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第三讲：函数单调性与应用一．知识点梳理 1. 函数单调性的定义(1) 一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)),那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数).(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫作f(x)的单调区间.若函数是单调增函数,则称该区间为单调增区间;若函数为单调减函数,则称该区间为单调减区间. 2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x ∈(a,b)时,u ∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:同增异减（即内外函数的单调性相同则为增 ，内外函数的单调性相反则为减） 3.和函数的单调性 同增为增，同减为减，不同步不确定。
4. 积函数的单调性 （1） 同增同正，得增；（2） 同增同负，得减；（3） 同减同正，得减；（4） 同减同负，得增； （5） 一增一减，一正一负，单调性与原函数中函数值为负的函数相同； （6） 其余情况，可增可减，亦可为常数函数.5. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法:(1) 函数单调性的定义法; (2) 函数的图象法; (3) 导函数法；（4）利用已知函数的单调性法 二．考点突破 1.函数单调性的判断例1：判断下列函数在区间(0,2)上的单调性:(1) y=-x+1; (2) y=; (3) y=x 2-2x+5; (4) y=2x .例2：设函数()f x =()f x 的单调性；例3：求下列函数的增单调区间（1）2()(3),(1))x f x x e x =-⋅∈-⋃+∞； （2）22()log (1)(2)f x x x x =+++变式：1. 函数f(x)=x 2-2x 的单调增区间为 . 2.给定下列函数:①y=12x ;②12log (1)y x =+;③y=-|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是 .(填序号)3.求函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .4.求函数2()23f x x x =-++的单调增区间5.若函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，2()()g x x f x =⋅，求函数()g x 的单调减区间6.已知函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是 。
函数的单调性在解题中十个方面的应用举例函数的单调性是函数的一条重要性质，通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些数学问题，若解题中注意应用函数的单调性，可以使问题的解决简捷明快；它是历年高考重点考查的重要内容之一，它在中学数学的应用十分广泛。
本文通过利用函数的单调性解方程、解不等式、证明不等式等问题的例子，探讨函数单调性在解题中的应用。
1利用函数的单调性比较大小2利用函数的单调性解方程３利用函数的单调性解方程根的问题x2+x+1=0至多有一个实根。
４利用函数的单调性解不等式例4解不等式（2x-1）5+2x-1<x5+x解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f（t）=t5+t，则原不等式可写为f（2x-1）<f（x）∵f（t）=t5+t在（-∞，+∞）上是增函数，由f（2x-1）<f（x）得2x-1<x，解得x<1∴原不等式的解是x<1５利用函数的单调性求值６利用函数的单调性求最大（小）值例6 已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，点P坐标为（-3，0）。
求当D在轴上移动时，得最大值。
７利用函数的单调性求取值范围例7若关于x的方程cos2x+2asinx-3a-1=0有实数解，求a的取值范围。
故当sinx=1时，a最小=-1，因此，a的取值范围是-1,<a<0８利用函数的单调性证明条件等式９利用函数的单调性证明条件不等式10利用函数的单调性证明函数的性质例10试证函数f（x）=x-asinx（x∈R，０≤a，１）有反函数。
参考文献1谭森.函数单调性的应用花名册.高中数理化，2010（10）2胡岩火等.函数单调性在解题中的一些应用.数学通报，1993（02）3李国勤.巧用函数的单调性证明不等式./xxff/200510/gaoshu/42.htm4边锡栋.函数单调性的应用.学勉数学网5杨晓.函数的单调性在解题中的应用/wu51/keyan/shu15.doc2007-6-13。
函数单调性的应用及解法函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数随着自变量的增大或减小，函数值是递增还是递减的趋势。
掌握函数的单调性不仅对于理解函数的性质和行为有帮助，还可以在实际问题中进行正确的推导和解决。
本文将从函数单调性的概念、解法和应用方面进行详细论述，以便读者更好地理解和灵活运用。
首先，我们来具体定义函数的单调性。
设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递增的；如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递减的。
如果函数f(x)既是递增的又是递减的，则称函数f(x)在区间I上是严格单调的。
接下来，我们将介绍解决函数单调性的一般方法。
首先，我们需要找到函数的导数。
对于定义在区间I上的函数f(x)，如果导数f'(x) ≥0，则f(x)在区间I上递增；如果导数f'(x) ≤0，则f(x)在区间I上递减。
如果导数f'(x) > 0，则f(x)在区间I上严格递增；如果导数f'(x) < 0，则f(x)在区间I上严格递减。
因此，解决函数单调性问题的一般步骤如下：首先，计算函数的导数；然后，找到导数的零点，即导数为0的点；最后，根据导数的正负情况，判断函数的单调性。
然而，由于计算函数的导数和求解导数的零点可能会比较复杂，所以在实际应用中，我们往往会借助一些简化的策略和技巧。
下面，我将以实际问题为例，具体介绍函数单调性的应用和解法。
第一个应用场景是求解函数极值问题。
对于一个凸函数（即导数的二阶导数大于等于0），如果在一个区间上函数的导数从正数变为负数，那么函数在该点上取得极大值；如果在一个区间上函数的导数从负数变为正数，那么函数在该点上取得极小值。
这是因为函数在这两种情况下都出现了斜率的变化，导致函数的增长或减小逐渐趋缓。
函数单调性的七种应用
一、内容提要如果函数f()对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1
如果对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1f(2),那么f()叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f()的单调减少区间。
在其中一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,
这个区间叫做这个函数的单调区间。
二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。
许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高
次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到
函数的单调性。
上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较
为困难。
但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
三、例题分析
例1:f()=,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f()当
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
解:要使f()有意义必须且只须1+2+3…(n-1)+na>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(),则g()在(-∞,1]上单调递增。
从而有
g()≤g(1),∈(-∞,1]而g(1)=
∴g()≤≤(∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f()在(0,1)上是增函数。
则f()0
解:改写原不等式为
()3+>3+5
令f()=3+5,则原不等式即为
f()>f()⑥
∵f()是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>
解之得原不等式的解为-1。
函数单调性及其应用的研究
函数单调性指的是函数在其定义域上的增减性质。
具体来说，如果函数f的定义域上的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（即f单调递增），或者f(x1)>f(x2)（即f单调递减）。
如果函数既不单调递增也不单调递减，则称之为不单调。
函数单调性的研究在数学分析、微积分、数值分析、优化等领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用：
1. 函数单调性可以帮助我们确定函数的最值和极值，从而指导我们在实际问题中找到最优解。
2. 在微积分中，函数单调性可以帮助我们证明一些基本定理，例如中值定理、罗尔定理等。
3. 函数单调性还可以为数值计算提供依据。
如果我们知道函数f在一个区间上单调递增或递减，那么我们就可以使用二分法等技术来快速找到这个区间内的零点或极值点。
4. 在优化问题中，函数单调性可以帮助我们确定最优解空间的边界和方向，从而指导我们设计更加高效的优化算法。
总之，函数单调性是数学中一个非常重要的概念，它不仅可以帮助我们求解各种实际问题，还可以为理论研究提供有力的工具和方法。
函数单调性及其应用
函数单调性是指函数在某个定义域内的取值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的特性。
如果函数在该定义域内只有单调递增或单调递减的情况，则称该函数具有单调性。
应用方面，函数单调性可以用于优化问题的求解、最大值和最小值问题的解决以及一些相关定理的证明。
常见的应用包括：
1. 优化问题的求解。
如果在某个定义域上，函数单调递增，则可以通过增大自变量的取值达到最大化函数值的目的；如果函数单调递减，则可以通过减小自变量的取值达到最大化函数值的目的。
2. 最大值和最小值问题的解决。
如果函数具有单调性，则可以通过确定其定义域上的边界值来确定函数的极值点。
3. 相关定理的证明。
函数单调性对于一些相关定理的证明具有十分重要的作用，例如拉格朗日中值定理和柯西-施瓦茨不等式等。
综上所述，函数单调性在数学领域中具有广泛的应用和重要的意义。
函数的单调性及其应用
函数的单调性是指函数在定义域内的取值增减情况。
具体地说，设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于$I$内任意的$x_1$和
$x_2$，只要$x_1<x_2$，就有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递增；如果对于$I$内任意的$x_1$和$x_2$，只要
$x_1<x_2$，就有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递减。
应用方面，函数的单调性可以帮助我们判断函数的图像和性质，如：
1. 判断函数的最值及其取值范围：单调递增的函数在定义域内
最小值是在端点处取得，最大值是在定义域最大值处取得；单调递
减的函数则恰好相反。
2. 判断函数零点：若函数为单调递增，则只有一个零点；若函
数为单调递减，则只有一个零点。
3. 判断函数的奇偶性：若函数为奇函数，则当$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增；若函数为偶函数，则在整个定义域内都单调
递增或单调递减。
4. 判断函数解析式的符号：已知某函数在某区间单调递增或单
调递减，则我们可以根据函数图像的位置，得到函数解析式的符号。
函数单调性的应用
一、比较大小
例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小.
解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，
∴f (－1)＝f (5).
∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1).
评注 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.
二、解不等式
例2 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围.
解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
－1<t －1<1，－1<1－2t <1，
t －1<1－2t ，解得0<t <23. 评注 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式. (2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.
三、求参数的值或取值范围
例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围.
解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1)
＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a).
∵1≤x1<x2，∴x21＋x1x2＋x22>3.
显然不存在常数a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值.
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x21＋x1x2＋x22－a恒为正数，
即x21＋x1x2＋x22>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x22>3，
∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3].
四、利用函数单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a
x，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；
(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值.
解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在
[2，＋∞)上是增函数，
∴f (x )min ＝f (2)＝6.
(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.
易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数.
∴f (x )min ＝f (1)＝72.
(3)函数f (x )＝x ＋a x ＋2在(0，a ]上是减函数，
在[a ，＋∞)上是增函数. 当a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 当a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.。
