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巾）＼忖j 开I I 1 1\；i 身）．（以（）级商，气倌贞1次攸平）d1t 1l 才们IJlI 刚科综合能丿丿测试I ｀J 一、丿2020. (, I ．卜试息分沁I 岱伈沽I I 卷两部分，，满分I (）（）分，忭试II 寸1.II I l 50分仲，I 、.t,l 什芩时，i村将怜案S h 怂N，叶I I .I 必汕在跳1；);/，j 11小的切l A J札竹忍，超出答肋区域书订的无效，在试颖卷、八稿纸I答烟尤效。
3.低缸t 题．片J··、!,i .．．）kt熄．I l .．K ．什．咎，）（丿IJ 2114{\ 4L (r”JIJl j:· I .把所选肋f l 的题）；14,“(可能丿�j到的相对原j ·丿1Ji l 1l:lll l.i7 N14 01() S 3 2 (; 1 3 5. 5 l I.,，5 6 1,I, 207 第［卷（共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列关J 实验说法错误的是A .“观察叶绿体”的实验材料可以川波菜略陟叶肉的I :N皮B .“质照分离与复原“实验中，腹啖分离停止时，细胞液渗透丿飞勺外界溶液惨透压,HI 笘c .“低温诱导染色体加倍＂的实验中，卡诺氏液固定后，川消水冲洗根尖n.“观察D NA和R N A在细胞中的分布＂的实验步骤为“制片水解－冲洗－染色－观察”2．细胞核是系统的控制中心，下列关千细胞核的说法正础的是A．细胞核中的DNA在行使其功能时衙要蛋白质的参与B ．战因表达发生于核糖体，需要的原料为氨基酸．核孔是大分子物质如DNA、RNA、蛋白质进出的通追D .环度分化的儿核细胞均具有全能性3．下列关j :H i 物激素的说法错误的是A．植物体内没什分泌激素的腺体B．植物激素具有如耽效的特点C.生长素只能从形态学的1今瑞运往形态学的下端D.秋季沼叶勺脱落酸的调节介关4从同学将甲、乙内只咋(k l徐丿劓川朵I Y I 咋）的I L 、m ,）技I I i l\,,虹I趾瑞（简你在、右后趾）分别没＼0.5c.!硫酸溶液中，均出现屈肌反射（缩腿））下列义J 丿II ！肌仅射说齿l 确的足A .剥去巾的左后趾）支队，川0.5％吮陨刺激人丿II 仇I.未出l册）t llJllL 反射，勺效）应器受损仆·`B ．分离甲的右后肢坐什神经，电刺激喂I I �神·?，（dl股收细，llI i妒l A i'}神经1戍j ·传入神经c ．捣毁乙的许悯，电刺激腿部肌肉出现缩｝胀，则什Il机）tI廿l l l 反射的神卜中枢，k （上旧l )屈肌反射发生时，兴奋（1.神纾纤f (i L的（伈凇吓l 的，�i.I_ I 悄杠仙陈代谢所产生的能从5人「制作的生态缸队队凇观生态系统，I I }观东且柲定性。
2020届重庆市南开中学高三上学期第一次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（）A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3AB =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()()12z i i i -+=，则z =（） A ．12i + B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】 由已知得21i z i i-=+， 所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-， 所以12.z i =- 故选B. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题. 3．命题“若220x y +=，则0x =，0y =”的否命题为（） A ．若220x y +=，则0x ≠，0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若x y +≠220，则0x =，0y = D ．若x y +≠220，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D. 【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4．关于函数()y f x =与()ln y f x =，下列说法一定正确的是（） A ．定义域相同 B ．值域相同C ．单调区间相同D ．奇偶性相同【答案】B【解析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得. 【详解】对于A 答案：()y f x =的定义域是R ，而()ln y f x =的定义域是()0,∞+，故A 错误；对于C 答案：()ln y f x =是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D 答案：()ln y f x =的定义域是()0,∞+的子集，故()ln y f x =不具有奇偶性,故D 错误；因为ln y x =的值域是R ，故B 正确. 【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题. 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知C 选项是奇函数，所以排除C 选项， 又因为在(),0-∞上单调递减，在,,A C D 选项中，只有D 选项符合， 故选D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解. 【详解】由黎曼函数的定义可知()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中p 是大于或等于2的自然数），故①错误；方程()R x x =的解有：11111,,,,,,234p，（其中p 是大于或等于2的自然数），故②正确；对于任何的自然数2p ≥，根据()()f f 1x x =-，所以()R x 的图像关于直线12x =对称，故③正确； 故选C. 【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题. 8．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B. 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.9．若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（） A ．(),2-∞- B ．(]2,1- C ．[)1,4D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令228t ax x =++的最大值是9，所以解得1a =-， 所以 ()()213log 28f x x x =-++，又因为228t ax x =++在()2,4-上0,t >且在(],1-∞上单调递增，在[)1,∞上单调递减，根据复合函数的单调性得C 选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题. 10．下图可能是下列哪个函数的图像（）A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=-C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C【解析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手. 【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.11．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2'f x f x x>，则不等式()()10x f x -<的解集为（） A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞C ．()(),21,2-∞-D ．()()2,01,2-U【答案】D【解析】将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负求解. 【详解】当0x >时，由()()2'f x f x x >得()()2'0f x f x x ->，即()()'20xf x f x x->，所以()()24'20x f x xf x x ->，即()'20f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以令()()2f x g x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()20g =， 又因为()f x 上奇函数，所以()g x 也是奇函数， 且在()()2,02,-+∞时()0g x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0g x <，又因为20x >， 所以在()()2,02,-+∞时()0f x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0f x <解不等式()()10x f x -<中，当1x >时，()0f x <，所以其解集为()1,2； 当1x <时，()0f x >，所以其解集为()2,0-. 故得解. 【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负的取值范围，属于难度题.12．已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A ．34B ．2C ．52D ．4【答案】A【解析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+，∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A. 【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.二、填空题13．曲线()()2ln 1f x x x =-+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】0x y +=【解析】先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程. 【详解】 由已知得()'121fx x x =-+，所以()'01f =-， 又因为()00f =，所以在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=-⨯-， 即0x y +=，故得解. 【点睛】本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.14．已知函数()y f x =与函数()lg 1y x =-的图像关于点()1,0对称，则()f x =______.【答案】()lg 1x --【解析】根据图像上的点关于点对称其坐标的关系得解. 【详解】设()y f x =上任意一点(),P x y ，点P 关于点()1,0对称的点(),Q m n 则2m xn y=-⎧⎨=-⎩ 且在函数()lg 1y x =-的图像上， 所以()lg 12y x -=--⎡⎤⎣⎦，即()lg 1y x =--， 故得解. 【点睛】本题考查根据图像的对称性求解析式的问题，属于中档题.15．若关于x 的方程14220x x a +-⋅+=有两个不等正实根，则实数a 的取值范围是______.32a <<【解析】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根. 【详解】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根，∴24a 80x=a 11-2a+20⎧-⎪⎨⎪⎩＞＞＞,3.2a <<【点睛】本题利用换元法转化为二次方程根的分布问题，属于中档题.16．若函数()2f x x ax =-，[]1,3x ∈的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是______.【答案】16a ≤≤【解析】分别讨论对称轴与给定的区间的关系，得出函数在给定的区间上的单调性，从而得出最值求解不等式组. 【详解】(1)当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (2) 当01a <<时，()f x 在[),a +∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (3) 当12,a ≤≤时，()f x 在[]1,a 单调递减，在[),a +∞单调递增， 要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()()13f f ≤； 即193a a -≤-，解得12a ≤≤；(4) 当2a >时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[),a +∞单调递增，要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()32a f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；即229322a a a ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，解得26a ≤≤-+综上得知实数a 的取值范围是16a ≤≤. 故得解. 【点睛】本题关键在于讨论出函数在给定的区间的图像趋势得到最值，属于中档题.三、解答题17．已知函数()231x af x =+-为奇函数. （1）求实数a 的值；（2）求不等式()3log 1f x x <+的解集. 【答案】（1）4a =（2）()3log 2,+∞ 【解析】(1)根据奇函数的定义可求得；(2)化简不等式转化为指数不等式求解. 【详解】（1）()23231x x a f x ⋅+-=-，()()2322323113xx x xa a f x ---⋅+⋅+--==--， 由题知()()f x f x -=-， 故22a -=即4a =；（2）3232232log 103131x x xx x ⋅+⋅+<+⇔>--①， 且1232331x x x +⋅+<-②，又30x>，故由①得31x>，此时12232333532031x x x x x +⋅+<⇔⋅-⋅->-()()323310x x ⇔-⋅+>，故32x >，∴3log 2x >，即不等式的解集为()3log 2,+∞. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和指数不等式，属于中档题. 18．已知命题p ：函数()3213f x x x ax =--不单调，命题q ：[]01,2x ∃∈，2210x ax --<.（1）若q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q ∧⌝为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≤（2）1a ≤-或1a >. 【解析】(1)由非命题的真假判断得不等式求解；(2)根据复合命题的真假判断条件，建立不等式组求解. 【详解】（1）[]01,2x ∃∈，[]202101,2x ax x --<⇔∃∈，12a x x>-，故min 12a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又12y x x=-在[]1,2上单增，∴min 12211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴1a >，由题知q 为假命题，故1a ≤；（2）()2'2f x x x a =--，故()f x 不单调440a ⇔+>即1a >-，即p 为真命题1a ⇔>-，由（1）知q ⌝为真命题1a ⇔≤，故()p q ∧⌝为真命题11a ⇔-<≤， 所以()p q ∧⌝为假命题1a ⇔≤-或1a >. 【点睛】本题考查复合命题的真假判断以及利用导函数研究函数的单调性，属于难度题. 19．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4:1，成绩一般的男、女生人数之比为8:7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6.（1）请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++；临界值表供参考：【答案】（1）填表见解析,有95%的把握认为二者有关；（2）详见解析【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解.【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：()22100203540550 3.841604025759K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为二者有关；（2）由题知13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故X 的分布列为：()13355E X =⨯=.【点睛】本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.20．已知点P 到直线3y =-的距离比点P 到点()0,1A 的距离多2. （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点()0,2Q 的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得MRQ NRQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在满足条件的定点()0,2R -,详见解析【解析】(1)根据抛物线的定义可得解；(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解. 【详解】（1）由题知，PA =点P 到直线1y =-的距离， 故P 点的轨迹是以A 为焦点、1y =-为准线的抛物线， 所以其方程为24x y =；（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为()0,r .此时0MR NR MRQ NRQ k k ∠=∠⇔+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12120y r y rx x --+=， 由题知直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =+，与24x y =联立得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，1212121222y r y r kx r kx rx x x x --+-+-+=+()()()1212222202r x x k r k k x x -+-=+=-=，故2r =-，即存在满足条件的定点()0,2R -. 【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题. 21．已知a R ∈，函数()()2222ln 5f x x a x a x =-+++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）设函数()212ln 2g x x x x m =-++，若()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，且当12x x x <<时，()()0f x g x <<，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）12m ≥-【解析】(1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性；(2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解. 【详解】解析：（1）()()()()212'222x x a a f x x a x x--=-++=，∵0x >，故 当0a ≤时，()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单增，在(),1a 上单减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单增，在()1,a 上单减； （2）结合（1）知1a ≠；当0a ≤时，()1420f a =->，故()0f x >，不存在零点；又当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，当01a <<时，()1420f a =->，∴()f x 只有一个零点；故1a >，此时()f x 存在两个零点且当12x x x <<时()()010f x f <⇔=即2a =， 此时11x =，22x >，()()()212'1x x g x x x x-+=-+=，()g x 在[)1,2上单增，(]22,x 上单减，而()()222221112ln 22g x g x x x -=-+-①，又222264ln 50x x x -++=，代入①式得 ()()()()22222214313g x g x x x x -=-+-=--，又()34ln340f =->，故()22,3x ∈， ∴()()210g x g ->即()()21g x g >， ∴()10g ≥即可，∴12m ≥-. 【点睛】本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，点0,4A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，直线l 经过点02,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与直线OA 垂直.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）已知点P 在曲线C 上运动（异于O 点），射线OP 交直线l 于点Q ，求线段PQ 的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2）3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示P 、Q 两点，运用中点坐标公式求解. 【详解】解析：（1）由题知4A π⎫⎪⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭， 故点B 的直角坐标为()2,2，由l OA ⊥知直线l 的倾斜角为34π，故直线l 的直角坐标方程为4x y +=，所以其极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）由题知可设()1,P ρθ，()2,Q ρθ，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则PQ 中点的极坐标为12,2ρρθ+⎛⎫⎪⎝⎭，由P 在曲线C 上得12sin ρθ=，由Q 在直线l 上得2sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故PQ中点的极坐标为sin ,sin 4θθπθ⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以PQ中点轨迹的极坐标方程为3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x <+的解集；（2）设,,a b c ∈R ，若()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立，求a b c -+的最大值.【答案】（1）()0,1x ∈（2）32- 【解析】(1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式；(2)构造柯西不等式求最值. 【详解】解析：（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，当12x ≥时，32x x <+即1x <，∴112x ≤<；当112x -<<时，22x x -<+即0x >，∴102x <<；当1x ≤-时，32x x -<+即12x >-，无解；综上，()0,1x ∈； （2）由（1）知，当12x =时，()f x 取到最小值32，故()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立， 即()()2223122a b c ++-+≤， 由柯西不等式知()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤++-+++≥++-+⎣⎦， 当且仅当12a b c +=-=时等号成立， ∴()2932a b c -++≤，即3322a b c --≤-+≤-，当12a =-，22b =-，2c =时，右边等号成立，∴a b c -+的最大值为32-. 【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.。
2023届重庆市南开中学高三第九次质量检测数学试题及参考答案一、单选题1.已知集合(){}2,x y y x A ==，集合(){}x y y x B -==1,，则集合A ∩B 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知直线l 的一个方向向量为⎪⎭⎫⎝⎛=3cos ,3sin ππp ，则直线l 的倾斜角为（）A.6πB.3π C.32π D.34π3.已知a,b 为实数，则使得“0>>b a ”成立的一个充分不必要条件为（）A.ba 11> B.()()1ln 1ln +>+b a C.33ba > D.11->-b a 4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是()36536501.1%11=+；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是()36536599.0%11=-.一年后“进步”的是“退步”的148199.001.199.001.1365365365≈⎪⎭⎫⎝⎛=倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（4771.03lg 3010.02lg ≈≈，）A.20B.21C.22D.235.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和连个圆弧C A 、C B围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，若2=AB ，则=⋅OB OA （）A.167-B.72-C.34-D.74-6.将函数()x x x f sin 3sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=π的图像向左平移()0>a a 个单位后的函数图像关于y 轴对称，则实数a 的最小值为（）A.6π B.4πC.3π D.2π7.若()()*∈-Nn mx n1的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对()n m ,共有（）组不同的解.A.1B.2C.3D.48.已知O 为坐标原点，椭圆()012222>>=+b a b y a x E ：，平行四边形OACB 的三个顶点C B A ,,在椭圆E 上，若直线AB 和OC 的斜率乘积为21-，四边形OACB 的面积为263，则椭圆E 的方程为（）A.14822=+y x B.13622=+y x C.12422=+y x D.1222=+y x 二、多选题9.下列命题正确的有（）A.空间中两两相交的三条直线一定共面B.已知不重合的两个平面βα，，则存在直线βα⊂⊂b a ,，使得b a ,为异面直线C.过平面α外一定点P ，有且只有一个平面β与α平行D.已知空间中有两个角222111C B A C B A ∠∠，，若直线11B A ⊥直线22B A ，直线11C B ⊥直线22C B ，则222111C B A C B A ∠=∠或π=∠+∠222111C B A C B A .10.学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品.小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（）A.星期一B.星期三C.星期五D.星期六11.某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试.若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为A ；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为C ；其它情形评定能力等级为B .已知小华同学做对每道题的概率均为32，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（）A.小华能力等级评定为A 的概率为24364B.小华能力等级评定为B 的概率为243158C.小华只做了4道题目的概率为92D.小华做完5道题目的概率为271612.已知函数()()0≠+=ab xbax x f ，则下列说法正确的有（）A.0≠∀ab ，函数()x f 是奇函数B.0≠∃ab ，使得过原点O 至少可以作()x f 的一条切线C.0≠∀ab ，方程()()2sin sin +=x f x f 一定有实根D.0≠∃ab ，使得方程()[]()[]x f x f cos sin =有实根三、填空题13.已知复数z 满足()11=--i z （i 是虚数单位），则z 的最大值为.14.{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若155=S ，1263,,a a a 成等比数列，则=20332033a S .15.函数()x x x f sin 22cos +=（[]π2,0∈x ）的值域为.16.若函数()()0313>-=a ax x f 与函数()cx x x g 322-=的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数a 的取值范围是.四、解答题17.在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ，，，已知02cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+B a A b ππ（1）求角A 的大小；（2）点D 为边BC 上一点（不包含端点），且满足ACB ADB ∠=∠2，求BCDC的取值范围.18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018-2022年移动物联网连接数w 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5.（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求w 关于t 的线性回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.附：样本相关系数()()()()∑∑∑===----=ni in i ini i iw w t t ww t tr 12121，()()()∑∑==---=ni ini i ittww t tb121ˆ，t b w a⋅-=ˆˆ，7.411740≈.19.已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 和侧面11A ABB 都是边长为2的菱形，平面ABCD ⊥平面11A ABB ，D B B A 11⊥.（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）若︒=∠601AB A ，求二面角B C B A --1的余弦值.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S a n n 223+=，*∈N n .（1）证明：数列{}2+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设22log 3+=n n a b ，证明：121253111111111+->⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n b b b b b .21.已知点()10，F ，动点M 在直线1-=y l ：上，过点M 且垂直x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）过F 的直线与曲线C 交于B A ，两点，直线OB OA ，与圆0222=-+y y x 的另一个交点分别为E D ，，求DOE ∆与AOB ∆面积之比的最大值.22.对于定义在D 上的函数()x F ，若存在D x ∈0，使得()00x x F =，则称0x 为()x F 的一个不动点.设函数()()x x a e x x f x+--=ln 1，已知()100≠x x 为函数()x f 的不动点.（1）求实数a 的取值范围；（2）若Z k ∈，且a kx <0对任意满足条件的0x 成立，求整数k 的最大值.（参考数据：693.02ln ≈，1.13ln ≈，95.132≈e ，39.72≈e ，48.423≈e）参考答案一、单选题12345678BADDACDB1、解析：由⎪⎩⎪⎨⎧-==xy x y 12，消去y 得012=-+x x ，即012=-+x x ，解得251+-=x 或251--=x （舍去），∴251+-=x 或251+--=x 即函数2x y =与x y -=1有两个交点，，所以集合A ∩B 的元素个数为3个.2、由题意可得：直线l 的斜率6tan 333sin3cosπππ===k .3、对于A ，如果b a 11>，例如1,2-=-=b a ，则121->-，不能推出0>>b a ，如果0>>b a ，则必定有ba 11<，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B ，如果()()1ln 1ln +>+b a ，根据对数函数的单调性可知11+>+b a ，∴b a >，但不能推出0>>b a ，例如5.0,1-==b a ，不是充分条件，错误；对于C ，如果33b a >，因为3x y =是单调递增函数，∴b a >，不能推出0>>b a ，不是充分条件，错误；对于D ，如果11->-b a ，则必有01>≥>b a ，是充分条件，如果0>>b a ，例如5.0,1==b a ，则不能推出11->-b a ，∴是充分不必要条件，正确.4、解析：设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的10000倍，则()xx2.12.0110000=-⨯，即100008.02.1=⎪⎭⎫ ⎝⎛x，∴231761.042lg 3lg 423lg 48.02.1lg 10000lg 10000log 8.02.1≈≈-====x .5、解析：若2=AB ，则圆弧BC AC 、的半径为2，设圆O 的半径为r ，则r OA -=2，过O 作AB OD ⊥，则r OD =，1=AD ，ODA RT ∆中，222AD OD OA +=，即()1222+=-r r ，解得43=r ，则有45=OA ，AOB ∆中，由余弦定理得25745452245452cos 222222-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ，∴167257452-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅=⋅AOB OB OA .6、解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=6sin 3cos 23sin 23sin 3sin cos 3cossin πππx x x x x x x f ，将函数()x f 的图像向左平行移动a 个单位后的函数记为()x g ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 3πa x x g ，而函数()x g 的图像关于y 轴对称有()30±=g ，∴16sin ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πa ，∴()Z k k a ∈+=+πππ26，∴()Z k k a ∈+=ππ3，∵0>a ，∴实数a 的最小值为3π.7、解析：根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知n 的可能取值为11,10,9，由题意得：令1=x ，有()nnm 21=-，当11,9=n 时，3=m ；当10=n 时，3=m 或1-，故有序实数对()n m ,共有4组不同的解，分别为()()()()10,310,111,39,3，，，-.8、解析：在AOB ∆中，()11y x OA =，()22,y x OB =，222221212121cos y x y x y y x x OB OA AOB +⋅++==∠，而()π，0∈A ∴2222212121212cos 1sin y x y x x y y x AOB AOB +⋅+-=∠-=∠，∴212121x y y x AOB S AOB -=∠=∆.设()ααsin ,cos b a A ，()ββsin ,cos b a B ，由题意可知：OB OA OC +=，∴()βαβαsin sin ,cos cos b b a a C ++，将C 坐标代入椭圆方程有()()()()21cos sin sin cos cos 221sin sin cos cos 22-=-⇒++==+++βαβαβαβαβα则()23sin =-βα，∴四边形OACB 的面积为()βααββα-=⋅-⋅==∆sin sin cos sin cos 2ab b a b a S S AOB ，即26323=ab ，又根据AB 和OC 的斜率乘积为21-知22222222222222sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin ab a b a b a a b b a a b b -=--⋅=--⋅=++⋅--αββαβαβαβαβαβαβα∴2122=ab ，解得：3,622==b a .二、多选题9101112BCBDABCAD9、解析：选项A ：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面，错误；选项B ：已知不重合的两个平面βα，，则βα∥或βα，相交，两种情况均存在直线βα⊂⊂b a ,，使得b a ,为异面直线，正确；选项C ：过平面α外一定点P ，有且只有一条直线m 与平面α垂直，过点P 有且只有一个平面β与直线m 垂直，则βα∥.正确；选项D ：在如图正方体中，直线11B A ⊥直线22B A ，直线11C B ⊥直线22C B ，由32222111ππ=∠=∠C B A C B A ，可得222111C B A C B A ∠≠∠，且π≠∠+∠222111C B A C B A ，错误.10、解析：若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次星期日，不符合题意，A 错误；若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次星期二，第四次星期五，第五次星期一，符合题意，B 正确；若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次星期四，第四次星期日，不符合题意，C 错误；若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次星期五，第四次星期一，第五次星期四，符合题意，D 正确.11、解析：小华能力等级评定为A ，则需要连续做对4道题，所以2436432313244=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=A P ，A 正确；小华能力等级评定为C ，则他连续做错3道题目，有四种情况，则817313231313231323132233=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛=C P .由题意小华能力等级评定为B 的概率为2431588172436411=--=--=C A B P P P ,B 正确；小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了，后面3道题全错，其概率为92313232344=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=p ，C 正确；小华做对3道题目结束测试的概率为2713133=⎪⎭⎫⎝⎛=P ，小华做完5道题目的概率为27201435=--=P P P ，D 不正确.12、解析：函数()()0≠+=ab xbax x f ，定义域()()+∞⋃∞-,00,，且()()()x f xbax x b x a x f -=--=-+-=-，∴函数()x f 是奇函数，A 正确；设直线kx y =，联立方程：kx x b ax =+，得()02=--b x a k ，0≠-a k ，()04≠-=∆a k b ，直线kx y =不可能是()x f 的一条切线，B 错误；若()()21x f x f =，21x x ≠，则2211x bax x b ax +=+，得a b x x =21，即()a b x x =+2sin sin ，由x sin 的有界性，显然()abx x =+2sin sin 不一定有解，C 错误；当()4ππ+=k x f ，Z k ∈，显然.b a ，∃，使得方程()[]()[]x f x f cos sin =有解，D 正确.三、填空题13、12+解析：∵复数z 满足()11=--i z ，∴复数z 的对应点Z 到点()11-，A 的距离为1，即点Z 的轨迹为以()11-，A 为圆心，半径1=r 的圆，∴z 的最大值为()1211122+=+-+=+r OA .14、1012解析：设等差数列的公差为()0≠d d ，∵155=S ，则()15525351==+a a a ，∴33=a .∵1263,,a a a 成等比数列，∴12326a a a ⋅=，即()()d d 933332+⨯=+，解得1=d 或0=d （舍去），∴3213=+=d a a ，解得11=a ，∴()202311202312023=⨯-+=a ，∴()10122023220231202320332033=+⨯=a S .15、⎥⎦⎤⎢⎣⎡231，解析：()x x x x x f sin 2sin 21sin 22cos 2+-=+=，[]()π2,0∈x 令t x =sin ，则[]1,0∈t ，则()x f 的值域转化为()1222++-=t t t g ，[]1,0∈t 的值域，()232122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t t g ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t g ，所以函数()x f 的值域为⎦⎤⎢⎣⎡231，.16、⎪⎭⎫ ⎝⎛310，解析：函数()313-=ax x f 与函数()cx x x g 322-=的图像有三个不同交点，等价于函数()()()313223-+-=-=cx x ax x g x f x h 有三个不同的零点，即()x h 的图像与x 轴有三个不同交点，由()c x ax x h 32232+-='，故必有方程032232=+-c x ax 有两个不同的实数根，则0>a ，084>-=∆ac ，∴21<ac .三次函数的图像是中心对称图形，由()x h 的图像与x 轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则()x h 的图像的对称中心一定在x 轴上，()c x ax x h 32232+-='，令()c x ax x 32232+-=ϕ，令()026=-='ax x ϕ得ax 31=，则函数()x h 图像的对称中心横坐标为a 31，当031=⎪⎭⎫⎝⎛a h 时符合题意，0313********3=-⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a a a ，化简整理即有2926a ac +=，故3922<+a ，∴912<a 且0>a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛310，.四、解答题17、解：（1）由02cos 3sin =⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+B a A b ππ，结合正弦定理可得：0sin 21cos 23sin 0sin sin cos 23sin 21sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A B B A A A B ，∵()π，0∈B ，∴0sin ≠B ，即A A sin 21cos 23=，∴3tan =A ，而()π，0∈A ，∴3π=A ；（2）由ACB ADB ∠=∠2知：CD AD =，∴AC <，即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30π，C 在ABD ∆中，C B -=32π，C BAD -=∠3π，由正弦定理可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C CDBD C CD C BD 32sin 3sin 32sin 3sin ππππ，∴C CC C C CB CD tan 32121cosC 3sin 21cosC 2332sin 3sin 32sin ⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ，由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30π，C 可得()3,0tan ∈C ，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈121，BC DC .18、解（1）由图可知，两个变量线性相关.由已知条件可得：3554321=++++=t ，155241913127=++++=w ，∴()()41184031651=++++=--∑=i i iw w t t，()17481164964512=++++=-∑=i iw w ，()1041014512=++++=-∑=i it t ，∴相关系数98.07.4141174041≈≈=r ，因此，两个变量具有很强的线性相关性.（2）结合（1）可知，1.41041==b ，7.231.415=⨯-=⋅-=t b w a，∴回归方程为：7.21.4+=t w，当7=t 时，有4.317.271.4=+⨯=w，即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户.19、解（1）连接A B 1，作AB H A ⊥1于H .∵11A ABB 是菱形，∴B A A B 11⊥，又∵D B B A 11⊥，111B D B A B =⋂，⊂D B A B 11，面1DAB ，∴B A 1⊥面1DAB ，而⊂AD 面1DAB ，∴B A 1⊥AD ，又平面ABCD ⊥平面11A ABB ，平面ABCD ∩平面11A ABB AB =，∴H A 1⊥平面ABCD ，又∵⊂AD 平面ABCD ，∴H A 1⊥AD ，11AB H A ，相交，且11AB H A ，⊂面11A ABB ，∴AD ⊥平面11A ABB ，⊂AB 平面11A ABB ，∴AB AD ⊥，而ABCD 为菱形，∴四边形ABCD 为正方形.（2）在︒=∠601AB A 时，易知H 为AB 的中点，如图，以H 为中心建立空间直角坐标系，则()001，，A ，()3021，，-B ，()0,2,1-C ，()0,0,1-B ，()0,22-=，CA ，()3211，，--=CB ，()0,20-=，CB ，设平面C AB 1的一个法向量为()z y x m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CB m CA m ，即⎩⎨⎧=+--=-032022y x y x ，令1=x ，则31==z y ，，故()3,1,1=m 设平面C BB 1的一个法向量为()r q p n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CB n CB n ，即⎩⎨⎧=+--=-03202r q p q ，令1=r ，则3=p ，0=q ，解得()1,0,3=n.则5152532=⨯==n m 又∵B C B A --1为锐二面角，∴B C B A --1的余弦值为515.20、解：（1）∵()n S a n n 223+=，……①∴当1=n 时，()22311+=S a ，解得41=a ，当2≥n 时，()222311-+=--n S a n n ，……②①-②得：431+=-n n a a ，∴()2321+=+-n n a a ，∴{}2+n a 是以首项为6，公比为3的等比数列，即1362-⨯=+n n a ，∴2361-⨯=-n n a .（2）由（1）可得n a b n n n n ==⨯=+=-3log 236log 22log 3133，即证：()12121151131111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n 令()=n f 121111111112531+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n b b b b n ，则()()3212221+⋅++=+n n n n f n f ，∵()()()3212222++>+n n n ，∴()()n f n f >+1，∴()n f 单调递增，即()()1321>=>f n f ，即121253111111111+->⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n b b b b b .21、解：（1）过点M 且垂直x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，则PF PM =，则点P 到直线1-=y 和定点()10，F 距离相等，则P 的轨迹为()10，F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线，则曲线C 的标准方程为：y x 42=.（2）设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x D ，()44,y x E ，∵2143x x x x OB OA OE OD S S AOB DOE ==∆∆令直线x k y l OA 1=：，111x y k =；x k y l OB 2=：，222x y k =；由⎩⎨⎧==-+x k y y y x 12202得211312k k x +=；由⎩⎨⎧==-+xk y y y x 22202得222412k k x +=，∴()()222121212143114kk x x k k x x x x ++=.令1+=kx y l AB ：，与y x 42=联立得：0442=--kx x ，∴421-=x x ，k x x 421=+，则121=y y ∴41212121-==x x y y k k ，代入得：()2221214344171k k x x x x ++=，又∵212212221=≥+k k k k ，∴()2544417122212143≤++=k k x x x x ，当且仅当21,2121-==k k 时取等号，∴DOE ∆与AOB ∆面积之比的最大值为254.22、解：（1）依题意，方程()0ln 1=--x a e x x在()∞+，0内有根0x ，且10≠x ，令()()x a e x x g xln 1--=，()()+∞⋃∈,11,0x ，求导得()xa e x x a xe x g x x-=-='2，1°当0≤a 时，()0>'x g 在()()+∞,11,0，上都递增，而()01=g ，因此函数()x g 在()()+∞,11,0，上无零点，当0>a 时，令()a e x x h x-=2，()()+∞⋃∈,11,0x ，()()022>+='xe x x x h ，则函数()x g '在()()+∞,11,0，上都递增，①当e a <<0时，当1>x 时，()()01>-='>'a e g x g ，函数()x g 在()+∞,1上递增，无零点，当10<<x 时，()00<-=a h ，则存在()1,01∈x ，使得()01=x h ，则()01='x g ，当()1,0x x ∈时，()0<'x g ，()x g 递减，在()11，x x ∈时，()0>'x g ，()x g 递增，()()011=<g x g ，而1-<-ae，有11<<--e e a e，e e a e<-，0ln 1>-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------ae a eae ee ae ae e ae ae eee ea e e e g ，因此存在()10,0x x ∈，使得()00=x g ，即函数()x g 在()1,0上有零点0x ，则e a <<0，②当e a >时，当10<<x 时，()()01<-='<'a e g x g ，函数()x g 在()1,0上递减，()()01=>g x g ，无零点，当1>x 时，()()01>-='aea a h ，则存在()+∞∈,12x ，使得()02=x h ，即()02='x g ，当()2,0x x ∈时，()0<'x g ，()x g 递减，在()∞+∈，2x x 时，()0>'x g ，()x g 递增，()()012=<g x g ，()()a a e a a g a ln 1--=，令()()e a a a e a a a >--=，ln 1ϕ，求导得()a ae a aln 1--='ϕ，令()e a a ae a y a>--='=，ln 1ϕ，则()011>-+='ae a y a，即函数()a ϕ'在()+∞,e 上单调递增，()()02>-⋅='>'e e e e a ϕϕ，函数()a ϕ在()+∞,e 上单调递增，()()()01>--=>e e e e a e ϕϕ因此存在()a x ,10∈，使得()00=x g ，即函数()x g 在()+∞,1上有零点0x ，则e a >，∴实数a 的取值范围是()()+∞⋃,,0e e .（2）依题意，()0ln 1000=--x a ex x ，于是()00ln 10x e x a x-=，即()000ln 10x e x kx x-=，∵()()+∞⋃∈,11,00x ，取210=x ，有38.22ln ≈<e k ，因此k 取2，下证：()000ln 120x e x x x-<对任意()()+∞⋃∈,11,00x 成立，令()01ln >+-=x x x x u ，，()11-='xx u ，当()1,0∈x 时，()0>'x u ，()x u 递增；当()∞+∈，1x 时，()0<'x u ，()x u 递减，0>∀x ，()()01=≤u x u ，即1ln -≤x x 对0>x 恒成立，当()∞+∈，10x 时，()000ln 1x xe x e x >-，令()12>-=x x e x v x，，则()02>-='xe x v ，函数()x v 在()∞+，1上递增，()()021>-=>e v x v ，即020x ex >，从而()000ln 120x e x x x-<成立，当()1,00∈x 时，只需证：()00001ln 2x e x x x->成立，令()()10,ln 21<<--=x x x e x x H x，只需证()0<x H ，()2ln 2--='x xe x H x ，令()102ln 2<<--=x x xe x t x ，，则()()xe x x t x 21-+='，显然()()xe x x t x21-+='在()1,0上递增，059353204232132>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e t e t ，，即存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,213x ，使()03='x t ，且当()3,0x x ∈时，()0<'x t ，()x H '递减；当()13，x x ∈时，()0>'x t ，()x H '递增，()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--='≥'212ln 23333333x x e x x x e x x H x H ，整理得()2ln 2122ln 2333333--+=--='x x x e x x H x ，∵函数2ln 212--+=x x y 在()1,0∈x 递减，∴()0542ln 23ln 2322ln 23333>--=⎪⎭⎫⎝⎛'>--='H x ex x H x ，∴()0>'x H 在()1,0∈x 恒成立，即()x H 在()1,0上递增，显然，()03312.0323ln43232<-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<e H x H ，所以成立.因此，整数k 的最大值为2.。
2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学（理）试题一、单选题1．用列举法表示集合35(,)|3x y A x y x y ⎧+=⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{}2,1x y ==-B ．(){}2,1-C ．{}2,1-D ．{}1,2-【答案】B【解析】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩. 所以(){}2,1A =-.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．已知5250125(2)x a a x a x a x -=++++，则012345a a a a a a -+--+的值为（ ） A ．1 B ．32- C ．243- D ．81【答案】C【解析】根据题意，令1x =-，即可求得012345a a a a a a -+--+的值，得到答案. 【详解】由5250125(2)x a a x a x a x -=++++，令1x =-，可得0123455(12)243a a a a a a -=---=--++.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数的和问题，其中合理赋值求解是解答的关键，着重考查赋值思想，以及运算能力.3．设复数：20202021=+i i z ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】A【解析】根据虚数单位i 的周期即可得到答案. 【详解】2020202141==+=++i i i i z i故选：A 【点睛】本题主要考查虚数单位i 的周期，属于简单题. 4．已知x y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y> B ．1133x y <C ．33x y --<D ．()()22ln 1ln 1x y +<+【答案】B【解析】结合指数函数、幂函数的单调性可判断B 、C ，代入特殊值可判断A 、D ，从而可选出正确选项. 【详解】解：若1,1x y =-=时，1111x y-=<=，则A 不正确； 因为()13f x x =为增函数，x y <，所以1133x y <，则B 正确；因为()133xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭为减函数，由x y <可得33x y -->，所以C 不正确； 当1,1x y =-=时，()()22ln 2ln 1ln 1ln 2x y =+=+=，所以D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查不等式的性质，对不等式是否一定成立问题，可通过举反例说明它不一定成立. 5．已知则π(0,)2α∈，sin22cos22αα=+，则tan α=（ ）A B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由二倍角公式代入化简即可得tan α.【详解】sin 22cos22αα=+，()22sin cos 21cos222cos αααα∴=+=⨯，所以sin 2cos αα=，故tan 2α=. 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，考查学生的运算求解能力. 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（ ） A ．35B ．1325C ．45D ．1225【答案】D【解析】先由题意，确定3人封爵所包含的总的基本事件个数，再求出满足条件的基本事件个数，基本事件个数比，即可为所求概率. 【详解】由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有35125=种，3人中恰好有两人被封同一等级共有223560C A =种情况；则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为601212525P ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于常考题型.7．P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线的方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，若112PF F F ⊥，则2PF =（ ） A ．12 B ．16C ．18D ．20【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得2a =，进而可得18PF =，再由双曲线的定义即可得解. 【详解】不妨设0a >，因为双曲线222116x y a -=的一条渐近线的方程为20x y -=，所以42a =即2a =，所以双曲线的方程为221416x y -=，所以点()1F -，所以点P 的横坐标为-P 的纵坐标为8±， 所以18PF =，21212PF a PF =+=. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线定义及渐近线方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．已知一组鞋码与身高的数据(x 表示鞋码，y (cm)表示身高)，其中m +n =360.若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线ˆ 2.25yx a =+，则实数a =（ ） A ．82.5 B ．83.5 C ．84.5 D ．85.5【答案】B【解析】利用平均数公式求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知：360m n +=， 4041424344425x ++++==，1721751831785m n y ++++==，将(x ，)y 代入回归直线可得178 2.2542a =⨯+⇒83.5a =，故选：B. 【点睛】本题考查平均数公式的应用以及回归直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos 14a b C c =-，2BA BC ⋅=-，则ABCS=（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】A【解析】由已知条件利用正弦定理以及两角和差的正弦公式求出1cos 4B =-，再利用数量积的公式代入求出8BA BC =，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】 由cos 14a b C c =-， 利用正弦定理得：1sin sin cos sin 4A B C C =-， 利用180180A B C A B C ++=︒⇒=︒--， 则()sin sin A B C =+，即()1sin sin cos cos sin sin cos sin 4B C B C B C B C C +=+=-， 得1cos 4B =-，sin B =cos 28BA BC BA BC B BA BC ⋅==-⇒=，11sin 822ABCSBA BC B ==⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及两角和差的正弦公式，考查了数量积的公式以及三角形面积公式.属于中档题.10．2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象.卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用.比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计.在流体中设置旋涡发生体(也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡，这种旋涡称为卡门涡街.设旋涡的发生频率为f (单位：赫兹)，旋涡发生体两侧平均流速为u (单位：米/秒)，漩涡发生体的迎面宽度为d (单位：米)，表体通径为D (单位：米)，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m ，根据卡门涡街原理，满足关系式：r m ds uf ⋅=⋅，其中：r s 称为斯特罗哈尔数.对于直径为d (即漩涡发生体的迎面宽度)的圆柱21m θπ⎤⎥=-⎥⎦，sin d D θ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.设d D α=，当0.005α≤时，在近似计算中可规定0α≈.已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则r s =（ ） A ．0.15 B ．0.32C ．0.21D ．0.36【答案】C【解析】先计算出0α≈，从而得到0θ≈，再根据题设中给出的公式可计算r s . 【详解】由题设可得0.01d =，10D =，=20u ，420f =， 此时0.0010.005dDα==<，故0α≈， 而0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，0θ≈，所以1m =，42010.010.2120r f m d s u⋅⋅⨯⨯===，故选：C. 【点睛】本题考查函数的应用，该问题背景新颖，题干较长，读懂题意是关键，本题属于基础题. 11．已知函数2()x x f x e e x -=++，则不等式()()23f x f x <-的解集为（ ） A ．()(),31,-∞-⋃+∞ B ．()1,2- C ．()0,1D ．()3,1-【答案】D【解析】设()()2,xxg x e e h x x -=+=，结合导数和二次函数的性质可判断两函数的单调性，由单调性的性质从而可求出()f x 的单调性；由奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，从而可得23x x <-，进而可选出正确答案. 【详解】解：设()()2,xxg x e e h x x -=+=，由()21x xe g x e-'=，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，则()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 由二次函数的性质可知，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以2()xxf x e e x -=++在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()()2x x f x ee xf x --=++=，所以()f x 为偶函数.由()()23f x f x <-可知，23x x <-，即()()2223x x <-，解得31x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查了函数单调性的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1BD 上的动点，下列四个结论：①存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ； ②存在点M ，使得11D C DM -的体积为15； ③存在点M ，使得平面1C DM 交正方体1111ABCD A B C D -的截面为等腰梯形； ④若13D M MB =，过点M 作正方体1111ABCD A B C D -的外接球的截面，则截面的面积最小值为9π4. 则上述结论正确的是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．②③④D ．①②【答案】B【解析】连接1DA ，11C A ，由面面平行的判定与性质即可判断①；由锥体体积公式结合111111D C DM M C D D B C D D V V V ---=≤即可判断②；由线面平行的性质可判断③；由正方体、球的几何特征可判断④. 【详解】对于①，连接1DA ，11C A ，如图，由正方体的几何特征可得平面11//DC A 平面1AB C ， 令平面111DC A BD M ⋂=，则1//C M 平面1AB C ， 所以存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ，故①正确；对于②，11111111111113265D C DM M C D D B C D D V V V ---≤=⨯⨯⨯⨯=<=， 所以不存在点M ，使11D C DM -的体积为15，故②错误；对于③，因为1//C D 平面11ABB A ，所以平面1C DM 交平面11ABB A 的交线与1C D 平行，由正方体的几何特征可得存在点M ，使截面为等腰梯形，故③正确； 对于④，当且仅当M 为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为1BD 的中点，且半径为132BD =， 所以最小截面的半径2233332244r ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时截面面积为9π16，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了几何体几何特征的应用及体积的求解，考查了线面、面面位置关系的应用，属于中档题.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，则||a b +=_______________.【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得2a b ，再由()22||a b a b+=+，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，所以||||cos602⋅=⋅=a b a b ， 所以()2222||244412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=，所以||23a b +=.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14π4，则圆锥的体积为_______________. 【答案】3π 【解析】由圆锥的几何特征可得圆锥的底面半径和高，再由圆锥体积公式即可得解. 【详解】，母线与底面所成角为π4，所以圆锥的底面半径r 及高h 满足1r h ===， 所以圆锥的体积2133V r h ππ==. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.15．已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点.过点3(,0)5a垂直于x 轴的直线交椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1PB BF ⊥，则椭圆C 的离心率为___________.【答案】32【解析】求出1,,F B P 三点的坐标，利用10PB BF ⋅=计算可得. 【详解】由题意得：1(,0)F c -，(0,)B b ，把点3(,0)5a 代入椭圆方程得：22223()51ay a b+=，45y b =±， ∴ P 点坐标为34(,)55a bP ，∴3(,)55a bPB =-，1(,)BF c b =--，1PB BF ⊥，∴213055ac b PB BF ⋅=-=，得：23b ac =，即223a c ac -=，两边同除以2a 得：213e e -=，解得：e =，故答案为：32. 【点睛】此题考椭圆离心率的求法，向量法是其中一种比较常用的方法，属于基础题.三、双空题16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为_______________，当[]10,25t ∈时，函数()f t 的最大值是_______________.【答案】()4sin()304f t t ππ=- 4 【解析】由点(22,2)M -，利用勾股定理求出R ，再利用周期60T =可得ω，最后代入点2,2)M -可得. 【详解】288164R R =+=⇒=，26030ππωω=⇒=，则()4sin()30f t t πϕ=+又(0)4sin 224f πϕϕ==-⇒=-，所以()4sin()304f t t ππ=-， 当71025,1230412t t ππππ≤≤≤-≤， 所以45,30422t t πππ-==时，()f t 取得最大值为4. 故答案为：()4sin()304f t t ππ=-；4. 【点晴】此题考根据图像求三角函数的解析式，属于简单题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =+，其中*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列{}nb 的前三项，求数列{}nb 的通项公式.【答案】（1）2n a n =；（2）12n n b +=.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；（2）由数列{}n a 的通项公式及等比中项的性质列方程可得2k =，进而可得等比数列{}n b 的首项和公比，即可得解.【详解】（1）当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=， 当1n =时，112a S ==，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由题意可得24a =，224k a k +=+，3264k a k +=+ 因为()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列，所以2(24)4(64)k k +=+，解得2k =或0(舍)， 所以等比数列{}n b 的前3项为4，8，16，所以{}n b 的公比2q，所以数列{}n b 的通项公式为1111422n n n n b b q --+==⋅=.【点睛】本题考查了等比、等差数列的综合应用及数列n a 与n S 的关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线1B C 与1AA 所成的角为45，求二面角B DC E --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】（1）取BC 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ADEF 为平行四边形，可得出//DE AF ，再证明出AF ⊥平面11BCC B ，由此可证明出DE ⊥平面11BCC B ； （2）设2AB AC ==，先利用异面直线所成的角为1145B CC ∠=，可计算出11122CC B C ==，然后以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，AB AC =，F 为BC 的中点，AF BC ∴⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1BB AF ∴⊥，1BB BC B =，AF ∴⊥平面11BCC B .E 、F 分别为1B C 、BC 中点，112EF BB ∴=，1//EF BB ， D 为1AA 中点，112AD BB ∴=，1//AD BB ，//AD EF ∴，AD EF =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，所以DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，11//AA CC ，11B CC ∴∠为异面直线1B C 、1AA 所成的角，1145B CC ∴∠=，11122CC B C ∴==，以A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0F ，(2D ，(2E ，()2,2,0BC =-，(2BD =-，(1,2CE =-，()1,1,0DE AF ==，设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，由00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得220220x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则1y =，z =BCD 的一个法向量(m =，设平面CDE 的法向量为(),,n a b c =，由00n CE n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得00a b a b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令1a =-，则1b =，c =CDE 的法向量为(1,1,n =-，设二面角B DC E --的大小为θ，·21cos 222m n m n θ===⋅⨯，所以sin 2θ==. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．新型冠状病毒肺炎(简称新冠肺炎)是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热､乏力､咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制.我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H 症状)的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，假设每次接种后当天是否出现H 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现H 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）1927；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1669729. 【解析】（1）结合概率的乘法公式计算出第一天、第二天、第三天接种后当天出现H 症状的概率，再由概率的加法公式即可得解；（2）由独立重复试验概率公式可得一个周期内出现2次或3次H 症状的概率，再结合概率的乘法公式可得(1)P X =、(2)P X =、(3)P X =，即可得分布列，再由期望的公式即可得期望.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，且每次试验间相互独立， 所以一只小白鼠第一天接种后当天出现H 症状的概率为113P =， 第二天接种后当天出现H 症状的概率为21121339P ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭， 第三天接种后当天出现H 症状的概率为311141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为12419392727P =++=； （2）设事件A 为“一个周期内出现2次或3次H 症状”，则2323331217()33327P A C C ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 随机变量X 可能的取值为1，2，3，则7(1)27P X ==，77140(2)12727729P X ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， 77400(3)112727729P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望为728012001669()27729729729E X =++=. 【点睛】本题考查了概率加法、乘法公式的应用，考查了离散型随机变量分布列及期望的求解，属于中档题.20．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ，C 为抛物线C 上两个不同的动点，(B ，C 异于原点)，当B ，C ，F 三点共线时，直线BC 的斜率为1，2BC =. （1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若MNPBCFSS=，求BC 中点P 的【答案】（1）2yx ；（2）2122y x =+. 【解析】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+，联立直线与抛物线的方程，设()()1122,,,B x y C x y ，从而求得BC 的长，即可解出p 的值，得出抛物线T 的标准方程；（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出,M N 的坐标，表示出MNFS 以及直线BC 的方程，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -，表示出BCFS ，利用MNPBCFS S=即可求出轨迹. 【详解】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+， 则2222022p y x x px p py x⎧=+⇒--=⎪⎨⎪=⎩， 设()()1122,,,B x y C x y ，则121||11||22BC x x p =+-=⇒=， 所以抛物线T 的标准方程为：2yx .（2）令()()1122,,,B x y C x y ，1(0,)4F ， 则()()12,0,,0M x N x ， 则121124MNFSx x =-， 直线BC 的方程为：()()2111121221y y y y x x y x x x x x x x --=-⇒=+--，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -， 所以121||||4HF x x =+， 121||||2BCFSHF x x =- 所以12121212111111||242442x x HF x x x x x x -=-⇒+=⇒=-或0(舍)， 令BC 中点为()00 ,P x y ，则()12022222121200121202222122x x x y y x x y x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨++⎪==⇒=++=-⎪⎩， 所以中点轨迹方程2122y x =+. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程和点的轨迹方程，属于中档题. 21．已知函215()2ln 422f x x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()y h x =，并证明：()()f x h x ≥； （2）当512-<<a 时，方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ，证明：2123-<+x x a .【答案】（1）y x =-，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求出导函数()2ln 2f x x x '=+-，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数215()2ln 322x x x x x φ=+-+，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值min [()](1)0x φφ==即证.（2）12,x x 为方程()f x a =的两根，不妨设12x x <，由()2ln 2f x x x '=+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在012x <<，使0()0f x '=，由y xy a =-⎧⎨=⎩，得x a =-，由（1）可得1x a >-，212x x x a -<+，然后利用分析法即可证出. 【详解】（1）()2ln 2f x x x '=+-，所以()11f '=-，()11f =-，即切线方程：y x =-.下证：2152ln 422x x x x x +-+≥-，令215()2ln 322x x x x x ϕ=+-+ 因为：()2ln 1x x x ϕ'=+-，显然()x ϕ'在()0,∞+单调递增，()10ϕ'=， 所以易得()x ϕ在()0,1递减，()1,+∞递增，所以()()min 10x ϕϕ⎡=⎣⎦=⎤， 所以()()f x h x ≥. （2）215()2ln 422f x x x x x =+-+，则12,x x 为方程()f x a =的两根， 不妨设12x x <，显然()2ln 2f x x x '=+-在0x >时单调递增， 由()10f '<，()20f '>，所以存在012x <<，使()00f x '=，当()00,x x ∈，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增， 由（1）得()()f x h x ≥，y xx a y a =-⎧⇒=-⎨=⎩，所以：1x a >-，∴212x x x a -<+，要证：2123-<+x x a ，需证：223x a a +<+，即证：23x a <+，因为：512-<<a ，所以03a x +>，即证：()()23f a f x +>， 即：215(3)2(3)ln(3)4(3)22a a a a a ++++-++>，令215()(3)2(3)ln(3)4(3)22F a a a a a a =++++-++-，2122(3)ln(3)52a a a a =-+++-，()()23F a a n a l '=++， 显然()F a '在5(1,)2-单调递增，且()112ln20F '-=-+>，因为()F a 在5(1,)2-单调递增，所以5()(1)4ln 202F a F >-=->，即不等式成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数证明不等式、分析法证明不等式，考查了转化与化归的思想，要求有较高的推理能力，属于难题.22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线1sin2ρθ=交于A，B两点，求AB.【答案】（1）13π4+；（2）3【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3π,0,π22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x<≤时，330x y+-=，当10x-≤≤时，221x y+=，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，∴围成图形的面积13π4S=+.（2）由11sin2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1sin2ρθ=化直角坐标方程为12y=，2sin 6ρθ=+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴122B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．已知0a >，0b >. （1）若1a b +=，求14a b+的最小值； （2+≥ 【答案】（1）9；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先将14a b+转化为144()()1144b a a b b b a a b a +=++=+++，再利用基本不等式求最小值即可.（2）首先将题意转化为证明≥，再利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为0a >，0b >，所以144()()145914b aa b a a b bb a ++=+++≥+==+， 当且仅当：2113b a a a b =⎧⇒=⎨+=⎩，23b =时取最小值9.（2）因为0a >，0b >，+≥≥而a b =+.2)0a b =-=-≥，当且仅当“a b =”时取等号.≥【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查做差法证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.第 1 页共 21 页。
重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题2024.5注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A.B.C.D.2.已知集合，则（ ）A.B. C. D.3.已知向量，若，则（ ）A.2B.3C.4.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D 视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.9B.12C.15D.185.已知实数满足，则（）(),,i i 2i a b a b ∈+=-R i i z a b =+2i -+2i -12i +12i-{}{}220,2,xA x x xB y y x A =∈--<==∈R∣∣A B ⋂=()1,4-1,14⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫⎪⎝⎭()()3,1,2,a b x ==-()a ab ⊥+ b = ,a b 212log log 0a b +>A. B.C.D.6.已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ）A.B.2C.或2D.或7.已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）A. B. C. D.8.已知数列的前项和为（）A.276B.272C.268D.266二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）A.四点共面B.与异面C.D.与所成角为1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 2log 2a b >b aa b<2233a b a b ---<-()1,1P -y 2274:6605C x y x y +--+=121212-12()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭()13f θ=5π23f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭29-2979-79{}n a n ()2*1124,1,1,n n n S a S S n n S +=+=+∈=N 1111ABCD A B C D -P Q R S ､､､11111A D AA C D AB ､､､P Q R S ､､､RS 1BC 1PQ B D ⊥RS 1A B 4510.已知，则（ ）A.B.在上单调递增C.，使D.，使11.已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线的斜率为C.的周长为D.的外接圆半径为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为__________.13.已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为__________.14.已知函数满足，若是方程的两根，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知分别为的内角的对边，为的面积，且满足.（1）求；（2）若，且，求的余弦值.16.（15分）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，.()ln ln x x f x x x=+()()24f f =()f x ()0,e 0x ∃()02f x =-0x ∃()02f x =222:1(0)16x y C a a -=>12,F F P ､C 12PF F ()3,1I 3a =1PF 1412PF F 64312PF F 6512,x y (),(1,210),5,4i i x y i x y ===- ˆˆ3.2yx a =-+()3,2.94π()f x ()1tan sin2f x x=12x x ､2202420240x x +-=()()12f x f x +=a b c ､､ABC A B C ､､S ABC 22()b a c =--B 1233BD BA BC =+ 2BD c a =-= ABD ∠PO AC B D BC 26AC AB ==2CD DB =（1）证明：平面；（2）若圆锥的侧面积为，求二面角的余弦值.17.（15分）已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.18.（17分）已知是二维离散型随机变量，其中是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：0365（1）求和；（2）“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；（3）为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.19.（17分）已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.AD ⊥BOP PO 18πO BP A --M 229x y +=MN x ,N O OMN G G C l C A B ､()0,1Q )H ABQl (),X Y X Y ､(),X Y YX12411218181438()5P X =()0P Y =Y X x =∣X x =Y 5Y X =∣()E X X ()i E XY y =∣i X Y y =∣()()31()i i i E X P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣()()()e ,ln ,xf x ag x x b a b ==+∈R 1b =()()f x g x …a 12l l ､()y g x =12l l ､（i ）记为直线交点的横坐标，求证：；（ii ）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项ADCBCCDAACACACD一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1.A2.D3.C 【解析】因为，所以，所以，所以.4.B 【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.5.C 【解析】由题可得对A.由在上单调递减及可知，故A 不成立对B.当时，不满足，故B 不成立对C.由，故C 成立对D.易知在上单调递增，故，故D 不成立6.C 【解析】点关于轴的对称点，反射光线即为过点作圆：的切线，设切线的斜率为，则切线，由或2，故选C.0x 12l l ､01x <12l l ､()y f x =,a b b ()1,1a b x +=+()()310a a b x ⋅+=++= 4x =-b ==78､32212⨯⨯=22:log log 00a b a b ->⇒>>12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4,2a b ==421log 2,log 212==log 2log 2a b >220b a a b b a a b>>⇒<⇒<()23xxf x -=-R ()()23232233aab b a b a b f a f b ---->⇔->-⇔->-()1,1P -y ()1,1P '--()1,1P '--C 2216(3)(3)5x y -+-=k ():11l y k x +=+12k ⇒=7.D 【解析】由图可知，由可知.根据图象类比可知，..故8.A 【解析】，又，当时，；当时，，作差得，.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.AC 【解析】因为，所以四点共面，A 选项正确；取的中点，依次连结，则为正六边形，B 错误；易知面，所以C 选项正确；易知，又是等边三角形，所以与所成角为D 选项错误.10.AC 【解析】，A 正确；定义域B 错误；，又，令单调递增，又存在唯一，使得.此时，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，，()1,0sin A f ϕ===ππ22ϕ-<<π3ϕ=sin y x =4π10,4π,332T T ω-=∴==()1π1sin 233f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭25π1ππ1π1π272sin 2cos 212sin 132********f θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦111a S == 211n n S S n ++=+ 1n =2122112,1S S S +=+==2n (2)1(1)1n n S S n -+=-+1121n n S S n +--=-()()()()2424222220422223213111276S S S S S S S S ∴=-+-++-+=+++-+= PQ ∥RS P Q R S ､､､1BC CC ､M N ､P Q S M N R ､､､､､PQSMNR RS ∥1,BC 1B D ⊥PQSMNR 1,PQ B D ⊥RS∥1BC 11A BC RS 1A B 60, ()()()ln ln4ln2,0,11,,ln 42x x f x x x x ∞=+∈⋃+= ()()24,f f ∴=()f x ()()0,1,1,,x ∞∈⋃+∴()()()()222ln 1ln ln 1ln ln 1ln (ln )x x x x x x x f x x x x x -+-=+'--=ln 0,ln 10,e x x x x ->-==()()ln ,g x x x g x =+()1110,110,e e g g ⎛⎫=-<=>∴ ⎪⎝⎭01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x 0=00ln x x =-()f x ()00,x ()0,1x ()1,e ()e,∞+()00000ln ()2ln x xf x f x x x ==+=-极大值.所以C 正确，D 错误.11.ACD 【解析】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，设圆分别与的三边切于点，则，，又，A 选项正确；连接，则，B 选项错误；同理，，，，由，得，的周长为，选项正确；由，由正弦定理得，D 选项正确.()e lne 1()e e 2lne e ef x f ==+=+>极小值P C I 12PF F M N A ､､11,PM PN F M F A ==22F N F A =()()12121222A A A PF PF F M F N AF F A x c c x x a-=-=-=+--== 3A x a ∴==12IF IF IA ､､111tan 8IA IF A AF ∠==1111212tan 16tan tan21tan 63PF IF A k PF A IF A IF A ∠∠∠∠====-224tan tan23PF A IF A ∠∠==()121212tan tan 5F PF PF A PF A ∠∠∠∴=-+=-123tan22F PF ∠∴=1221232cot 232F PF F PF a b c S b rp p ∠++⎛⎫==== ⎪⎝⎭323p =12PF F ∴ 643C 12121212tan sin 513F PF F PF ∠∠=-⇒=12122sin F F R F PF ∠=6512R =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.0.5 【解析】残差.13. 【解析】设正三棱柱的底面棱长为，内切球的半径为，则且棱柱的高，依题意，解得，故，所以正三棱柱的体积.14.0 【解析】法一：令，则，于是，又，故.法二：因，设，则可取，于是：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）由面积公式和余弦定理可得：，，，.（2）由题可得：，ˆˆˆ4 3.25,12, 3.2312 2.4,a a y -=-⨯+∴=∴=-⨯+=∴e 2.9 2.40.5=-=a R R =2h R =24π4πR =1R =2a h ==2V h ==tan t x =222tan 2sin21tan 1x tx x t ==++()()22211111,1222t t t f t f f t t t t t ⎛⎫+- ⎪++⎛⎫⎝⎭=-==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭121x x =-()()()121110f x f x f x f x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭121x x =-1tan x α=2πtan 2x α⎛⎫=+⎪⎝⎭()()()()12π1111tan tan 02sin2sin π2sin2sin2f x f x f f αααααα⎛⎫⎛⎫+=++=+=-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2221sin 22cos 22ac B a c b ac ac B ac ⋅=-+-+=-+cos 1B B +=ππ12sin 1,sin 662B B ⎛⎫⎛⎫∴+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ7ππ5π2π,,666663B B B <+<∴+=∴=22222714122cos 42799933BD BA BC BA BC B c a ac ==++⨯⨯⋅⇒+-=将代入上式整理得：，，三点共线，且所以16.（15分）解：（1）法一：平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，故，，..故平面.法二：也可证明，从而可证平面.（2）侧面.由（1）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，故2c a=+211,3a ac=⇒==22222π2cos13213cos133b ac ac B b⇒=+-=+-⨯⨯=⇒=()1222,3333BD BABC AD BD BA BC BA AC=+=-=-=A D C∴､､22.3AD DC AD AC=∴==2799cos ABD∠+-==PO⊥,ABC BA BC⊥BBAx BCyOPzOP x=()()0,0,0,3,0,0B A()()33,,,22O Px D AD⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33,22BO BP x⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3330,3022AD BO AD BP⋅=-⨯=⋅=-⨯+=,,,AD BO AD BP BP BO B AD⊥⊥⋂=∴⊥BOP,AD BO AD PO⊥⊥AD⊥BOP3π18π,6,S PA PA OP x=⨯=∴=∴==ADBOP ABP(),,m a b c=()3,0,0BA=3032m BA am BP a⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取，则，即二面角17.（15分）解：（1）设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.（2）因为的垂心，故有又，故设直线的方程为，与联立消去得：设，则由，解得（舍去）或（满足）故直线的方程为.18.（17分）解：（1）由已知.（2）法一：“”可取的值为因为()0,2,1m =- cos ,m O BP A --()()00,,,G x y M x y ()0,0N x G OMN 00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩003,32x x y y ==22009x y +=2214x y +=000x y ≠0xy ≠G ()22104x y xy +=≠H ABQ ,AB HQ AH BQ ⊥⊥HQ k =l ()1y m m =+≠2214x y +=y 222213440,Δ20816013x m m m ++-==->⇒<()()1122,,,A x y B x y 212124413m x x x x -+==AH BQ ⊥()2211221110y x x mm x -=-⇒-+++-=)()()()()2221212410444241130x x m x x m m m m m m m ⇒-++-=⇒---+-=2511160m m ⇒+-=1m =165m =-Δ0>l 165y =-()()11331115,084842486P X P Y ==++===+=5Y X =∣0,3,6()()()()31135,5,0,5,3,5,64848P X P X Y P X Y P X Y ===========所以，，所以“”分布列为036法二：“”可取的值为由已知，随机变量相互独立，故，其中，由已知，，所以得“”分布列为036（3）法一：因为，所以，因为，所以，又因为，()()()15,018053564P X Y P Y X P X ========∣()()()15,314353534P X Y P Y X P X ========∣()()()35,318653524P X Y P Y X P X ========∣5Y X =∣5Y X =∣P 1613125Y X =∣0,3,6X Y ､()()()()()()()5,5555P X Y y P X P Y y P Y X P Y y P X P X ===========∣{}0,3,6y ∈()()()1111111310,3,624861243882P Y P Y P Y ==+===+===+=5Y X =∣5Y X =∣P161312()()130,544P X P X ====()131505444E X =⨯+⨯=()()130,544i i P X Y y P X Y y ======∣∣()()()1500554i i i E X Y y P X Y y P X Y y ==⨯==+⨯===∣∣∣()()()1110,3,6632P Y P Y P Y ======所以，所以.法二：.19.（17分）（1）由于，则，设，且在上单减，所以在为正，为负，在单增，单减，，则.（2）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，有此时，切线为：，相减得，所以，设，()()31115115115156434244i i i P Y y E X Y y =⎡⎤=⋅==⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∣()()31().i i i E X P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣()()21()i i i E X x P X x ===∑()()()23231111,,i i j i i j i j i j x P X x Y y x P X x Y y ====⎛⎫====== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()()()()()23321111ii i j i i i j i j j i x P Y y P X x Y y P Y y x P X x Y y ====⎡⎤⎡⎤=⋅=====⋅==⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∣∣()()31i i j P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣e ln 1x a x +…ln 1e xx a +…()()()1ln 1ln 1,,10e e x xx x x F x F x F ''--+===1ln 1y x x =--()0,∞+()F x '()0,1()1,∞+()F x ()0,1()1,∞+()max ()1F x F ∴=()11ea F =…()g x 12,x x ()()1212121111g x g x x x x x =⋅=⇒'='()()()()11221211ln ,ln y x b x x y x b x x x x -+=--+=-()21211211ln ln x x x x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭212220212222ln ln ln ln 2ln 11x x x x x x x x x x x x -+===---()12ln k x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在上单调递减.故当时，；当时，，则.（3）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，，即，则，又因为，所以，题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，则由得，化简得，所以，所以.（也可写为）代入中得：有两个不等实根，即，设，由于在上单减且，所以在单增，单减，而时，时，，()()22110,k x k x x x=-'-∴…()0,∞+()0,1x ∈()()110,02ln k x k x x x ⎛⎫>=∴>>- ⎪⎝⎭()1,x ∞∈+()()110,02ln k x k x x x ⎛⎫<=∴<<- ⎪⎝⎭20222ln 11x x x x 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2019高三第九次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为实数，若复数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于为实数，复数，那么可知，1+2i=a-b+(a+b)i,可知a+b=2,a-b=1,解得,故选D.考点：复数的除法运算点评：主要是考查了复数的运算以及复数相等的运用。
属于基础题。
2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选A.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】C...........................结合两式得到.故答案为：C。
4. 已知的一个内角为，且三边长构成公差为2的等差数列，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设三角形三边分别为，则所对的边为.∴根据余弦定理可得∴∴三角形面积故选A.5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图为：多面体：，几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为，高为，上底边长为，如图所示：∴几何体的体积为故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 若，则下列不等式中一定不成立的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，不正确；正确；正确；时，成立，故选A.7. 曲线在点处的切线方程是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，曲线在点处的切线方程为化为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.8. 已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图像，再把所得的图象向右平移个单位长度，可得的图像. ∵所得的图像关于原点对称∴∴当时，.故选D.9. 当时，执行下图所示的程序框图，输出的值为( )A. 20B. 42C. 60D. 180【答案】C【解析】结合流程图可知，该程序运行过程如下：首先初始化数据：,第一次循环：不满足，执行：；第二次循环：不满足，执行：；第三次循环：不满足，执行：；第四次循环：满足，程序跳出循环，输出的值为.本题选择C选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．10. 已知的外接圆的圆心为，半径，如果，且，则向量和方向上的投影为( )A. 6B.C.D.【答案】B【解析】由＝0得，＝∴DO经过边EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF，∵||＝||＝||＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.∴向量在方向上的投影为||cos〈,〉＝4cos 150°＝－6，故选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长米，为了稳定广告牌，要求越短越好，则最短为( )A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】由题意设米，米，依题设米，在中，由余弦定理得：，即，化简并整理得：，即，因，故（当且仅当时取等号），此时取最小值，应选答案D。
一、单选题二、多选题1. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．2. 函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是A．B．C．D．3. 直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）A．B．C．D．4.若，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．5.已知函数的图像在处的切线垂直于直线，则实数a 的值为（ ）A．B．C ．10D ．-106. 已知数列为等差数列，是其前n项和，且，则（ ）A ．200B ．270C ．250D ．1507. 已知圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，高为h ，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S ，则（ ）A ．当时，S的最大值为B．当时，S的最大值为C ．当时，S的最大值为D ．当时，S的最大值为8.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（）A．B．C．D．9. 下列说法正确的有（ ）A ．若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强B．若随机变量，，则C．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为D．若事件、满足，，，则有10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）A．的零点个数的可能取值为0，2，3，4B ．当时，恒成立C．的极大值点为D ．的值域为11.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A ．为函数的一个周期B ．函数的图象关于直线对称重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题(高频考点版)重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C ．函数在上为减函数D ．函数的值域为12.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（ ）A．B．C．D．13. 已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数__________．14. 已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为________.15. 已知P 为抛物线上不同于顶点的任意一点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点Q，点，则线段与线段长的和取得最小值时点P 的坐标为_______．16. 在三棱锥中，D ，E ，P 分别在棱AC ，AB ，BC 上，且D 为AC中点，，于F.(1)证明：平面平面；(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.17. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. 已知椭圆，离心率为，且该椭圆两焦点的距离为．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过定点，且与椭圆C 交于A ，B 两点，这两点与坐标原点O 构成，已知的面积为，求直线l 的方程．19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，与垂直.（1）求的值；（2）若，求的面积S的最大值.20. 已知函数．(1)若，求在上的单调性；(2)若存在，对，恒有，求实数k的取值范围．21. 设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．。
2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学（文）试题一、单选题 1．sincos1212ππ=（ ）A ．14B ．12C D ．12【答案】A【解析】直接利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】11sincossin 1212264πππ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于容易题. 2．设复数()4i i i z =+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -【答案】C【解析】根据虚数单位的性质运算即可求解. 【详解】()42i i i (1)1z i i i i i =+=+=+=-+,故选：C 【点睛】本题主要考查了虚数单位的性质，属于容易题.3．用列举法表示集合35(,)|3x y A x y x y ⎧+=⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{}2,1x y ==-B ．(){}2,1-C ．{}2,1-D ．{}1,2-【答案】B【解析】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩. 所以(){}2,1A =-.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．已知x y <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11x y>B ．1133x y <C ．33xy --<D ．()()22ln 1ln 1x y +<+【答案】B【解析】结合指数函数、幂函数的单调性可判断B 、C ，代入特殊值可判断A 、D ，从而可选出正确选项. 【详解】解：若1,1x y =-=时，1111x y-=<=，则A 不正确； 因为()13f x x =为增函数，x y <，所以1133x y <，则B 正确；因为()133xx f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭为减函数，由x y <可得33x y -->，所以C 不正确； 当1,1x y =-=时，()()22ln 2ln 1ln 1ln 2x y =+=+=，所以D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查不等式的性质，对不等式是否一定成立问题，可通过举反例说明它不一定成立. 5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】根据古典概型的概率公式计算即可． 【详解】由题知，基本事件的总数有5525⨯=种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形， 故所求事件的概率为51255=. 故选：A. 【点睛】本题考查数学史及古典概型的概率计算，属于较易题．6．已知直线l ，m 和不重合的平面α，β，γ，以下为//αβ的充分条件的是（ ） A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．l α⊥，l β⊥C ．//l α，//m βD ．α内有不共线的三点到β的距离相等【答案】B【解析】根据两个平面平行的判定定理，即可求出//αβ的充分条件. 【详解】因为垂直同一直线的两个平面平行， 所以l α⊥，l β⊥是//αβ的充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了两个平面平行的判定定理，充分条件，属于中档题.7．已知函数()x x f x e e -=-，则不等式()()212f x f x -<-的解集为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．()1,1-D ．(,1)-∞-【答案】D【解析】先根据导数研究函数的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】解：函数的定义域为R ，()'0xxf x e e-=+>，所以函数()xxf x e e -=-在R 上单调递增， 因为()()212f x f x -<- 所以212x x -<-，解得1x <-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，是中档题.8．为迎接学校将开展的文艺汇演，某班在编排一个小品节目中，需要甲、乙、丙、丁四个同学扮演小品中主角、配角、小生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演配角；②乙不扮演配角；③如果甲不扮演小生，那么丁就不扮演配角.若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选择扮演的角色是（ ） A ．主角 B ．配角C ．小生D ．快递员【答案】A【解析】根据所给信息进行推理． 【详解】首先由①②知丁演配角，由③甲演小生，再由①丙演主角． 故选：A ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的概念是解题关键．9．以双曲线2213y x -=的右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）A ．()2223x y +-= B ．()2229x y -+= C ．()2223x y -+= D ．()2223x y ++=【答案】C【解析】求出双曲线的右焦点坐标和渐近线方程，进而求出圆的半径，进而可得结果. 【详解】3213y x -=，其中2221,3,4,2==∴==a b c c ，右焦点(2,0)渐近线方程为：y =，右焦点(2,0)到直线y =的距离为：d == 圆的方程为：22(2)3x y -+= 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的方程和几何性质，圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于一般题目.10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(2,2)M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为（ ）A ．()2sin 304f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2304f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 604f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 306f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据点2,2)M 求出圆的半径，利用周期求出ω的值，通过三角函数解析式求出ϕ的值，即可得函数()f t 的解析式. 【详解】 易知()()22222R =+-=，因旋转一周用时60秒，即260T πω==，30πω∴=又由题意知(0)2f =∴2sin()2ϕ-= 又π||2ϕ<∴4πϕ=-∴ ()2sin()304f t t ππ=-，【点睛】本题主要考查了求函数sin()y A xωϕ=+的解析式，属于基础题.11．疫情期间，某医药公司用A､B两种原材料生产甲､乙两类抗病毒药物，每生产一件甲药需要4个单位A材料，耗时1小时，每生产一件乙药需要4个单位B材料，耗时2小时，该厂每天最多可以从原材料厂家进货16个单位A材料和12个单位B材料，若生产一件甲药可以获利2万元，生产一件乙药可以获利3万元，每天工作时间按8小时计算，需合理安排两种药物的生产以获得最大利润，则每天的最大利润是（）A．12万元B．13万元C．14万元D．15万元【答案】C【解析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图像可求该厂的日利润最大值. 【详解】由题意，设生产x件A产品，y件B产品，最大利润为z，则28416412x yxyxy+≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，目标函数为23z x y=+，由44282x xx y y==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，利用线性规划可得4,2x y==时，此时该厂的日利润最大为14万元.故选：C.本题主要考查了线性规划知识，考查利润最大，解题的关键是确定线性规划约束条件及线性目标函数.属于较易题. 12．已知P 是函数()e xf x =（112x ≤≤）图象上的动点，点()2,1A ，()1,1B -，O 为坐标原点，若存在实数λ，μ使得OA OP OB λμ=+成立，则λμ-的最小值是（ ） A ．1BC ．2e1e-+ D ．()22e 1e-+ 【答案】D【解析】设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+把,λμ用x 表示出来，则得出λμ-关于x 的函数，再利用导数的知识求得其最小值． 【详解】解析：设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+得21e x x λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解得3e 3e 1e xxx x x λμ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ()31e1e xxx λμ--=++，记()()31e1e xxhx x -=++，则()()23e 30e x x x h x x --'=<+，所以()h x 单调递减， 所以()()()min 22e 11eh λμ--==+.故选：D ． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把λμ-表示为x 的函数．二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，则||a b +=_______________.【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得2a b ，再由()22||a b a b+=+，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，所以||||cos602⋅=⋅=a b a b ， 所以()2222||244412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=，所以||23a b +=.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.【解析】试题分析：由题意得：1,r h ==，圆锥的体积为2133r h π= 【考点】圆锥体积15．已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点，过(,0)2aM 的作垂直于x 轴的直线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1//PO F B ，则椭圆C 的离心率为___________.【答案】3【解析】先根据题意得P 点坐标，再根据1//PO F B 平行计算其直线斜率，并列式化简求值即可得答案. 【详解】解：根据题意得P 点横坐标为2P ax =，由于点P 为第一象限的点，故代入椭圆方程得的2P y b =， 因为1//PO F B ，()1,0F c -，()0,B b所以1OP F B bk k a c===，所以c e a ==.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查运算能力，是基础题.16．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=，3sin 4B =，D 是线段AC 上一点，且23BCDS=，则CD AC=_______________. 【答案】49【解析】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求得4ac =，然后利用三角形面积公式可求ABCS ，进而利用比例性质即可得解.【详解】由题22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=， 结合正弦定理，余弦定理得：22222222422b c a a b c c a a c b bc ab+-+-⋅+⋅=,化简整理得：4ac =，2i 12s n 3ABCSac B ∴==， 又ABC 与BCD 等高，49BCD ABC S S CD AC ∆∆∴==. 故答案为：49. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，比例的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植､适量种植，少量种植.根据收集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如下图所示.同时该书记调查了其他地区采取三种不同种植量的农民在不同市场销量等级下的平均收入如表1(表中收入单位：万元)：种植量大量适量少量销量等级好■94中874差-402但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的100户农民在市场销量好的情况下收入情况如表2：收入(万元)1111.51212.51313.51414.515频数(户)5101510152010105（1）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好､中，差的概率(以频率代替概率)；（2）根据表2所给数据，请计算在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益，并补全表1.【答案】（1）市场销量好的概率为0.2，市场销量中的概率为0.5，市场销量差的概率为0.3；（2）市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益为13万元，填表答案见解析.【解析】（1）根据题意，结合频率分布直方图直接计算相应矩形面积即可； （2）根据表2，计算平均数，进而可补全表1.【详解】（1）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率为1(0.020.02)50.2P =+⨯=， 市场销量中的概率为2(0.020.030.030.02)50.5P =+++⨯=市场销量差的概率为3(0.020.04)50.3P =+⨯=（2）在市场销量好的情况下，表2中的100户农民收入的平均值为：1(11511.510121512.510131513.520100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 141014.510155)13+⨯+⨯+⨯=(万元)所以在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益为13万元，故表1如下：【点睛】本题考查实际问题的迁移应用，考查数学应用能力，是中档题.18．已知数列{}n a 的前n 项和()11n S n n ++=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*2232,,k k a a a k ++∈N 为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}nb 的通项公式. 【答案】（1）3(1)2(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩；（2）()1*2n n b n +=∈N . 【解析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算即可；（2）先求出()*2232,,k k a a a k ++∈N ，利用等比中项求出k ，再求出{}nb 的首项和公比即可.【详解】由(1)1n S n n =++，当2n ≥时，()111n S n n -=-+，两式相减得：1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，113a S ==，故数列{}n a 的通项公式为3(1)2(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩； （2）由（1）知，24a =，224k a k +=+，3264k a k +=+，所以2(24)4(64)k k +=+， 22k k ∴=，且*k ∈N ，故2k =，所以等比数列{}n b 的首项为124b a ==，公比422a q a ==， ()11*12n n n b b q n -+∴==∈N .【点晴】此题考1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用及等比数列通项的求法，属于较易题.19．图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ︒∠=，2AB =，3DC =，3AD =，点E 在DC 上，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2.（1）证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）求点B 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）477. 【解析】（1）在图1中，连接AE ，由已知得四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点F ，得CF BE ⊥，证明1C F AF ⊥，再由线面垂直的判定可得1C F ⊥平面ABED ，从而得到平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ，在三棱锥1C ABD -中，利用11C ABD B AC D V V --=，求解点B 到平面1AC D 的距离.【详解】解:（1）证明：在图1中，连接AE ，由已知得2AE =，∵//CE BA ，且CE BA AE ==，四边形ABCE 为菱形， 连接AC 交BE 于点F ，CF BE ⊥，在Rt ACD △中，223(3)23AC =+=.∴3AF CF ==．.在图2中，16AC =，∵22211AF C F AC +=，∴1C F AF ⊥.由题意知，1C F BE ⊥，且AF BE F ⋂=，∴1C F ⊥平面ABED ，又1C F ⊂平面1BC E ，平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）如图，取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ， 在直角梯形ABED 中，FN 为中位线，则FN AD ⊥，32FN =， 由（1）得1C F ⊥平面ABED ，AD ⊂平面ABED ，∴1C F AD ⊥，又1FN C F F ⋂=，得AD ⊥平面1C FN ，又1C N ⊂平面1C FN ，∴1C N AD ⊥，且221192134C N FN C F =+=+=在三棱锥1C ABD -中，11C ABD B AC D V V --=，即1111113232AB AD C F AD C N h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，∴112347212AB C FhC N⨯⨯===.即点B到平面1AC D的距离为477.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用等体积法的思想，属于中档题.20．设函数2(),f x kx lnx x k=--∈R.（1）当1k=时，判断函数()f x的单调性；（2）当0k=时，若()(,)bf x a x a bx+≤-∈R恒成立，求1a e b--的最大值.【答案】（1）()f x在()0,1单调递减，()f x在(1,)+∞单调递增；（2）最大值为0. 【解析】（1）求出导函数，通过导函数的正负反应原函数的单调性即可求解；（2）原不等式等价于ln0bx ax+-≥恒成立，令ln()xbh x ax=+-，由导数求出函数()h x的最小值，0b≤时，lnby xx=+无最小值，因此只有0b>，从而得出,a b 的不等关系，得出所求最大值．【详解】（1）当1k=时，函数为2()lnf x x x x=--，2121(21)(1)()21(0)x x x xf x x xx x x--+-'=--==>，令()0f x'=得1x=，判断知：当()0,1x ∈时()0f x '<，故()f x 在()0,1单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，故()f x 在(1,)+∞单调递增；（2）当0k =时，原不等式等价于ln 0b x a x+-≥恒成立， 令ln ()x b h x a x=+-， ∴221()(0)b x b x x x x h x-=-=>'， 当0b ≤时，0x +→时，ln ()x x b ax h x x+-=，()h x →-∞，不满足题意 当0b >时，由()0h x '=得x b =，且当()0,x b ∈时()0h x '<，()h x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时()0h x '>，()h x 单调递增，故当min ()()ln 1h x h b b a ==+-，故只需ln 10b a +-≥∴1ln 1a b a e b -≥-⇒≤∴10a e b --≤，故1a e b --的最大值为0.【点睛】本题主要考查了用导数求函数的单调性，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由()0f x '=确定的0x 不一定是极值点，还需满足在0x 两侧()f x '的符号相反．不等式恒成立转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．属于中档题.21．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ､C 为抛物线T 上两个不同的动点，当B ，C 过F 且与x 轴平行时，BC 长为1.（1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若2MNF BCF SS =，求BC 中点的轨迹方程.【答案】（1）2x y =；（2）2128y x =+或2328y x =+. 【解析】（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于//BC x 轴，可知B ，C 两点纵坐标为2p ，代入22x py =，即可求得B ，C 两点横坐标，从而求得BC 的长，即可解出p 的值，得出抛物线T 的标准方程；（2）设()()221122,,,B x x C x x ，设BC 与y 轴交于点()0,Q m ，将两个三角形的面积OF 、QF 、12x x -表示出来，可得2OF QF =，用m 表示，即可解出Q 点的坐标，设BC 的中点(),R x y ，利用B C Q R 、、、四点共线，利用//QR BC ，即可求出轨迹方程.【详解】（1）由题意当BC 过F 且与x 轴平行时，有(,)2p B p ，(,)2p C p -， 则21BC p ==，∴抛物线T 的方程为2x y =；（2）设()()221122,,,B x x C x x ，设BC 与y 轴交于点()0,Q m ，则 121||2MNF S OF x x =⋅-，121||2BCF S QF x x =- 故由2MNF BCF S S =得：2OF QF = ∴112||44m -=，38m =或者18m =，即1(0,)8Q 或3(0,)8Q ， 设BC 的中点(),R x y ，则122BC k x x x =+=， ①当1(0,)8Q 时，由//QR BC 得：2128x y =-，∴2128y x =+ ②当3(0,)8Q 时，同理可得：2328y x =+， 故BC 中点的轨迹方程为2128y x =+或2328y x =+ 【点睛】 本题主要考查了求抛物线的标准方程和点的轨迹方程，属于中档题.22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为3π,0,22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线1sin2ρθ=交于A，B两点，求AB.【答案】（1）13π42+；（2）3【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3π,0,22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x<≤时，330x y+-=，当10x-≤≤时，221x y+=，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，∴围成图形的面积13π42S=+.（2）由11sin 2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其直角坐标为,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 2ρθ=化直角坐标方程为12y =，2sin 6ρθ=+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴12B ⎫⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．已知0a >，0b >.（1）若1a b +=，求14a b+的最小值； （2+≥ 【答案】（1）9；（2）证明见解析.【解析】（1）首先将14a b+转化为144()()1144b a a b b b a a b a +=++=+++，再利用基本不等式求最小值即可.（2）首先将题意转化为证明≥，再利用作差法证明即可.【详解】（1）因为0a >，0b >，所以144()()145914b a a b a a b bb a ++=+++≥+==+， 当且仅当：2113b a a a b =⎧⇒=⎨+=⎩，23b =时取最小值9. （2）因为0a >，0b >，+≥≥=+.而a b2=-=-≥，a b)0=”时取等号.当且仅当“a b≥【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查做差法证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.。
