解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等课后限时作业(四)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________．①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内． 3．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ . 评卷人得分三、解答题4．设A 为椭圆221259x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及最小值．5．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得OyxMF1F2到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan 4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.6．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为 .3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 评卷人得分三、解答题4．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q . (1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR AF 交12F F 于点R ，记1PRF∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．5．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标 原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)． (1)求圆C 的方程；(2)设圆M 的方程为(x －4－7cos θ)2＋(y －7sin θ)2＝1，过圆M 上任意一点P 分别作圆C的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE ·CF 的最大值和最小值．第20题 PAR OF 1Q xy F 26．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m-+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．7．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为45，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．3．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 评卷人得分三、解答题4．已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（本小题满分14分）5．设A 为椭圆221259x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及最小值．6．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的短轴长的取值范围．7．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；(Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（汇编北京，21）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．2 3．63评卷人得分三、解答题4．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．……………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，因为双曲线的离心率为5，所以2151b +=，即2b =． 所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩…………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．……………………………………6分 同理可得，21244k x k +=-．……………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为A P A T k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．…………………………………7分 所以121x x ⋅=．………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，……………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．………………………10分 因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．…………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．………………………12分当2t =，即12x =时，()()2212max21S S f -==．……………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．…………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分． 5．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：设圆22(1)1x y -+=的圆心C(1,0),求AB 的最大值只需求AC 的最大值．A 在椭圆上，设A(5cos ,3sin )θθ，22225135(5cos 1)9sin 16(cos )1616AC θθθ=-+=-+， ∴当5cos 16θ=时，mi n 3154AC =，当cos 1θ=-时，mi n 6AC =， min 7AB ∴=，min 31514AB =-．………………………………………………………10分 6．（1）由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab c P 2,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c Q 2, 因为23=PQ k ，所以得：=e 12………4分 （2）由（1）可知，c b c a 3,2==，所以，()()()0,3,0,,3,01c B c F c A -，从而()0,c M 半径为a ，因为212ME MF a ⋅=-，所以︒=∠120EMF ，可得：M 到直线距离为2a从而，求出2=c ，所以椭圆方程为：2211612x y +=； ………9分 （3）因为点N 在椭圆内部，所以b>3 ………10分 设椭圆上任意一点为()y x K ,，则()()2222263≤-+=y x KN由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y 对任意[]()3,>-∈b b b y 恒成立，所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+--≤-0189418922b b b b 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+-->-018949189922b b解之得： 2∈b (6,1226]- ………15分7．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31cb +），外心F （c b c b 2,2122-+），垂心H （b ，cb b 2-）.当b =21时，G 、F 、H 三点的横坐标均为21，故三点共线； 当b ≠21时，设G 、H 所在直线的斜率为k G H ，F 、G 所在直线的斜率为k F G . 因为)21(33313222b c b b c b b c b b c k GH--+=-+--=，)21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以，k G H =k F G ，G 、F 、H 三点共线. 综上可得，G 、F 、H 三点共线.(Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由k F H =)21(3322b c bb c --+=0，得3（b 2－b ）+c 2=0（c ≠0，b ≠21）， 配方得3（b －21）2+c 2=43，即 1)23()21()21(2222=+-c b .即2222)23()21()21(y x +-=1（x ≠21，y ≠0）.因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.评述：第（Ⅰ）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目.。

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《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题
2．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．。

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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题
2． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .。

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《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．（汇编年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx
（ ） A ．23(,2]3 B ．23[,2)3 C ．23(
,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 2．1 ．（ 汇编年高考福建卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于
（ ） A ．21 B ．22 C ．1
D ．2 3．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中
心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）。