对数函数的单调性及其应用

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

高中数学例题：对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<；解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以33log 3.6log 8.9<；(2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>；(3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>．(4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==>36log 5log 4∴>(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a <当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a >解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1b a =4.2，令2log 4.8a b =，则24.8b a =，当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b 1<b 2，即log 4.2log 4.8a a <当时01a <<，x y a =在R 上是减函数，且4.2<4.8 所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．例3．比较11log ,log ,log ,log a b a b b a ba其中0<a <1<b 且a ·b >1的大小.【答案】11log log log log a b b a b a a b<<<【解析】由0<a <1<b 且a ·b >1，得1a b>，1b a>∴1log log 1a a a b >=，1log log 1b b b a<=11log log b a a b∴<∴11log log b a a b --<，即log log b a a b -<- log log b a a b ∴>11log log log log a b b a b a a b∴<<<【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小．举一反三： 【变式1】已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，310log 3l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >>又∵5x y =为单调递增函数，∴ a c b >> 故选C .【变式2】比较的大小． 【答案】c b a <<【解析】3233log 2log log 1log 3log π<<=<c b a ∴<<例4．求函数212log (21)y x x =-++的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式2210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数221tx x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．【答案】[-1，+∞)；增区间为1,1⎡+⎣；减区间为()1． 【解析】设221t x x =-++，则2(1)2t x =--+.∵ y=12log t 为减函数，且02t <≤，∴ 12log 21y ≥=-，即函数的值域为[-1，+∞).再由：函数212log (21)x x -++的定义域为2210x x -++>，即11x<<∴ 221tx x =-++在()1上递增而在1,1⎡+⎣上递减，而y=12log t 为减函数.∴ 函数212log (21)y x x =-++的增区间为1,1⎡⎣，减区间为()1-.【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数323log ,log log a b c π===为外函数，即log ()a y f x =型；另一类是内函数为对数函数，即(log )a y f x =型．对于log ()a y f x =型的函数的单调性，有以下结论：函数log ()a y f x =的单调性与函数()u f x =[]()0f x >的单调性，当1a >时相同，当01a <<时相反．研究(log )a y f x =型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．举一反三：【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞．【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．再由：22log (4)y x =+的定义域为R24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而y=2log t 为增函数∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. 【变式2】求函数log ()x a y a a =-的单调区间 【答案】减区间是：(),1-∞和()1,+∞【解析】①若1,a >则log a y t =递增，且x t a a =-递减，而0x a a ->，即,1x a a x <∴<，log ()x a y a a ∴=-在(),1-∞上递减．② 若01a <<，则log a y t =递减，且x t a a =-递增，而0x a a ->，即,1x a a x <∴>，log ()x a y a a ∴=-在()1,+∞上递减．综上所述，函数log ()x a y a a =-的单调递减区间是：(),1-∞和()1,+∞．。

专题37 对数函数的性质及其应用知识点一 对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的性质(1)定义域： (0，＋∞)． (2)值域： (－∞，＋∞)． (3)定点： (1,0)．(4)单调性：a >1时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a <1时，在(0，＋∞)上是减函数． (5)函数值变化当a >1，x >1时，y ∈ (0，＋∞)；0<x <1时，y ∈ (－∞，0)； 当0<a <1，x >1时，y ∈ (－∞，0)；0<x <1时，y ∈ (0，＋∞)．可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．知识点二 反函数的概念对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x 的值域，而y ＝log a x 的值域是y ＝a x 的定义域．(1)并非任意一个函数y ＝f (x )都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． (4)求反函数的步骤： ①求出函数y ＝f (x )的值域； ②由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )；③把x ＝f －1(y )改写成y ＝f －1(x )，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．题型一 比较对数值的大小1．比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 2．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4；(3)log 0.57，log 0.67；(4)log 3π，log 20.8.[解析](1)因为函数y ＝log 23x 是减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4. (3)因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. (4)因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 3．比较下列各组中两个值的大小：(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.14(a >0，a ≠1)． [解析](1)因为y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 31.9<log 32. (2)因为log 23>log 21＝0，log 0.32<log 0.31＝0，所以log 23>log 0.32.(3)当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则有log a π>log a 3.14； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，则有log a π<log a 3.14. 综上所得，当a >1时，log a π>log a 3.14；当0<a <1时，log a π<log a 3.14. 4．比较下列各组数的大小(1)log 0.13与log 0.1π；(2)log 45与log 65；(3)3log 45与2log 23；(4)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a ＞0且a ≠1)． [解析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3，∴log 0.13>log 0.1π.(2)法一：∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数，∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1.∴log 45>log 65. 法二：画出y ＝log 4x 和y ＝log 6x 在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知log 45＞log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log 2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9，∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23. (4)∵a ＋2＜a ＋3，故①当a ＞1时，log a (a ＋2)＜log a (a ＋3)；②当0＜a ＜1时，log a (a ＋2)＞log a (a ＋3)． 5．比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log a 3.1，log a 5.2(a>0，且a ≠1)． [解析] (1)因为函数y ＝lnx 是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)解法一：因为0>log 0.23>log 0.24，所以1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2.解法二：如图所示，由图可知log 40.2>log 30.2.(3)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π>3，所以log 3π>log 33＝1.因为函数y ＝log πx 是增函数，且π>3，所以log π3<log ππ＝1.所以log 3π>log π3.(4)当a>1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以log a 3.1<log a 5.2； 当0<a<1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以log a 3.1>log a 5.2. 6．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b<c<aB ．b<a<cC ．c<a<bD ．c<b<a[解析]由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c<b<a.[答案] D 7．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44＜log 0.46B ．1.013.4＞1.013.5C ．3.50.3＜3.40.3D ．log 76＜log 67[解析]选D ，因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44＞log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x 为增函数， 所以1.013.4＜1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C 错． 8．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]∵0＜a ＝213＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .故选D.9．如果log 12 x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x[解析]对数函数y ＝log 12 x 在(0，＋∞)上单调递减，则由log 12 x <log 12 y <0＝log 12 1，可得1<y <x .10．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b[解析]a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D. 11．设a ＝log 43，b ＝log 53，c ＝log 45，则( )A ．a>c>bB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b[解析]a ＝log 43<log 44＝1；c ＝log 45>log 44＝1，由对数函数的性质可知log 53<log 43，∴b<a<c ，故选D. 12．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析]∵a ＝20.2＞1＞b ＝l o g 4(3.2)＞0＞c ＝l o g 2(0.5)，∴a ＞b ＞c .故选A. 13．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b[解析]由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)，又log a 13>log b 13，作出图象如图所示，结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.14．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析]∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.15．已知f (x )＝|lg x |，且1c＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小．[解析]先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方， 于是得f (x )＝|lg x |图象(如图)，由图象可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )． ∴f (c )＞f (a )＞f (b )．题型二 求单调区间或根据单调性求参1．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．[解析]由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数， ∴函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为(－∞，2)． 2．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．[解析]易知函数f (x )的定义域为－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 3．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调递增区间．[解析]要使函数有意义，则有1－x 2>0⇔x 2<1⇔－1<x <1.∴函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．在(－1,0)上，x 增大，t 增大，y ＝log 12 t 减小，即在(－1,0)上，y 随x 的增大而减小，为减函数；在[0,1)上，x 增大，t 减小，y ＝log 12 t 增大，即在[0,1)上，y 随x 的增大而增大，为增函数．∴y ＝log 12 (1－x 2)的单调递增区间为[0,1)．4．求函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调区间．[解析]因为x 2－3x ＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t ＝x 2－3x ＋2， 则y ＝log 0.7t ，显然y ＝log 0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而t ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分 别是单调递减和单调递增的，所以函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为(－∞，1)， 单调递减区间为(2，＋∞)．5．求函数y ＝lg (x 2－2x )的单调递增区间．[解析]由已知，得x 2－2x >0，解得x >2或x <0.因为y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＝lg (x 2－2x )的单调递增区间为(2，＋∞). 6．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，4－x ＞0得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln [－(x －1)2＋9]， 设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)． 7．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析]f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]8．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围． [解析]∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a . ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. 9．已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)[解析]∵f (x )＝l o g a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. 10．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． [解析]因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．11．是否存在实数a ，使函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．[解析]存在．设u ＝g (x )＝ax 2－x ，则y ＝log a u .假设符合条件的a 值存在．(1)当a ＞1时，只需g (x )在[2,4]上为增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞12.∴a ＞1.(2)当0＜a ＜1时，只需g (x )在[2,4]上为减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g (4)＝16a －4＞0.无解．综上所述，当a ＞1时，函数y ＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数． 12．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )＞1，求x 的取值范围．[解析] (1)证明：任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，不妨令0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2， ∵0＜a ＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴g (x 1)－g (x 2)＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)，∴g (x )为增函数，又∵0＜a ＜1，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－a x ＜a ，∴1－a ＜ax ＜1.又∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0， ∴a ＜x ＜a1－a，∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a 1－a .题型三 求解对数不等式1．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为( )A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫－32，3 C.⎝⎛⎭⎫－32，65 D.⎝⎛⎭⎫65，3[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，得65<x<3.[答案] D 2．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(2,7]C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析]由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10，即2<x ≤7，故选B. 3．若log a 23<1，则a 的取值范围是________．[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 4．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． [解析]由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1.当a>1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>1，3a －1>0，解得a>23，∴a>1；当0<a<1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a<23.∴13<a<23.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]若a >0，由f (a )>f (－a )，得log 2a >log 12 a ＝－log 2a ，即log 2a >0，则a >1；若a <0，则由f (a )>f (－a )，得log 12 (－a )>log 2(－a )，即－log 2(－a )>log 2(－a )，则log 2(－a )<0，得0<－a <1，即－1<a <0.综上所述，a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是___． [解析]由题意可知，f (log 4x )<0⇔－12<log 4x <12⇔log 44－12<log 4x <log 4412⇔12<x <2.7．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解析] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知2log a (x －4)>log a (x －2)，求x 的取值范围．[解析]由题意，得x >4，原不等式可变为log a (x －4)2>log a (x －2)． 当a >1时，y ＝log ax 为定义域内的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4)2>x －2，x －4>0，x －2>0，解得x >6.当0<a <1时，y ＝log ax 为定义域内的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2<x －2，x －4>0，x －2>0，解得4<x <6.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为(6，＋∞)；当0<a <1时，x 的取值范围为(4,6)． 9．已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎡⎭⎫73，3. 10．函数f (x )＝2x －log 31＋x 1－x，x ∈(0,1)，求不等式f (x 2)>f ⎝⎛⎭⎫13的解集．[解析]∵y ＝2x 在(0,1)上为减函数，y ＝－log 31＋x 1－x ＝log 31－x 1＋x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1在(0,1)上也为减函数， ∴f (x )＝2x －log 31＋x 1－x在(0,1)上单调递减．∴x 2<13.∴0<x <33，∴解集为⎝⎛⎭⎫0，33.题型四 与对数函数有关的值域问题1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( ) A ．f(x)＝log 2(x －1) B ．f(x)＝log 2(x －1) C ．f(x)＝log 2(x 2＋2)D ．f(x)＝log 2x －1[解析]A 、D 中因为真数大于0，故值域为R ，C 中因为x 2＋2≥2，故f(x)≥1. 只有B 中log 2(x －1)≥0，f(x)的值域为[0，＋∞)．[答案] B2．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 [解析]当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)．当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12.3．函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．[解析]f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________．[解析]－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254， ∴根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象(图略)即可得到：log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，∴原函数的值域为[－2，＋∞)． 5．求函数y ＝log 13(－x 2＋4x －3)的值域．[解析]由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3，∴函数的定义域是(1,3)． 设u ＝－x 2＋4x －3(1<x<3)，则u ＝－(x －2)2＋1.∵1<x<3，∴0<u ≤1，则y ≥0，即函数的值域是[0，＋∞)．6．求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解析] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2. 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4. 又y ＝log 12 u 在(0,4]上为减函数，所以log 12 u ≥log 12 4＝－2，所以y ＝log 12 (3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log 2(－x 2－4x ＋12)．[解析] (1)因为|x|＋4≥4，所以log 2(|x|＋4)≥log 24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．(2)因为－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16，所以0<－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4，函数的值域为(－∞，4]．8．求函数y ＝(log 2x)2－4log 2x ＋5(1≤x ≤2)的最值．[解析]令t ＝log 2x ，则0≤t ≤1且y ＝t 2－4t ＋5，由二次函数的图象可知，函数y ＝t 2－4t ＋5在[0,1]上为减函数，∴2≤y ≤5.故y max ＝5，y min ＝2.9．求函数y ＝log 2(2x)·log 2x ⎝⎛⎭⎫12≤x ≤2的最大值和最小值． [解析]y ＝log 2(2x)·log 2x ＝(1＋log 2x)·log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14. ∵12≤x ≤2，即－1≤log 2x ≤1，∴当log 2x ＝－12时，y min ＝－14；当log 2x ＝1时，y max ＝2. 10．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．[解析]f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R)，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14(t ∈R)，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14. 11．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2×log 2 x2的最大值和最小值．[解析]由2x ≤256，得x ≤8，所以log 2x ≤3，即12≤log 2x ≤3.f (x )＝(log 2x －1)×(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14，当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.12．求函数f(x)＝log 2(4x)·log 42x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． [解析]f(x)＝log 2(4x)·log 42x ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤12(1－log 2x )＝－12[(log 2x)2＋log 2x －2]． 设log 2x ＝t.∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12，∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98.当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98. 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．[解析]根据图象可知，|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.由图可知(b －a )min ＝1－13＝23.14．若函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )的值域是[1，log 214]，则a ，b 的值分别为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－2B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4[解析]由1≤log 2(x 2－2)≤log 214得2≤x 2－2≤14，得4≤x 2≤16，得－4≤x ≤－2或2≤x ≤4.由x 2－2>0得x <－2或x >2，故b <－2或a > 2.当a >2时，由函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )单调递增得2≤x ≤4，故a ＝2，b ＝4；当b <－2时，由函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )单调递减得－4≤x ≤－2， 故a ＝－4，b ＝－2.15．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎫log 4x －12，2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．[解析] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12⎝⎛⎭⎫t －322－18，1≤t ≤3， 当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1，即函数的值域为⎣⎡⎦⎤－18，1.16．已知函数f (3x －2)＝x －1，x ∈[0,2]，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的解析式；(2)设h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)，试求函数y ＝h (x )的最值．[解析] (1)设t ＝3x －2，t ∈[－1,7]，则x ＝log 3(t ＋2)，于是有f (t )＝log 3(t ＋2)－1，t ∈[－1,7]． ∴f (x )＝log 3(x ＋2)－1，x ∈[－1,7]，根据题意得g (x )＝f (x －2)＋3＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]． ∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝log 3(x ＋2)－1，x ∈[－1,7]， 函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]． (2)∵g (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，∴h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3， ∵函数g (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，即1≤x ≤3.∴0≤log 3x ≤1，∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.∴函数y ＝h (x )的最大值为13，最小值为6. 17．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)． 当a <0时，显然不可能； 当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，若u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)， 则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. (2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.18．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14. (1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围．[解析]1)要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0. 解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. (2)要使f (x )的值域为R ，则有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14的值域必须包含(0，＋∞)．当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x 轴相交且开口向上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a ≥0，即0<a ≤3－52或a ≥3＋52.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞. 题型五 对数函数性质的综合应用1．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[解析]f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.2．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数[解析]由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A ．3．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2)C.⎝⎛⎭⎫22，1D.⎝⎛⎭⎫0，22 [解析]当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于⎝⎛⎭⎫12，2点时，a ＝22， 故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，故选C.4．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．[解析](1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)．∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )，∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数．5．设常数a ＞1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，若y 的最大值为2，则x 的值为________． [解析]实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，化为log a x ＋2log a x ＋log a ylog a x ＝－3.令log a x ＝t ，则原式化为log a y ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋322＋14. ∵a ＞1，∴当t ＝－32时，y 取得最大值2，∴log a 2＝14，解得a ＝4，∴log 4x ＝－32，∴x ＝4－32＝18.6．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．[解析] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.7．已知函数f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，且a ≠1)．(1)求f(x)的定义域； (2)判断函数的奇偶性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围．[解析](1)由1＋x1－x >0，得－1<x<1，故f(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵f(－x)＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x＝－f(x)，又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数． (3)当a>1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x >1.所以0<x<1.当0<a<1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x1－x<1，所以－1<x<0.故当a>1时，x 的取值范围是{x|0<x<1}；当0<a<1时，x 的取值范围是{x|－1<x<0}． 8．已知函数f (x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (m －2)＜f (m )，求m 的取值范围．[解析](1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0，2－x ＞0，解得－2<x <2.∴函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}．(2)由(1)，可知函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，关于原点对称，对任意x ∈(－2,2)，有－x ∈(－2,2)． ∵f (－x )＝lg (2－x )＋lg (2＋x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝lg (4－x 2)，当0≤x <2时，函数y ＝f (x )为减函数，当－2<x <0时，函数y ＝f (x )为增函数， ∴不等式f (m －2)<f (m )等价于|m |<|m －2|，解得m <1.又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －2＜2，－2＜m ＜2，解得0＜m ＜2. 综上所述，m 的取值范围是{m |0<m <1}．9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝log 12(x ＋7)．(1)求f (1)，f (－1)； (2)求函数f (x )的表达式；(3)若f (a －1)－f (3－a )＜0，求a 的取值范围． [解析](1)f (1)＝log 128＝－3，f (－1)＝－f (1)＝3.(2)因为f (x )在R 上为奇函数，所以f (0)＝0，令x ＜0，则－x ＞0， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x ＋7)，(3)当x ∈(0，＋∞)时，y ＝log 12 (x ＋7)，令u ＝x ＋7，则y ＝log 12 u .由于u ＝x ＋7是增函数，y ＝log 12 u 是减函数，则y ＝log 12 (x ＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f (x )是奇函数且f (0)＝0，所以y ＝f (x )是R 上的减函数．由f (a －1)<f (3－a )，得a －1>3－a ，解得a >2. 10．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值．[解析](1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.∴实数a 的取值范围是(0,1)． (2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝⎛⎭⎫34，75. (3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.11．已知函数f (x )＝lga －x1＋x. (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求m ，n 的值． [解析] (1)∵f (x )为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，即lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x 2＝1，解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg1－x 1＋x ，则1－x1＋x>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x <0，1＋x <0，解得－1<x <1，即其定义域为(－1,1)． ∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x为减函数，而y ＝lg t 在其定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x 在其定义域内是减函数，则m ＝－1，由题意知f (n )＝lg 1－n 1＋n ＝－1，解得n ＝911，即m ＝－1，n ＝911.题型六 反函数的应用1．写出下列函数的反函数(用x 表示自变量，用y 表示函数)： (1)y ＝2.5x ；(2)y ＝log 16x .[解析](1)函数y ＝2.5x 的反函数是y ＝log 2.5x (x >0)．(2)由y ＝log 16 x 得x ＝⎝⎛⎭⎫16y ，所以函数y ＝log 16x 的反函数为y ＝⎝⎛⎭⎫16x .2．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3[解析]法一：函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，∴函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点(a ，a )，∴a a＝a ＝a 12，即a ＝12.3．已知函数f (x )＝a x －k (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f (x )的解析式． [解析] 由于函数f (x )的反函数的图象过点(2,0)，∴f (x )的图象过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，即k ＝－1， ∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝a ＋1，即a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.4．若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg (x ＋1)的图象关于直线x －y ＝0对称，则f (x )＝( )A ．10x －1B ．1－10xC ．1－10－xD ．10－x －1[解析]若两函数图象关于直线y ＝x 对称，则两函数互为反函数，故y ＝lg (x ＋1)，则x ＋1＝10y ， x ＝10y －1，即y ＝10x －1.故选A ．5．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R)B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R)D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)[解析]因为函数y ＝e x 的图象与函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )是y ＝e x 的反函数， 即f (x )＝ln x ，故f (2x )＝ln 2x ＝ln x ＋ln 2(x >0)，故选D ．6．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a ＝________.[解析]∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，即g (x )＝2x .又∵g (a )＝14，∴2a ＝14，∴a ＝－2.。

高中数学指数对数函数的性质及应用实例一、指数函数的性质指数函数是高中数学中非常重要的一个函数，它具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

2. 单调性：对于指数函数y=a^x，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：指数函数y=a^x是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：当底数a>1时，指数函数的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴上有一条垂直渐近线x=0。

5. 过点(0,1)：对于任何正数a，指数函数都过点(0,1)。

6. 指数函数的性质与变换：指数函数y=a^x的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持指数函数的性质不变。

例如，考虑指数函数y=2^x和y=0.5^x。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它也具有一些重要的性质：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 单调性：对于对数函数y=loga(x)，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：对数函数y=loga(x)是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：对数函数y=loga(x)的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0。

5. 过点(1,0)：对于任何正数a，对数函数都过点(1,0)。

6. 对数函数的性质与变换：对数函数y=loga(x)的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持对数函数的性质不变。

例如，考虑对数函数y=log2(x)和y=log0.5(x)。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

三、指数对数函数的应用实例指数对数函数在实际问题中有广泛的应用，下面举两个例子来说明：例1：财务利润问题某公司的年利润以10%的速度递增。

第十八讲 对数函数的单调性新知预习1、对数函数的单调性当1a >时，log a y x =在()0,+∞上为增函数；当01a <<时，log a y x =在()0,+∞上为减函数。

2、复合函数的单调性的判断()()()()()y f g x f t t g x ===的单调性与()f t ，()t g x =的单调性的关系：同增异减。

理解升华知识点一：对数函数的单调性1、对数函数的单调性是由对数的底数决定的，若对于log a y x =（0a >且1a ≠）来说，当1a >时，它在定义域内单调递增. 即其函数值随x 的增大而增大；当01a <<时，它在定义域内单调递减，即即其函数值随x 的增大而减小。

2、解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱！）。

知识点二：比较两对数值大小的方法1、底数相同真数不同时，利用对数函数的单调性来比较；2、底数不同真数相同时，用对数函数的图象与底数关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的问题；3、底数和真数都不同，则寻求中间值作媒介进行比较；4、对于有多个数值的大小比较，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内数值的大小即可。

知识点三：由对数函数复合而成的函数的单调性函数()log a y f x =可看做是log a y t =与()t f x =两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当1a >时，若()t f x =为增函数，则()log a y f x =为增函数，若()t f x =为减函数，则()log a y f x =为减函数；当01a <<时，若()t f x =为增函数，则()log a y f x =为减函数，若()t f x =为减函数，则()log a y f x =为增函数 。

对数函数单调性的应用形如y ＝log a x(a ＞0且a ≠1)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量.单调性在它性质中占有重要地位，它在解决相关问题中有着重要的应用.一般地，对于函数y ＝log a x(a ＞0且a ≠1)：(1)当a ＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；(2)当0＜a ＜1时，在(0,＋∞)上是减函数.这种性质称为函数的单调性.确定单调性有两个条件：①a 的范围；②定义域.在应用时务必注意定义域这一条件.现举例说明.一、比较大小例1(1)log 23.4与log 28.5；(2)log 0.31.8与log 0.32.7；(3)log a 5.1与log a 5.9；(4)log 67与log 76；(5)log 3π与log 20.8.解析：(1)y ＝log 2x 在(0,＋∞)上是增函数，∵3.4＜8.5，∴log 23.4＜log 28.5.(2)y ＝log 0.3x 在(0,＋∞)上是减函数，∵1.8＜2.7，∴log 0.31.8＞log 0.32.7.(3)对底数a 进行分类讨论，当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数，∵5.1＜5.9，∴log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数，∵5.1＜5.9，∴log a 5.1＞log a 5.9.(4)log 67＞log 66＝1，log 76＜log 77＝1，∴log 67＞log 76.(5)∴log 3π＞log 31＝0，log 20.8＜log 21＝0，∴log 3π＞log 20.8.点拨：解答此类题型的关键是确定出与两个比较的数相关的对数函数模型，再利用对数函数的单调性进行求解.如果出现底数不统一，则需要统一底数或借助蹭量作桥梁进行比较.二、求函数的定义域例2求函数f(x)＝lg(a x ﹣k ·2x ),(a ＞0,a ≠2，k 为常数)的定义域.解析：由a x －k ·2x ＞0⇒(a 2)x ＞k. (1)若k ≤0,由于a ＞0，a ≠2，(a 2)x ＞0得x ∈R ，即定义域为R. (2)若k ＞0，则当a ＞2时，知a 2＞1，得定义域为{x|x ＞log a 2k}；当0＜a ＜2时，0＜a 2＜1,得定义域为{x|x ＜log a 2k}. 点拨：此类题型主要是根据函数表达式的具体的特征，列出使函数有意义的关于x 的不等式，如果不等式含有对数，则可根据对数函数的单调性进行求解.三、求函数的值域例3求函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域.解析：∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8＞0恒成立，∴函数的定义域为R ，又x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∵y ＝log 12x 是减函数，∴log 12(x 2－6x ＋17)的值域是(－∞,－3].点拨：利用对数函数的单调性求解函数的值域要抓住函数的单调性复合规律：如果函数f(x)＝log a u ，u ＝g(x)，当a ＞1时，u 具有最大值(或最小值)，则u 也取相应最大值(或最小值)；当0＜a ＜1时，u 具有最大值(或最小值)，则u 也取相应最小值(或最大值).四、求以对数函数为载体的复合函数中的参数例4已知y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围.解析：∵a ＞0，令u ＝2－ax 是x 的减函数，又y ＝log a (2－a)在[0,1]上是x 的减函数，故y ＝log a u 是增函数，即a ＞1，又2－ax ＞0，∴a ＜2，综上得1＜a ＜2.点拨：此类题型主要从两个方面入手：一是利用函数单调性的复合规律“同增异减”确定参数的范围；二是抓住真数大于零，如果根据真数所涉及函数的单调性，一般可简化运算.五、解对数不等式例6已知2log a (x －4)＞log a (x －2)，求x 的范围.解析：去对数符号，转化为代数不等式求解.同时注意对数函数的定义域，原不等式等价于⎩⎨⎧ log a (x －4)2＞log a (x －2)x －4＞0，注意定义域及单调性有 (1)当a ＞1时，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4)2＞x －2x －4＞0x －2＞0，解得x ＞6. (2)当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧ (x －4)2＜x －2x －4＞0，解之得4＜x ＜6， 因此，当a ＞1时，x ＞6；当0＜a ＜1时，4＜x ＜6.点拨：利用对数的单调性解对数不等式主要从两个方面考虑：一是考虑函数的真数。