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1.（X （r ）,r （r ））是零均俏的二维正态过程.试证X 2（r ）也是二阶矩过程. 证明：MeT,XQ ）~ N （O,D ⑴），所以有•••心]=2,申]=1 D ⑴ D(t)空 2[渔]“ D\tY Z )(0D\t)E[X 2(/)]2 = E[X 4(r)] = 3D 2(r) /.｛X 2（o ）为二阶矩过程。
2. 设｛x”, n 1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为:,_7试讨论此序列是否均方收敛。
其中从而当mW n 时 lim E X m - X nlim 2-2 ——HT2^｛X H ,n>l ｝不均方收敛。
£[x,J = m -r = - m m n n E X ： 一；E X ；(=m 2-丄7 = 1 」 m" =zi 2~- = 1n~E[X m X n ] = E[X m ]E[X n ]mn< 4-00解：EX m -X n=E X ；+ 町 X^-2E[X m]E[X n]3.证明若1 ,i.m X… = X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。
H—证因为对于函数f(x) = e itx xe R,有卩"(兀)| = ”严勻小从而|/(x)-/(j)|<H|x-y|即f(X)=严XG R满足李普希兹条件，故对X5)冇"T8 所以E[I.^/(XJ]= E[/(X)]即lim(p x (/)= lim ~\ = 1 •/-,we，，X" = E e'rX =(p x (/)X(”)的特征函数收敛于X的特征函数.4.证明Poisson随机变最序列的均方极限是Poisson随机变最。
证明：设｛X”/ = l,2,・・・｝是Poisson随机变量序列，1.加X”=X,则lim£[Xj = £[%],n—>oo >8即lim = AnT8于是(p x(r) = lim(p x (r) = lim/3~" =/宀""TOO "->8故X是Poisson随机变量。
北师大《无机化学》第四版习题答案5第五章化学热力学基础5-1 从手册中查出常用试剂浓硫酸、浓盐酸、浓硝酸、浓氨水的密度和质量分数计算它们的（体积）物质的量浓度和质量摩尔浓度。
解：经查阅: p(HCl)=1.19g/ml w(HCl)=37.23%p(H2SO4)=1.83g/ml w(H2SO4)=98%p(HNO3)=1.42g/ml w(HNO3)=69.80%p(NH3.H2O)=0.9g/ml w(NH3.H2O)=26%由公式c=pw/M可得：c(HCl)=12 mol·L–1c(H2SO4)=18.3mol·L–1c(HNO3)=15.7 mol·L–1 c (NH3.H2O)=13.8 mol·L–1设1㎏水中含溶质n mol,则由w=m/(m+1000)（m为溶质质量）可得：m (HCl)=16.2 mol/㎏m(H2SO4)=500 mol/㎏m(HNO3)=36.69 mol/㎏m (NH3.H2O)= 20.67 mol/㎏5-2 从手册查出常温下的饱和水蒸气压，计算当时相对湿度为40%时，水蒸气压多大。
解：在298K下，P（饱和水蒸气压）=3.167Kpa，P（不饱和）/P（饱和）=40%，则P（不饱和）/P（饱和）=40%×P（饱和）=0.4×3.167=1.2668 Kpa答：水蒸气压为1.2668 Kpa.5-3化学实验中经常用蒸馏水冲洗已用自来水洗净的烧杯。
设洗净烧杯残留“水”为1mL,试计算，用30mL蒸馏水洗1次和2次，烧杯中残留的“自来水的浓度”分别多大？解：再用自来水洗之后，烧杯中自来水为1ml之后，加入30ml 蒸馏水，一共为31ml 水，自来水占1/31，倒掉后又倒1ml，故自来水浓度为1/31。
若第一次加入的蒸馏水倒掉之后，1ml中含1/31ml的自来水；再加入30ml蒸馏水，一共为31ml水，自来水占1/312=1/963 所以倒掉后自来水占1/312=1/9635-4 计算15℃,97kPa下15g氯气的体积。
国际经济学练习题第五次1. 重商主义认为下述哪一种方式不是获取金银的方法（ C ）。
A. 开采金矿B. 暴力掠夺C. 国内贸易D. 通过对外贸易获取2. 根据产品生命周期理论，技术创新国在哪个阶段会从模仿国进口产品（ C） A. 产品成长阶段B. 产品成熟阶段C. 模仿国大批生产阶段D. 模仿国大批出口阶段3. 下列观点哪一种不属于重叠需求理论（ C ）A. 一种产品是否生产首先取决于国内市场的有效需求B. 两国需求结构越相似，两国之间的贸易量越大C. 需求结构与人们的收入水平没有直接关系D. 需求分为代表性需求和重叠性需求4. 按照征收目的不同，关税可以分为（ C ）A. 进口税、出口税和过境税B. 从量税、从价税和混合税C. 财政关税和保护关税D. 财政关税和过境关税5. 贸易创造是指（ C ）A. 成员国之间相互进口量增加B. 成员国之间相互出口量增加C. 成员国之间相互取消关税所带来的贸易规模的扩大和福利的增加D. 成员国之间建立共同的对外关税和成员国之间相互取消关税所带来的利益6．如果A 国的劳动力转移到B 国，在其他条件不变的情况下，则（ B ）A. A 国的厂商会因为劳动力的跨国流动而获得更多的利益B. B 国的厂商会因为劳动力的跨国流动而获得更多的利益C. A 国的劳动力会因为劳动力的跨国流动而遭受损失D.两国的劳动力和厂商都会因为劳动力的跨国流动而获得利益7. 技术转移对输出国的影响主要表现为（ A ）A 、 有利于扩大对外贸易，改善本国的国际收支状况B 、 有利于推动本国产业技术的更新换代和产业结构的合理调整一、单项选择题（每小题1分，共20分）在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。
C、有利于技术创新能力的提高D、可以大量节省研发费用，促进科技创新8.同国内投资相比，国际投资的主要特点为（ D ）A、国际投资货币单位和货币体制的差异性B、国际投资领域的市场分割及不完全竞争性C、国际投资目的的单一性D、投资环境的供给差异9.根据李斯特的观点，对于幼稚工业的保护不应该超过（）A、30年B、15年C、20年D、10年10.重商主义的基本观点是（ A ）A、世界资源是有限的、一定的、国家的最主要目标是利用一切方法增强国家实力B、国际市场是资本主义国家可以自由利用的市场C、增加财富的最好手段就是促使各国的市场开放，从而达到贸易自由化D、增加财富的主要手段是国际贸易，因而贸易自由化是资本注意国家应该采取的最好对外贸易政策11. 要素丰裕度是指（ B ）A、产品生产中某种要素投入的比例大小B、一国拥有经济资源的相对丰富程度C、资本密集型产品D、劳动密集型产业12.下列哪种方式不属于进口配额的发放方式（ B ）A、竞争性拍卖B、按照过去的发放数额发放C、按申请程序发放D、按固定比例优惠发放13.下述哪一个不属于不公平竞争的范畴（ D ）A、低价倾销B、出口补贴C、污染环境D、采用先进技术占有国外市场14.贸易转移是指（ D ）A、成员国之间的进口量减小B、成员国之间的出口量减小C、成员国之间相互取消关税所带来的贸易规模的扩大和福利的增加D、成员国之间建立共同的对外关税和成员国之间相互取消关税所带来的贸易方向的转移15.下述哪一个不属于关税同盟的其他静态动态效应（ C ）A.减少行政开支B.改善贸易条件C.有利于扩大成员国、非成员国的投资D.减少走私16. 劳动力跨国流动的主要原因为（ C ）A. 自然资源的不均衡，促使劳动力从自然资源相对比较匮乏的地区流向自然资源比较丰富的地区B. 所有国家都普遍鼓励劳动力流入C. 劳动力总量、结构以及供求的不均衡，导致劳动力价格的不均衡，进而引起劳动力在国际范围流动D. 经济增长比较快的国家对劳动力的需求引发了劳动力的流动17. 超保护贸易理论的创始人是（ A ）A. 凯恩斯B. 休谟C. 蒙代尔D. 克鲁格曼18. IS曲线的左侧代表（ B ）A.失业B.通货膨胀C.贸易逆差D.贸易顺差19. 如果一国的经济同时存在失业和贸易逆差，其可以采用的政策措施为（ C ）A.财政扩张和货币扩张B.财政紧缩和货币紧缩C.财政扩张和货币紧缩D.财政紧缩和货币扩张20. 根据蒙代尔—弗莱明模型，对于实行浮动汇率制度且资本市场完全开放的小国来说，财政政策是（ B ）A.最有效的B.完全无效的依赖于货币政策的二、填空题（每小题1分，共10分）21.总供给是指一个经济在其生产能力和生产成本既定时，所有厂商在一定价格水平下意欲生产和销售的产品和劳务的总量曲线的右侧代表国际收支赤字23.在固定汇率下，当资本完全流动时，采用货币政策调节国际收支对本国国民收入产生影响被证明是无效的24.在浮动汇率和资本完全移动的条件下，财政政策完全无效25.在浮动汇率下，当资本不完全流动时政府扩张性财政政策一般会提高收入和利率26.经济危机一般包括繁荣、危机、萧条和复苏四个阶段27.发展中国家在战后先后采用了鼓励初级产品出口，进口替代和出口替代三种贸易政策28. 关税同盟的效果如何必须考虑静态和动态两方面效应。
一、单选题1、财政预算应包括它的全部财政收支，不准少列收支、造假帐、预算外另列预算。
这是指财政预算的（）A.法定性特征B.完整性特征C.公开性特征D.精细性特征正确答案：B2、从预算的表现形式来看，财政预算可分为A.单式预算和复式预算B.总预算和分预算C.增量预算和零基预算D.普通预算和特别预算正确答案：A3、现代财政预算最早出现于A.英国B.美国C. 德国D. 日本正确答案：A4、将政府的全部财政收支汇编在一个统一的预算表之中，这种预算叫A.单式预算B.复式预算C.零基预算D.增量预算正确答案：A5、反映国家以社会管理者的身份取得的收入和用于维持政府公共活动、保障国家安全和社会秩序以及发展社会各项公益事业支出的预算是A. 社会保障预算B.资本预算C. 其他预算D.经常预算正确答案：D6、我国的预算批准权力机构是A.国务院B.各级人民代表大会C. 各级政府D.各级财政部门正确答案：B7、下列说法错误的是A.美国特设专门的预算机关主持预算编制工作，财政只负责编制收入预算B.预算调整，必须经有关的权力机构审查和批准，未经批准不得调整预算C.我国的预算编制工作从财政年度开始前的十几个月就开始了D.我国政府预算的编制工作由财政部主持正确答案：D8、弥补财政赤字的可靠方法是A.动用历年财政结余B.发行公债C. 向中央银行借款D.向中央银行透支正确答案：B9、导致一部分财政收入没有形成现实购买力的是A. 赤字财政B. 财政平衡C.财政结余D.财政赤字正确答案：C10、总支出－（经常收入＋债务收入）=A.原始赤字B.总预算赤字C.硬赤字D.软赤字正确答案：C11、在经济衰退时期，财政政策的内容是A.税收减少，政府支出减少B.税收减少，政府支出增加C.税收增加，政府支出增加D.税收增加，政府支出减少正确答案：B12、财政政策和货币政策的“双松”搭配指的是A.扩大财政赤字和收紧信贷规模B.扩大财政赤字和扩张信贷规模C.减少财政赤字和扩张信贷规模D.减少财政赤字和收紧信贷规模正确答案：B13、宏观调控中最综合的宏观经济目标是A.充分就业B.稳定物价C.社会总供求D.经济增长正确答案：D14、政府每增加一元的购买性支出，就会增加1/（1-b）元的总需求指的是哪一种财政政策乘数。
答：可能，但应用程序中必须额外提供与TCP相同的功能。
5—08为什么说UDP是面向报文的，而TCP是面向字节流的？答：发送方UDP 对应用程序交下来的报文，在添加首部后就向下交付IP 层。
UDP 对应用层交下来的报文，既不合并，也不拆分，而是保存这些报文的边界。
接收方UDP 对IP 层交上来的UDP 用户数据报，在去除首部后就原封不动地交付上层的应用进程，一次交付一个完整的报文。
发送方TCP对应用程序交下来的报文数据块，视为无结构的字节流〔无边界约束，课分拆/合并〕，但维持各字节5—09端口的作用是什么？为什么端口要划分为三种？答：端口的作用是对TCP/IP体系的应用进程进行统一的标志，使运行不同操作系统的计算机的应用进程能够互相通信。
熟知端口，数值一般为0~1023.标记常规的效劳进程；1024~491515—10试说明运输层中伪首部的作用。
答：用于计算运输层数据报校验和。
5—11某个应用进程使用运输层的用户数据报UDP，然而继续向下交给IP层后，又封装成IP 数据报。
既然都是数据报，可否跳过UDP而直接交给IP层？哪些功能UDP提供了但IP没提提供？答：不可跳过UDP而直接交给IP层IP数据报IP报承当主机寻址，提供报头检错；只能找到目的主机而无法找到目的进程。
UDP提供对应用进程的复用和分用功能，以及提供对数据差分的过失检验。
5—12一个应用程序用UDP，到IP层把数据报在划分为4个数据报片发送出去，结果前两个数据报片丧失，后两个到达目的站。
过了一段时间应用程序重传UDP，而IP层仍然划分为4个数据报片来传送。
结果这次前两个到达目的站而后两个丧失。
试问：在目的站能否将这两次传输的4个数据报片组装成完整的数据报？假定目的站第一次收到的后两个数据报片仍然保存在目的站的缓存中。
答：不行重传时，IP数据报的标识字段会有另一个标识符。
仅当标识符相同的IP数据报片才能组装成一个IP数据报。
前两个IP数据报片的标识符与后两个IP数据报片的标识符不同，因此不能组装成一个IP数据报。
《课程与教学论》第五次课后习题答案一、单选题1（2分）、“在课程开发或课程实施还在发展或完善过程中时所采用的评价”是A、形成性评价B、总结性评价C、诊断性评价D、暗箱式评价2(2分)、在古德莱德的课程层次理论中，学生实际体验到的课程属于A、正式的课程B、理解的课程C、经验的课程D、运作的课程3(2分)、重视已有知识在学习中的作用，提出先行组织者策略的是A、布鲁纳B、加涅C、奥苏伯尔D、斯金纳4(2分)、在课程发展史上,课程组织的基本标准与原则最早见之于A、博比特的《怎样编制课程》B、查特斯的《课程编制》C、拉格的《课程编制：过去与现在》D、泰勒的《课程与教学的基本原理》5(2分)、把教学过程分为明了、联想、系统、方法四个阶段的教育家是A、杜威B、洛克C、凯洛夫D、赫尔巴特6(2分)、“隐性课程是学校暗默地、高效地灌输给学生的‘被合法化了的’文化、价值和规范，它是发挥着‘霸权’功能的日常意义体系”。
这一观点属于A、经验自然主义的隐性课程观B、结构功能主义的隐性课程观C、再生产性的隐性课程观D、抵制性的隐性课程观7(2分)、在理论上，迄今为止所有评价模式中最全面、最有效并代表着课程与教学评价发展方向的是A、差别模式B、目标达成模式C、回应模式D、外貌模式8(2分)、下列属于“课程开发科学化运动”早期代表的是A、多尔B、麦克尼尔C、博比特D、阿普尔9(2分)、科学---技术---社会课程(STS课程)属于A、学科本位综合课程B、分科课程C、儿童本位综合课程D、社会本位综合课程10(2分)、美国著名课程论专家施瓦布认为课程由四个要素组成，这四个要素是A、教师、学生、教材、教具B、教师、学生、学科、教材C、教师、学生、教材、环境D、教师、学生、教材、考试11(2分)、下列不属于赞科夫新体系的教学论原则的是A、以高难度进行教学的原则B、使学生理解学习过程的原则C、理论知识起主导作用的原则D、逐渐分化原则12(2分)、设计教学法的提出者是A、克伯屈B、杜威C、范迪尼D、夏皮罗13(2分)、把课程视为“学校材料”，课程研究即探究“价值中立的”课程开发的理性化的程序，这种研究取向也被称为A、多元主义B、大众主义C、民主化D、程序主义14(2分)、“建构主义的立场，如果认真对待的话，即是与知识、真理和客观性等传统概念直接相冲突的，它们要求从根本上去重建个人关于实在的观念。
部编版五年级下册语文阅读专项训练习题（五）（一）西湖之水“水光潋滟（liàn yàn）睛方好，山色空蒙雨亦奇。
欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜。
”我很喜欢这句诗，因为我同苏轼一样深恋着那西子湖畔，深恋着西子湖畔那一潭无以伦比的水。
西湖之美，美在西湖之水。
西湖之水是碧绿的，也许是周围环绕着层层叠叠的苍翠欲滴的树木的缘故吧，使得这水那么绿，使人不敢相信自己的眼睛，仿佛春姑娘就住在湖底，摇动的水草呈现出翠绿颜色，闪亮闪亮的，太阳光一照，便活跃起来了，像一群舞者穿着闪亮的裙子在跳舞，舞姿那样整齐。
那样优美，令人沉醉。
西湖之水是平静的，像一面光滑的大镜子，静静地照耀着，点点微风吹过，泛起一层层微波，很快便倏（shū）地一下又不见了，让人猜不着，看不透，不知不觉中，湖水又恢复了平静，几条小鱼游过来，轻轻地，柔柔地，让人感觉不到它在游动，这种意境，清静幽深，能让人忘掉一切烦恼，尽情在大自然母亲的怀抱里撒娇，寻找属于自己的一片天空，自由自在地去翱（áo）翔……西湖之水是醉人的，它的绿，它的静将你紧紧包围，让你忘记现在，忘记世俗，忘记烦恼，回到纯朴，回到自然，你会发现，自然的魅力是多么伟大，它又将你从喧嚣（xiǎo）中拉回，离开城市那片狭小的区域，感受自然的广阔与清丽，感受那纯粹的美，没有人不被它的美丽所折服，它是最圣洁的象征!感谢大自然赐予我们这一潭举世无双的碧水，成就了多少文人墨客的情怀。
（1）找出文章的中心句写下来。
（2）在作者看来，西湖之水有（）、（）、（）特点。
（3）西湖之水是碧绿的，这是因为，那样优美让人沉醉。
（4）文中“折服”的意思是：，作者使用这个词语充分表达了西湖的美让人无法抗拒。
如果让你用这个词写一个句子，你是这样写的：。
（5）这篇短文的开头和结尾是。
A、首尾呼应B、总起下文【答案】（1）西湖之美，美在西湖之水。
（2）碧绿的平静的醉人的；（3）周围环绕树木的缘故。
（4）心服、信服长城的高大雄伟真让人折服；（5）A。
习 题 五1．判断下列线性方程组是否有解.（1）123123123246243621x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩ （2）123123123246243621x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩（3）246233629x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩ （4）32264259636x y z x y z x y z -+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-+-=⎩解：（1）241612141214(|)121408320832362101211300720⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 行行β 因为()(|)3R R ==A A β，所以方程组有唯一解（2）241612141214(|)121400320011336210011300037⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 行行β 因为()2(|)3R R =≠=A A β，所以方程组无解（3）241612131213(|)121300300010362900100000⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−→-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 行行β 因为()(|)23R R ==≤A A β，所以方程组有无穷多解.（4）32123212(|)6425000196360000⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 行β 因为()1(|)2R R =≠=A A β，所以方程组无解.2．设12,,,m ηηη都是非齐次线性方程组=AX β的解向量，令1122m m k k k =+++ ηηηη验证：（1）若120m k k k +++= ，则η是=AX β对应的齐次线性方程组=0AX 的解向量；（2）若121m k k k +++= ，则η是=AX β的解向量.证：11221112()()m m m m mk k k k k k k k =+++=++=+++ A A A A ηηηηηηβ（1）若120m k k k +++= ，则=0A η，所以η为=0AX 的解向量. （2）若121m k k k +++= ，则=A ηβ，所以η为=AX β的解向量.3．设A 为4阶方阵，123()3,,,R =A ααα都是非齐次线性方程组=AX β的解向量，其中12231198,9845⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααα（1）求=AX β对应的齐次线性方程组=0AX 的一个基础解系；（2）求=AX β的通解.解：（1）由已知(1,2,3),()3,i i R ===A A αβ 所以=0AX 的基础解系含有()431n R -=-=A 个非零向量，令122301()()011⎛⎫⎪ ⎪=+-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ξαααα且122313[()()]=+-+=-=-=0A A A A ξααααααββ.所以ξ为=0AX 的一个线性无关解向量，是=0AX 的基础解系.（2）令*121911()9224⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ηαα则*1211()()22=+=+=A A ηααβββ 即*η为=AX β的一个特解，从而=AX β的通解为*10911,91241k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X ηξ为任意常数.4．已知123411 1 1 101 1 2 1,,,,232 4335 18 5a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααβ （1）,a b 为何值时，β不能表为1234,,,αααα的线性组合；（2）,a b 为何值时，β可唯一地表为1234,,,αααα的线性组合. 解：β不能表为1234,,,αααα的线性组合的充要条件是非齐次方程组11223344x x x x +++=ααααβ无解，β可唯一表为1234,,,αααα的线性组合的充要条件是非齐次方程组11223344x x x x +++=ααααβ有唯一解.12341111101121(|)2324335185a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪==−−→ ⎪++ ⎪ ⎪+⎝⎭B 行ααααβ 11111111110112101121012100100225200010a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭行 （1）当1,0a b =-≠时，1234()2()3R R =≤=B αααα，此时β不能表为1234,,,αααα的表性组合.（2）当1,a b ≠任意时，1234()()4R R ==B αααα，此时β可唯一地表为1234,,,αααα的线性组合.5．已知齐次线性方程组1231231230030x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a .解：齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式11110113a a=- 即 11111111110(1)2131132130aaaa a a aa -=--=--------3(1)(1)0a a =+-= 所以1a =±.6．求下列方程组的基础解系及通解.（1）12341234123432320,20,2220;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩（2）12123412340,230,2220;x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩（3）12340952015310;142101321870x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）12341243023210.452301326220x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：（1）41003232321110103221240013⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=-−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭行A ，所以14243443343x x x x x x ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩因为()34,R =<A 所以基础解系含()1n R -=A 个非零向量，取43x =，得基础解系4943⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ, 所以通解为 49,43 k k k ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭X ξ为任意常数.（2）110021100110012311011101022221002110012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭行行A , 故 1424341,21,21.2x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩因为()34R =<A ，所以基础解系含()1n R -=A 个非零向量，取42x =，得基础解系 111 2⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ξ,所以通解为11,1 2k k k ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭X ξ为任意常数.（3）0952153115311531095209521421095200001321870271560000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行行A 123453x x x x +=--234952x x x =--因为()2,=R A 所以基础解系含()2n R -=A 个线性无关向量.取349,0x x ==，得122,5,x x =-=- 得 12590-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ取340,9x x ==，得121,2,x x ==- 得 21209⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ得一个基础解系为12,ξξ，通解为121212342152,,9009x x k k k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数.（4）124312431243232101650165452303181500001326220530250000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭行行A所以123423424365x x x x x x x +=-+⎧⎨=-+⎩因为()2,R =A 所以基础解系含()2n R -=A 个线性无关向量取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得一个基础解系128765,1001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ所以通解为1211221212348765,,1001x x k k k k k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξ为任意常数. 7．求下列方程组的通解.（1）1234123123421,21,4222;x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪+--=⎩（2）12341234123421,3243,4352;x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（3）12342731613112;73264x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（4）12345135401132211.121113121113x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭解：(1) 211112*********(|)211010001000010422120003000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-−−→-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭行行B A β 因为()(|)24R R ==<A A β, 所以方程组有无穷多解，取23,x x 为自由未知量，令21322,2x k x k ==，则11242221,0x k k x =-++=.所以方程组的通解为1122112123241111222020,,02200000x k k x k k k k k x k x ⎛⎫⎛⎫--++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数其中12000⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为方程组的特解，1120,0200-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为导出组的基础解系. (2) 2111113 243(|)13243075751435207595----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行行B A β132430757500020--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭取3x 为自由未知量，令37x k =，则解得124675570x k x k x ⎧=+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故原方程通解为1234661775555,77770000k x x k kk x k x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数. 其中特解为*675700η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，基础解为1570⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ. (3) 2731613112(|)13112015110732640245110--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--−−→-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭行行B A β 410001311210112501511001000010002500005110100125⎛⎫⎪----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭行行 取4x 为自由未知量，令45x k =，则1234,0,2x k x x k =-==+，故原方程组的通解为1234404000,221505x k x k k x k k x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数. （4）135401132211(|)121113121113-⎛⎫ ⎪-- ⎪==−−→ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭行B A β 135401135401003212003212054312040000014312014312--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭行行 105401100110210100000100000032120011240011240001714--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行行 10003701000000105100001714-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 令5x k =，则原方程组的通解为123453737000510510,71471410x k x x k k k k x k x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数. 8．当123,,a a a 满足什么条件时，方程组121232133x x a x x a x x a-=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩ 有解？并写出通解.解：1122313110110(|)011011101011a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−→-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭行行A β1122212312311010111011000000a a a a a a a a a a a --+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭行所以当1230a a a ++=时，()(|)2R R ==A A β，原方程组有解，此时，令3x k =，则通解为11212222311,10x k a a a a x k a k a k x k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数. 9．当a 等于何值时，方程组1231231231,(1)(1)22,(21)3(2)3ax x x a x a x x a x x a x ++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩有唯一解；有无穷多解；无解？当有解时，把解写出来.解：212311111||11211(2)(1)2213211aa r r a a a a a r r a a a===========-=++=+--++A （1）当1a ≠且2a ≠-时，方程组有唯一解，12312x x x a ===+. （2）当2a =-时21111122112(|)112203330111330306630003-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭行行A β 因为()2(|)3R R =≠=A A β, 所以原方程组无解. （3）当1a =时，11111111(|)2222000033330000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行A β因为()(|)13R R ==<A A β,所以方程组有无穷多解，解方程1231x x x =--得通解为1212123111010,,001x x k k k k x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数.10．设方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵A 的秩为1n -，而A 中某元素ij a 的代数余子式0ij ≠A ，试证12(,,,)i i in ' A A A 是该方程组的基础解系.证：不失一般性，不妨设110≠A ，则11121(,,,)n '=≠0 ξA A A11111112121111121122122221112212211211121211||00n n n n n n n n nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A A A A A A A A A A A A A A ξ 因为()1,R n n =-<A 所以||0,=A =0A ξ，即ξ为=0AX 的解向量，且≠0ξ，故线性无关. 又因为()1n =-R A 知=0AX 的基础解系含线性无关向量个数为()1n R -=A ，因此11121(,,,)n '= ξA A A 为=0AX 的基础解系.11．设η是非齐次线性方程组()=≠0AX ββ的一个解向量，12,,,n r - ξξξ是它对应的齐次线性方程组=0AX 的基础解系. 证明：（1）12,,,,n r - ηξξξ线性无关；（2）12,,,,n r -+++ ηξηξηξη是=AX β的1n r -+个线性无关的解向量. 证：（1）设有数1,,,n r k k k - 使得110n r n r k k k --+++= ηξξ上式两边左乘A ，则有k =0A η，注意到,00k =≠=ηβA ，从而可得11n r n r k k --++=0 ξξ由1,,n r - ξξ的线性无关性知120n r k k k -====所以12,,,,n r - ηξξξ线性无关.（2）()(1,,)i i i n r +=+=+==-0 A A A ξηξηββ,所以1,,,n r -++ ηξηξη是=AX β的1n r -+个解向量，下证1,,,n r -++ ηξηξη线性无关，事实上，若有数1,,,n r k k k - 使得11()()n r n r k k k --+++++=0 ηξηξη，即111()n r n r n r k k k k k ---++++++=0 ηξξ由（1）知，1,,,n r - ηξξ线性无关，所以1120,0,n r n r k k k k k k --+++===== 所以0k =.从而1,,,n r -++ ηξηξη是=AX β的1n r -+个线性无关的解向量.12．设非齐次线性方程组()=≠0AX ββ的系数矩阵的秩为121,,,,,n r n r r --+ ηηηη是它的1n r -+个线性无关的解向量，证明它的任意一个解向量都可表为112211n r n r k k k -+-+=+++ X ηηη，其中1211n r k k k -++++=证：齐次线性方程组=0AX 的基础解含n r -个线性无关解向量. 显然11121,,,n r n r n r n r -+-+-+---- ηηηηηη是=0AX 的解，若有数12,,,n r k k k - 使1112121()()()n r n r n r n r n r k k k -+-+--+--+-++-=0 ηηηηηη则12111()n r n r n r n r k k k k k --+--+++---=0 ηηη.因为已知121,,,n r -+ ηηη线性无关，则有120n r k k k -==== ，于是11121,,,n r n r n r n r-+-+-+---- ηηηηηη线性无关，因而是齐次方程组=0AX 的一个基础解系，故非齐次线性方程组=AX β的通解可表示为：11121211()()()n r n r n r n r n r n r l l l -+-+--+--+=-+-++-+ ηηηηηηηX1122121(1)n r n r n r n r l l l l l l ----+=----+++++ ηηηη112211n r n r n r n r k k k k ---+-+=++++ ηηηη其中112211,,,,1n r n r n r n r k l k l k l k l l ---+-=-=-=-=+++ ，且1211n r k k k -++++= .13．证明与线性方程组=0AX 的基础解系等价的线性无关向量组也是=0AX 的基础解系.证：设12(),,,,n r R r -=A ξξξ是=0AX 的一个基础解系，即12,,,n r - ξξξ线性无关，且(1,2,,)i i n r ==-0 A ξ，又设线性无关向量组12,,,s βββ与向量组12,,,n r - ξξξ等价，则必有s n r =-，且12,,,n r - βββ中的任一向量均可由12,,,n r - ξξξ线性表示，即：1122(1,2,,)i i i in r n r k k k i n r --=+++=- βξξξ,所以 1122i i i in r n r k k k --=+++=0 A A A A βξξξ.说明12,,,n r - βββ是=0AX 的含n r -个解向量的线性无关向量组，故12,,,n r - βββ也是=0AX 的一个基础解系.14．设m n ⨯矩阵A 的秩()r =A ，试证若r n <，则存在秩为n r -的列满秩阵B ，使=0AB .证：因()R r n =<A ，所以齐次线性方程组=0AX 的基础解系中含有n r -个线性无关向量，设12,,,n r - ξξξ为基础解系，由其线性无关性，知矩阵12()n r -= B ξξξ列满秩，且其秩为n r -，并且 1212()()()n r n r m n r ---===0 AB A A A A ξξξξξξ.15．设A 是m n ⨯矩阵，试证A 的秩是m 的充要条件是对任意1m ⨯矩阵β，方程组=AX β总有解.证：⇒若()R m =A ，则对任意1m ⨯矩阵β，有()(|),m R R m =≤≤A A β所以()(|)R R m ==A A β故方程组=AX β有解.⇐若对任意1m ⨯矩阵β，方程组=AX β总有解，取00100i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭βe ，则有1n ⨯矩阵i x 使(1,,)i i i m ==Ax e . 令12()m =X x x x ，则121212()()()m m m m ====AX A x x x Ax Ax Ax e e e E ，所以()()()m m R R R m ≥≥==A AX E ，故()R m =A .16．设有平面上三条直线1:0;L x y a ++=2:20;L x y b ++=3:30.L x y c ++=试讨论这三条直线的位置关系.解：考虑三条直线方程所成的线性方程组，其系数矩阵的秩为()2R =A ，对其增广矩阵作如下初等行变换111111(|)1201011302002a a a b a b a b c a c b a c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-−−→-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭行行A β可见，当2a c b +=时，()(|)2R R ==A A β，方程组有唯一解，这表示三条直线交于一点.当2a c b +≠时，2()(|)3R R =≠=A A β，方程组无解，注意到三条直线的方向向量两两线性无关，此时三条直线在平面上两两相交，但没有公共交点.17．设有三个不同平面的方程组成的方程组111213121222323132333,,.a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩它的系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，那么这三个平面的位置关系可能是下面四种中的哪一种？（A ） （B ） （C ） （D ）解：依题意，方程组有无穷多解，有一个自由未知量，交于一条直线，故选（B ）.18．讨论a 等于何值时，方程组3123123,ax x x a x ax x a⎧++=⎨++=⎩ 与方程组12312321231,(1)(1)21,.ax x x a x a x x a x x ax a ⎧++=⎪++++=+⎨⎪++=⎩同解. 在这两个方程组同解时，求出通解.解：考察第二个线性方程组的系数行列式2111111211(2)(1)1111a a a a a a a a a++==+-当1a ≠且2a ≠-时，系数行列式不为零. 第二个方程组有唯一解，而此时第一个方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，所以有无穷多解. 不合题意，舍去. 当1a =时，这两个方程组同解，通解为1212111100,,010k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 为任意常数当2a =-时，由第一个方程组的导数矩阵的秩和增广阵的秩都是2，知该方程组有无穷多解. 而由211121111121112111210333112400030003-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→---→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭知第二个方程组的系数矩阵的秩不等于增广阵的秩，该方程组无解，不符合题意，舍去.。
