常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理本章重点介绍和证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理,并叙述解的一些性质,如解的延拓,解对初值的连续性和可微性等.教学目的1.掌握可分离变量方程的解法；2.掌握齐次型方程的解法。

教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数12学时§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的1.理解存在唯一性定理；2.了解逐步逼近法。

教学重点、难点存在唯一性定理与逐步逼近法； 教学时数 4学时 教学过程3.1.1 存在唯一性定理1. 考虑导数已解出的一阶微分方程)1.3)(,(y x f dxdy= f (x ,y ) 在矩阵区域 R | x -x 0 | ≤ a , | y -y 0 | ≤ b 上连续.利普希茨条件 若对函数 f (x ,y ) 存在常数 L >0 ,使得对所有 (x , y 1), (x , y 2) ∈R 都成立不等式 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 |,则称函数 f (x ,y ) 在 R 上满足利普希茨条件.定理1 如果f (x ,y ) 在矩形区域 R 上连续且关于 y 满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y =ϕ(x ), 定义于区间 | x -x 0 | ≤ h 上,连续且满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0.|),(|max ),,min( ),(y x f M Mba h R y x ∈==其中.采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明.区间取为 x 0≤x ≤x 0+h . 皮卡逐步逼近法(思路)(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解;(2)取一连续函数 ϕ0(x ) 进行迭代求解,构造函数序列: ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ),… ϕn (x );⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(001ϕϕ⎰+=xx x x x f y x 0d ))(,()(102ϕϕ⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(203ϕϕ…⎰-+=xx n n x x x f y x 0d ))(,()(10ϕϕ(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数ϕ(x ); (4)证明上述解是唯一的;命题1 设y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤x ≤x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解,则 y =ϕ(x ) 是积分方程)5.3(),(00⎰+=xx dx y x f y y的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,反之亦然.证明：“=>”由y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤ x ≤ x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解有))(,(d )(d x x f xx ϕϕ= 两边从x 0到x 积分可得⎰⎰=x x xx x x x,f x 0))d (()(d ϕϕ⎰=-⇒xx x x x,f x x 0))d (()()(0ϕϕϕ将初始条件 ϕ(x 0)=y 0 代入即得到⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ所以y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.“<=”设y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,则有⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ两边对x 求导得),())(,()(y x f x x f x y =='=ϕϕ又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.现取 ϕ0(x )=y 0 ,构造皮卡逐步逼近函数序列:)7.3(,...2,1,d ))(,()( ,d ))(,()()(01000100⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+==⎰⎰-n t t t f y x t t t f y x y x xx n n xx ϕϕϕϕϕ命题2 对于所有的 n ,函数 ϕn (x ) 在 x 0≤x ≤x 0+h 上有定义,连续且满足不等式 | ϕn (x )-y 0 | ≤ b . 证明： (用数学归纳法)当 n =1 时,⎰+=xx t t t f y x 0d ))(,()(001ϕϕ,显然在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义,并是连续的;并且⎰=-xx t t t f y x 0d ))(,(|)(|001ϕϕ⎰≤x x t t t f 0d |))(,(|0ϕ⎰≤xx t M 0d )(0x x M -≤b x x M ≤-≤)(0,命题成立;假设命题当 n =k 时成立,即⎰-+=xx k k t x t f y x 0d ))(,()(10ϕϕ在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义、连续用满足b y x k =≤-|)(|0ϕ则⎰+=+xx k k t x t f y x 0d ))(,()(01ϕϕ由于ϕk (x )的连续性,知ϕk +1(x )在x 0≤x ≤x 0+h 也显然上是有定义和连续的. 并且=-+|)(|01y x k ϕ⎰xx k t x t f 0d ))(,(ϕ⎰≤xx k t x t f 0d |))(,(|ϕb x x M ≤-≤)(0所以当n =k 时命题也成立,从而命题2对一切 n ∈N 都成立.命题3 函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上是一致收敛的. 证明：由级数与数列的关系:级数收敛等价于部分和数列收敛. 考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k kx x x ϕϕϕ,它的部分和恰为)()]()([)(110x x x x n nk k k ϕϕϕϕ=-+∑=-因此要证明函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可.⎰≤-xx dt t t f x x 0))(,(||)()(|001ϕϕϕ )(0x x M -≤⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|0112ϕϕϕϕ由于函数f (x ,y )对y 满足利普希茨条件 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 | 则有⎰-xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|01ϕϕ⎰-≤x x dt t t L 0|)()(|01ϕϕ⎰-≤xx dt x t M L 0)(020)(2x x ML-=同理⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|1223ϕϕϕϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|12ϕϕ⎰-≤xx dt x t ML 0202)(2302)(!3x x ML -= 设对正整数 k 有k k k k x x k ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ 则对正整数 k +1 有⎰-+-≤-xx k k k k dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|11ϕϕϕϕ⎰--≤xx k k dt t t L 0|)()(|1ϕϕ⎰-≤xx kkdt x t k ML 0)(!010)()!1(+-+=k k x x k ML从而由数学归纳法知对任一正整数 n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ从而对级数而言有∑∞=--+110)]()([)(k k k x x x ϕϕϕ∑∞=--+≤1010)(!)(k nn x x n L M x ϕ∑∞=-+≤110!)(k n n n h L M x ϕ 上式是收敛的正项级数,因此由M 判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列 {ϕn (x )}在 x 0≤ x ≤x 0+h 上一致收敛.命题4 ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.证明：因为函数列{ϕn (x )}一致收敛于ϕ(x ),加之利普希茨条件 | f (x , ϕn (x ))- f (x , ϕ(x )) | ≤ L | ϕn (x )- ϕ(x ) | 可知函数列{ f (x , ϕn (x ))}收敛于f (x , ϕ(x )). 因此,两边取极限有⎰-∞→∞→+=x x n n n n dt t t f y x 0))(,(lim )(lim 10ϕϕ⎰+=xx dt t t f y x 0))(,()(0ϕϕ所以ϕ(x )是积分方程定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.命题5 设 ψ(x ) 是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的另一连续解,则 ϕ(x )= ψ(x ). 证明:由命题1可知⎰+=xx t t t,f y x 0))d (()(0ψψ只要证明 ψ(x ) 也是函数列 {ϕn (x )} 的极限函数即可. 由于⎰≤-xx t t t f x x 0d |))(,(||)()(|0ψψϕ)(0x x M -≤=-|)()(|1x x ψϕ⎰-≤xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|0ψϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|0ψϕ200)(2)(0x x LMdt t t LM xx -=-≤⎰ 假设对正整数 n -1 时有|)()(|1x x n ψϕ--n n x x n ML )(!01-≤- 则对正整数 n 有|)()(|x x n ψϕ-⎰-≤-xx n dt t t f t t f 0|))(,())(,(|1ψϕ⎰-≤-xx n dt t t L 0|)()(|1ψϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n M L dt t t n M L 因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立. 即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ψϕ上式右端是收敛级数的一般项,当 n →∞ 时它趋于零,因而函数列 {ϕn (x )} 一致收敛于 ψ(x ) ,由极限的唯一性,有 ψ(x )= ϕ(x ) .注1 存在唯一性定理中数 h 的几何意义.注2 由于利普希茨条件比较难检验,常用 f (x ,y ) 在 R 上有对 y 的连续偏导数来代替. 注3 设方程(3.1)是线性的,即方程为)()(x Q y x P dxdy+= 那么当 P (x ), Q (x ) 在区间 [α ,β]上连续时,定理1的条件能满足.2. 考虑一阶隐式方程 F (x , y , y ')=0由隐函数定理,若在点 (x 0, y 0, y '0) 的某邻域内 F 连续且 F (x 0, y 0, y '0)=0 而0≠'∂∂y f,则 y ' 唯一地表示为 x , y 的函数,且 f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 的某邻域内连续且满足y '0= f (x 0, y 0).定理2 如果在点 (x 0, y 0, y '0) 的某一邻域中(1) F (x , y , y ')对所有变量 x , y 及 y ' 连续,且存在连续偏导函数; (2) F (x 0, y 0, y '0)=0 (3)0),,(000≠'∂'∂y y y x F则方程(3.15)存在唯一解 y =y (x ), | x -x 0 | ≤ h ( h 是足够小的正数) 满足初值条件 y (x 0)=y 0, y '(x 0)= y '0.3.1.2 近似计算和误差估计第 n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 在区间 | x -x 0 | ≤ h 内的误差估计式1)!1(|)()(|++≤-n n n h n ML x x ϕϕ.例1 方程22y x dxdy+=定义在矩形域 R : -1≤ x ≤1, -1≤ y ≤1 上,试利用存在唯一性定理确定经过点 (0, 0) 的解的存在区间,并求此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式. 解：2|),(|max ),(==∈y x f M Ry x 21}21,1min{},min{===M b a h 利普希茨常数 L =2 :2|2|≤=∂∂y yf由题意,第n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 的误差不超过0.05,即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ϕϕ121)!1(22+⋅+⨯=n n n )!1(1+=n 20105.0=< 即取 n =3 即可,从而可作如下近似计算0)(0=x ϕ3))((0)(302021x dt t t x x=++=⎰ϕϕ⎰+=xdt t t x 02122))(()(ϕϕ⎰+=xdt t t 062)9(63373x x +=⎰+=xdt t t x 02223))(()(ϕϕ⎰+++=xdt t t t t 0141062)396918929(5953520792633151173x x x x +++= ϕ3(x )即为所求的近似解.作业: P88,2.§3.2 解的延拓教学目的1.理解解的延拓的概念与条件；2.会将方程的解在指定区间上延拓。

[整理]一阶微分方程的解的存在定理第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。

教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。

解决了几个特殊的方程。

但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。

教学要求熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解，教学重点Picard 存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一．存在唯一性定理1．定理1，考虑初值问题),(y x f dxdy= （3.1）00)(y x y =其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有R y x y x ∈),(),,(21常存成立，|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0),(0（3.5）的连续解。

常微分方程解的存在唯一性定理常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、?称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，?心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。

否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对?Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即?血，这就是说机x）是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。

反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1?）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法．教学内容：1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz 条件、Picard 逼近序列、逐次逼近法．2、解的延拓定理与延拓条件．3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut 方程．教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的证明 教学过程：§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理定理１ 如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = (3.1) 存在唯一解)(x y ϕ=定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ （3.3） 其中),(max ),,min(),(y x f M Mb a h R y x ∈== 可用皮卡（Picard ）逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法（差分法）、绍德尔（Schouder ）不动点方法等亦可证明．逐步逼近法的基本思想分五个命题来证明定理．命题１ 设)(x y ϕ=是方程(3.1)的定义于区间h x x x +≤≤00上，满足初始条件 00)(y x =ϕ的解，则)(x y ϕ=是积分方程h x x x dx y x f y y xx +≤≤+=⎰000,),(0 （3.5）的定义于区间h x x x +≤≤00上的连续解，反之亦然．现取00)(y x =ϕ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+≤≤+==⎰-x x n n n h x x x dx f y x y x 0),,2,1(,)(,()()(0010n00Λξϕξϕϕ (3.7) 命题２ 对于所有的n ，(3.7)中函数)(x n ϕ在h x x x +≤≤00上有定义、连续且满足不等式b y x n ≤-0)(ϕ (3.8)命题３ 函数序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上是一致收敛的． 设 )()(lim 0x x n n ϕϕ=→，则)(x ϕ也在h x x x +≤≤00上连续，且由(3.８)又可知， b y x n ≤-0)(ϕ命题４ )(x ϕ是积分方程（3.5）定义于区间h x x x +≤≤00上的连续解．命题５ 设)(x ψ是积分方程（3.5）定义于区间h x x x +≤≤00上的另一个连续解，则)(),()(00h x x x x x +≤≤=ψϕ．附注１ （Ｐ84）附注2 由于利普希兹条件比较难于检验，常用),(y x f 在R 上对于y 的连续偏导数代替．附注３ （Ｐ85）定理２ 如果在点),,(000y y x '的某个邻域内， ο1 ),,(y y x F '对所有变元连续，且存在连续偏导数；ο2 0),,(000='y y x F ； ο3 0),,(000≠'∂'∂y y y x F ； 则方程(3.15)存在唯一解．h x x x y y ≤-=0),( （h 未足够小的任意正数）满足初始条件000)(,)(y x y y x y '='= 3.1.2 近似计算与误差估计在(3.14)中令),()(x x ψϕ=可得第n 次近似解)(x n ϕ和真正解)(x ϕ在区间11)!1()()(+++≤-n n n h n Ml x x ϕϕ (3.19) 在近似计算时，可根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数)(x n ϕ．例１ 方程22y x dxdy +=定义于矩形区域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，试利用存在唯一性定理确定过点)0,0(的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过05.0的近似解的表达式．作业：P88 1、3、4、5、7、9§3.２ 解的延拓局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件．解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数),(y x f 在有界区域内连续，且在G 内关于y 满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过G 内任意一点),(00y x 的解)(x y ϕ=可以延拓，直到点))(,(x x ϕ任意接近区域G 的边界．以向x 增大的一方的延拓来说，如果)(x y ϕ=只能延拓到区间m x x ≤≤0上，则当m x →时，))(,(x x ϕ趋于区域G 的边界．推论 如果G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过),(00y x 的解)(x y ϕ=可以延拓，以向x 增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1) 解)(x y ϕ=可以延拓到区间),[0∞+x ；(2) 解)(x y ϕ=只可以延拓到区间),[0m x ，其中m 为有限数，则当m x →时，或者)(x y ϕ=无界，或者点))(,(x x ϕ趋于区域G 的边界．例１ 讨论方程212-=y dx dy 的分别通过点)3,2(ln ),0,0(-的解的存在区间．例２ 讨论方程x dxdy ln 1+=满足条件1)1(=y 的解的存在区间． §3.３ 解对初值的连续性和可微性定理3.3.1 解关于初值的对称性解关于初值的对称性定理 设方程(3.1)的满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ϕ=，则在表达式中，),(y x 和),(00y x 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式),,(00y x x y ϕ=3.3.2 解对初值的连续依赖性引理 如果函数),(y x f 在某区域D 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解)()(x x ψϕ和，在它们的公共存在区间成立着不等式0x x L 00e|)()(||)()(|--≤-x x x x ψϕψϕ (3.20)其中0x 为所考虑区间内的某一值．解对初值的连续依赖性定理 设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，G y x ∈),(00，),,(00y x x y ϕ=是(3.１) 的满足初始条件00)(y x y =的解，它在区间b x a ≤≤上有定义)(0b x a ≤≤，则对于任意给定的0>ε，存在正数),,(b a εδδ=使得当2200200)()(δ≤-+-y y x x 时，方程(3.1)的满足条件00)(y x y =的解),,(00y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且b x a y x x y x x ≤≤≤-,|),,(),,(|0000εϕϕ证明（略，见P96）解对初值的连续性定理 若),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是连续的． 3.3.3 解对初值的可微性解对初值的可微性定理 若),(y x f 及yf ∂∂都在区域G 内连续，则方程(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是可微的．证明（略，见P100）。

第三章一阶微分方程的解的存在定理微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预料未来的可能情况。

对于反映某一运动规律的微分方程,如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解——“运动”具有所需的性能。

在第二章里，我们已经介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时指出，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此，对初值问题的研究被提到了重要的地位。

自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易举出解存在而不唯一的例子。

例如方程过点的解就不是唯一的。

事实上，易知是方程的过点的解。

此外，容易验证或更一般地,函数都是方程的过点而定义与区间上的解，这里的满足的任一数。

本章介绍的存在唯一定理完满地回答了上面提出的问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。

另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。

因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，显然问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。

解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基础。

此外，我们将看到在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。

由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。

因此我们以它作为初始条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。

其中L 称为利普希兹常数。

2 ）局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。

注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。

3）一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。

4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ⊂，当],[b a x ∈时，)()(x x ψϕ≡，则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。

5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。

常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，•心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。

否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即•血，这就是说机x）是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。

反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。

第三章一阶微分方程解的存在定理［教学目标］1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2.了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

［教学重难点］解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

［教学方法］讲授，实践。

［教学时间］12学时［教学内容］解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

［考核目标］1•理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2•熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§ 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dx过点(0,0)的解就是不唯一，易知y = 0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，讨或更一般地,函数丄00乞x乞cy =2l(x-c) c<x^1都是方程过点(0,0)而且定义在区间0岂X叮上的解，其中c是满足0 ：：：C ：：：1的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。

第3章　一阶微分方程的解的存在定理习题3.11．求方程通过点（0，0）的第三次近似解．解：所以方程通过点（0，0）的第三次近似解为2．求方程通过点（1，0）的第二次近似解．解：所以，方程通过点（1，0）的第二次近似解为3．求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计．解：这里h是a＝1及中的最小者，故，在R上函数f（x，y）＝x2－y2的利普希茨常数可取为L＝2，因为由误差估计教材中公式（3.19）得所以，已知初值问题的解的存在区间为，第二次近似解为在解的存在区间的误差估计为4．讨论方程在怎样的区域中满足解的存在惟一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解．解：在这里根据定理1，当f（x，y）在某一矩形区域R上连续，且关于y满足利普希茨条件时方程存在惟一解．显然这里f（x，y）在整个平面上是连续函数．又根据教材中附注2知道，在存在且连续的区域上是有界的，从而存在利普希茨条件．由于在y≠0的区域上是存在且连续的，所以在时，满足教材中定理1的条件，这里σ是任意正数．从而得到满足解的存在惟一性定理的条件的区域为．当y＝0时，容易验证函数y＝0是方程过（0，0）的解．当y≠0时，方程可以变形为积分之，得到这里c是任意常数，而且由于，故x≥c．相应地，过（0，0）的解可以表示为综合以上两种情况，可以得到过点（0，0）的解为y＝0，以及其中c≥0为任意正常数．5．叙述并用逐步逼近法证明关于一阶线性微分方程的解的存在惟一性定理．解：一阶线性微分方程可以表示成，这里P（x），Q（x）是连续函数．定理叙述如下：设函数f（x，y）＝P（x）y＋Q（x）在矩形域R：|x－x0|≤a，|y－y0|≤b上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程＝P（x）y＋Q（x）存在惟一的解y＝φ（x），定义于区间|x－x0|≤h上，连续且满足初值条件φ（x0）＝y0，这里，证明：由于P（x），Q（x）是连续函数，从而f（x，y）关于y满足利普希茨条件．可以取利普希茨常数由于篇幅过长，而且方法与定理完全一致，故略去证明过程．6．证明格朗沃尔（Gronwall）不等式：设K为非负常数，f（t）和g（t）为在区间α≤t≤β的连续非负函数，且满足不等式则有并由此证明教材中的定理1的命题5．证明：（1）K＞0时，令则，由ω（t）＞0可得两边从α到t积分得即有所以即有（2）当K＝0时，对任意ε＞0，由于所以，由（1），有．当ε→0＋时，有f（t）≤0．又因为f（t）≥0，即得f（t）≡0．从而由（1），（2）知，格朗沃尔不等式成立．证毕．7．假设函数f（x，y）于（x0，y0）的邻域内是y的不增函数，试证方程（3.1）满足条件y（x0）＝y0的解于x≥x0一侧最多只有一个．证明：设教材中方程（3.1）满足条件y（x0）＝x0的解有两个：y＝φ（x）和y＝φ0（x），要证当x≥x0时，有用反证法，若，即存在x1＞x0，使得φ（x1）≠0，不妨设φ（x1）＞0，由φ（x）的连续性及φ（x0）＝0，知存在，，使得及φ（x）＞0，，则有其中．由及f（x，y）对y的单调不增性，知这与φ（x1）＞0矛盾．因此，对x≥x0，有φ（x）≡0．证毕．8．如果函数f（x，y）于带域a≤x≤β上连续且关于y满足利普希茨条件，则教材中方程（3.1）满足条件y（x0）＝y0的解于整个区间[α，β]上存在且惟一．试证明之．（提示：用逐步逼近法，取）证明：由教材中命题1知，方程（3.1）满足条件y（x n）＝y0的解等价于求积分方程的连续解，因此只要证明上述积分方程的解的存在惟一性即可．现取易见y n（x）在α≤x≤β上存在且连续．下面证明函数列{y n（x））在a≤x≤β上一致收敛．考察级数取，由①式有。