高考数学(理)一轮复习课时分层作业： 十三 2.10变化率与导数、导数的计算 Word版含解析

课时分层训练(十三)　变化率与导数、计算导数(对应学生用书第226页)A 组　基础达标一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]　2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－e B ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋，1x 所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]　3．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－3x －1A [由题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.]4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图像的一条切线，则k ＝( )【导学号：79140073】A. B.1e21e C ．eD ．e 2A [由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝.设切点为(x 0，ln x 0)，则Error!解得x 0＝e 2，1x 则k ＝＝，故选A.]1x 01e25．已知y ＝f (x )是可导函数，如图2­10­1，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )图2­10­1A ．－1B ．0C ．2D ．4B [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－，∴f ′(3)＝－.1313∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×＝0.](－13)二、填空题6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝lnx ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2　[分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．求得(ln x ＋2)′＝，[ln(x ＋1)]′＝.1x 1x ＋1设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝＝，所以x 2＋1＝x 1.1x 11x 2＋1又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝＝2，y 1－y 2x 1－x 2所以x 1＝＝，y 1＝ln ＋2＝2－ln 2，1k 1212所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【导学号：79140074】1　[∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]8．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.8　[∵y ＝a ln x ，∴y ′＝，ax ∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a .∴三角形面积S ＝×a ×1＝4，12∴a ＝8.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝.ln (2x ＋1)x[解]　(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·＝tan x ＋x ·(sin x cos x )′cos2x ＋sin2xcos2x＝tan x ＋.xcos2x (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝＝[ln (2x ＋1)x ]′ [ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 22x 2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝.2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 210．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．[解]　(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5.∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x －4x ＋5x 0－4)，3020∵f ′(x 0)＝3x －8x 0＋5，20∴切线方程为y －(－2)＝(3x －8x 0＋5)·(x －2)，20又切线过点P (x 0，x －4x ＋5x 0－4)，3020∴x －4x ＋5x 0－2＝(3x －8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，302020解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.B 组　能力提升11．曲线y ＝e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.e 2B ．4e 292C ．2e 2D ．e 2D [易知曲线y ＝e在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝e12，∴k ＝e＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －4)，令x ＝0，得121212y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝×2×|－e 2|＝e 2.]1212．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx ＋(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都1272相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝，1x ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝x ＋mx 0＋，m ＜0，122072解得m ＝－2.]13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则1x P 的坐标为________．(1,1)　[∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝的导函数为y ′＝－，∴曲线y ＝(x ＞0)在1x 1x 21x 点P 处的切线的斜率k 2＝－.1x 2易知k 1k 2＝－1，即1·＝－1，解得x ＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点(－1x 20)20P 在曲线y ＝(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．]1x 14．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .13(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：79140075】[解]　(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．22。

第二章§10：变化率与导数、导数的计算(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．若f(x)满足f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2－x ，则f ′(1)的值为 A ．0 B ．2 C ．1 D ．－13．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)＋e x －1＋x 2，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －y －3＝0C ．3x －y －2＝0D ．2x ＋y －3＝04．设函数y ＝xsinx ＋cosx 的图象上的点(x ，y)处的切线斜率为k ，若k ＝g(x)，则函数 k ＝g(x)的图象大致为5．如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，现以每分钟9.3升的速度将水注入容器内，则注入水的高度在t ＝127分钟时瞬时变化率为(取π＝3.1) A ．27分米/分钟 B ．9分米/分钟C ．81分米/分钟D ．99分米/分钟二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知函数f(x)＝kcosx 的图象经过点P(π3，1)，则函数图象上过点P 的切线斜率 等于________．7．函数y ＝x －1x 2的导数为________． 8．设f(x)是偶函数．若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点 (－1，f(－1))处的切线斜率为________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）设抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．求a ，b 之间的关系．10．（本小题满分18分）已知函数f(x)＝ax －6x 2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数y ＝f(x)的解析式．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：y ′＝2x ＋a ，y ′|x ＝0＝2×0＋a ＝1.∴a ＝1，又∵(0，b)在直线x －y ＋1＝0上， ∴b ＝1.答案：A2．解析：f ′(x)＝x 2－2xf ′(1)－1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，∴f ′(1)＝0. 答案：A3．解析：令x ＝1得f(1)＝－2.对等式两边求导得f ′(x)＝－2f ′(2－x)＋e x －1＋2x ，令x ＝1，解得f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.答案：B4．解析：y ′＝sinx ＋xcosx －sinx ＝xcosx ，则g(x)＝xcosx ，而g(－x)＝－xcos(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，图象关于(0,0)对称．而x ＞0，接近于0时，g(x)＞0，∴B 项正确．答案：B5．解析：设t 时刻水面高度为h ，半径为r ，则r ＝33h ，此时水的体积V ＝13πr 2h ＝19πh 3，又V ＝9.3t.∴19πh 3＝9.3t ，把π＝3.1代入得h ＝3t 13，求导得h ′＝t －23，∴当t ＝127时， 瞬时变化率为(127)－23＝9. 答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知f(π3)＝kcos π3＝1，∴k ＝2，∴f(x)＝2cosx ，∴f ′(x)＝－2sinx ，∴过点P 处的切线斜率f ′(π3)＝－2sin π3＝－ 3. 答案：－ 37．解析：y ′＝(x －1)′x 2－(x －1)·(x 2)′x 4＝x 2－2x (x －1)x 4＝x 2－2x 2＋2x x 4＝－x 2＋2x x 4＝2－x x3. 答案：y ′＝2－x x38．解析：由f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称．从而由已知得在(－1，f(－1))处的切线斜率为－1.答案：－1三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：设两抛物线的交点为M(x 0，y 0)．由题意知x 20－2x 0＋2＝－x 20＋ax 0＋b ，整理得2x 20－(2＋a)x 0＋2－b ＝0，①由导数可知抛物线C 1、C 2在交点M 处的切线斜率为k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a.∵两切线垂直，∴k 1k 2＝－1.即(2x 0－2)(－2x 0＋a)＝－1，整理得2[2x 20－(2＋a)x 0]＋2a －1＝0，②联立①②消去x 0，得a ＋b ＝52. 10.（本小题满分18分）解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，f ′(－1)＝－12. ∵f ′(x)＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a －61＋b ＝－2a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －4a (1＋b )－2(a ＋6)(1＋b )2＝－12. 解得a ＝2，b ＝3(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式是f(x)＝2x －6x 2＋3 .。

课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.>B.<C.>D.<【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而表示直线AB的斜率,由数形结合可知:>.4.(2016·临川模拟)若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( )A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=,f′(x)=,f′=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.【加固训练】(2016·保定模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.eB.-eC.D.-【解析】选 C.y=lnx的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则k=y′=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y′==.5.(2016·泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值. 【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=.【解析】由题意得f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-2015。

课时分层训练(十三) 变化率与导数、计算导数A 组 基础达标一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－3x －1A [由题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.]4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图像的一条切线，则k ＝( )【导学号：79140073】A.1e 2B.1e C ．eD ．e 2A [由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e2，故选A.]5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图2­10­1，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )图2­10­1A ．－1B ．0C ．2D ．4B [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2 [分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值． 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【导学号：79140074】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]8．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.8 [∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)， ∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln(2x ＋1)x.[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln(2x ＋1)x ′＝[ln(2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln(2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln(2x ＋1)x2＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)(2x ＋1)x2. 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5.∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.B 组 能力提升11．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2D [易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 12×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2.]13．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．(1,1) [∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20.易知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y＝1x(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．]14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：79140075】[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

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课时作业（十三)第13讲变化率与导数、导数的运算基础热身1.［2017·惠州模拟]已知函数f(x)=cos x,则f(π）+f'=() A。

- B。

- C。

—D。

—2.[2017·大同模拟]已知函数f(x）=x sin x+ax,且f'=1，则a=（)A。

0 B。

1 C。

2 D。

43。

曲线y=sin x+e x在点（0,1)处的切线方程是(）A。

x-3y+3=0 B。

x—2y+2=0C.2x—y+1=0D.3x—y+1=04.[2017·武汉三模]已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是（)A。

B.C。

D。

5。

［2017·东北三省四市二模］若函数f（x）=e x·sin x,则f'（0）= . 能力提升6。

[2017·绍兴柯桥区期中］已知曲线y=x2-3ln x的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为(）A.-3B.2C。

-3或2 D。

7.设函数g（x）=x3+x2+3ln x+b（b∈R),若曲线y=g(x）在x=1处的切线过点（0,-5），则b=(）A.B。

C。

D.8.已知f（x）=x3-2x2+x+6,则曲线y=f(x)在点P(—1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于（)A.4B.5 C。