教学检测：山东省德州市2014-2015学年高二上学期期中考试

2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或433.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.204.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++D.113444a b c -+ 6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C.10D.227.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.102B.52- C.10 D.258.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为26，且与x 轴的一个交点是(2,0)，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM的最小值为（）A.1B.2C.2D.22二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3-B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是23m 的值可能是（）A.13B.13C.19D.1911.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．15.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.16.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3yx +的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b =.（1）求()()2a b a b +⋅-；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．22.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的弦,PA PB所在直线交x轴于点,C D，且PC PD.求证：直线AB的斜率为定值.2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=【答案】B 【解析】【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，1,2a c ==，又222c a b =+，解得b =.所以双曲线C的一条渐近线方程为by x a=-=0y +=.故选：B.2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或43【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可．【详解】由题意得2cos ,3a b a b a b ⋅=== ，解得0λ=或43λ=-，故选:C ．3.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.20【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得直线1l 过定点(1,0)A -，直线2l 恒过定点(1,3)B -，结合1()10m m ⨯+-⨯=，得到PA PB ⊥，利用勾股定理，即可求解.【详解】由直线1:10l x my -+=过定点(1,0)A -，直线2:30l mx y m +-+=可化为(1)30m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1,3x y ==-，即直线2l 恒过定点(1,3)B -，又由直线1:10l x my -+=和2:30l mx y m +-+=，满足1()10m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥，所以PA PB ⊥，所以22222(11)(03)13PA PB AB +==--++=.故选：C.4.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个【答案】D 【解析】【分析】求直线过的定点，再判断直线与圆位置关系，【详解】():120l kx y k k ---=∈R 为(2)10k x y ---=，故l 过定点(2,1)-，在圆225x y +=上，故直线l 与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，故选：D5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++ D.113444a b c -+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，如图所示，连接OQ ，根据空间向量的线性运算法则，可得：11111111()[()]22222222OG OP PG OA PQ a OQ OP a OB OC OA =+=+=+-=+⋅+-1111[()]2222111444a b c a a b c =+⋅+++-= .故选：A.6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C. D.【答案】C 【解析】【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED ==，所以AB ED ==故选：C7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.2B.2-C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用点关于直线的找到最短距离，根据两点之间的距离公式即可求得.【详解】由已知得()3,1A 关于直线5x y +=的对称点为(),A a b '，AA '中点坐标为31,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，且直线AA '斜率为1所以31=522113a b b a ++⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得4a =，2b =即()4,2A '圆心()0,0O，可知OA '=2OA r '-故选：B8.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为，且与x轴的一个交点是(，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由题意可求得椭圆方程为22162y x +=，由0PA PB += ，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得2a b ==，则a b ==，2c ==，所以椭圆方程为22162y x +=，因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，所以13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB +=，所以点P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12121,3x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以21212121()()3()()0y y y y x x x x +-++-=，所以21213()3()0y y x x -+-=，即2121()()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，所以直线AB 为3122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==，故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3- B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内【答案】ABC【解析】【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.【详解】圆22:(4)(3)25M x y -++=的圆心为()4,3-，半径为5，AC 正确；由22(14)(03)2518+=-+<，得点()1,0在圆内，B 正确；由22(34)(13)2565-+=-+>，得点()3,1-在圆外，D 错误.故选：ABC 10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是m 的值可能是（）A. B.13C. D.19【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.【详解】由题知，==解得13m =或19m =.故选：BD11.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称【答案】ABD【解析】【分析】求解直线系结果的定点判断A ；圆的圆心求解D 、E 判断B ；求解直线被圆截的弦长判断C ，利用圆的圆心到直线的距离判断D ．【详解】直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，所以A 正确；圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为(2,1)，4D =-，2E =-，所以B 正确；圆22:4210M x y x y +--+=的圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2．直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，直线l 被圆M 截得的最短弦长为=≠，所以C 不正确；当1k =时，直线方程为：10x y --=，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确．故选：ABD ．12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B ，用空间向量求平面EFG 的法向量，再CF在法向量上的投影即可判断；对于C ，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D ，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，则1(2,2,2)A C =-- ，(1,1,0)EF = ，(0,2,2)EG = ，10A C EF ⋅= ，10A C EG ⋅= ，则1A C ⊥平面EFG ，故A 正确；向量1AC 为平面EFG 的法向量，且1(2,2,2)A C =-- ，(2,1,0)CF =- ，所以C 到平面EFG的距离为11|(2,1,0)(2,2,2)||(2,2,2)|CF A C A ⋅-⋅--==-- ，故B 正确；作11C D 中点N ，1BB 的中点M ，1DD 的中点T ，连接GN ，GM ，FM ，TN ，ET ，则正六边形EFMGNT 为对应截面面积，则截面面积为：2364S =⨯⨯=C 错误；平面11BCC B 的一个法向量为(0,1,0)n = ，平面EGF 的一个法向量为1(2,2,2)A C =--，设两个平面夹角为θ，11cos 3||n A C n A C θ⋅=== ，故D 正确．故选：ABD ．第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.【答案】290x y -+=【解析】【分析】通过解方程组，利用互相垂直直线的方程的特征进行求解即可.【详解】两直线方程联立，得3012604x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以交点为()1,4-设与直线230x y +-=垂直的直线方程为20x y c -+=，把()1,4-代入20x y c -+=中，得12409c c --⨯+=⇒=，故答案为：290x y -+=14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+ 求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：515.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.【答案】43【解析】【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形的性质即可求解.【详解】解： 椭圆22:1204x y C +=得25a =，2b =，4c =，设1||PF m =，2||PF n =，则45m n +=，12PF PF ⊥ ，2264m n ∴+=，2222()()16mn m n m n ∴=+-+=，22()()4803248m n m n mn ∴-=+-=-=，||43m n ∴-=，即12||||||43PF PF -=.故答案为：4316.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3y x +的最大值为__________.【答案】247##337【解析】【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.【详解】曲线C 方程化为()()22139x y -+-=，是以()1,3为圆心，3为半径的圆，3y x +表示点(),P x y 与点()3,0-连线的斜率，不妨设3y k x =+即直线l ：30kx y k -+=，又P 在圆上运动，故直线与圆C3≤，化简得27240k k -≤解得2407k ≤≤，故3y x +的最大值为247.故答案为:247.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b = .（1）求()()2a b a b +⋅- ；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.【答案】（1）-10（2）7（3）32k =或23-【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由()()ka b a kb +⊥- ,转化为数量积为0即可.【小问1详解】()()2a b a b +⋅- ()()5,3,11,0,510=⋅--=-；【小问2详解】cos ,7||||a b a b a b ⋅<>==⋅ ；【小问3详解】当()()ka b a kb +⊥- 时，()()0ka b a kb +⋅-= ，得(32,21,2)(32,2,12)k k k k k k ++-+⋅----=0，(32)(32)(21)(2)(2)(12)0k k k k k k +-++-+-+⋅--=，32k =或23-.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.【答案】（1）320x y -+=；（2）320x y +-=或360x y +-=.【解析】【分析】（1）联立直线方程求得交点(1,1)P ，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；（2）设垂直直线为2:30l x y c ++=，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】联立231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，交点(1,1)P ，设与直线310--=x y 平行的直线方程为130x y c -+=把(1,1)P 代入可得1130c -+=，可得12c =，∴所求的直线方程为：320x y -+=.【小问2详解】设与直线310--=x y 垂直的直线方程为2:30l x y c ++=，∵(1,1)P 到l 5=，解得22c =-或6-，∴直线l 的方程为：320x y +-=或360x y +-=19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.【答案】（1）()()223310x y -+-=（2）1【解析】【分析】（1）求出AB 的中垂线方程联立60x y +-=，即可求得圆心坐标，继而求得半径，可求得圆的方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线和圆的方程，可得根与系数的关系式，结合向量的数量积的坐标表示，即可求得答案.【小问1详解】因为()2,0A ，()0,4B ，所以40202AB k -==--，线段AB 的中点坐标为()1,2，则AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=，故圆C 的圆心在直线230x y -+=上.联立方程组23060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，故圆C 圆心的坐标为()3,3，圆C 的半径r ==，则圆C 的标准方程为22(3)(3)10x y -+-=.【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组()()223310370x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，整理得22630x x -+=，120∆=>，则123x x +=，1232x x =.故()()()12121212121237371021491OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++= .20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p 值作答.（2）求出直线l 的方程，与C 的方程联立，再求出三角形面积作答.【小问1详解】抛物线C ：22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-，依题意，4(52p --=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，则直线l 的方程为1y x =-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2440y y --=，解得12y =-，22y =+，所以OMN 的面积1211||||122OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯=21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53434【分析】（1）通过面面垂直的性质，找到CE AD ⊥后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；（2）通过已知条件以}{,,CA CB CD 为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计算公式求解即可.【小问1详解】因为AB 是⊙O 的直径，所以ACBC ⊥，因为10AB =，6BC =，所以8AC ==，又因为8CD =，E 为AD 的中点，所以CE AD ⊥，因为平面BCE ⊥平面ACD ，平面BCE 平面ACD CE =，AD ⊂平面ACD ，所以AD ⊥平面BCE ，因为BC ⊂平面BCE ，所以AD BC ⊥，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AD AC A ⋂＝，所以BC ⊥平面ACD【小问2详解】因为8AC =，8CD =，AD =，所以222AC CD AD +=，所以CD CA ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，CA,CD ⊂平面ACD ，所以,BC CA BC CD ⊥⊥，以}{,,CA CB CD 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则()8,0,0A ，()0,6,0B ，()0,0,8D ，()4,0,4E ．显然，()11,0,0n =u r是平面BDC 的一个法向量，设()2,,n x y z =u u r是平面ABD 的一个法向量，则22860880n AB x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令3x =，则()23,4,3n = ，所以121212334cos ,34n n n n n n ⋅=== ，设二面角A BD C --所成角为α，[]0,πα∈，则12sin sin ,34n n α== ，所以二面角A BD C --的正弦值为5343422.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的弦,PA PB 所在直线交x 轴于点,C D ，且PC PD =.求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2211612x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将点(2,3)P ，代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆C 的方程；（2）联立直线,PA PB 的方程与椭圆方程,可得,A B 坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【小问1详解】由题意可知：焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将(2,3)P 代入椭圆方程：2249143c c+=，解得：24c =，216a ∴=，212b =，∴椭圆的标准方程为：2211612x y +=；【小问2详解】由题意可知：直线PA 有斜率，且0k ≠，设直线PA 方程为()32y k x -=-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴222311612y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()()222(34)823423480k x k k x k +-+--=-，()()()22228234(34)42348016210k k k k k ∆⎡⎤---+-->⇒+>⎡⎤⎣⎣=⎦⎦，故12k ≠-由韦达定理可知：()()211222412382324343k k k k x x k k ---+=⇒=++，由PC PD =得：0PC PD k k +=,故直线PB 方程为()32y k x -=--()22224+12343k k x k -=+，因此()212212244348,4343k k x x x x k k -+-==++所以()()()()222121212121212443443224148243AB k k k k x k x k x x y y k k x x x x x x k ⎛⎫- ⎪-- ⎪+-----+--⎝⎭=====---+因此12ABk ，为定值.。

2014—2015学年第一学期期中检测试题高二数学（文）2014．11本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知{}n a 是等比数列，21,441==a a ，则公比q =( ) A 、21- B 、2- C 、2 D 、21 2、在ABC ∆中，已知ab c b a 2222-=+，则C ∠=( )A 、030B 、045C 、0150D 、01353、1212+-与的等比中项是（ ）A 、1B 、1±C 、1-D 、以上选项都不对4、若集合}0107|{2<+-=x x x A ，集合}8221|{<<=x x B ，则=⋂B A ( ) A 、)3,1(- B 、)5,1(- C 、)5,2( D 、)3,2(5、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知34515a a a ++=，求7S =（ ）A 、25B 、30C 、35D 、1056、在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若A:B:C=1: 2:3,则a:b:c=( )A 、1:2:3B 、2:3:4C 、3:4:5D 、2:3:17、已知,11,1,2,10xc x b x a x -=+==<<则其中最大的是（ ） A 、a B 、b C 、c D 、不确定8、在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、正三角形D 、等腰或直角三角形9、若直线)0,0(022>>=-+b a by ax ，始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为 （ ）A 、1B ．223+C ．24D ．5 10、已知方程01)2(2=+++++b a x a x 的两根是12,x x ，且1201x x <<<，则a b 的取值范围是（ ） A 、(-2,-32) B 、[-2,-32) C 、(-1,-32) D 、(-2,-1) 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11、在ABC ∆中，已知3,60,1===a A c o ，则B= ．12、不等式212≥++x x 的解集是 . 13、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且222++=n n S n ，则=n a14、已知x>0，y>0，且4x+2y-xy=0，则x+y 的最小值为 .15、若对任意的正数x 使2x（x －a ）≥1成立，则a 的取值范围是____________ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本题满分12分）在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．己知（b －2a ）cosC ＋c cosB ＝0．（1）求C ；（2）若c b ＝3a ，求△ABC 的面积．18、（本题满分12分）求函数)1(122-≠++-=x x x x y 的值域.19、（本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝4，c ＝2，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin )3(π+A 的值．20、（本题满分13分） 如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),.道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.21、（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝)(22*N n a n ∈-，数列{}n b 中，11b =， 点1(,)n n P b b +（*N n ∈）在直线20x y -+=上．（1）求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足167n T <的最大正整数n ．班级 姓名 考号装 订 线二、填空题：11、o 90 12、),1[]0,1(+∞-U 13、⎩⎨≥+=2,12n n a n14、246+ 15、a ≤－1三、解答题16、解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=, ………………….4分 解得14,0a d ==,或11,3a d ==, ………………….8分 即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的首项为4,公差为0时{}n a 的前n 项和为4n s n = 或数列的首项为1,公差为3时{}n a 的前n 项和为232n n n s -= ………………….12分17、解：（1）原式可化为：()0cos sin cos sin 2sin =+-B C C A B ………2分即0c o s s i n c o s s i n 2c o s s i n=+-B C C A C B C A B n c o s s i n2)C (si =+ ………4分 21c o s =∴C 3C π=∴ ………6分 （2）∵216792cos 222222=-+=-+=a a a ab c b a C ………8分 112=∴=∴a a 3=∴b ………10分 433233121sin 21=⨯⨯⨯==∴C ab S ………12分 18、解：由已知得122++-=x x x y =14)1(3)1(2+++-+x x x =314)1(-+++x x …………………2分（1）当x+1>0,即x>-1时，314)1(-+++=x x y 31≥= 当且仅当141+=+x x ，即x=1时，1min =y ，此时1≥y . …………………6分(2)当x+1<0时，即x<-1时，3])1(4)1([-+-++--=x x y3≤-=-7当且仅当-)1(4)1(+-=+-x x ，即x=-3时，7max -=y ，此时7-≤y …………………10分综上所述，所求函数的值域为),1[]7,(+∞--∞U . …………………12分19．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ， ………2分由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B， 所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. ………4分 因为b ＝4，c ＝2，所以a 2＝24，即a ＝26. ………6分(2) 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝41- ………8分 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝415. ………10分 故sin )3(π+A ＝sin A cos 3π＋cos A sin 3π＝415×21＋（41-）×23＝8315-. …………………………..……12分 20、解：设休闲广场的长为x 米，则宽为x 2400米，绿化区域的总面积为s 平方米. )42400)(6(--=xx s ………………………4分 )240064(2424xx ⨯+-= )600,6(),3600(42424∈+-=x xx ………………………6分 因为)600,6(∈x ， 所以120360023600=∙≥+xx x x 当且仅当x x 3600=，即x=60时取等号 …………………9分 此时S 取得最大值，最大值为1944. ………………11分答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大，最大面积为1944平方米. …………………13分21、解（1）∵1122,22,n n n n S a S a --=-=-*12,)n n nS S a n n N -≥∈又－＝，（ ∴ 122,0,n n n n a a a a -∴=-≠ . ………2分{}*12,(2,),n n n a n n N a a -∴=≥∈即数列是等比数列。

山东省德州一中2014-2015学年高二上学期期中模块检测英语试题考试时间：120分钟满分：150分2014-11第I卷（选择题，共100分）第一部分听力（30分）第一节：听下面5段对话。

每段对话后有一个小题。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后。

你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where was the woman born?A. In Japan.B. In the United States.C. In China.2. What does the woman suggest?A. Getting help from AAA.B. Having a ride with her.C. Changing a car.3. What does the woman think of the man's paper?A. It is not complete.B. The handwriting is very poor.C. Some parts of it aren't well written.4. When did the man see Jim?A. At 3 o'clock.B. At 4 o'clock.C. At 5 o'clock.5. What does the man mean?A. The man is too busy to go there.B. The man had been there twice.C. The man doesn't agree with the woman.第二节：听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前。

你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

山东省德州市2024-2025学年高二生物上学期期中试题一、选择题：本题共14小题，每小题2分，共28分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

1、下列关于人体组织液的叙述，错误的是( )A．血浆中的葡萄糖可以通过组织液进入骨骼肌细胞B．生长激素、溶菌酶属于人体内环境的成分C．组织液中的CO2可以通过自由扩散进入组织细胞中D．反射发生时，神经递质与其受体的结合过程发生在组织液中2、下列不利于人体散热的是( )A．立毛肌收缩B．皮肤血管舒张 C．汗腺分泌汗液增加D．用酒精擦拭皮肤3、下列有关兴奋在神经纤维上的传导和神经元之间传递的叙述，正确的是( )A．阅读时通过神经纤维把眼部效应器产生的兴奋传导到神经中枢B．突触后膜肯定是神经元的树突末梢形成的，且有神经递质的受体C．突触小体是神经元轴突末梢膨大形成的，可以释放神经递质D．兴奋在神经纤维上的传导和神经元之间的传递都是电信号的形式4、为探讨不同温度条件对皮肤及口腔温度的影响，某人在能快速变更温度的房间内做了相关试验，测量结果如图所示。

下列分析错误的是( )A．从图中可以看出，口腔温度基本不变，能保证酶催化所需的相宜温度B．在50～100分钟，体内甲状腺激素含量增加C．在100～150分钟时，产热量大于散热量D．整个体温调整过程属于神经—体液调整5、大豆中含有大豆异黄酮，其分子结构与人雌性激素相像，进入人体后能发挥微弱的雌性激素效应。

下列对大豆异黄酮的推想，错误的是( )A．可缓解雌性激素水平降低者的症状B．能与人雌性激素受体特异性结合C．可能作用于下丘脑的雌性激素受体D．会引起促性腺激素分泌量增加6、下列关于自主神经系统的说法，错误的是( )A．自主神经系统由交感神经和副交感神经组成B．自主神经系统有脑神经也有脊神经C．自主神经系统都是传出神经 D．交感神经兴奋支气管收缩7、T细胞主要包括抑制性T细胞(Ts)、协助性T细胞(Th)和细胞毒性T细胞(Tc)。

2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。

2023-2024学年山东省名校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C 的焦点为（﹣1，0）和（1，0），离心率为√22，则C 的方程为（ ） A ．x 23+y 22=1 B ．x 22+y 2=1C ．x 24+y 22=1D ．x 24+y 23=13．在四面体ABCD 中，点M ，N 满足AM →=2MB →，CD →=2CN →，若MN →=xAB →+yAC →+zAD →，则x +y +z ＝（ ） A ．−13B ．13C ．12D ．14．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l 过点（0，1），则直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．2√35．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝2，AB ⊥AD ，∠A 1AB =∠A 1AD =π3，则AC 1的长为（ ） A ．2√3B ．2√5C ．12D ．206．已知点M 是直线y ＝x +1上一点，A （1，0），B （2，1），则|AM |+|BM |的最小值为（ ） A ．√2B ．2√2C ．1+√2D ．√107．将直线3x ﹣y +a ＝0向上平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2﹣2x +6y ＝0相切，则实数a 的值为（ ） A ．5或﹣15B ．﹣5或15C ．3或﹣17D ．﹣3或178．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 24+y 2b 2=1，点P （x 0，0），当x 0≥1时，C 上有且仅有一点到点P 的距离最小，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(0，√22] B ．(0，12]C ．[√32，1) D ．[12，1)二、多项选择题。

山东省德州市某中学2014-2015学年高二上学期12月月考英语试题（本试卷共四部分；满分150分；考试时间120分钟。

）第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where is Julie from?A. Germany.B. Greece.C. France.2.What is the woman going to do?A. Play with a childB. Go and buy a book.C. Give the child a book.3.What advice does the man give to the woman?A. Read the instruction book.B. Buy an iPad.C. Have a look at ―Apple Store‖.4.When will the man meet Dr Gray?A. At 4:05 today.B. At 4:05 tomorrow.C. At 4:15 tomorrow.5.What are the speakers probably talking about?A. A house.B. A family.C. A chair.第二节（共15小题；每题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

2014-2015学年度上学期期中考试高二历史试卷（含答案）一、选择题：（满分100分。

本大题共50小题，每小题2分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．春秋战国时期，儒家提出的治理社会的主张是A．以法律制度规范社会B．以强权政治规范社会C．以伦理道德规范社会D．以道法自然规范社会2．奶奶不断唠叨：“老天爷爷，你怎么不睁眼，这雨没完没了地下，你还叫我们穷人活不活。

”以上是某一文学作品中的片断，“奶奶”的话表达了中国传统文化中对“天”的敬重，这与中国古代那一学派有关A．道家学派B．法家学派 C．儒家学派D．墨家学派3．据说冉雍的父亲是个“贱而恶”的人，但是孔子仍然收冉雍为其弟子，这体现了A．因材施教的原则B．有教无类的思想C．没有贵贱之分的思想D．循循善诱的说教4．所谓“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏”，事物到一定程度的时候会走向反面。

持此观点的应是A．老子B．墨子C．孔子D．孟子5．在评论秦朝灭亡时，美国历史学家费正清说：“在证明了法家思想确有效用的同时，秦王朝也（从反面）体现了孟子的一个思想的正确——政府最终还是要依靠被统治者的默认。

”此处孟子的“一个思想”具体是指A．“人之初，性本善” B．“民贵君轻”，实行“仁政”C．“存天理，灭人欲” D．加强中央集权，防止人民反抗6．春秋战国时期的诸子百家都对“无序”的社会提出了“救世”方案，其中属于道家的是A．按照自然的状态发展B．严格规范人们的言行举止C．建立普遍的社会关爱D．用社会制度规范社会秩序7．“文王（商朝末年周国统治者）行仁义而王天下，偃王（西周时的诸侯）行仁义而丧其国，是仁义用于古而不用于今也。

故曰：…世异则事异‟。

”这反映了A．孟子的“仁政”学说B．韩非的变法革新主张C．墨子的“兼爱”思想D．庄子的“齐物”观点8A．重农抑商B．等级思想C．教育思想D．民本思想9．在一次答记者会上，温家宝总理回答记者关于物价上涨的提问时说：“我一边看网，一边脑子里想起一段话，就是…民之所忧，我之所思；民之所思，我之所行‟”。

山东省德州市普通学校2014-2015学年高二上学期期中考试英语试题2014年11月第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节：（共5小题，每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的ABC 三个选项中选出最佳答案，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Who is the letter for?A. JackB. Jack’s sisterC. The man2.What’s is the man doing right now?A. Waiting for a film to come onB. Turning off the TVC. Turn on the TV3.What is the probable relationship between the woman and the man?A. Teacher and studentB. Boss and workerC. Mother and son4.How much time is left before the festival party?A. Half an hourB. Fifty minutesC. Ten minutes5.What did the man do last night?A. He went to his friend’s partyB. He studied hardC. He had a test at school第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的ABC三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应的位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

2014-2015学年第一学期高二年级期中考试历史试卷（含答案）第I卷（选择题，共60分）本卷共40小题，每小题1.5分，共计60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．第一次世界大战爆发前主要资本主义国家发展的特点是①各主要资本主义国家经济政治发展的不平衡加剧②对外以商品输出为主③资本主义世界体系还未形成④主要资本主义国家进入垄断阶段A．②③④B．①④C．②④D．①②③2．“如果意大利未有直接挑衅行为而遭受法国的进攻，不论其理由为何，其他两缔约国必须以他们的全部军队给予被攻击的一方以援助。

”这份盟约中的“其他两缔约国”最有可能是A．德国和俄国B．俄国和奥地利C．英国和法国D．德国和奥匈帝国3．19世纪末欧洲两大军事集团初步形成以后，英国并没有急于加入，而是继续奉行光荣孤立政策，其原因有①英国不想参与大国争霸斗争②英国与两大集团的成员都有矛盾，需要时间协调③不想过早受到缔结条约的约束④处于观望状态，有利于获取更大利益A．①②B.①②③C.①②③④D.②③④A．法国在战争中伤亡人数最多B．战争给欧洲带来巨大的人口伤亡C．战争凸显了核武器的巨大杀伤性D．俄国率先退出了一战5．第一次世界大战中，在作为主要战线的西线，英法联军同德军进行了殊死较量的两场战役是A．凡尔登战役、索姆河战役B．马恩河战役、凡尔登战役C．日德兰海战、索姆河战役D．马恩河战役、索姆河战役6．第一次世界大战也“开始了对欧洲霸权的削弱”，下列能印证这一观点的是①美国主导的华盛顿体系形成②俄国退出帝国主义阵营③英日同盟被拆散和五强海军条约的签订④莱茵河西岸的德国领土由协约国占领15年A．①②③④B．①③④C．①②④D．①②③7．一战又被称为堑壕战（是一种利用低于地面，并能够保护士兵的战壕进行作战的战争形式），双方都在试图打破这种格局，而新式武器的运用有利于打破战争的僵局，新式武器的运用可谓是陆战的巨大转折。

符合以上论断的典型战例是( )A．马恩河战役B．凡尔登战役C．索姆河战役D．日德兰海战8．1914年8月2日英德双方谈判时，德国首相指出：“你们是否要为一张废纸(指保证比利时中立的条约)和我们开战?”英国首相劳合·乔治说：“我们承担着光荣的责任，要保卫一个弱小邻国的独立、自由与领土完整。

2014-2015学年第一学期期中检测试题高二化学第I卷（选择题）可能用到的原子量：H 1 O 16 Na 23 Cl 35.5一、选择题（单选题，18×3 = 54分）1. 下列措施不．符合节能减排的是( )A．大力发展火力发电，解决电力紧张问题B．在屋顶安装太阳能热水器为居民提供生活用热水C．用石灰对煤燃烧后形成的烟气脱硫，并回收石膏D．用杂草、生活垃圾等有机废弃物在沼气中发酵产生沼气，作家庭燃气2. 判断一个化学反应的自发性常用焓判据和熵判据，则在下列情况下，可以判定反应一定能自发进行的是（）A．ΔH>0，ΔS>0 B．ΔH<0，ΔS<0C．ΔH>0，ΔS<0 D．ΔH<0，ΔS>03. 下列说法正确的是（）A．需要加热的化学反应都是吸热反应B．中和反应都是放热反应C．原电池是将电能转化为化学能的一种装置D、把锌粒放入盛有盐酸的试管中，加入几滴氯化铜溶液，气泡放出速率减慢4. S(单斜)和S(正交)是硫的两种同素异形体。

已知：①S(单斜，s)＋O2(g)===SO2(g) ΔH1＝－297.16 kJ·mol－1②S(正交，s)＋O2(g)===SO2(g) ΔH2＝－296.83 kJ·mol－1③S(单斜，s)===S(正交，s)ΔH3下列说法正确的是()A．ΔH3＝＋0.33 kJ·mol－1B．单斜硫转化为正交硫的反应是吸热反应C．S(单斜，s)===S(正交，s)ΔH3<0，正交硫比单斜硫稳定D．S(单斜，s)===S(正交，s)ΔH3>0，单斜硫比正交硫稳定5．化学用语是学习化学的重要工具，下列用来表示物质变化的化学用语中，正确的是( )A．氢氧燃料电池的负极反应：O 2+2H2O+4e-4OH-B．惰性材料做电极电解饱和食盐水时，阳极的电极反应为：2Cl--2e-Cl 2↑C．粗铜精炼时，与电源正极相连的是纯铜，电极反应为：Cu-2e-Cu2+D．钢铁发生电化学腐蚀的正极反应：Fe-2e-Fe26. 下列关于电解池的叙述中，不正确的是（）A、在电解池的阳极发生氧化反应B、与电源负极相接的是电解池的阴极C、电子从电源的负极沿导线流向电解池的阴极D、与电源正极相接的是电解池的阴极7、有关如图装置的叙述不正确的是()A．该装置中Pt为正极，电极反应为O2＋2H2O＋4e－===4OH－B．该装置中Fe为负极，电极反应为Fe－2e－=== Fe2＋C．这是电解NaOH溶液的装置D．这是一个原电池装置8. 用阳极X和阴极Y电解Z的水溶液，电解一段时间后，再加入W，能使溶液恢复到电解前的状态，符合题意的一组是()9．下列金属防腐的措施中，使用外加电流的阴极保护法的是（）A．地下钢管连接镁块B．金属护拦表面涂漆C．枪炮表面涂上一层油D．水中的钢闸门连接电源的负极10. 下列与化学反应过程中的能量变化相关的叙述中，不正确的是（）A．化学反应热效应数值与参加反应的物质多少有关B．放热反应的反应速率总是大于吸热反应的反应速率C．应用盖斯定律，可计算某些难以直接测量的反应焓变D．化学反应过程中的能量变化除了热能外，也可以是光能、电能等11. 报道，科学家开发出了利用太阳能分解水的新型催化剂。

高二月考数学试题（理）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1. 如果直线l 过点P(1，2)，且l 不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[0，2]B 、[0，1]C 、10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N （110，102），若P （100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 3. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）AB C D4. 在8(2x -的展开式中，常数项是 A ．－28 B ．－7C ．7D ． 285. 函数y =）A.(),1-∞B. (],1-∞C. (]0,1D []0,16. 在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =（ ）A ．132B ．299C ．68D ．99 7. 在△ABC 中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．238. 已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），那么x 1+2x 2+x 3的值是（ ）A ．B ．C ．D.9. 已知ABC 的三内角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，M 为该三角形所在平面内一点，若0aMA bMB cMC ++=,则M 是ABC 的（ ） A.内心 B.重心 C.垂心D.外心10. 函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次标记为,,,a b c d ，下列说法错误的是（ ）A. [)3,4m ∈B. )40,abcd e ⎡∈⎣C. 562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D.若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同的实根，则m 取值唯一二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省德州2024高二上学期期中考试历史试题第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题要求。

1. 有学者认为，“（战国时期）谷禄制度兴，臣下无土地人民以为抗上之资。

任之即官，去之即民。

”由此可见，战国时期（）A. 井田制度瓦解B. 君主专制不断加强C. 官僚制度产生D. 贵族等级制起先解体2. 秦汉时期，户籍只能在乡制作，副本仅呈报至县。

魏晋之际，户籍上移至县廷制作，造好的户籍须要上报郡、州，直至中心户部。

这一改变得益于（）A. 技术变革的推动B. 国家统一的完成C. 人口流淌的加剧D. 士族势力的减弱3. 842年，唐武宗确定任命回鹘的降将没斯为检校工部尚书，充任归义军使，封为怀化郡王，并赐姓名为“李思忠”；任命回鹘宰相受耶勿为归义军副使，检校右散骑常侍，赐姓名为“李弘顺”。

这些措施旨在（）A. 壮大李唐宗室力气B. 威慑藩镇割据势力C. 强化边疆民族统治D. 推行民族分化政策4. 明朝每年正月和十月，各村都要实行村民大宴，名曰“乡饮”。

与会者必需恭听年高德者的训辞和宣读朝廷法令，主持者在这一场合还要申饬行为不检的村民。

这反映出（）A. 地方管理行之有效B. 基层治理重视教化C. 程朱理学日益僵化D. 中心集权不断加强5. 下图所示为夏衍自传体回忆录《懒寻旧梦录》的内容摘录。

这反映出（）A. 农村政治感应渠道缺失B. 晚清改革缺乏思想动员C. 戊戌变法群众基础薄弱D. 清末新政成效更加显著6. 1914-1915年，中国小说杂志封面上出现了很多女性读者形象（如图所示）。

这一现象（）A. 体现了对中国传统文人画的重视B. 描绘了女性参加实业救国运动的场景C. 反映了新文化运动提倡民主精神D. 适应了当时社会变革须要的社会新风7. 下图所示是反映近代某一时期中国共产党民主建设的诗歌。

这一时期是（）A. 国民革命时期B. 土地革命时期C. 全面抗战时期D. 解放斗争时期8. 1964年2月，周恩来在访问加纳期间，提出了“对外经济技术救济八项原则”，坚持同等互利、共同发展，不附带任何政治条件。

2014-2015学年上学期期中考试高 二 生 物 试 卷（含部分答案） （范围：必修二6、7章必修三1章）注意：选择题答案写在答题卷，试卷共7页 I 卷 选择题（30*2分）1．在红粒高秆的麦田里，偶然发现一株白粒矮秆优质小麦，欲在两三年内能获得大量的白粒矮秆麦种，通常用的育种方法是( ) A ．自交(杂交)育种 B ．诱变育种 C ．人工嫁接 D ．单倍体育种 2．育种专家采用诱变育种的方法改良某些农作物的原有性状，其原因是诱变育种( ) A ．提高了后代的出苗率 B ．提高了后代的遗传稳定性 C ．产生的突变大多是有利的 D ．能提高突变率以供育种选择 3．下图甲、乙表示水稻的两个品种，A 、a 和B 、b 表示分别位于两对同源染色体上的两对等位基因，①～⑦表示培育水稻新品种的过程，则下列说法错误的是( )A ．①→②过程简便，但培育周期长B ．①和⑦的变异都发生于有丝分裂间期C ．③过程常用的方法是花药离体培养D ．③→⑥过程与⑦过程的育种原理相同 4．在下列有关育种的叙述中，正确的是( ) A ．培育无子西瓜是利用生长素促进果实发育的原理 B ．培育八倍体小黑麦是利用染色体变异的原理 C ．我国用来生产青霉素的菌种的选育原理和杂筛选育种的原理相同 D ．培育无子番茄是利用基因重组原理5．对图中a 、b 、c 、d 代表的结构和物质描述正确的是( )A ．a 为质粒RNAB ．b 为DNA 连接酶C ．c 为RNA 聚合酶D ．d 为外源基因6．生物世界广泛存在着变异，人们研究并利用变异可以培育高产、优质的作物新品种。

下列能产生新基因的育种方式是( ) A ．“杂交水稻之父”袁隆平通过杂筛选技术培育出高产的超级稻 B ．用X 射线进行大豆人工诱变育种，从诱变后代中选出抗病性强的优良品种 C ．通过杂筛选和人工染色体加倍技术，成功培育出抗逆能力强的八倍体小黑麦 D ．把合成β胡萝卜素的有关基因转进水稻，育成可防止人类V A 缺乏症的转基因水稻 7．人们试图利用基因工程的方法，用乙种生物生产甲种生物的一种蛋白质。

高二阶段性教学质量检测历史试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页，满分100分，考试时间90分钟。

第Ⅰ卷（选择题，50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号、座号涂写在答题卡上，考试结束，只上交答题卡。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共25小题，每小题2分，共计50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图是一则招标公告，据所学知识判断处应是A．国际货币基金组织 B．亚太经合组织C．世界贸易组织 D．世界银行2.欧盟的普通老百姓从每天都看得见、摸得着的“口袋里的欧洲”中找到一种休戚与共的感觉，体验到做真正欧洲人的感觉。

下列各项中与这种感觉的出现直接相关的是A．欧洲联盟的成立 B．世界货币体系的建立C．欧元的问世和流通 D．经济全球化加速3.APEC工商领导人峰会组委会主席张雪倩曾表示：“APEC的21个成员占了全球贸易总量的54%，还包括了美国、日本和中国这三个全世界最大经济体。

APEC可以发出一致和统一的声音来推动WTO的谈判。

”这主要说明了A. APEC经济一体化已推动政治一体化进程B. APEC和WTO相互依存，相互促进C. APEC是当今世界合作程度最高的区域经济联盟D. 区域经济集团化推动全球化发展4. 2014年虽然中国足球再次无缘世界杯，但各大体育盛宴中总是不乏中国元素的参与。

大到球场建设的器械，小到球迷手中的吉祥物、吹的口哨。

这一现象表明A.发展中国家成为经济全球化的主导者B.公正合理的国际经济新秩序已经建立C.美国一极独霸世界已被多极格局取代D.经济全球化给中国带来更多发展机遇5.诺贝尔经济学奖获得者、世界银行前首席经济学家约瑟夫·斯蒂格利认为：全球化并没有为世界上大多数穷人服务，也没有为环境服务，更没有为全球稳定服务。

2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（ ）A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝03．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（ ） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√64．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．√63 B ．√33C ．√62D ．√327．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（ ） A ．√33B ．√32C ．1D ．√38．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．BC 1⊥DA 1 B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60°D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45°10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（ ） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√311．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√312．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（ ） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝ ． 14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为 ．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为 ． 16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为 ；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '． （1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数． （1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）． （1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（ ） A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →解：如图所示：所以AD →+12(DB →+DC →)=AD →+DE →=AE →． 故选：C ．2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝0解：因为直线l 的一个法向量为（1，﹣2）， 所以可设直线方程为x ﹣2y +m ＝0， 因为直线经过点A （1，0）， 所以m ＝﹣1，则直线l 的方程为x ﹣2y ﹣1＝0． 故选：C ．3．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（ ） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√6解：由于向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →， 故x −2=−12=2y，解得x ＝1，y ＝﹣4；故b →=(−2，2，−4)，所以|b →|=√(−2)2+22+(−4)2=2√6． 故选：D ．4．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 解：双曲线的焦点在y 轴时，设双曲线方程为：y 2a 2−x 2b 2=1，a ＞0，b ＞0，双曲线的一条渐近线为y ＝2x ，可得a ＝2b ，可得离心率e =c a =√a 2+b2a 2=√52， 故此双曲线的离心率为：√52． 故选：B ．5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]解：设点M （x ，y ）， ∵|MA|=√2|MO|， ∴（x +3）2+y 2＝2x 2+2y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣9＝0， 即圆心（3，0）半径r ＝3√2，∵直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点 则圆心（3，0）到直线kx ﹣y +3k ＝0的距离d =|6k|√k +1≤3√2，∴18k 2≤18，即k 2≤1， ∴﹣1≤k ≤1，则k 的取值范围是[﹣1，1]． 故选：A ．6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．√63B ．√33C ．√62D ．√32解：如图，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，们为底而ABC 为边长为2的等边三角形，且∠PAB =∠PAC =45°，则△P AB ≅△P AC ，即PB ＝PC ，所以PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，且AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以BC ⊥平面P AD ，且P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥BC ，则AP 在平面ABC 的投影落在AD 上， 所以∠PAD 为直线P A 与平而ABC 所成角，且PA =√2，AB =2，∠PAB =45°，由余弦定理可得， PC =PB =√22+(√2)2−2×2×√2×√22=√2， 则PD =√(√2)2−12=1，AD =√22−12=√3， 所以AD 2＝AP 2+PD 2，即∠APD =90°， 所以sin ∠PAD =PDAD =13=√33， 故选：B ． 7．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（ ） A ．√33B ．√32C ．1D ．√3解：双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，可得a =√2，c =√3，不妨设P 在第一象限，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2√2，m 2+n 2﹣2mn ＝8， ∠F 1PF 2＝60°，可得4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°＝12，可得8+2mn ﹣mn ＝12，可得mn ＝4， 则S △F 1PF 2=12mn sin60°=12×4×√32=√3．故选：D ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12解：如图，设|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |＝4x ，则|F 1M |+|F 2M |＝4x +2x ＝2a ，∴x =a 3， ∴|F 1M |＝4x =4a 3，|F 2M |＝2x =2a 3，|F 2N |＝x =a 3， ∴|F 1N |＝2a ﹣|F 2N |＝2a ﹣x =5a3，又|F 1F 2|＝2c ， 又F 1M ∥F 2N ，∴∠MF 1F 2+∠F 1F 2N ＝π， ∴cos ∠MF 1F 2+cos ∠F 1F 2N ＝0， ∴4c 2+16a 29−4a 292⋅2c⋅4a 3+4c 2+a 29−25a 292⋅2c⋅a 3=0，∴4c 2+4a 2316ac 3+4c 2−8a 234ac 3=0，∴20c 2=28a 23，∴c 2a 2=715，∴椭圆C 的离心率e =c a =√10515． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．BC 1⊥DA 1B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60° D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45° 解：如图，如图在正方体中，BC 1∥AD 1，AD 1⊥A 1D ，则BC 1⊥A 1D ，所以A 正确； BC 1⊥A 1D ，BC 1⊥DC ，A 1D ∩DC ＝D ，则BC 1⊥平面A 1DC ， CA 1⊂平面A 1DC ，所以BC 1⊥CA 1，所以B 正确； 设正方体棱长为1，边C 1作C 1H ⊥B 1D 1于H ，连接BH ，则∠C 1BH 即为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角，sin∠C 1BH =C 1H BC 1=12⇒∠C 1BH =30°，所以C 错误；对于D ，易知∠C 1BC 即为直线BC 1线与平而ABCD 所成的角，∠C 1BC =45°， 所以D 正确． 故选：ABD ．10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（ ） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√3解：将直线l 的方程变形可得y =√3x +1，可知斜率k =√3， 所以直线l 的倾斜角为60°，可知A 正确；将C ：x 2+y 2+2x ＝0改写成标准方程为（x +1）2+y 2＝1，即可得C 的圆心坐标为（﹣1，0），所以B 正确；易知直线l ：√3x −y +1=0不过圆心（﹣1，0），可知直线l 没有平分圆C 的周长，即C 错误； 易知圆的半径r ＝1，圆心（﹣1，0）到直线l ：√3x −y +1=0的距离为d =|−3+1|√3+1=√3−12，所以弦长为2√r 2−d 2=2√1−(3−12)2=√2√3，可得D 错误．故选：AB ．11．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√3解：依题意，A （0，0，0），B （12，0，0），C （12，6，0），D （0，6，0），P （0，0，12），对于A ，PC →=(12，6，−12)，PD →=(0，6，−12)，MN →=PN →−PM →=12PD →−23PC →=(−8，−1，2)，故A 正确；对于B ，PC →=(12，6，−12)，BD →=(−12，6，0)，PC →⋅BD →=12×(−12)+6×6≠0，即PC 与BD 不垂直，故B 错误；对于C ，BC →=(0，6，0)，PD →=(0，6，−12)，cos ＜BC →，PD →＞=BC →⋅PD →|BC →||PD →|=366×√36+144=√55， 所以直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55，故C 正确； 对于D ，设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PD →=6y −12z =0n →⋅BD →=−12x +6y =0，令x ＝1，得n →=(1，2，1)，AD →=(0，6，0)，所以点A 到平面PBD 的距离d =|AD →⋅n →||n →|=12√6=2√6，故D 错误． 故选：AC ．12．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（ ） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4解：A 中，抛物线C ：y 2＝4x ，所以焦点F （1，0），当AB 为通径时，|AB |为最小值，此时直线l 的方程为x ＝1时，代入抛物线的方程，可得|AB |＝4，当直线的斜率为0时，直线为x 轴，与抛物线的只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0，且直线的斜率存在时，设直线l 的方程为x ＝my +1，m ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1y 2=4x，整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，所以x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+4＞4， 所以|AB |的最小值为4，所以A 正确；B 中，当k ＝1时，联立{y =x −1y 2=4x，整理可得x 2﹣6x +1＝0，解得x ＝3±2√2，设A （3+2√2，2+2√2），B （3﹣2√2，2﹣2√2），BA →=（4√2，4√2），BM →=（﹣4+2√2，2√2−2）， 所以BM →•BA →=4√2•（﹣4+2√2）+4√2（2√2−2）＝4√2（4√2−6）＜0， 所以cos ∠ABM =BM →⋅BA→|BM →|⋅|BA →|＜0，所以∠ABM 为钝角，即△ABM 为钝角三角形，所以B 正确；C 中，当直线l 的倾斜角为60°时，直线方程为y =√3（x ﹣1），由选项A 的分析可知可知3x 2﹣10x +3＝0，可得x 1＝3，x 2=13，代入直线方程可得|y 1|＝2√3，|y 2|=2√33， △AFM 与△BFM的面积之比为12|MF|⋅|y 1|12|MF|⋅|y 2|=3，故C 正确；D 中，因为点A 在第一象限，直线的斜率不可能为零， 设直线AM 的方程为x ＝my ﹣1，联立{x =my −1y 2=4x ，整理可得y 2﹣4my +4＝0，Δ＝16m 2﹣16＝0，可得m ＝±1，又因为点A 在第一象限，所以m ＝1，此时y 2﹣4y +4＝0，可得y ＝2， 所以A （1，2），直线l 的斜率不存在时，|AB |＝4，故D 正确． 故选：ABCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝ 0 ． 解：a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3， ∴cos ＜a →，e →＞=−1√4+m 2=−12，解得m ＝0． 故答案为：0．14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为 （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） ．解：由于x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m （m +1）＞0， 解得m ＞0或m ＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为 √24． 解：如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∴二面角B ﹣AA 1﹣C 1的平面角即为∠BAC ，且为60°， 点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，由题意知侧面与底面垂直，由面面垂直的性质定理可知，B 到AC 的距离为√3， ∵点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，同理可知，C 到AB 的距离为2√3， ∴在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝2√3，AC ＝4，∠ABC ＝90°， ∴AB 1→⋅BC 1→=（BB 1→−BA →）•（BB 1→+BC →）=BB 1→2=AA 1→2=4， ∵|AB 1→|=√22+22=2√2，|BC 1→|=√22+(2√3)2=4， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC→|AB 1→|⋅|BC 1→|=√24，∴直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为√24． 故答案为：√24．16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为 (12，−1) ；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为710．解：由圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0， 可得2kx ﹣y +ky ﹣1＝0，即k （2x +y ）+（﹣y ﹣1）＝0，所以{2x +y =0−y −1=0，解得{x =12y =−1，所以点P(12，−1)，又C 1（2k ，﹣1），C 2（0，﹣k ），则|PC 1|2+|PC 2|2=(2k −12)2+(12)2+(−1+k)2=5k 2−4k +32=5(k −25)2+710， 所以当k =25时，|PC 1|2+|PC 2|2取最小值为710，经检验，当k =25时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意．故答案为：(12，−1)；710．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '． （1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．解：（1）由于AC ′→=AB →+AD →+AA′→，所以AC ′→2=AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→)=42+32+52+2×3×4×12+2×4×5×12+2×3×5×12=16+9+25+12+15+20＝97， 故AC ′=√97．（2）利用向量的线性运算，EF →=C′F →+EC′→=13AC′→−12BC′→=13(AB →+AD →+AA′→)−12(AD →+AA′→)=13AB →−16AD →−16AA′→， ∴x =13，y =z =−16．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数． （1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）若m ＝0，则直线l 1：2x ﹣6＝0，即x ＝3，l 2：y ＝3，两直线垂直，符合题意； 若m ≠0，则−m+2m⋅(−m)=−1，解得m ＝﹣3． 综上所述，m ＝﹣3或0． （2）由P （1，2m ）在直线l 2上， 则m +2m ﹣3＝0，解得m ＝1， 故P （1，2）显然直线l 的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1）， 令x ＝0，可得y ＝2﹣k ，再令y ＝0，可得x =k−2k ， 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数， 所以k−2k=−(2−k)，解得k ＝2或k ＝1，所以直线l 的方程为2x ﹣y ＝0或x ﹣y +1＝0．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）． （1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程． 解（1）根据题意，直线l ：3x +4y ﹣28＝0，其斜率为−34，则过点P （4，4）与直线l ：3x +4y ﹣28＝0垂直的直线m 的斜率为k =43， 所以直线m 的方程为y −4=43(x −4)，即4x ﹣3y ﹣4＝0．由{4x −3y −4=02x −y −2=0，解可得{x =1y =0，即C （1，0），所以圆C 的半径r =√(4−1)2+(4−0)2=5．故圆C 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝25． （2）根据题意，分2种情况讨论：①若过点Q （﹣4，1）的直线斜率不存在，即直线是x ＝﹣4，与圆相切，符合题意； ②若过点Q （﹣4，1）的直线斜率存在，设直线方程为y ﹣1＝k （x +4），即kx ﹣y +4k +1＝0，若直线与圆C 相切，则有√k 2+1=5，解得k =125．此时直线的方程为12x ﹣5y +53＝0．综上，切线的方程为x ＝﹣4或12x ﹣5y +53＝0．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．（1）证明：取AC 中点D ，连接MD ，PD ，如图，又M 为AB 的中点，所以MD ∥BC ，又AC ⊥BC ，则MD ⊥AC ， 又△P AC 为等腰直角三角形，P A ⊥PC ，P A ＝PC ， 所以PD ⊥AC ，又MD ∩PD ＝D ，MD ，PD ⊂平面PMD ， 所以AC ⊥平面PMD ，又PM ⊂平面PMD ， 所以AC ⊥PM ；（2）解：由（1）知，PD ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ， 平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PD ⊂平面P AC ，所以PD ⊥平面ABC ，即PD ，AC ，DM 两两互相垂直， 故以D 为原点，DA →，DM →，DP →为x 、y 、z 轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图，设AC ＝2，则A （1，0，0），B （﹣1，2，0），C （﹣1，0，0），P （0，0，1）， 所以CP →=(1，0，1)，CM →=(1，1，0)，设n →=(x ，y ，z)为平面PCM 的一个法向量，由n →⊥CP →，n →⊥CM →，则有{CP →⋅n →=x +z =0CM →⋅n →=x +y =0，令z ＝1，即n →=(−1，1，1)，取平面BCM 的一个法向量为m →=(0，0，1)，则cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=13=√33，由图可知，二面角P ﹣CM ﹣B 的平面角为钝角， 故二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值为−√33．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|． （1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点． 解：（1）因为F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影， 所以|DE|=4√p ，|DF|=8+p2， 因为|DE|=45|DF|， 所以4√p =45(8+p 2)，对等式两边同时平方并整理得p 2﹣68p +256＝0， 解得p ＝8或p ＝64， 因为0＜p ＜10， 所以p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线交于一点，不符合题意， 所以直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =my +ny 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my ﹣8n ＝0，此时Δ＝64m 2+32n ， 当Δ＞0时，由韦达定理得y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣8n ，所以x 1⋅x 2=y 128⋅y 228=n 2， 因为OA ⊥OB ，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=n 2−8n =0， 解得n ＝8， 此时满足Δ＞0， 故AB 过定点（8，0）． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．解：（1）∵椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，双曲线的离心率为√2， ∴椭圆的离心率e =√22，又长轴长为2a =2√2，∴a =√2，∴c ＝1，∴b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则F 1P →=(x 1+1，y 1)，QF 1→=(−1−x 2，−y 2)，∵F 1P →=λQF 1→，∴{x 1+1=λ(−1−x 2)y 1=−λy 2，即{x 1=−λx 2−λ−1y 1=−λy 2，∴{(−λx 2−λ−1)22+λ2y 22=1x 222+y 22=1，解得x 2=1−3λ2λ．∴OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−λx 2−λ−1)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ=74−58(λ+1λ)． ∵λ∈[12，2]，∴λ+1λ≥2，当且仅当λ=1λ，即λ＝1时，取等号． ∴OP →⋅OQ →最大值为12．。

临河一中2014-2015学年度上学期期中试卷
高二地理试卷（理科班）参考答案
一、选择题（每小题1.5分，共60分）
二．综合题（共40分）
41.（1）印度洋板块(1分) 生长(1分)
（2）欧洲(1分) 由北向南(1分)
(3）矿产资源(1分) 副热带高气压带(1分)
（4）水源充足(1分) 地形平坦(1分)
（5）温带荒漠带(1分) （路程短）速度快(1分)
42.（1）可见光区(1分) 递增(1分) 地形(1分)
（2）西电东送(1分) 提供大量电力，促进经济社会发展(1分)
（3）平原(1分) 资金和技术(1分)
（4）第三产业(1分) 高效益综合发展(1分) 科技与信息(1分) 43.（1）气候干旱是其最突出的气候特征(2分)。

原因：深居内陆，距海较远(2分)；
高大山脉的阻挡，海洋水汽难以到达(2分)
（2）多分布在山麓绿洲上（或沿河流、铁路线分布(2分) 水源(2分) （3）不合理（2分）新疆生态环境比较脆弱，环境承载力小，如果大量迁入人口，会导致生态环境恶化。

（2分）
（4）利好因素：地理位置重要是通往中亚的门户；政策支持；资源丰富；交通相对便利；邻国多，利于发展对外贸易等。

（任意3点得6分）。

高二数学答案一、选择题（每小题5分，共60分）11、12、（理科）210 （文科）2n-113、等腰三角形14、9 15、三解答题16解：（1）∵b 2 =ac，且a 2 -c 2 =ac-bc，∴b 2 +c 2 -a 2 =bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA= = = ，∴∠A=60°.（2）在△ABC中，由正弦定理得sinB= .∵b 2 =ac，∠A=60°，∴= =sin60°= .17、解析：解 : (1)由余弦定理及已知条件得,a 2 +b 2 -ab=4,又因为△ABC的面积等于,所以absinC= ,得ab=4.联立方程组 解得a=2,b=2.(2)由正弦定理,已知条件化为b=2a,联立方程组 解得a= ,b= .所以△ABC 的面积S= absinC= .18解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1 ＝1，a 1 ，a 3 ，a 9 成等比数列得 ，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(2)1n n19解：由不等式组作出可行区域，如下图所示的阴影部分．∵目标函数为z=3x+5y ，∴作直线l:3x+5y=t(t ∈R)，则 是直线l 的横截距.∴l 向右平移 变大 t 变大，把l 平移到过可行域上的点A 时，直线l 在最右边，此时,t 最大.类似地，在可行域内，以经过点B(-2，-1)的直线l 2 所对应的t 最小．∴z max ＝3× +5× ＝17，z min =3×（-2）+5×（-1）=-11.20、（1）∵2x +8y≥2y x 822=3y x 222=3y x 2+16= 当且仅当2x =23y 且x+3y=6即x=3,y=1时上式等号成立∴2x +8y的最小值为16 （2）理科25 文科221、解析： (1)∵S n =1－ a n ，①∴S n +1 =1－ a n +1 ，②②－①得， a n +1 =－ a n +1 + a n ，∴ a n +1 = a n ( n ∈ N *)． 又 n =1时， a 1 =1－ a 1 ，∴ a 1 = ， ∴ a n = ( ) n － 1=( ) n( n ∈ N *)．(2)∵ b n == n 2 n( n ∈ N *)，∴T n =1×2+2×2 2+3×2 3+…+ n ×2 n，③ 2T n =1×2 2+2×2 3+3×2 4+…+ n ×2n +1，④③－④得，－T n =2+2 2 +2 3 +…+2 n －n ×2 n +1 = －n ×2 n +1 ，整理得，T n =( n －1)2 n +1 +2，n ∈N *．。