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四川省成都市2014届高三数学第一次诊断性考试试题 文本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,3,|0A B x x =-=≥，则A ∩B =(A){一2） (B){3) (C)(-2，3} (D)∅2．若复数z 满足(12)5z i -=（i 为虚数单位），则复数z 为(A) 12i + (B)2-i (C)12i - (D)2+i3．在等比数列{}n a 中，若181564a a a =，则8a =(A)16 (B)8 (C)4．计算125log 4-所得的结果为(A) 524．在等差数列{口。
）中．a8 =15，则al+a7+a9+a15一(A)15 (B)30 (C)45 (D) 605．已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是(A) //,////m n m n αα若则(B),,m n m n αα⊥⊥⊥若则(C),//,m n m n αα⊥⊥若则(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m,n 一定不相交6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B两点．若点A,B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()αβ+的值为 (A) 2425- (B)725- (C)0 (D)24257．已知,22a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则的概率为 (A)13 (B)12(C)23 (D)348．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(A)1202cm (B) 1002cm(C) 802cm (D)602cm9．某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．若用函数[]2()47(0,5,)f x x x x x N =-++∈∈进行价格模拟．(注：x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推.）过多年的统计发现：当函数()213()1f x xg x x --=+取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请你预测明年拓展外销市场的时间为(A)5月1日 (B) 6月1日(C)7月1日 (D) 8月1日 10．已知函数ln , 14()12ln , 14x x f x x x ≤≤⎧⎪⎨-≤<⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则k 的取值范围为 (A){}1,16ln 20e⎛⎤ ⎥⎝⎦ (B){}1,0e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ (C){}ln 2,16ln 202⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (D){}ln 2,16ln 202⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若2()(1)1f x x a x =+-+是定义在R 上的偶函数，则实数a=________.12．某公司生产A ．B ．C 三种型号的轿车，产量分别是600辆，1200辆和1800辆，为检验产品质量．现从这三种型号的轿车中，用分层抽样的方法抽取n 辆作为样本进行检验，若B 型号轿车抽取了2辆，，则样本容量n=_________．13．已知向量a,b 夹角为60,2,1a b ==，则b a -=_________.14.设12,x x 是函数322()2f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是________．15.已知()2|2||1|1f x x =--+和2()2()g x x x m m R =-+∈是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的是(A)函数()f x 的图象关于直线x=0对称；(B)关于x 的方程()0f x k -=恰有四个不相等实数根的充要条件是(1,1)k ∈-(C)当m=l 时，对[][]12121,0,1,0,()()x x f x g x ∀∈-∃∈-<成立(D)若[][]12121,1,1,1,()()x x f x g x ∃∈-∃∈-<成立，则(1,)m ∈-+∞其中正确的例题有______________(写出所有正确例题的序号)。
1成都七中实验学校“一诊”复习模拟题（二）数 学一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=（ ） A ．{5，7} B ．{2，4} C ．{1，3，5，6，7} D ．{2，4，8} 2. 下列命题中的假命题是（ ）A ．x ∀∈R ，120x ->B ．*x ∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x = 3. 12lg 2lg 25-的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 函数21()(1)sin f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．△ABC 中，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-6. 将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π7. 设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 若曲线12()f x x -=在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（ ） A ．64B ．32C ．16D ．89．【理科】一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是（ ）A ．1025B ．1035C ．1045D ．1055 【文科】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A ．(－3，0)∪(3，+∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)10．定义在R 上的函数()f x 满足221,11(4)(),()log (|2|2),13x x f x f x f x x x ⎧-+-⎪+==⎨--+<⎪⎩≤≤≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)43B ．11(,)64C．1(16)6- D．1(,86-2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．11．复数22(56)(215)i m m m m +++--（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ． 12．等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．13．【理科】25(ax +的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的常数项为______ 【文科】使不等式3log 14a<（其中01a <<）成立的a 的取值范围是 ． 14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈；②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数； ④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()0f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下． （Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差； （Ⅱ）【理科】现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为X ，求随机变量ξ的分布列和均值．【文科】从成绩大于80分的人中选出2个人，求这两人成绩都大于90分的概率． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC的面积，满足2224)S a b c =+- ． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若tan 21tan A cB b+=，且8AB BC =- ，求c 的值．318. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T，且1n a n T =-，令()n n n c a b n *=∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n R . 19．（本小题满分12分）已知函数321()43sin 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，[0,]θπ∈． (Ⅰ)若函数()f x '的最小值为34-，试判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；(Ⅱ)若函数()f x 极小值大于零，求θ的取值范围．420．（本小题满分13分）已知二次函数h(x )=ax 2+bx +c (其中c <3)，其导函数()y x '= 的图象如图，f (x )=6lnx +h (x ). (Ⅰ)求f (x )在x =3处的切线斜率； (Ⅱ)若f (x )在区间(m ,m +12)上是单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若对任意k ∈[-1,1]，函数y =kx (x ∈(0,6])的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方，求c 的取值范围.21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-． (Ⅰ) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（Ⅲ）设函数2(()66(1))e ,1,()e (), 1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．5成都七中实验学校一诊复习模拟题（二）参考答案一、选择题二、填空题 11．2-； 12. 10；3(0,)(1,)4+∞ ；13. 14n n a -=； 14. (,5]-∞-； 15. ②③．72C 7(0)15C P ξ===，372C C 7(1)15C P ξ===，32C 1(2)15C P ξ===． ·························· ·· 10分0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．················································································ 12分 17．解：(Ⅰ) 1sin 2S ab C =，且2222cos a b c ab C +-=. ······························································ ····2分因为2224)S a b c =+-，所以14sin cos 2ab C C ⨯=， ··········································································· ····3分所以tan C = ···································································································· ····4分 因为0C π<<，所以π3C =； ··········································································································· ····6分（Ⅱ）由tan 21tan A cB b+=得： cos sin sin cos 2cos sin A B A B cA B b +=， ··············································································· ····7分 即sin 2cos sin C c A B b=， ································································································ ····8分 又由正弦定理得1cos 2A =， ··················································································· ····9分∴60A = ，∴△ABC 是等边三角形， ······················································································ ·· 10分 ∴cos1208AB BC c c =⨯⨯=-， ············································································· ·· 11分 所以4c =. ··············································································································· ·· 12分18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵126a d +=，12922a d +=，················································································ ····2分 ∴12a =,2d =， ····································································································· ····4分6所以数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=； ·················································· ····6分（Ⅱ）因为21111()2n a n n n T =-=-=-， ···························································· ····7分 当1n =时，211112a T ==-=，当2n ≥时，111111()1()()222n n n n n n a T T --=-=--+=，且1n =时满足1()2n n a =， ······················································································· ····8分所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；所以1222n nn n nc -==， ······························································································· ····9分 所以01211232222n n nR -=++++ ，即23112322222n n nR =++++ ， ··············································································· ·· 10分 两式相减得：0121111111122212222222212nn n n n nn n n R --+=++++-=-=-- ， ············· ·· 11分 所以1242n n n R -+=-． ································································································ ·· 12分 19．解：（I ）2()126sin f x x x θ'=-， ··························································································· ····1分当sin 4x θ=时，()f x '有最小值为23()sin 4f x θ'=-， 所以233sin 44θ-=-，即2sin 1θ=， ······································································· ····2分因为[0,]θπ∈，所以sin 1θ=， ·············································································· ····3分所以2()126f x x x '=-，所以()f x 在1(0,)2上是减函数，在(,0)-∞，1(,)2+∞上是增函数， ······················ ····4分而1(0)032f =>，17()0232f =-<， ······································································· ····5分 故函数()f x 的零点个数有3个； ··········································································· ····6分 (Ⅱ) 2()126sin f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12sin 0,2x x θ==， ··································· ····7分 函数()f x 存在极值，sin 0θ≠， ········································································· ····8分由[0,]θπ∈及（I ），只需考虑sin 0θ>的情况．当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在sin 2x θ=处取得极小值3sin 11()sin 2432f θθ=-+，··············· ·· 10分 要使sin ()02f θ>，必有311sin 0432θ-+>可得10sin 2θ<<， ···························· ·· 11分所以θ的取值范围是5(0,)(,)66ππθπ∈ ． ·························································· ·· 12分720．解：（1）2''()(3)()2()h x ax bx c c h x ax bh x ⎫=++<⇒=+⎬⎭又图象为直线，且过（0,-8）,(4,0)两点，'()28h x x ⇒=-， 于是2221()888a a h x x x cb b ⎧==⎧⇒⇒=-+⎨⎨=-=-⎩⎩， 故2()6ln 8f x x x x c =+-+，6()28(3)0f x x f x''⇒=+-⇒= ∴f (x )在点3x =处的切线斜率为'(3)0k f ==. …...........3分（2）62(1)(3)()28x x f x x x x--'=+-= 由0()013x f x x x '>=⇒==令或，列表如下：所以f (x )1())2f x 因为在（m,m+是单调函数，11(,)(0,1),,)(1,3),,1)(3,)22m m m m m m ∴+⊆+⊆+⊆+∞或（或（故实数m 的取值范围为[)150,1,3,22m ⎡⎤⎡⎤∈+∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦....................8分（Ⅲ）由题意知：()[1,1](0,6]kx f x k x ≥∈-∈对在恒成立26ln 8kx x x x c ⇒≥+-+在(0,6]x ∈恒成立.6ln 8(0,6],x c k x x x x ⇒≥+-+∈在恒成立…………………9分令max 6ln ()8,(0,6],()x cg x x x k g x x x =+-+∈≥则.22226(1ln )66ln ()1x c c x xg x x x x --+-'=+-= 令2()6ln x x x ϕ=-则262(3)()2x x x x xϕ-'=-=()0()x x x ϕϕ'∴∈<⇒时在内递减)()0())x x x ϕϕ'∈+∞>⇒+∞时在内递增min ()93ln 363ln 33(2ln 3)0x x c ϕϕ∴==-->-=->当＝min ()0x ϕ>即3,(0,6]()0()(0,6]c x g x g x '<∈>又故时,，所以在递增max 6ln 6()(6)2ln 62666c cg x g ⇒==+-=+-…………………..12分max ()ln 62[1,1]6ck g x k ∴≥+-∈-＝在恒成立1ln 6266ln 663c c c ⎫≥+-⎪∴⇒≤-⎬⎪<⎭－又 …………..13分.821．解：(Ⅰ) (Ⅰ) 当2a =-，2222332()1x x f x x x x -+'=+-=， ·············································································· 1分 设()0f x '>，即2320x x -+>，所以1x <，或2x >， ····························································································· 2分()f x 单调增区间是(0,1)，(2,)+∞； ······································································ 4分 (Ⅱ)当1x =时，函数()F x 有极值，所以2()66(2)6F x x a x '=-+++， ··········································································· ····5分 且(1)0F '=，即2a =-， ························································································ ····6分 所以3()264F x x x =-+-，3()261F x x x =-++的图象可由31()26F x x x =-+的图象向下平移4个单位长度得到，而31()26F x x x =-+的图象关于(0,0)对称，·························································································· ····7分 所以3()261F x x x =-++的图象的对称中心坐标为(0,4)-； ·································· ····8分 （Ⅲ）假设存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，设23221()()66(1))e (23664)e x x h x F x x a x x ax ax a a =-+-⋅=-++--⋅，2()e ()e ((1)ln 15)ah x f x x a x a x=⋅=⋅++-+，3221()(23(2)124)e x h x x a x ax a '=-+-+-⋅， ························································· ····9分 设322()(23(2)124)m x x a x ax a =-+-+-，当()g x 在[,]a a -上为减函数，则1()h x 在[,1]a 上为减函数，2()h x 在[1,]a -上为减函数，且12(1)(1)h h ≥． ···························································································································· ·· 10分 由（Ⅰ）知当1a <-时，()f x 的单调减区间是(1,)a -， 由12(1)(1)h h ≥得：241330a a ++≤，解得：134a --≤≤， ························································································ ·· 11分当1()h x 在[,1]a 上为减函数时，对于[,1]x a ∀∈，1()0h x '≤即()0m x ≤恒成立， 因为()6(2)()m x x x a '=-+-，（1）当2a <-时，()m x 在[,2]a -上是增函数，在(,],[2,)a -∞-+∞是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2(2)4128m a a -=---，故2(2)41280m a a -=---≤，即2a -≤，或1a -≥，故2a <-； ································································ ·· 12分 （2）当2a >-时，()m x 在[2,]a -上是增函数，在(,2],[,)a -∞-+∞是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2()(2)m a a a =+，故2()(2)0m a a a =+≤，则2a -≤与题设矛盾； ··········································· ·· 13分 （3）当2a =-时，()m x 在[2,1]-上是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2(2)41280m a a -=---=， 综上所述，符合条件的a 满足[3,2]--． ··························································· ·· 14分。
2014学年度成都市XD 区九年级数学一诊检测试题（全卷分A 、B 卷，共28小题，卷面分数：150分，考试时间：120分钟）A 卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程3(1)33x x x +=+的解为（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．121-1x x ==，D ．120-1x x ==，2． 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ． 两人都对B ． 两人都不对C ． 甲对，乙不对D ． 甲不对，乙对 3．下列说法不正确的是（ ）A ．某种彩票中奖概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖B ．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大C ．数据6，3，5，4，1，－2的中位数是3.5 D ．在选举中，人们通常最关心的数据是众数4．正方形网格中，AOB ∠如右图放置，则sin∠AOB =（ B ）Ａ．2 Ｂ．25 Ｃ．12 Ｄ．55．已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ）A 、B 、C 、D 、6．在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，AD=5，则DE 长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．菱形的两条对角线是一元二次方程0121522=+-x x 的两根，则该菱形的面积是（ ） A ．6 B ． 5 C ．4 D ．38．已知一次函数1-=kx y 的图象与反比例函数xy 2=的图象的一个交点坐标为（2，1），那么另一个交AB O （第3题图）点的坐标是（ ） A ．(－2,1)B ．(－1,－2)C ．(2,－1)D ．(－1,2)9．如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x 的图像，则关于x 的方程 kx+b=2x的解为( )Ａ．x l =1，x 2=2 Ｂ．x l =-2，x 2=-1 Ｃ．x l =1，x 2=-2 Ｄ．x l =2，x 2=-110．如图，△ABO 缩小后变为O B A ''△，其中A 、B 的对应点分别为''B A 、，''B A 、均在图中格点上，若线段AB 上有一点),(n m P ，则点P 在''B A 上的对应点'P 的坐标为（ ）A 、),2(n mB 、),(n mC 、)2,(n mD 、)2,2(nm二、填空题：（每小题3分，共15分）11．小虹在距离路灯9米的地方，发现自己在地面上的影长是3米，如果小虹的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.12．如图，房子外的屋檐E 处安有一台监视器，房子 前有一面落地的广告牌，已知房子上的监视器高3m ，广告牌高为1.5m ，广告牌距离房子5m ，则盲区的长度为________13．某斜坡的坡度为31:=i ，则该斜坡的坡角为 度。
成都七中高2014届一诊模拟数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求・）1.已知集合A = {—l,0,a}, B = {x\O<x<l}t若皿门〃工0,则实数Q的取值范围是（）C(l,+oo)0(0,1)2.复数「（兰二）的虚部为（）1+ 2A -2B -1C 0D 13.定义行列式运算：6 =a t a4-a^将函数f（x） =皿兀的图象向左平移加①a4 1 sinr个单位（加〉0）,若所得图彖对应的函数为偶函数，则加的最小值是（）A—B- C- D-^-3 3 8 64.阅读下边的程序框图,若输出S的值为一14,则判断框内可填写（）A.i<6 ?B.i<8 ?C.i<5 ?D.i<7 ?5.二项式(丄-XyRy展开式中含有F项，则斤可能的収值是()兀A 5B 6C 7D 86.已知命题pzSxG (-oo,0),3x < 4X；jr命题: Vx G（0,—）,tan x> x则下列命题中真命题是（）2A p/\qB p v (-1^)C p A(-I^) D(-ip)人g7.已知正项等比数列{©}满足吗=兔+ 2込。
若存在两项％使得屁兀=4珀,则19—+—的最小值为（）m n17~68 •平面四边形ABCD中，AD=AB= V2 , CD=CB= Vi , 11 AD丄AB ,现将△ ABD沿着对角线BD翻折成,则在A/fBD折起至转到平而BCD内的过程中，直线A’C与平面BCD所成的最大角的正切值为（）D V39.已知J\x) > g(x)都是定义在R 上的函数,g (兀)工0, f\x)g(x)< f(x)g f(x),方程3f(x) = x 恰有5个实数解，则实数加的取值范围是15.已知平行六面体ABCD —含AC 】与f(x) = a xg(x),埒+倨H‘则关于躡方程矗+妊4“®))有两个不同实根的概率为()A 丄 B? 5 5D?10.己知/(兀)是定义在[—1,1]上的奇函数，当^<x 2时，/(x,)</(x 2)o 当xw[0，l]2 旦)+ 2 旦)+ …+八-迴)+/(- ^1)=( 2014 2014 2014 2014A _nB _5c _6D -az2 5二、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
礼答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第工卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}3,2{-=A ，}1ln |{>=x x B ，则AB=（ ）(A ）｛-2｝ (B)｛3｝ （C)｛-2，3｝ （D ）∅ 答案 B解析 由 1ln >x ，e x >∴，∴}3{=B A .2.若复数z 满足5)21(=-i z (i 为虚数单位），则复数z 为（ ）(A)1255i + (B)i 21+ (C) i 21- (D)1255i- 答案 B解析 )R ,(∈+=b a bi a z ，5)21)((=-+∴i bi a ，⎩⎨⎧=-=+∴0252a b b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ，i z 21+=∴.3.计算21545log -+所得的结果为（ ）(A)1 (B) 52 (C) 72 (D) 4答案 A解析 原式12121=+=.4. 在等差数列}{n a 中，158=a ，则=+++15971a a a a （ ）(A) 15 (B)30 (C) 45 (D)60答案 D 解析 数列}{n a 是等差数列，158=a ，601544815971=⨯==+++a a a a a .5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是： (A)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B)若m ⊥α，n ⊥α．则m ⊥n (C)若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m ，n 一定不相交（ ） 答案 C解析 对(A)直线m 、n 还可能相交或异面；故 (A)是假命题； 对 (B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B)时假命题； 对 (C)真命题；对 (D)直线m 、n 可能相交、平行或异面. 故真命题是(C).6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，角βα,的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则)cos(βα+的值为( )(A) 2524-(B)257-(C)0 (D)2524答案 A解析 依题意，53cos =α，54sin =α，54cos -=β，53sin =β， 25245354)54(53sin sin cos cos )cos(-=⨯--⨯=-=+∴βαβαβα.7、世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ） 6种 答案 D解析 把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有633=A 种方法. 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为（ ）(A) 120 3cm (B)80 3cm (C)1003cm (D)60 3cm答案 C解析 意图以，原几何体的体积1006542131654-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==三棱锥长方体V V V 3cm . 9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC ∆的直观图C B A '''∆，其中y B A '''//轴，x C B '''//轴．若3=''=''C B B A ，设ABC ∆的面积为S ，C B A '''∆的面积为S '，记S k S '=，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 6答案 A解析 在直观图C B A '''∆中，3=''=''C B B A ，42945sin 21=⋅''⋅''⋅='∴ C B B A S ， 由斜二侧画法的画图法则，可得在ABC ∆中，6=AB ，3=BC ，且BC AB ⊥，9362121=⨯⨯=⋅⋅=∴BC AB S ，由S k S '=得22=k ，则)1(2)1(22-=-=m m k T ，故执行循环前，9=S ，22=k ，0=T ，1=m ，满足循环的条件，执行循环体后0=T ，2=m ，当0=T ，2=m ，满足循环条件，执行循环体后2=T ，3=m ； 当2=T ，3=m ，满足循环条件，执行循环体后6=T ，4=m ； 当6=T ，4=m ，满足循环条件，执行循环体后12=T ，5=m ； 当12=T ，5=m ，不满足循环条件，退出循环体后12=T . 故输出的结果为12.10.已知1|1||2|2)(+--=x x f 和)R (||2)(2∈+-=x m x x x g 是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（A ）关于x 的方程0)(=-k x f 恰有四个不相等的实数根的充要条件是)0,1(-∈k （B ）关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k （C ）当1=m 时，对]0,1[1-∈∀x ，]0,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立 （D ）若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈x ，)()(21x g x f <成立，则),1(+∞-∈m 答案 D解析 函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<-≤≤----<+=+--=21,34210,14021,1421,341|1||2|2)(x x x x x x x x x x f 的图象如图所示，故函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即①正确；由图象知，关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k ，故②正确；当1=m 时，1||2)(2+-=x x x g ，]0,1[-∈x 时，1)21()(=-=f x f Max ，]0,1[-∈x 时，]1,0[121||2)(22∈++=+-=x x x x x g ， 故211-=x 时，不存在]0,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f <成立，故③错误；]1,1[-∈x 时，],1[)1(12||2)(22m m m x x m x x x g -∈-+++=+-=，若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立，则1->m ，故④正确. 故正确的命题是D.第II 卷（非选择题，共 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若1)1()(2+-+=x a x x f 是R 上的偶函数，则实数=a . 答案 1解析 依题意，021=--a ，即1=a .12. 已知6622106)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++6210a a a a . 答案 729（或63）解析 令1=x ，则729366210==+⋅⋅⋅+++a a a a . 13、设1x ，2x 是函数x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的 取值范围是 . 答案 )6,2(解析 ))(3(23)(22a x a x a ax x x f --=+-=' ，令0)(='x f ，即3ax =或a ，要函数)(x f 有两个极值点，212x x <<，则⎪⎩⎪⎨⎧<>232a a ，62<<∴a ，故实数a 的取值范围是)6,2(.14. 已知]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α的概率为 .答案 31解析 由]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α，∴66παπ≤≤-，由几何概型公式，所求的概率31)2(2)6(6=----=ππππP .15.设⊙O 为不等边ABC ∆的外接圆，ABC ∆内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ,c ，p是ABC ∆所在平面内的一点，且满足2b cb bc -+∙=∙（P 与A 不重合），Q 为ABC ∆所在平面外一点，QC QB QA ==.有下列命题：①若QP QA =，90=∠BAC ，则点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上；②若QP QA =，则PC QP PB QP ∙=∙；③若QP QA >， 90=∠BAC ，则AC ABCP BP =；④若若QP QA >，则P 在ABC ∆内部的概率为OABCS S 圆∆（ABC S ∆、O S 圆分别表示ABC ∆与圆O 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）． 答案 ①③④解析 2PA b c b PC PA b c PB PA -+∙=∙,∴)(22PA PC PA b cPA PB PA -∙=-∙,AC PA b c AB PA ∙=∙∴，PAC b PA b cPAB c PA ∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅∴cos ||cos ||，PAC PAB ∠=∠∴，即AP 是BAC ∠的平分线，QC QB QA == ，Q ∴在平面ABC 上的射影是ABC ∆的外心O ，90=∠BAC ，ABC ∆是不等边三角形，∴点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上不正确，故①错误；QP QA = ，P ∴为BC 弧的中点，BC OP ⊥∴， OP 是QP 在平面ABC 上的射影，BC QP ⊥∴，∙=∙∴，故②正确；由于QP QA >，则点P 在圆内， 60=∠BAC ，则BC 为直径，若AC ABCP BP =，则AP 为BPC ∠的角平分线，且AP 经过点O ，与ABC ∆是不等边三角形矛盾，故③不正确；若QP QA >，AP 是BAC ∠的平分线，P ∴在ABC ∆内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.故不正确的为 ①③④.三、解答题：本大题6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知向量)4cos ,4cos 3(2x x =，)2,4sin 2(x=，设函数x f ∙=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且13)32(+=-πB f ，3=a ，33=b ，求A 的大小.解析 （Ⅰ） b a x f ∙=)(，1)62sin(212cos 2sin 24cos 24cos 4sin 32)(2++=++=+=∴πx x x x x x x f ，又||2ωπ=T ，π4=∴T . （5分）（Ⅱ）131sin 2)32(+=+=-B B f π ，23sin =∴B ， （8分)由正弦定理，可得B b A a sin sin =，即b Ba A sin sin =，又3=a ，33=b ， 2133333sin =⨯=∴A ，由题意知A 识锐角，6π=∴A . (12分）17. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*+∈-=N ,221n S n n .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{b b 满足n nn a S b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解析 （Ⅰ）当2≥x 时，1--=n n n S S a ，n n a 2=∴，*∈≥N ,2n n ， 又当1=n 时，211==S a ，*∈=∴N ,2n a n n . (6分）（Ⅱ）)211(22)12(2nn n n b -=-=，)211(2)211(2)211(2)211(232321n n n b b b b T -+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++=∴ 2212)]211([2)]21212121([2132-+=---=+⋅⋅⋅+++-=-n n n n n n . （12分）（本题满分12分）某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①x q p x f ⋅=)(；②7)(2++=qx px x f ；③)(log )(p x x f q +=，其中q p ,均为常数且1>q （注：x 表示上式时间，)(x f 表示价格，记0=x 表示4月1号，1=x 表示5月1号，⋅⋅⋅，依次类推，]5,0[∈x ）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数)(x f ，若11)2(=f ，10)3(=f ，记1132)()(+--=x x x f x g ，经过多年的统计发现，当函数)(x g 取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②7)(2++=qx px x f ， （4分）（Ⅱ）由11)2(=f ，10)3(=f ，代入7)(2++=qx px x f 得⎩⎨⎧=++=++1073911724q p q p ，解得⎩⎨⎧=-=41q p ，即74)(2++-=x x x f ，1621132)()(2++--=+--=∴x x x x x x f x g ， （8分) 2]4)1(19[)(-≤-+++-=∴x x x g ，当且仅当31=+x 即2=x 时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号. (12分） （本题满分12分）如图①，四边形ABCD 为等腰梯形，DC AE ⊥，DC AE AB 31==，F 为EC 的中点，先将DAE ∆沿AE 翻折到PAE ∆的位置，如图②，且平面⊥PAE 平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面⊥PAF 平面PBE ； （Ⅱ）求直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值.解析 （Ⅰ）AB EF // 且ABCD EF ==31，∴四边形AEFB 为平行四边形，又AB AE = 且EC AE ⊥，∴四边形AEFB 为正方形，BE AF ⊥∴. （3分）平面⊥PAE 平面ABCE ，又AE PE ⊥，平面 PAE 平面AE ABCE =，⊥∴PE 平面ABCE ，AE PE ⊥∴，又E PE BE = ，∴平面⊥PAF 平面PBE . (6分）（Ⅱ）以E 为坐标原点，EC 、EA 、EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系xyz E -，设4=AB ，易知)4,0,0(P ，)0,4,0(A ，)0,4,4(B ，)0,0,8(C ，)0,0,4(F ，)4,0,4(-=∴PF ，)0,4,4(-=BC ，)4,4,4(-=PB ， （8分)设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴00PB n ，∴⎩⎨⎧=-∙=-∙0)4,4,4(),,(0)0,4,4(),,(z y x z y x ， 即⎩⎨⎧=-+=-0444044z y x y x ，令1=x ，∴)2,1,1(=， 63|211)4(4)2,1,1()4,0,4(|||||||sin 22222=++⋅-+∙-=⋅=n PF α ，∴直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值为63. （12分）20.（本题满分13分）我国采用的5.2PM 的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市m 天的5.2PM 日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m 的值，并分别计算：频率分布直直方图中的)95,75[和)115,95[这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m 天的5.2PM 日均值的中位数（结果保留分数形（Ⅲ）从这m 天的5.2PM 日均值中随机抽取2天，记X 表示抽到的5.2PM 超标天数，求X 的分布列和数学期望.解析 （Ⅰ）200025.01⨯=m，20=∴m ，易知矩形)95,75[的高为0225.04009=，矩形]115,95[的高为01.0. （5分)（Ⅱ）其中位数为328132075=+. （8分）（Ⅲ）10021)0(22023===C C X P ，10091)1(22011313===C C C X P ，10039)2(220213===C C X P ，X ∴的分布列为：1013100393100912100211)(=⨯+⨯+⨯=∴X E . （13分）21.（本题满分14分）已知函数)1ln()(+=x a x f ，R ,21)(2∈-=a x x x g . （Ⅰ）若1-=a ，求曲线)(x f y =在3=x 出的切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值；（Ⅲ）设)1()(-=x f x P ，0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x P y =上的两个不同点满足210x x <<，且),(213x x x ∈，使得曲线)(x f y =在0x 处的切线与直线AB 平行，求证2213x x x +<.解析 （Ⅰ）41)3(-='=f k ，)3(212ln 2--=+∴x y ，2ln 24341-+-=∴x y .（Ⅱ）由221)1ln(x x x a -≥+恒成立等价于021)1ln(2≥+-+x x x a 恒成立， 令221)1ln()(x x x a x h +-+=，0≥x ，)0(1111)(2≥+-+=+-+='∴x x a x x x a x h ，①若1≥a ，则0)(≥'x h 恒成立.∴函数)(x h 在),0[+∞上是增函数，)0()(h x h ≥∴恒成立，又0)0(=h ，1≥∴a 符合条件.②若1<a ，由0)(='x h 可得a x -=12，解得a x -=1或a x --=1（舍去）， 当)1,0(a x -∈时，0)(<'x h ；当),1(+∞-∈a x 时，0)(>'x h ，)1()(a h x h -=∴最小值，0)1()1(=<-∴h a h ，这与0)(≥x h 恒成立矛盾. 综上所述，1≥a ，a 的最小值为1. （9分）（Ⅲ）x a a f x P ln )()(=-=，1212ln ln x x x a x a k AB --=， 又x a x P =')( ，33)(x a x P ='∴，∴31212ln ln x ax x x a x a =--， 由x ax P =')( ，易知其定义域内为单调减函数， 欲证2213x x x +<，即证明)2()(213x x P x P +'>'，即证明2112122ln ln x x a x x x a x a +=--，变形可得12122112121)1(2)(2x x xx x x x x x x +-=+->，令tx x =12，1>t ， 则1)1(2ln +->t t t 等价于)1(2ln )1(->+t t t ，构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t x q ，1>t ， 则1,11ln )(>-+='t t t x q ，令1,11ln )(>-+=t t t t r ，当1>t 时，0111)(22>-=-='t t t t t r ，)(t q '∴在),1(+∞上为单调增函数，0)1()(='>'q t q ，0)1()(=>∴q t q ，0)(>∴t q 在),1(+∞上恒成立， )1(2ln )1(->+∴t t t 成立，∴2213x x x +<. （14分）。
成都石室中学高2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）数学（理）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1B ．0C ．－1D ．1或－13.已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f f （ ）A ．4-B ． 41- C ． 4 D ． 6 【答案】C 【解析】试题分析：=-)]4([f f 1421[()](16)1642f f -===.考点：函数与指数运算.4.函数ln||||x xyx的图像可能是（）7.阅读程序框图，若输入4m =，6n =，则输出i a ,分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ． 8,4a i ==9.设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：由题意得：1916404,3ac ac c a ∆=-=⇒=∴+≥=. 考点：二次函数及重要不等式.15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,是该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有“T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=x y ； ③2x y =； ④xx y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）n S 211322nn n =++-⋅17.(本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.【答案】（Ⅰ）32π=B ；（Ⅱ）C A sin sin +的范围为. 【解析】18.(本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题探讨高等数学知识在高考中的应用【高等数学知识背景】 （一）罗尔中值定理【定理描述】设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且()()f a f b =，则在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<，使得'()0f ξ=。
【定理证明】证明：()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必有：max min ,f M f m ==存在。
①若M m =，则()f x c =，为常数函数，则(,)a b 内任意一点都可以作为ξ，使得'()0f ξ=成立； ②若M m >，由()()f a f b =知，M 和m 中至少有一个在(,)a b 内某点ξ取得，不妨设()f M ξ=。
()f x在开区间(,)a b 上可导，则()f x 在x ξ=的极限存在，即：00()()()()()()'()limlim lim x x x f x f f x f f x f f x x xξξξξξξξ+-∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆-===∆∆∆()f M ξ=为[,]a b 上的最大值，所以必有()()0f x f ξξ+∆-≤。
当0x ∆>时，()()0f x f x ξξ+∆-≤∆，0()()'()lim 0x f x f f xξξξ+∆→+∆-∴=≤∆；当0x ∆<时，()()0f x f x ξξ+∆-≥∆，0()()'()lim 0x f x f f xξξξ-∆→+∆-∴=≥∆；'()0f ξ∴=.（二）柯西中值定理【定理描述】若函数)(x f 、)(x g 满足：（1）在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导；（2）在)(a,b x ∈∀， 0)('≠x g 。
则：至少存在一点)(a,b ξ∈使得)()()()()(')('a g b g a f b f ξg ξf --=。
