角三角形旳应用﹣仰角俯角问题、【分析】依照条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再依照tan58°=，求出x旳值，即可得出AD旳值、【解答】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，那么BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240〔米〕，答：最高塔旳高度AD约为240米、【点评】此题考查了解直角三角形旳应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想旳运用、25、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O旳直径、PC是⊙O旳切线，C为切点，PD ⊥AB于点D，交AC于点E、〔1〕求证：∠PCE=∠PEC；〔2〕假设AB=10，ED=，sinA=，求PC旳长、【考点】切线旳性质、【分析】〔1〕由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对旳圆周角等于90°可知∠ACB=90°、由同角旳余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角旳性质可知∠PCE=∠PEC；〔2〕过点P作PF⊥AC，垂足为F、由锐角三角函数旳定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一旳性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形旳性质可求得PE旳长，从而得到PC旳长、【解答】解：〔1〕∵PC是圆O旳切线，∴∠PCA=∠B、∵AB是圆O旳直径，∴∠ACB=90°、∴∠A+∠B=90°、∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°、∴∠AED=∠B、∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC、〔2〕如下图，过点P作PF⊥AC，垂足为F、。

数学试卷x2019年北京市各城区中考二模数学——代数综合题23题汇总1、（2019年门头沟二模）23. 已知二次函数223y x x =-++图象的对称轴为直线． （1）请求出该函数图像的对称轴； （2）在坐标系内作出该函数的图像；（3）有一条直线过点p (1,5)223y x x =-++只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式.2、（2019年丰台二模）23.如图,二次函数2y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）. （1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标； （3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.3、（2019年平谷二模）23．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．4、(2019年顺义二模) 23．已知关于x 的一元二次方程2440mx x m ++-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．5、（2019年石景山二模）23. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．解：6、（2019年海淀二模）23．已知关于x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中0m >.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，若点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下， 函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的部分与直线y kx =（0k >）交于两点，当向上平移直线y kx=时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k 的值是________________.7、（2019年西城二模）23．经过点（1，1）的直线l ： 2 (0)y kx k =+≠与反比例函数G 1:1 (0)my m x=≠的图象交于点(1,)A a -，B （b ，-1），与y 轴交于点D ． （1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式；（2）反比例函数G 2::2 (0)ty t x=≠，①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N的左侧），若DM DN +<出t 的取值范围．8、（2019年通州二模）无9、（2019年东城二模）23．已知：关于x 的一元二次方程2(3)-30mx m x +-=．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根； （2）设抛物线2(3)-3y mx m x =+-，证明：此函数图像一定过x 轴，y 轴上的两个定点（设x 轴上的定点为点A ，y 轴上的定点为点C ）；（3）设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围．10、（2019年朝阳二模）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ．（1）当21=m 时， _____MN PM =；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．11、（2019年密云二模）23. 已知P （﹣3，m ）和Q （1，m ）是抛物线y=2x 2+bx+1上的两点．（1）求b 的值;（2）判断关于x 的一元二次方程2x 2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由;（3）将抛物线y=2x 2+bx+1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．12、（2019年延庆二模）13、(2019年房山二模) 23. 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.14、（2019年昌平二模）23．已知抛物线2(31)2(1)(0)y ax a x a a =-+++≠.（1）求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；（2）若抛物线2(31)2(1)y ax a x a =-+++与x 轴交于A (m ,0)、 B （n ,0）两点，m 、n 、a 均为整数，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点P (n －l ，n ＋l ）、Q (0,a ），求一次函数的表达式.15、（2019年怀柔二模）23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标； （3）已知：直线y=k k x k(4+->0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．16、（2019年大兴二模）23．已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、（2019年燕山二模）23. 已知关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标； （3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的 部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的 其余部分不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象与直线m x y +=有三个不同公共点时m 的值．。

代数综合专题东城区20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分（2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分西城区20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得(3)(3)2m m x m --±+=，∴11x =，23x m =-（0m ≠）．∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m 的值为1-或3-．海淀区20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数．．，判断方程根的情况. 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分 ∴13m =-. ………………3分(2)24125b ac m ∆=-=-+.∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分∴此方程有两个不相等的实数根.丰台区20．已知：关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m 的值．20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0. ∴Δ=24421680m m --⋅=->（）． ∴2m <. ………………………2分（2）∵2m <，且m 为非负整数，∴=0m 或1. ………………………3分当m =0时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意；当m =1时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m =0. ………………………5分石景山区20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．20．解：（1）∵24b ac ∆=-2(32)24m m =-+2(32)0m =+≥∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分（2）解方程，得： 12x m =,23x =-． …………… 4分∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数,∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分 朝阳区20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………1分.)1(2-=k …………………………………2分∵0)1(2≥-k ，∴方程总有两个实数根. ………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分∵方程有一个根是正数，∴0>-k .∴0<k .………………………………5分燕山区21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．21．（1） 证明：因为[])(14)12(4222k k k ac b +⨯⨯-+-=-01〉=所以有两个不等实根 …………3′..(2)当x=1 时，01)12(12=++⨯+-k k k02=-k k ′1021==k k 或 ………5′门头沟区22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.22（本小题满分5分）解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分∴3k ≤． ………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴123k =，，．当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分大兴区20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k ）≥0．解得2≥-k ．……………………………………………………………1分∵k 为负整数，∴k =－1，－2．……………………………………… 2分（2）当1=-k 时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分当2=-k 时，符合题意，此时方程的根为121==x x ．………… 5分平谷区20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴()2Δ2410k =--> ···················· 1 =8－4k >0.∴2k < (2)（2）∵k 为正整数，∴k =1． (3)解方程220x x +=，得120,2x x ==-． (5)怀柔区20.已知关于x 的方程226990-+-=x mx m .（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求m 的值.20.(1）∵△=(-6m)2-4(9m 2-9) ……………………………………………………………………1分=36m 2-36m 2+36=36>0.∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分（2）66332m x m ±===±.……………………………………………………3分 ∵3m+3>3m -3,∴x 1=3m+3,x 2=3m-3, …………………………………………………………………………4分 ∴3m+3=2(3m -3) .∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分 延庆区20．已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个．．即可） 2．请你写出作图的依据．C B O A20． （1）作图（略） ……2分（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分顺义区20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围．20．（1）证明：∵()214(26)m m ⎡⎤∆=----⎣⎦221824m m m =-+-+21025m m =-+()25m =-≥0 …………………………………………………… 2分∴方程总有两个实数根．………………………………………………… 3分（2）解：∵1(5)2m mx-±-==，∴13x m=-，22x=．……………………………………………… 4分由已知得30m-<．∴3m<．………………………………………………………………… 5分。

如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述 圆心O 的位置②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上（2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题 意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2 丰台如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是（2）如果21=AC AD ，那么=BF AF （3）如果nAC AD 1=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD（1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值4 怀柔在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1） 依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明 （3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）BBA BCDPA BCD如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中 点，连接FG（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF①在图2中，依据题意补全图形 ②求证:DF =6 燕山正方形ABCD 中，将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ，过点C 作CE ⊥AM ，垂足为E ，连接BE(1) 当045α︒<<︒时，设AM 交BC 于点F① 如图1，若α＝35°，则∠BCE ＝ ° ② 如图2，用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3)，请直接用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H（1）依题意补全图形8 门头沟如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E （1）求证：∠CAE =∠CBD（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点（不与A ，B 重合）MC BP ⊥，垂足为P ，将CPB ∠绕点P 旋转，得到''PB C ∠，当射线'PC 经过点D 时，射线'PB 与BC 交于点N （1）依题意补全图形 （2）求证：CPD ∽∆∆BPN（3）在点M 的运动过程中，图中是否存在与BM 始终相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明，若不存在，请说明理由10 西城如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论 （2）若AB =2，AD =22，∠BAC =105°，∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求PQ 长的思路如图，在ABC Rt ∆中，BC AB ABC ==∠，090，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将ACE ∠的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转090，得到射线''CA CE ，，过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线''CA CE ，于点F ，G（1）依题意补全图形（2）若α=∠ACE ，求AFC ∠的大小（用含α的式子表示） （3）用等式表示线段AE ，AF ，与BC 之间的数量关系，并证明 12 东城如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且MB MN BMN 2900==∠，，点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF=PM ，连接DF （1）依题意补全图形 （2）求证：DF=BM（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD 交于点F （1）求∠AFB 的度数 （2）求证：BF=EF（3）连接CF ，直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系14 石景山在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，BC =，过点B 作直线l ∥AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，直线CA '，CB '分别交直线l 于点D E ，．（1）当点A '，D 首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形； ②直接写出A CB '∠的度数； （2）如图2，若CD AB ⊥，求线段DE 的长；（3）求线段DE 长度的最小值．1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=ABEA证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵»»BCBC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中，=AB∴=AB2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）11AF BF n =- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60°∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上CAE BD FlD A 图1②12α （2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =，⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥，BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）134（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120° 证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP图2∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）BF =（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上∵»»BFBF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CEBE 证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2A BCDP HQ∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE ＝2BE ∴AE ＝AG ＋GE ＝CE ＋2BE (2) AE ＋CE ＝2BE7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分（2）证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠CHF ∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠BFG（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末） （1）证明：如图1，∵ ∠ACB = 90°，AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD （2）① 补全图形如图2HG FEDABC图1②2=+EF CE BE证明：在AE上截取AM，使AM=BE又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴2.=ME CE又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE+2CE9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）10（2019.1+++西城+++初三上+++期末）11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末）（1）补全的图形如图所示(2)解:由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A作AB的垂线AD ∴∠BAD=90°∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME∵E 为MN 的中点 ∴MN ＝2ME ∵MN ＝2MB∴MB ＝ME＝D F ．…………………………………………………………3分（3）结论：AM = …………………………………………………………4分 连接AF由（2）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP. ∴DF ∥ME.∴∠FDN ＝∠MND.在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90°∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA∴∠FAM＝∠DAB ＝90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分 ∴FM =又∵FM ＝2PM∴ AM = …………………………………………………………7分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。

1在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2－4mx ＋4m －2 的顶点为M（1）顶点M 的坐标为_______ __（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2①点N 的坐标为_____________②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围2在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx a =+过点A （-1，0）（1）求抛物线的对称轴（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ，如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围3在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -（1）当1a =时①求抛物线G 与x 轴的交点坐标 ②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4（1）求抛物线的表达式（2）求CAB ∠的正切值（3）如果点P 是x 轴上的一点，且ABP CAO ∠=∠，直接写出点P 的坐标5在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2 （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围 （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围6在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B（1）直接写出点B 的坐标（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点A （0，2），B （3，4-）（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有两个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围8在平面直角坐标系中xoy 中，抛物线()()02212≠--+=a x a ax y 与y 轴交于点C ，当a=1时，该抛物线与x 轴的两个交点为A ，B （点A 在点B 左侧）（1）求点A ，B ，C 的坐标（2）若该抛物线与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图像，求a 得取值范围9在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线a ax ax y 342+-= （1）求抛物线的对称轴（2）当a >0 时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，若△ABC 为等边三角形，求a 的值（3）过T （0，t ）（其中21≤≤-t ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段 MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围已知抛物线()m x m x y -+-+-=652（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 得取值范围（3）设抛物线()m x m x y -+-+-=652与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点恰好是点M ，求m 的值11在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=2经过点A ，B ，C ，已知A （-1,0）C （0,3） （1）求抛物线的表达式（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当BCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标（3）如图2，抛物线顶点为E ，x EF ⊥轴于F 点，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴上一动点，若090=∠MNC ，直接写出实数m 的取值范围在平面直角坐标系xoy 中，抛物线的表达式为m m mx x y 224222+-+-=，线段AB 的两个端点分别为A （1,2）B （3,2）（1）若抛物线经过原点，求出m 的值（2）求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求出m 的取值范围13在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）经过（1,0），且与y 轴交于点C（1）直接写出点C 的坐标（2）求a ,b 的数量关系（3）点D （t ，3）是抛物线y =ax 2+bx +3上一点（点D 不与点C 重合）①当t =3时，求抛物线的表达式②当3<CD <4时，求a 的取值范围。

1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=AB证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵BC BC =∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中，=AB∴=AB2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）11AF BF n =- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60° ∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG ∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG ∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-CAE BD F3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②12α（2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =，⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥，BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）134（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120°图2lD A 图1lE DA图2证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP ∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）BF =（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上 ∵BF BF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =A BCDP HQ6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CE证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2 ∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE∴AE ＝AG ＋GE ＝CE(2) AE ＋CE7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分（2）证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）证明：如图1，∵∠ACB = 90°，AE⊥BD ∴∠ACB =∠AEB = 90°又∵∠1=∠2 ∴∠CAE =∠CBD（2）①补全图形如图2②EF BE =+证明：在AE上截取AM，使AM=BE又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴.ME=又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）图2 图110（2019.1+++西城+++初三上+++期末）11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）补全的图形如图所示 (2)解:由题意可知，∠ECF=∠ACG=90° ∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A 作AB 的垂线AD ∴∠BAD=90° ∵AB=BC,∠ABC =90° ∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPEFPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△FPD（SAS）…………………………………………………………2分∴DF＝ME∵E为MN的中点∴MN＝2ME∵MN＝2MB∴MB＝ME＝D F．…………………………………………………………3分（3）结论：AM …………………………………………………………4分连接AF由（2）可知：△MPE≌△FPD∴∠DFP＝∠EMP.∴DF∥ME.∴∠FDN＝∠MND.在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°又∵∠BMN＝90°∴∠MBA＋∠MNA＝180°又∵∠MNA＋∠MND＝180°∴∠MBA＝∠MND∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA∴∠FAM ＝∠DAB ＝90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴FM 又∵FM ＝2PM∴AM = …………………………………………………………7分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。

2019年1月期末试题分类汇编——几何综合（2018·石景山1月期末·25）将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转,旋转角为）（︒<α<︒α900，旋转后使各边长变为原来的n 倍，得到C B A ''△,我们将这种变换记为[n ,α]． （1）如图①,对ABC △作变换[3,60 ]得C B A ''△，则C B A S ''△：ABC S △= ___；直线BC 与直线C B ''所夹的锐角为 __ °；（2）如图②，ABC △中，330,90==∠=∠AC BAC ACB ， ，对ABC △ 作变换[n ,α]得C B A ''△，使得四边形C B AB ''为梯形，其中AB ∥C B '',且梯形C B AB ''的面积为312，求α和n 的值．25. 解：（1………………………………………2分 （2） 由题意可知：C B A ''△∽ABC △n BC C B AC C A C C =''='=∠='∠∴,90︒=∠∴90',''//BAC C B AB60-90=∠︒=α∴BAC ……………………………4分在ABC Rt △中,121230cos ====AB BC AC AB ，n C B n AC =''=∴,3'………………………………5分∴在直角梯形C B AB ''中，()C A C B AB S '''+=21()3123221=+=n n …………………………6分()舍去6,4-==∴n n ………………………………7分4,60==α∴n（2018·西城1月期末·24）已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE. （1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH⊥BC 于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．24．（1）ADBE=，AD BE⊥．........................................... 2分（2）证明：连接DM，AM．在等边三角形ABC中，M为BC的中点，∴ AM BC⊥，1302BAM BAC∠=∠=︒，AMBM∴ 90BME EMA∠+∠=︒．同理，DMEM，90AMD EMA∠+∠=︒．∴AM DMBM EM=，AM D BM E∠=∠．·3分∴ △ADM ∽△BEM．∴AD DMBE EM==...................................... 4分延长BE交AM于点G，交AD于点K．∴ M AD M BE∠=∠，BGM AGK∠=∠．∴ 90GKA AMB∠=∠=︒．∴ AD BE⊥．............................................ 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转α(o0≤α≤∵ △ADM ∽△BEM，∴ 2()3ADMBEMS ADS BE∆∆==．∴13BEM ADMS S∆∆=∴ABM ADM BEM DEMS S S S S∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEMS S S∆∆∆=+-121133)12322x=⨯⨯⨯⨯--⨯=∴ S=（3≤x≤3+）．.......................... 6分(ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转α(o0≤α≤o90)角时，可证△ADM∽△BEM，∴ 21()3BEMADMS BMS AM∆∆==．∴13BEM ADMS S∆∆=．∴ABM BEM ADM DEMS S S S S∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEMS S S∆∆∆=--21)32x=⨯⨯-+=∴ S =3≤x ≤3)．综上，S =(3≤x≤3+)． .......................... 7分（2018·海淀1月期末·24）已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形 ，且AB>CE ． （1）如图1，连接BG 、DE ．求证：BG=DE ；（2）如图2，如果正方形ABCDCEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得C G//BD ，BG=BD.①求BDE ∠的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值.24. （本小题满分7分）解：（1）证明：∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC DC =，CG CE =，90BCD GCE ∠=∠=︒. ∴BCD DCG GCE DCG ∠+∠=∠+∠.BCG DCE ∠=∠即：. (1)分∴△BCG ≌△DCE .∴BG D E =.………………………………2分（2）①连接BE .由（1）可知：BG=DE. ∵//CG BD ，∴=45D CG BD C ∠∠=︒.∴9045135BCG BCD G CD ∠=∠+∠=︒+︒=︒. ∵90G CE ∠=︒,∴36036013590135BCE BCG G CE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. ∴=BCG BCE ∠∠.…………………………3分 ∵BC BC CG CE ==，, ∴△BCG ≌△BCE .∴BG BE =.………………………………4分∵BG BD DE ==,∴BD BE DE ==. ∴△BDE 为等边三角形.∴60.BDE ∠=︒ …………………………5分②正方形CEFG1. ……………………………………………7分（2018·朝阳1月期末·25）将△ABC 绕点B 逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直线DE 与直线AC 相交于点F ，连接BF ．（1）如图1，若α=60°，DF=2AF ，请直接写出BFAF等于 ； （2）若DF=mAF ，（m>0，且m≠1）①如图2，求BFAF；（用含α，m 的式子表示） ②如图3，依题意补全图形，请直接写出BFAF等于 ．（用含α，m 的式子表示）GFEDCBA图2ABCDEFG图1ABCDFG图1 图2 图325.解：（1）1． ………………………………1分 （2）①如图2，在DF 上截取DG ，使得DG=AF ，连接BG ．由旋转知，DB=AB ，∠D=∠A．∴△DBG≌△ABF．∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分 过点B 作BN⊥GF ∴点N 为GF 中点，∠FBN=2α． 在Rt△BNF 中，NF=2sin α⋅BF ，∴GF=sin2α⋅BF∵DF=DG+GF， ……………………4分∴mAF=AF+22αBF(m-1)AF=2BF 注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.图3图2（2018·东城1月期末·24）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论； （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图324．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC 是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN=CF, DN=EM ． ∴CF=EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒，∴2AB AC =． 又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2∵112S CF BD =，212S AC EM =，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H.∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH=DG ．BDBD又∵CE=CB, 图3 ∴12S S =． ……………………..7分（2018·丰台1月期末·25）已知ABD ∆和CBD ∆关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C )，点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，联结AF 、AE ，AE 交BD 于点G ． （1）如图（1），求证：ABD EAF ∠=∠；（2）如图（2），当AD AB =时，M 是线段AG 上一点，联结BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，BAF MBF ∠=∠21，AD AF 32=，试探究线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的结论．图（1） 图（2）25. (1)证明：如图1 连接FE 、FC∵点F 在线段EC 的垂直平分线上,∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分∵△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称． ∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 ∴∠5=∠6，∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600∴∠AFE+∠ABE=1800………………………………3分又∵∠AFE+∠5+∠6=1800， ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分(2)解：FM=72FN ……………………………………………5分 证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF又∵∠MBF=12∠B AF ，∴∠MBF=12∠AGF 又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG∴BG=MG…………………………6分 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．GF AG AFGA DG DA∴==∵AF=23AD 23GF AG GA DG ∴== 图2 G FEDCBA NMGF EDBA设GF=2a ，则AG=3a ， ∴GD=92a ，∴FD=DG -GF=922a a -=52a ∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴//BE AD ．∴BG EG GD AG =23EG AG BG GD ∴==，设EG=2k ，则MG=BG=3k 过点F 作FQ∥ED 交AE 于Q ，24552GQ GF a a QE FD ∴=== 45GQ QE ∴=……………………7分∴GQ=49EG=89k ．∴QE=109k ， MQ=MG+GQ=3k+89k =359k ∵FQ∥ED，35791029kMF MQ FN QE k ∴===.∴FM=72FN ……………8分（2018·昌平1月期末·25）已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=CD ，∠BAD=120°，点E 是射线CD 上的一个动点（与C 、D 不重合），将△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；（2）如图2，如果将直线AE 绕点A 顺时针旋转30°后交直线BC 于点F ，过点E 作EM ∥AD 交直线AF 于点M ，写出线段DE 、BF 、ME 之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=ME 的长.25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分(2)当点E 在线段CD 上时，2DE BF M E +=； ………………………………………… 2分 当点E 在CD 的延长线上，030EAD ︒<∠<︒时，2BF DE M E -=； ………………… 3分3090EAD ︒<∠≤︒时，2DE BF M E +=； 90120EAD ︒<∠<︒时，2DE BF M E -=. …………………………………………4分(3)作AG BC ⊥于点G, 作DH BC ⊥于点H.由AD ∥BC ，AD=AB=CD ，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，易知四边形AGHD 是矩形和两个全等的直角三角形ABG DCH ∆∆，.则GH=AD , BG=CH. ∵120ABE ADC '∠=∠=︒,E'MF ED CBA E'ED BA图1图2E'MF ED BA 图3∴点E '、B 、C 在一条直线上.设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=12x ,. 作EQ BC ⊥于Q.在Rt △EQC 中，CE=2, 60C ∠=︒, ∴1CQ =, EQ ∴E'Q=21233BC CQ BE x x x '-+=-+-=-.…………………………………5分 作AP EE '⊥于点P.∵△ADE 绕点A 顺时针旋转120°后，得到△ABE'.∴△A EE'是等腰三角形，30,AE E AE AE ''∠=︒==. ∴在Rt △AP E'中，∴EE'=2 E'P=……………………………………………………………………6分 ∴在Rt △EQ E'中，9=. ∴339x -=.∴4x =. ………………………………………………………… 7分 ∴2,8DE BE BC '===，2BG =. ∴4E G '=在Rt △E'AF 中,AG BC ⊥,∴Rt △AG E'∽Rt △FA E'. ∴AE E FE G AE ''=''∴7E F '=.∴5BF E F E B ''=-=. 由（2）知：2DE BF M E +=. ∴72ME =. ………………………………………………………… 8分 （2018·怀柔1月期末·24）（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是边BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），联结AM ，以AM 为边作等边△AMN，联结CN ．求证：∠ABC=∠ACN．[: 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是边BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】PQ ACDEF ME'H G图1B图2C图3B图1B 图2C图3B（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA=BC ，点M 是边BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），联结AM ，以AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．24.（（本小题满分7分）（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM≌△CAN（SAS ），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分（2）结论∠ABC=∠ACN 仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN ， ∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS ），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，……………………6分 ∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分（2018·顺义1月期末·24）如图，ABC △和ADE △都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD ，BE ，CE ，延长CE 交AB 于点F ，交BD 于点G ．（1）求证：AFC GFB △∽△；（2）若ADE △是边长可变化的等腰直角三角形，并将ADE △绕点GF E DCBADGFE C B AD (G )FECB A D(G )(F)ECB AA 旋转，使CE 的延长线始终与线段BD （包括端点B 、D ）相交．当BDE △为等腰直角三角形时，求出AB BE ∶的值．24．解：（1）证明：∵9090BAC DAE ∠=∠=°，°， ∴90DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠=°．∴DAB EAC ∠=∠．…………………………………………………1分 ∵AD AE =，且AB AC =， ∴ADB AEC △≌△，∴DBA ECA ∠=∠．…………………………………………………2分 又GFB AFC ∠=∠， …………………………………………… 3分 ∴AFC GFB △∽△．………………………………………………4分（2）解：∵AFC GFB △∽△，∴90FGB FAC ∠=∠=°．①当90DEB ∠=°，DE=BE 时，如图①所示，设AD=AE=x，则DE =．∵BDE △为等腰直角三角形，∴BE DE ==．∴2BD x =．∵45ADB ADE EDB ∠=∠+∠=°+4590︒=°， 图①∴AB =．∴AB BE ∶= ……………………………………………5分 ②当90EDB ∠=°，DE=DB 时，如图②所示， 同理设AD=AE=x，则DE BD ==． ∴2BE x =． ∵90AEB ∠=°，∴AB ==．∴2AB BE ∶=． ……………… 6分图② ③当90DBE ∠=°，BD=BE 时，如图③所示，同理设AD=AE=x，则DE =．∴BD=BE=x ．∴四边形ADBE 是正方形，∴AB DE =．∴ABBE ∶=1． …………7分 图③ （2018·延庆1月期末·24）如图①，已知点O 为菱形ABCD 的对称中心，∠A =60°，将等边△OEF 的顶点放在点O 处，OE ，OF 分别交AB ，BC 于点M ，N.（1）求证：OM=ON ；（2）写出线段BM ，BN 与AB 之间的数量关系，并进行证明；（3）将图①中的△OEF 绕O 点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM ，BN与AB 之间的数量关系，并进行证明.24.（1）证明：取BC 的中点G ，连接OG ∵菱形ABCD,∠A =60°∴∠A =∠C=∠A BD=60°,AB=BC=CD=DA ……1分 ∵点O 为菱形ABCD 的对称中心 ∴OD=OB∴12OG CD =，OG//CD ………………2分 ∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2 ∵∠BGO=∠A BD=60° ∴△OBM ≌△OGN∴OM=ON ………………3分 (2)由（1）可知，BM=NG∵OB=OD ，BG=GC ∴12BG BC =∵BG=BN+NG ，AB=BC ∴12BN NG AB += ………………5分（3）取BC 中点G 同理可证：∴△OBM ≌△OGN ∴BM=GN ………………6分 ∴BG=BN-NG ∵12BG BC = ∴12BN NG AB -= ………………7分图②CA图① AC。

2019年1月期末试题分类汇编——代数综合（2018·石景山1月期末·24）如图，二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b x y +=2的图象交于)10(，A ，B 两点. C ）（0,1为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的解析式；（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.” 当直线213-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点时，求k 的值.24. 解：（1）设抛物线解析式为2)1(-=x a y ，由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y …………2分 （2）可得)4,3(B直线21-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况： ①直线21-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分②直线21-=kx y 过点)4,3(B ，此时23=k ； ………………4分③直线21-=kx y 与二次函数122+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.12212x x y kx y ， 得21122-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分 综上：1=k ，23=k ，2-6=k （2018·西城1月期末·8）若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是A ．2m <B ．2m >C ．94m <D ．94m >23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上．①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=．整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-．又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m=4．②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． .................. 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． ................. 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况： (ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++； (ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++； 当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ....... 7分（2018·海淀1月期末·23）已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.23. （本小题满分7分）解：（1）令0y =，则2(1)210m x mx m --++=.∵2(2)4(1)(1)4m m m ∆=---+=， 解方程，得 222(1)m x m ±=-.∴11x =，211m x m +=-. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（11m m +-，0）. …………………2分 （2） ∵1m >， ∴111m m +>-. 由题意可知，1121m m +-=-. …………………………………………………3分解得，2m =.经检验2m =是方程的解且符合题意.∴2m =.………………………………………………………………………4分 （3）∵一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程2(1)21kx k m x mx m -=--++有两个相等的实数根. 整理该方程，得 2(1)(2)10m x m k x m k --++++=，∴222(2)4(1)(1)44(2)0m k m m k k k k ∆=+--++=++=+=， 解得 122k k ==-. …………………………………………………………6分 ∴一次函数的解析式为22y x =-+.………………………………………7分（2018·东城1月期末·23）已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a, m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值． 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a ---(1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y=0时，解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB=（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分 当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1．∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分（2018·昌平1月期末·24）已知二次函数y = x 2– kx + k – 1（ k ＞2）. （1）求证：抛物线y = x 2– kx + k - 1（ k ＞2）与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C,若tan 3OAC ∠=，求抛物线的表达式；（3）以（2）中的抛物线上一点P （m,n ）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 取何值时，x 轴与P 相离、相切、相交.24．（1）证明：∵()()2411k k ∆=--⨯⨯-()22k =-，……………………… 1分 又∵2k >，∴20k ->.∴2(2)0k ->即0∆>.∴抛物线y = x 2– kx + k - 1与x 轴必有两个交点. ………………………………… 2分(2) 解：∵抛物线y = x 2– kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点，∴令0y =，有210x kx k -+-=.解得：11x k x =-=或. ……………………………………3分 ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴()()1,0,1,0A B k -. ∵抛物线与y 轴交于点C,∴()0,1C k -. ……………………………………… 4分∵在Rt AOC ∆中, tan 3OAC ∠=,∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==, 解得4k =. ∴抛物线的表达式为243y x x =-+. ………………………………………………… 5分 （3）解：当2m <2m >+x 轴与P 相离. ………………………6分当2m =2m =或2m =x 轴与P 相切. ……………7分当22m -<<或22m <<+x 轴与P 相交. ……………………8分（2018·门头沟1月期末·23）已知抛物线12++=bx x y 的顶点在x 轴上，且与y 轴交于A 点. 直线m kx y +=经过A 、B 两点，点B 的坐标为（3，4）.（1）求抛物线的解析式，并判断点B 是否在抛物线上；（2）如果点B 在抛物线上，P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个．．二次函数的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x.当x 为何值时，h 取得最大值，求出这时的h 值.23.（1)∵抛物线12++=bx x y 的顶点在x 轴上，∴22)1(1±=++=x bx x y .∴b=±2 . …………………1分 ∴抛物线的解析式为122+-=x x y 或122++=x x y .…2分 将B （3，4）代入122+-=x x y ，左=右， ∴点B 在抛物线122+-=x x y 上.将B （3，4）代入122++=x x y ，左≠右，∴点B 不在抛物线122++=x x y 上.………………………3分（2）∵A 点坐标为（0 ，1），点B 坐标为（3，4），直线m kx y +=过A 、B 两点∴⎩⎨⎧+==mk m341.∴⎩⎨⎧==11k m ………………………4分∴1+=x y . ∵点B 在抛物线122+-=x x y 上. 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E . ∴ PE=h=y P －y E=(x+1)－(x 2－2x+1)=－x 2+3x .……………………5分 即h=x 2+3x (0＜x ＜3). ∴当232=-=a b x 时，h 有最大值 …………………6分 最大值为49233)23(2=⨯+-=y …………………7分（2018·延庆1月期末·23） 在平面直角坐标系中，抛物线22133222m y x mx m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （4，n ）在这条抛物线上． （1）求B 点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移72个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 请你结合这个新的图象回答：当直线12y x b =+与此图象有两个公共点时，b 的 取值范围.23.解：(1)抛物线22133222m y x mx m m -=-++-+过原点 ∴232m m -+=0∴121,2m m == ………………………………1分 ∵m ≠1∴22m = ………………………………2分 ∴2132y x x =-+ ………………………………3分 ∵点B （4，n ）在这条抛物线上 ∴n=4∴B （4，4） ………………………………4分 （2）将此抛物线的图象向上平移72个单位，平移后的图象的解析式； 217322y x x =-++………………………………5分 （3）b 的取值范围是： 7122b -<< 或 558b > ………………7分。