全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学历年真题详解【圣才出品】

第12章随机变量及其分布一、选择题1．设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()=-x x ϕϕ，()F x 是随机变量X 的分布函数，则对于任意的实数a，有（）．A．()()01aF a x dxϕ-=-⎰B．()()012aF a x dx ϕ-=-⎰C．()()F a F a -=D．()()21F a F a -=-。

【答案】B【解析】()()()()001122aaa F a x dx x dx x dx ϕϕϕ---∞--==-=-⎰⎰⎰．2．设随机变量ξ的密度函数为()1sin ,0=0,x x x ϕπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他，则ξ的分布函数为（）．A．()0,01cos ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩B．()()1cos ,,F x x x =-∈-∞+∞C．()cos ,020,x x F x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D．()1cos ,020,x x F x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他【答案】A【解析】由分布函数的定义可得，()0,01cos ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩．3．设连续型随机变量ξ的分布函数为()F x ，12ηε=-，则随机变量η的分布函数()G y =（）．A．122y F ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．1122y F ⎛⎫--⎪⎝⎭C．112y F ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．122y F ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】(){}{}11112112222y y y G y P y P y P PP F ηεεε--⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤=≥=-≥=--⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭．4．设随机变量ξ的分布函数为()20,0,05251,5x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，则()21204x x εε+++=有实根的概率为（）．A．1B．2125C．925D．425【答案】B【解析】方程()21204x x εε+++=有实根的条件为()220εε-+≥，解得2ε≥．()()()4212121212525P P F εε≥=-≤=-=-=．5．数列()(),1,2,1kap k k k ==+ 为离散型随机变量的概率分布，则a 的取值为（）．A．12B．2C．1D．13【答案】C【解析】()1111111k k a a a k k kk +∞+∞==⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭∑∑．6．设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若()519P X ≥=，则()1P Y ≥=（）．A．1927B．827C．13D．23【答案】A【解析】()()()2511119P X P X p ≥=-=--=，解得13P =，故()()()33219110111327P Y P Y p ⎛⎫≥=-==--=-= ⎪⎝⎭．7．设函数()f x 与()F x 分别为正态随机变量()~1,1N ε的密度函数与分布函数，则必有（）．A．()()(),,f x f x x =-∈-∞+∞B．()()()1,,F x F x x -=-∈-∞+∞C．()00.5F =D．()112F π=【答案】D【解析】随机变量()~1,1N ε，因此其密度函数为()()2122x f x π--=，因此有()12f π=8．在下列函数中，可作为某随机变量ξ的分布函数()()F x P x ε=≤的是（）．A．()()1,,1-=∈-∞+∞+xF x x e B．()()21,,1=∈-∞+∞+F x x xC．()0,01,0121,1x F x x x x <⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩D．()221,01,01x x F x x x x ⎧≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪+⎩【答案】A【解析】根据分布函数的性质，()()01,F F -∞=+∞=及()F x 连续可知()()1,,1-=∈-∞+∞+xF x x e 符合分布函数的要求．9．设()x ϕ为连续型随机变量的密度函数，()F x 为分布函数，则（）．A．()01x ϕ≤≤B．()()P X x x ϕ==C．()()P X x F x =≤D．()()'P X x F x ==【答案】C【解析】密度函数()0x ϕ≥，连续型随机变量X 有()0P X x ==．10．下列函数中不可能作为连续型随机变量的密度函数是（）．A．sin ,20,x x ππ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他B．22,00,xc x e x c-⎧⎪>⎨⎪⎩其他C．2,00,Ax A xx A⎧>>⎪⎨⎪≤⎩D．2,010,x x <<⎧⎨⎩其他【答案】B【解析】B 项，参数c 可能取负值，不能满足()0x ϕ≥．11．设()()12,F x F x 分别为随机变量12,X X 的分布函数，要使()()()12F x aF x bF x =-也为某个随机变量的分布函数，则,a b 应取（）．A．32,55==-a b B．25==a b C．13,22=-=a b D．13,22=-=-a b 【答案】A【解析】()1+∞=-=F a b ．。

第5章常微分方程一、选择题1．设非齐次线性方程()()'y p x y q x +=有两个不同的解()()12,y x y x ，C 为任意常数，则该方程的通解为（）．A．()()12c y x y x -⎡⎤⎣⎦B．()()12c y x y x +⎡⎤⎣⎦C．()()()1213122c y x y x y x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D．()()()212y x c y x y x +-⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】通解的形式为：齐次方程的通解＋非齐次方程的特解，由解的性质可知：解的线性表示的系数之和为0时，线性组合为齐次线型方程的解；解的线性表示的系数之和为l 时，线性组合为非齐次线型方程的解．2．设()()12,y x y x 是非齐次方程的两个解，则下列仍为非齐次方程的解为（）．A．()()12y x y x +Ｂ．()()12y x y x -Ｃ．()()1212y x y x +⎡⎤⎣⎦Ｄ．()()121134y x y x +【答案】C【解析】设12,,,m y y y 一阶线性非齐次微分方程的解，12,,,m k k k 为常数，则1122n n y k y k y k y =+++ 为非齐次线性方程的解的充要条件为121n k k k +++= ．3．设f（x）连续且满足0()2()1xf x f t dt =+⎰，则满足条件的f（x）为（）．A．xe B．2xeC．12xe +D．xxe【答案】B【解析】等式两边对x 求导得2dyy dx=，解方程得到通解为2x y e c =+，故2x y e =为特解．4．设非齐次线性微分方程()'()y p x y q x +=有两个不同的解1y 和2y ，C 为任意常数，则该方程的通解为（）．A．()12c y y -B．()112y c y y +-C．c（12y y +）D．112()y c y y ++【答案】B【解析】因为12y y ≠，故12y y -为其对应的齐次线性微分方程的非零解，由一阶齐次线性微分方程的解的性质l 可知()112y c y y +-为非齐次线性微分方程的通解．5．设12,y y 为非齐次方程()'()y p x y q x +=的特解，则下列仍为非齐次方程()'()y p x y q x +=的特解的是（）．A．12y y +B．12y y -C．12y y -+D．123122y y -【答案】D【解析】1122y k y k y =+为非齐次线性方程的解的充要条件为121k k +=．二、填空题1．设'xy ry e +=（r 为常数）的特解为3xe y =，则其通解为__________．【答案】23xx e ce -+【解析】将3xe y =代入原方程得到r＝2，再将r＝2代入方程得到2x dy y e dx +=，利用公式()()(())p x dx p x dxy e c q x e dx -⎰⎰=+⎰，得到原问题的通解为23xx ece -+．2．微分方程()240ydx x x dy +-=的通解为__________．【答案】4(4)y x cx-=【解析】分离变量得()21104dx dy y x x +=-，两边同时积分可得()12114dx dy c y x x +=-⎰⎰，即114ln ln 4x y c x-+=，化简得4(4)y x cx -=（c 为任意常数）．3．设()()12,y x y x 为线性非齐次微分方程()()'y p x y q x +=的两个特解，则()()12y ay x by x =+为()'0y p x y +=的特解的充要条件为__________．【答案】0a b+=【解析】()()12,y x y x 为线性非齐次微分方程的解，故()()()11'()y x p x y x q x +=，()22'()()()y x p x y x q x +=，将()()12y ay x by x =+及上式代入齐次方程得()()()()()1122'''()()()()y p x y a y x p x y x b y x p x y x a b q x +=+++=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以()()12y ay x by x =+为齐次线性方程的解0a b ⇔+=．4．设123,,y y y 为()'()y p x y q x +=的解，且2222212312,2x x x y y x e y x e e ---+==+则它的通解为__________．【答案】222x xy cex e --=+【解析】不难验证()23122x y y y e --+=为该非齐次线性微分方程对应的齐次线性方程的解，()221212x y y x e -+=为该方程的解．根据一阶线性微分方程的性质，其通解为222x x y ce x e --=+．5．方程'sin ln y x y y =且满足0ln 1lim2x y x →=的y＝__________．【答案】tan 2xy e=【解析】原式化为ln sin dy dxy y x=，等式两边同时积分得1cos ln ln ln ln 1cos x y c x -=++，即ln tan 2x y c =，又由0ln 1lim2x y x →=得C＝1，故原问题的解为tan 2xy e =．6．设12,y y 分别为()()'y p x y q x +=的解，则1122c y c y +为非齐次的解，1122c y c y -为齐次方程的解，则1c ＝__________，2c ＝__________．【答案】12；12【解析】由题意得11221122112211221122'()()'()()''()()()''()()0y p x y q x y p x y q x c y c y c p x y c p x y q x c y c y c p x y c p x y +=⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪-+-=⎩1212c c ⇒==三、计算题．1．求()()0x yx x y y ee dx e e ++-++=的通解．解：因为(,),(,),x yx x y y x yP Q P x y e e Q x y e e e y x+++∂∂=-=+==∂∂故原题为全微分方程(,)(,0)(,)x y yx y y u x y P x dx Q x y dy e e dy+=+=+⎰⎰⎰故所求通解为(1)(1)x ye e c +-=．2．解方程[]'sin(ln )cos(ln )y x x a y =++．解：原方程可化为[]sin(ln )cos(ln )dyx x a dx y=++对等式两边分别积分得ln sin(ln )y x x ax c=++故所求通解为sin(ln )x x axy ce+=．3．求方程22(22)0x dx y xy x dy +-+=，且y（1）＝2的特解．解：原方程可化为2122dy y dx x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，应用公式()()(())p x dx p x dxy e c q x e dx -⎰⎰=+⎰，得到其通解为1222xy cx e x =+，再将y（1）＝2代入上式得到c＝0，故原方程的解为22y x =．4．求1'cos sin 2y x y y=+的通解．解：原方程可化为cos sin 2dxx y y dy=+，将y 看作自变量，利用公式()()(())p y dy p y dyx e c q y e dy -⎰⎰=+⎰，得到原方程的通解为sin 2(1sin )yx cey =-+．５．求方程(1)'x xe yy e +=当y（1）＝1时的特解．。