3.1.1直线的倾斜角与斜率 教案解析

3.1.1直线的倾斜角与斜率-教案解析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直线的倾斜角与斜率●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？⇒引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)直线的倾斜角1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能．2．在平面直角坐标系中，过定点P (2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】 不同． 1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．直线的斜率与倾斜角的关系如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？ 【提示】 不同，因为32≠22.2．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？【提示】 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)0k>0不存在k<0过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1 x2－x1(x1≠x2).直线的倾斜角的理解转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°【思路探究】画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．【自主解答】根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.【答案】 D1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.【答案】 D求直线的斜率(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．【思路探究】依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．【自主解答】(1)直线的斜率k＝3－0－2－(－3)＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求直线AB 斜率和倾斜角的步骤： (1)当x 1＝x 2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x 1≠x 2时，直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，倾斜角α利用k ＝tan α求得．已知直线l 经过两点M (－2，m )，N (m,4)，若直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．【解】 由直线l 的倾斜角为45°，可知直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又直线l 经过两点M (－2，m )，N (m,4)， 故k ＝4－m m ＋2.由4－mm ＋2＝1得m ＝1.斜率与倾斜角的应用1122,3三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角已知可以求出其斜率且P 1、P 2、P 3均在直线l 上，故任两点的斜率均等于直线l 的斜率，从而可以解出x 2，y 1的值．【自主解答】 ∵α＝45°， ∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上， ∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k .∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解之得：x 2＝7，y 1＝0.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 【解】 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74.∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .即1－m 4＝74，∴m＝－6.因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在．【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1应注意的问题：(1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1．下图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )图3－1－1A ．①B ．①②C ．①③D ．②④ 【解析】 结合直线l 的倾斜角的概念可知①③可以，选C. 【答案】 C2．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33 B. 3 C ．1 D.22【解析】 由题意可知，k ＝tan 30°＝33. 【答案】 A3．已知A (2,3)、B (－1,4)，则直线AB 的斜率是________． 【解析】 直线AB 的斜率k ＝4－3－1－2＝－13.【答案】 －134．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，求实数a 的值．【解】 ∵A 、B 、C 三点共线，且3≠－2， ∴BC 的斜率存在，∴AB 的斜率存在，且k AB ＝k BC ， ∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75，∴53－a＝9a ＋75，∴25＝27a ＋21－9a 2－7a ， 即9a 2－20a ＋4＝0， 解得a＝2或a＝29.一、选择题图3－1－21．如图3－1－2，直线l 的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．0° D ．不存在【解析】 由图可知，直线l 的倾斜角为45°＋90°＝135°. 【答案】 B2．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)过点M (－3，2)、N (－2，3)的直线的斜率是( )A ．1B ．－1C ．2 D.32 【解析】 过点M 、N 的直线的斜率k ＝3－2－2＋3＝－1.【答案】 B4．若图3－1－3中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有( )图3－1－3A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 3<k 1C ．k 1<k 3<k 2D ．k 2<k 1<k 3【解析】 设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k 1<0<k 3<k 2.【答案】 C5．下列各组中的三点共线的是( ) A ．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B ．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) C ．(1,0)，(0，－13)，(7,2)D ．(0,0)，(2,4)，(－1,3)【解析】 对于A ，∵4－21－(－1)≠5－23＋(－1)，故三点不共线；对于B ，∵6－(－5)7－(－2)≠3－6－5－7，故三点不共线；对于C ，∵－13－00－1＝2－(－13)7，故三点共线；对于D ，∵4－02－0≠3－0－1－0，故三点不共线．【答案】 C 二、填空题6．斜率的绝对值等于3的直线的倾斜角为________．【解析】 设直线的倾斜角为α，由题意可知tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 【答案】 60°或120°7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．【解析】 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P ( m,0)，则0－2m －1＝－1，若P 点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得m ＝n ＝3，故P 点坐标为(3,0)或(0,3)．【答案】 (3,0)或(0,3) 8．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°； ③若A (1，－3)、B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点； ⑤若直线的斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．所有正确命题的序号是________．【解析】 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故错误； ②当倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故正确； ③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确； ④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，所以直线必过(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误．【答案】 ②③④ 三、解答题9．如图3－1－4所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率．图3－1－4【解】 l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率为k 2＝tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 10．在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线： (1)直线l 1过原点，斜率为1； (2)直线l 2过点(3,0)，斜率为－23；(3)直线l 3过点(－3,0)，斜率为－23；(4)直线l 4过点(－3,0)，斜率为23.【解】 (1)设A (x 1，y 1)是直线l 1上一点，根据斜率公式有1＝y 1－0x 1－0，即x 1＝y 1，令x 1＝y 1＝1，则直线l 1过原点及点A (1,1)两点．(2)同理，设B (x 2，y 2)是直线l 2上一点，则－23＝0－y 23－x 2，即y 2＝2－23x 2，令x 2＝0，得y 2＝2，所以直线l 2过点(3,0)及点B (0,2)．(3)同理可知，直线l 3过点(－3,0)及(0，－2)． (4)同理可知，直线l 4过点(－3,0)及(0,2)． 四条直线的图象如图所示．11．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 【解】 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0.k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示．设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k的取值范围为[33，3].(教师用书独具)过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路探究】 画图――→斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1倾斜角α的取值范围――→斜率定义k ＝tan α斜率k 的取值范围 【自主解答】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．直线l 过点M ，斜率变化时，可以理解为直线l 绕定点M 旋转，使直线l 与线段AB 的公共点P 从端点A 运动到端点B ，直线l 的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)、B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 根据题中的条件可画出图形，如图所示： 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为[43，＋∞)；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角．故斜率的变化范围是(－∞，－32]，综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－32]∪[43，＋∞)．。

课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。

在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。

这是解析几何的创始。

新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。

引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。

3.1.1直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

理解直线倾斜角的唯一性。

理解直线斜率的存在性。

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。

从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。

在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。

直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。

进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。

为后续的学习探究“埋好暗线”。

2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。

三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。

观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。

【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。

高中数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。

直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;2. 斜率计算公式的运用.三、教学目标知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神四、教学重点，难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.难点：斜率公式的应用。

五、教学过程(一)．复习旧知问题1:正切函数的定义及定义域问题2: 正切函数的图象与单调性(二).问题情境问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(三).形成定义定义1:直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。

“万事开头难”, “好的开始是成功的一半”, 解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现, 因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念, 还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度, 倾斜角用几何位置关系刻画, 斜率从数量关系刻画, 二者的联系桥梁是正切函数值, 并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程, 体现了坐标法的基本思想: 把几何问题代数化, 通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念, 它主要起过渡作用, 是联系新旧知识的纽带, 研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念, 不仅其建立过程很好地体现了解析法, 而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用, 这是因为在直角坐标系下, 确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率, 其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上, 从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑, 斜率概念是本课时的核心概念。

（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用随着后续内容的学习, 我们逐渐发现, 一点和倾斜程度确定直线的很多应用: 直线的方向向量、直线的参数方程等等。

另外, 从加强知识内容的联系性, 从不同角度看待同一数学内容的角度看, 如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型, 那么从变化的角度看, 直线是线性的, 它描述的是均匀变化, 是最简单的变化之一。

即直线在某个区间上的平均变化率, 与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的, 都等于这条直线的斜率。

一切不均匀的变化或者非线性的变化, 在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。

这也是为什么用线性的研究非线性的, 以直代曲, 用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。

教学课题 3.1.1直线的倾斜角与斜率教学目标与过程1、知识与技能（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）体验用代数方法刻画直线斜率的过程；（3）掌握过两点的直线的斜率公式及应用；(4)通过小结把具体知识（斜率公式）的掌握深化成一种数学思想（数形结合）。

2、过程与方法通过讲述小故事，培养学生对所学新知识的亲切感，激发学习热情，拉近知识与生活的距离。

3、情感态度与价值观在教学中首先让学生从源头上了解知识的脉络，然后充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

教学重点1、初步培养学生的数形结合的思想；2、直线的倾斜角和斜率的概念；3、过两点的直线的斜率公式；教学难点过两点的直线的斜率公式的导出课时安排 1课时教学用具 板书 教学方法情景教学法、讲授法、直观教学法3.1.1直线的倾斜角与斜率昆明市第一中学赵燕艳教学设计思路讲述笛卡尔开创解析几何的传奇故事，把知识植根于生活，使学生对即将学习的解析几何知识有亲切感，同时也用笛卡尔在艰难波折生活中，坚持不懈、积极探索的精神鼓舞学生。

用在黑板上固定一根棍子的简单生活实例，引出坐标系内确定直线位置的几何要素。

在探究确定直线位置的过程中，给出倾斜角的定义，并由定义归纳出倾斜角的范围。

由生活中坡度的实例，引出斜率的数学概念。

再由斜率的定义推导出用直线上的两点表示出斜率的公式。

最后，通过对斜率公式的深入观察和分析，深化数形结合的思想。

具体教学过程1、 新课导入同学们好，今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。

同学们知道，在几何问题的研究中，我们主要依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。

现在，我们要采用另外一种方法——坐标法，就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题。

通过代数运算研究几何图形。

我举个通俗的例子，同学们如果我问你，你们家住哪儿，你可以带领我去，嗯，这是最原始的办法；你可以画张图告诉我,那类似几何方法，当然，一般你们是告诉我住址，其实住址就是一个位置坐标。

3.1直线的倾斜角与斜率教案3第一篇：3.1 直线的倾斜角与斜率教案3直线的倾斜角和斜率知识和技能目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．过程和方法目标：通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。

掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

情感价值观目标：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学过程：（一）直线方程的概念一般地，满足函数式的每一对,的值，都是直线上的点的坐标（，因此，一次函数）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式的图象是一条直线，它是以满足从方程的角度看，函数次函数的每一对,的每一对x，y 的值为坐标的点构成的．也可以看作是二元一次方程的值“变成了”二元一次方程，这样满足一的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30° ß--à45° ß--à135°ß--à＝＝＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系(1)直线变化→α变化→(2)中的系数变化（同时注意α的变化）．α的变化）．中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1)＝-(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0°ß—à0°＜α＜90° ß—à＝0 ＞0α＝90°ß--à不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：（首先由学生提出思路，教师启发、引导）运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？)直线的倾斜角和斜率．(4)求经过两点(0，0)、(-1，(5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．(3)＝（），没有．【作业】1.书上（略）2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？3.直线的倾斜角和斜率搜集整理.第二篇：直线的倾斜角与斜率教案8.1.2倾斜角与斜率张汉雷一、教学目标1、知识技能目标：(1)初步了解直线倾斜角的概念，并会判直线的倾斜角。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念：直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。

2. 直线的斜率与倾斜角的关系：直线的斜率k等于tan(倾斜角)。

3. 直线的斜率的计算：给定直线的倾斜角，可以计算出直线的斜率。

三、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。

2. 采用例题解析法，通过例题讲解如何计算直线的斜率。

3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。

四、教学步骤1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的直线倾斜角的概念。

2. 讲解直线的倾斜角的概念，解释斜率与倾斜角的关系。

3. 讲解直线的斜率的计算方法，并通过例题进行讲解。

4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对直线倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系的理解程度。

2. 练习题：评价学生运用直线的倾斜角和斜率解决问题的能力。

说明：本教案分为五个部分，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤和教学评价。

在教学过程中，要注意引导学生理解直线的倾斜角的概念，掌握斜率与倾斜角的关系，并通过练习题让学生巩固所学知识。

教案中的教学内容可以根据实际情况进行调整。

六、教学拓展1. 讨论斜率的正负性：解释当倾斜角大于45度时，斜率为正；小于45度时，斜率为负。

2. 探究斜率与倾斜角的关系：引导学生通过绘制不同倾斜角的直线，观察斜率的变化。

七、实际应用1. 生活实例：举例说明直线的倾斜角和斜率在生活中的应用，如建筑物的屋顶斜率、道路的坡度等。

2. 数学应用：引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决数学问题，如计算直线与坐标轴的交点、直线的方程等。

八、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，强调直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。