数模算法之最优控制模型(结合例子讲解,经典讲义)

六、最优控制模型：（动态优化模型， DP ――Dynamical programming ）Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题）问题：① 设有一个物体M （例如：直升飞机、升降机、电梯）作垂直升降运动（设物体M 的质量为m ）；② M 内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 )t (u （时间的函数），用以控制M 的上下运动，由 于作用力)t (u 大小有限，故满足一个约束不等式： xconst k k )t (u =≤问题：是要寻找一个合适的作用力)t (u 的变化规律，使得S M =最快的速度达到地点，而且：已知elevation 的初始状态在0t t =时，M 离开地面的高度为M ,)t (x 0的垂直运动速度为)t (x0 。

解：物体M 应满足的运动规律（即与时间变量t 有关的动态过程），因此，为描述物体运动的状态，令：)t (x )t (x 1=：为物体M 离开地面的高度（t 时刻）dt)t (dx )t (x 12=：为物体M 在t 时刻的速度 于是物体在t 时的运动状态可描述成为：状态方程： f )t (u m f (t)a a m f g )t (u dt )t (dx )t (x dt )t (dx 221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴⋅=-==为控制函数）（ 同时应满足初始状态：⎩⎨⎧==初始速度 初始高度0x )t (x 0x )t (x 202101路径条件(终值状态)：⎩⎨⎧==终端速度 终端高度0)t (x 0)t (x f2f 1 控制约束： const)(k k )t (u =≤目标函数：寻找一个U )t (u ∈(闭的函数类)，使你所用的总时间0f t t -最短，即使 ()0f t t t t dt )t (u J Jf 0-===⎰取最小值本文由无忧数模网QQ1105758397提供或：寻求一个 U )t (*u ∈，使得：()())t (u J )t (*u J ≤或：寻求一个U )t (*u ∈，使得：()())t (u J min )t (*u J U)t (u ∈≤或者说：在容许控制的函数类U 中，找一个控制函数U )t (*u ∈，使状态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x 21从初始状态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x 02010转移到终端状态(目标集：{}0)x (h ,0)x (g ,R )t (x )t (x S i i n =≤∈= ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x f 2f 1f (此问题中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)t (x f)， 而且使所用的时间最短，即：()⎰-===∈ft t 0f Uu )t t min(dt min)u (J min *u J ，如果满足上述条件的U )t (*u ∈是存在的，则说)t (*u 是该系统的最优控制(或极值控制)，而把对应的状态)t (*u 叫做该系统的最优轨线(或极值轨线()t (*u ，)t (*x )叫最优对，*)u (J 叫最优性能指标。

最优控制的应用案例最优控制（Optimal Control）是一种在经济、工程、物理学和数学等诸多学科领域都很流行的算法和技术，它能通过系统模型与数学方程来分析系统的运动特性及行为，使系统能达到最佳控制状态，以满足特定的目标。

最佳控制技术可以有效地应用于包括信息处理、机器人控制、航天、控制网络、交通管制、供应链管理等领域，帮助企业提高产品质量，改善生产效率。

举一个比较流行的应用案例，航天制导系统的研发，最优控制可以帮助产品开发者们构建最优的制导系统，在考虑到各种条件和影响因子的情况下确定系统出现问题的可能性及解决的最佳方案。

通过将基于时变的力学模型与非线性的边界和动力学建模结合来实现更准确的动态模型，它可以保证航天器的健康运行和有效运行。

最优控制另一个应用案例就是机器人控制，它可以通过数学模型来推断机器人的动作，并让机器人以最快的速度做出正确的反应，以达到最佳的结果，从而提高工作效率。

通过对机器人的各个装载物流控制进行深入分析，最优控制可以给予机器人准确的动作指令，确保它做出正确而有效的操作，帮助机器人达到最佳工作状态。

最优控制广泛应用于交通管理领域，它可以通过模型与数学方程来构建出实时状态及演变趋势，并确保道路交通有效及平稳。

最优控制模型会通过计算最小化交通负载，提高行车路线的灵活性，并加强交通运行的安全性。

通过关注交通流动的非线性特性，将交通流量模型与控制系统相结合，使行车时变得更有序，并且能够自动适应多种情况。

通过最优控制技术，企业可以获得良好的生产结果和高效的安全控制。

此外，最优控制也可以解决供应链管理中的相关难题，以保证物流的有效运营、库存的有效控制、货物的及时交付等，从而确保企业可以顺利地生产和运营，为消费者提供优质的服务和产品。

第四章 最优控制模型（管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型）§1 最优控制的问题提法： §1.1 最优控制问题举例 §1.2 最优控制数学模型一、例，详见最优控制课听课笔记第一节； 二、问题的数学描述――最优控制模型.寻找U )t (*u ∈（开，闭）[]f f 0t ,t ,t 可以固定或自由，使得： [][])t ( u J min )t (*u J Uu∈= (){()()0t ),t ( x g 0 t ),t ( x g ,R )t (x )t (x M x )t (x x )t ( x t ),t ( u ),t (x f dt (t) x d :t .s f f 2f f1f f f f 00≤=∈=∈==其中： n R )t (x ∈ ，且1C )t (x ∈ （一个连续可微）， R U )t (u m ≤∈，[] t ,u (t), x f：向量值函数，且)( f ⋅ 对t ),t ( u ),t ( x 连续，对t ),t ( x 连续可微. []()()()[]。

都可微 t (t), x 对 t (t), u (t), x L ,t ),t ( x,dt t ),t ( u ),t ( x L t ),t ( x )t ( u J f f tt f f fϕ+ϕ=⎰最优控制问题的求解方法：1． 古典变分法：U 开集；2． 极大值原理：U 闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 3． 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 发展了变分法，结果要充分条件.§2 最优控制模型的动态规划解法 §2.1 动态规划方法概述§2.2 生产——库存——销售管理系统的解法§2.1 动态规划方法概述某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程：()⎩⎨⎧∈==+M )(k x x )0( x k ),k ( u ),k ( x f )1k ( x f 0 使 ()∑-==1N 0i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小. 此为一个N 阶决策问题：动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点：（ⅰ）将一个N 阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中；（ⅱ）大大简化了计算量；（ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理：可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题.下面以最短路问题举例说明这种方法： 一、最短路问题（最小时间问题）1．问题：若有一辆汽车以S 城出发经过若干城市到达F 城，如图：3 ,2 ,1i ,Q ,P i i =，是一些可以通过的城镇.·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3 4 4 1 2 4S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 ·Q 3图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）.于是：汽车从S 到F 可经多种途径选择到达F . 问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使S 到F 所走路线最短.或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从S 到F 所用时间最短.2．方法：Ⅰ决策树法（穷举法）：决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）.即： {}3 ,2 ,1i F Q SP min F *Q *SP i i i i == 因此有：1 P 3 4 F 15P 26 1 Q 3 3 F 14P 1 62 P34 F 164 Q 22 Q3 3 F 15S1 P 3 4 F 145 P 24 1 Q 3 3 F 13Q 1 7 2 P 3 4 F 18Q 22 Q3 3 F 17因此，最终得出：{}3 ,2 ,1i F Q SP min F P P SQ i i 321== 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算.第1次：22211Q Q /P Q /P S →→→；第2次：3322Q /P Q /P →； 第3次：F Q P 33→或因此，共需24次运算：2438＝⨯次，若阶段更多，则计算量更大. 2．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？）法：第一步：从S 到1P 或1Q ：显然 5SQ 4SP 11=<=，因此取决策1SP ；第二步：从1P 到2P 或2Q ：显然 2121Q P 6P P ==，因此取2121Q Q ,P P 均可，但从2P 到3P 或3Q 距离为1，而2Q 到32P P 距离为2，因此，第2步决策为2P ，因此取21P P ；第三步：2P 到3P 或2P 到3Q ，均有1Q P P P 3232==，但3Q 到F 的距离为3，因此第3步取路线32Q P .因此使用这种方法得到的决策为：143164F Q P SP 321=+++= 显然不是“最优决策”，同时还有：14F P P SQ 321=问题出现在“局部优不能代替整体优”的问题. 3．动态规划：即可把每一步决策都看成一个状态的转移，而每一种状态的转移又影响到下一阶段的状态，因此又是动态的，故称为动态规划法.将上述问题分为四个阶段的多阶决策问题，故可将问题分为四阶段问题来考虑：第一阶段问题：11Q /P S →； 第二阶段问题：2211Q /P Q /P →； 第三阶段问题：3322Q /P Q /P →； 第四阶段问题：F Q /P 33→ 解题方法从最后一个阶段开始：1° 分别计算33Q ,P 到F 的最小代价，此处花费代价为时间，记为J ，用[][]33Q J ,P J 分别表示3P 或3Q 到F 的代价，则显然有：[][]3Q *J 4P *J 33==2° 由后往前，考虑倒数第二阶段（即第三阶段），再把第三阶段和第四阶段联合作为一个子问题来考虑，若从2P 出发到F ，则有两种可能：[][]431Q *J 2J F Q P 541P *J 1J F P P 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q P 32最短，且[]4P *J 2=，故将线路F Q P 32记成P 2④Q 3.类似以2Q 出发到F ，则有两种可能：[][]532Q J 2J F Q Q 642P J 2J F P Q 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q Q 32最短，则[]5Q *J J 2==，故将线路F Q Q 32记成2Q ⑤3Q .3° 再由2、3、4这三个阶段构成的子问题：若从1P 出发到F 有两种可能：[][]1156Q *J 6J F Q P 61046P *J 6J F P P 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P P 21最短，且[]10P *J 1=，故将F P P 21记成：1P ⑩2P若从1Q 出发到F 有两种可能：[][]1257Q *J 7J F Q Q 844P *J 4J F P Q 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P Q 21最短，则[]8Q *J 1=，故将F P Q 21记成：1Q ⑧2P4° 把由1、2、3、4阶段作为子问题来考虑：从S 出发到F 有两种可能：[][]1385Q *J 5J F SQ 14104P *J 4J F SP 1111=+=+==+=+=且且故： F SQ 1最短，且[]13S *J = 5° 因此有最优策略：F SQ 1即： []13S *J F Q P SQ F SQ 3211==，除“二决一”比较之外，且运算只用了10次，而穷举法则算了24次，上次这种动态规划的办法：是将把一个四阶段决策问题化为四个互相嵌入子问题，逐一进行简化的计算方法，即数学上嵌入定理. 3．最优性原理“最优策略的一部分也是最优策略”例如：上例中知：F Q P SQ 321是最优决策，则F Q P Q 321也一定是从Q 1出发到F 的最优决策：证明［反证法］：设SQ 1P 2Q 3F 是最优决策，则Q 1P 2Q 3F 不是最优决策，则必存在另一个最优决策，不妨设为Q 1Q 2Q 3F 为最优决策.因而，SQ 1Q 2Q 3F 是整体最优决策，因而与SQ 1P 2.)1N (*u , ),1(*- 是N 阶决策问题的最优策略序列，那么：)1N (*u , ),1(*u - 也是一个最优策略序列，其初始状态为：())0(*u ),0(x f )1(x =证明：同最短路4． 多阶决策问题的一般想法：设某系统的状态方程为：()⎩⎨⎧==+0x )0(x )i (u ),i (x f )1i (x目标函数为：()∑-==1N 0i N i ),i (u ),i (x L J ，NJ表示控制N 步时的目标函数值.最优控制问题，即：求最优决策序列{}{})1N (u , ),0(*u )i (*u -= ，使N J 取最小(大)值.为简化假定为定常状态，即L 不明显还有时间变量i因而有：()⎩⎨⎧==+0x )0( x )i (u ),i (x f )1i ( x()∑-==1N 0i N )i (u ),i ( x L J对目标函数(3)逐次应用(1)式有：()()()()()()()()()()())1N (u ),2N (u ,u(1) ,)0(u ),0(x f f f L ,u(1) ,)0(u ),0(x f L )0(u ),0(x L ,)1N ( u ),1N ( x L )1(u ),1(x L )0(u ),0(x L J N --+++=--+++=因此，可以由上式看出：N J 只依赖于)1N (u , ),1(u ),0(x - 因而可写成：())1N (u , ),1(u ),0(x J J N N -=又若用某种方法求出了最优决策)1N (*u , ),0(*u - ，则N J 的最小值只依赖于初始值)0(x ，记为() )0( x *J N ，它可用下式来定义：()())1N (u , ),1(u ),0( x J min)0(x *J N )1N (u ,),1(u ),0(u N -=-初始值是可变化的，因此：() )0( x *J N 表示初始状态为)0(x 时，控制N 步的目标函数最小值.5．动态规划的基本方程：动态规划的基本方程，给出N 阶决策问题的目标函数最优值与它的子问题)1N (阶决策问题-目标函数最优值之间的递推关系式，它是用动态规划解一切多阶决策问题的基础.设)0(*u 已求出，则求序列{})1N (*u , ),2(*u ),1(*u - 的问题，构成一个以() )0(u ),0( x f )1( x =为初始条件的1N -阶决策问题，若记这一子问题的目标函数最小值为：() )1(x *J 1N -；又若记() )0( x *J N 为N 阶决策问题最小值，则我们可以导出() )0( x *J N 与() )1(x *J 1N -之间的关系：()()() (k)u (k), x L ) )1(u ),0(x ( L min u(k) x(k),L min )0(x *J 1-N 1k 1)-u(N -u(0)1-N 0k )1N (u ,),1(u ),0(u N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==- 由于则第一项：()())0(u ),0(x L min )0(u ),0(x L min)0(u )1N (u , ),0(u =-第二项： ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑-=-1N 1k )1N (u , u(1) ),0(u )k ( u ),k ( x L min 并不明显依赖)0(u ，()())2N (u ),2N (x f )1N (x )0(u ),0(x f )1(x --=-=但由状态方程：可知：实际上第二项仍依赖于)1N (u , ),1(u ),0(u - ，因此，第二项可写成：()()(){})1( x J min (k)u (k), x L min min (k)u (k),x L min *1N )0(u 1-N 1k )1N (u ,),1(u )0(u 1-N 0k )1N (u ,),0(u ---=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∑此给出了())1(x J *1N -与())0(x J*N 之间的递推关系.它是动态规划的基本方程.类似有动态规划更一般的基本方程：(**) 因此依据基本递推方程的递推关系：可以把一个多阶决策问题化为若干个子问题，而在决策的每一个阶段中只须对一个变量进行最优化决策即可.例如：()(){})1N (u ),1N (x L min )1N (x J )1N (u *1--=-- 是对一个单变量)1N (u -的优化问题，当())1N (x J *1-求出后，由基本递推方程(**)式可得：()()(){})1N (x J )2N (u ),2N (x L min )2N (xJ *1)2N (u *2-+--=--这又是对)2N (u -的最优化决策问题，因而把原来N 阶决策问题化成一系列对单变量的最优化决策问题，从而使问题简化.§2.2 生产库存——库存管理决策问题的解设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元. 第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s 因此有：下季度库存是 ：)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量本季生产量本季度库存量是+=+且要求年初、年终都没有存货即销售已空.x （0）＝x （5）＝0最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小.即：求 {})i (*u 使[][][]∑=+=≤41i 240)i (x )i (u005.0)i (u J )i (*u J （1）⎪⎩⎪⎨⎧===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3is(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s解：使用动态规划的办法：1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+=由（2） 0 x(5))4)4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得 ２００u(4)－(4)－1x(4)0+=得 )4(x 1200)4(*u -=代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 22*4+-=+-= 2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：()()[]{}(){}{})4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 22)3(u *12)3(u *1)3(u *2+-++=++=+=其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：()()(){}22)3(u *2500)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=∂∙∂即：{}0)3(x 01.016)3(u 02.0)3(u =+-=∂∙∂即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2()()())3(x 0025.0)3(x 77550500)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 22*2+-=-++-+-++=3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：()()(){}{})3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 22)2(u *2)2(u *3+-++=+=其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *3()()(){}22)2(u *3700)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=∂∂ 得(){}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)2(u )2(u )2(x J *3=-+-=∂∙∂=∂∂得 )2(x 31700)2(*u -= 再代 ())2(x J *3 得 ())2(x 3005.0)2(x 6000,10)2(x J 2*3+-= 4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22)1(u *3)1(u *4 又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=并代入上式 ())1(x J *4得：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++=22*4600)1(u 3005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J 令 ()0)1(u )1(x J *4=∂∂ 得()0600)1(u 301.06)1(u 01.0=-+- 得 600)1(*u =得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+=可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 31700)2(*u -= 于是由600)1(*u0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+ 及 )4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 31700)2(*u -=-=-=可得900)4(*u ,800)3(*u ,700)2(*u ,600)1(*u 0)5(x ,300)4(x ,0)3(x ,0)2(x ,0)1(x =========即有以上最优决策序列：{})i (*u 若不按以上最优决策，按每季销售量生产1200)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========则显然总有存为总量0，但总费用： ()∑=+=4124700,12)i (x )i (u005.0J 要多用900元.。

最优控制问题的预测模型方法最优控制是一种重要的数学理论和方法，广泛应用于控制工程、经济管理、物流规划等领域。

预测模型方法作为最优控制中的一种重要手段，被用来描述和优化系统的动态行为。

本文将介绍最优控制问题的预测模型方法，并讨论其应用和发展前景。

一、最优控制问题概述最优控制问题是指在给定约束条件下，通过选择最佳控制策略，使得控制系统的性能指标达到最优。

最优控制问题通常可以用微分方程的形式来描述，其中包括系统状态方程、控制方程和性能指标。

求解最优控制问题的关键在于建立合适的模型和求解方法。

二、预测模型方法简介预测模型方法是一种常用的最优控制求解方法，它通过建立系统的预测模型，利用模型预测系统未来状态，并据此制定最优控制策略。

预测模型方法可以分为离散时间和连续时间两种形式，常用的包括动态规划、模型预测控制、神经网络等方法。

1. 动态规划动态规划是一种基于最优化原理的最优控制方法，它将最优控制问题转化为递归的最优化问题。

通过构建递推关系和边界条件，可以求解出系统在每个时刻的最优控制策略。

动态规划方法在离散时间问题中应用广泛，但在连续时间问题中计算复杂度较高。

2. 模型预测控制模型预测控制是一种基于模型预测的最优控制方法，它通过优化一个有限时间内的性能指标，求解出未来一段时间内的最优控制策略。

模型预测控制方法可以灵活地处理约束条件和非线性系统，并且在实践中具有较好的应用效果。

3. 神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的最优控制方法，它通过学习系统的输入和输出数据，建立系统的映射关系，并利用神经网络进行最优控制。

神经网络方法具有较强的逼近能力和自适应性，但需要大量的训练数据和计算资源。

三、应用和发展前景预测模型方法在最优控制问题中具有广泛的应用和发展前景。

目前，预测模型方法已经应用于许多领域，包括工业自动化、交通运输、金融风控等。

随着计算机技术和人工智能的发展，预测模型方法在实时性、精确性和效率方面都有了较大的提升。

最优控制问题的基本数学模型
最优控制问题的基本数学模型是一个优化问题，目标是找到一个控制策略，使得给定系统在满足约束条件的情况下，能够最大化或最小化一个指标。

通常，最优控制问题的数学模型可以表示为如下形式的动态优化问题：
$$\max_{u(t)} J(y(t), u(t))$$
$$\text{subject to} \quad \frac{dy(t)}{dt} = f(y(t), u(t)), \quad y(0) = y_0$$
$$\text{and} \quad u(t) \in U, \quad t \in [0,T]$$
其中，$J(y(t), u(t))$是一个目标函数，用于度量系统输出
$y(t)$和控制输入$u(t)$的性能。

$f(y(t), u(t))$是系统的动态方程，描述系统随时间的演化。

$y(t)$和$u(t)$分别表示系统的状态和控制输入，$y_0$是系统的初始状态。

$U$是可行控制集，即控制输入的取值范围。

$T$是系统的运行时间。

在这个模型中，目标是找到最优控制策略$u^*(t)$，使得目标
函数$J(y(t), u(t))$在约束条件下达到最大值。

最优控制问题的
解即为最优控制策略$u^*(t)$，以及对应的系统状态轨迹
$y^*(t)$。

太原工业学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了太原工业学院数学建模竞赛的竞赛规则与赛场纪律。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是(从A/B/C中选择一项填写)： A [注] 答卷评阅前由主办单位将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“评阅编号”。

摘要本文的目的是设计电梯控制的优化调度模型以解决师生等待时间长的问题。

前期准备阶段通过对教学主楼电梯的运行情况和学生使用电梯的情况进测量、调查研究，得到建立模型的相关数据。

通过对实际情况作合理假设，将问题归结为：(一) 减少师生等待电梯、乘坐电梯以及爬行楼梯所需的时间；（二）使电梯的能量损耗尽可能小。

综合以上两种因素建立出合理模型，制定出优化调度方案。

模型Ⅰ对以上三项指标进行综合考虑，将等待电梯时间Ti 1，乘坐电梯时间Ti 2，爬行楼梯时间T i 3 按照一定比例量化，对目标函数T(c 1, c 2,... c k )利用Visual C++ 面向对象程序设计语言进行枚举求解，穷尽各种情况，取得最优解。

而模型Ⅱ是对模型Ⅰ的改进与完善，并将电梯能量损耗k E 作为目标函数()12,,k s c c c 的一部分，求解出1号电梯在第8，10 层停靠，2号电梯在第7，9 层停靠的结果。

此结果基本上能够使师生的不满意度达到最小，同时保证电梯的能耗相对较小。

我们认为，本文的模型假设简单但合乎情理，利用Visual C++ 面向对象程序设计语言，对各种情况进行枚举，所得到的结果具有科学性。

在模型讨论与分析阶段中，本文根据实际情况对电梯的优化调度方案进行理论剖析，并对极端情况进行分解。

最优控制例题讲解
最优控制是指在给定动态系统的控制框架下，通过选择合适的控制策略，使得系统在给定性能指标下达到最优状态。

最优控制问题可以形式化为一个数学优化问题，其中包括一个目标函数和一组约束条件。

下面我们来讲解一个最优控制的例题。

假设有一个无人机需要完成一次空中任务，该任务包括从起点飞行到终点，并在途中避开障碍物。

我们的目标是使得无人机在完成任务的同时，最小化能量消耗，即最小化无人机的飞行时间。

为了解决这个问题，我们可以建立一个动力学模型来描述无人机的运动，例如使用牛顿第二定律和运动学方程。

然后，我们可以引入一个控制变量，如推力或俯仰角，来改变无人机的运动。

在建立动力学模型后，我们可以定义一个目标函数，如飞行时间的积分。

然后，我们可以引入一些约束条件，如无人机的运动范围、速度限制、避障约束等。

接下来，我们可以使用优化算法来求解这个最优控制问题，如动态规划、最优控制理论中的泛函最优化方法（如Pontryagin最大值原理）或者数值优化方法（如非线性规划、强化学习等）。

通过求解最优控制问题，我们可以得到一个最优控制策略，即在每个时间步选择最优的控制输入，以使得无人机在完成任务的同时最小化能量消耗。

然后，我们可以将该控制策略应用于实际的无人机系统中，从而实现最优控制。

需要注意的是，最优控制问题的求解通常需要考虑多个因素，如系统动力学、性能指标、约束条件等，并且可能涉及到复杂的数学推导和计算。

因此，在实际应用中，通常需要结合具体问题的特点，选择合适的建模方法和优化算法来求解最优控制问题。

最优控制理论讲义第一章 绪论§1.1最优控制问题静态最优化问题：输入—输出—代数方程 动态最优化问题：输入—输出—微分方程 确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入 随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入⎩⎨⎧=+=)()()()()(t Cx t Y t Bu t Ax t x⎩⎨⎧+=++=)()()()()()()(t v t Cx t Y t w t Bu t Ax t x例：飞船的月球软着陆问题推力 dtdmkf -= 运动方程 mg dt dmk mg f dtx d m --=-=22)()(][00f t t t m t m dt dtdmJ f-=-=⎰ 初始条件 ⎩⎨⎧======0)(,)(,00f f t x x t t ht x x t t约束条件为 0≤≤-dtdmα 求min J§1.2最优控制的数学模型一 控制系统的数学模型(集中参数系统)直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法. 间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数.)),(),(()(t t u t x f t x= 其中 T n t x t x t x t x )](,)(),([)(21 =,T r t u t u t u t u )](,)(),([)(21 =,],,[21n f f f f =)(t x 为n 维状态向量,)(t u 为r 维控制向量,f 为n 维函数向量.二 目标集通过)(t u 使)(t x 由)(0t x 到)(f t x ，其中)(0t x 为初始状态，并且通常为已知；)(f t x 为终端状态，即控制所要求达到的目标。

一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示：0)),((,0)),((21≤=f f f f t t x g t t x g . 三 容许控制i u 具有不同的物理属性，一般有r 1,2i u i ,,=≤α，即在控制域U 内.凡在闭区间],[0f t t 上有定义，且控制域U 内取值的每一个控制函数)(t u 均称为容许控制。

最优控制问题的数值方法最优控制问题涉及如何通过调整系统的状态或控制变量，使得系统的性能指标达到最优。

在实际应用中，最优控制问题具有广泛的应用，例如经济管理、自动控制系统和机器人等领域。

为了解决最优控制问题，数值方法成为了一种重要的工具。

本文将介绍最优控制问题的基本概念，并重点探讨数值方法在解决最优控制问题中的应用。

一、最优控制问题概述最优控制问题可以用数学模型表示为如下形式：$$\begin{align*}\text{最小化} & \quad J(x(t), u(t)) \\\text{约束条件} & \quad \dot{x}(t) = f(x(t), u(t)), \quad t\in [t_0, t_f] \\ & \quad x(t_0) = x_0, \quad x(t_f) = x_f \\\end{align*}$$其中，$J(x(t), u(t))$表示性能指标，$x(t)$和$u(t)$分别表示系统的状态和控制变量，$f(x(t), u(t))$表示系统的动力学方程。

最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得性能指标$J$达到最小，同时满足系统的动力学方程和初始、终端条件。

二、解决最优控制问题的标准数值方法包括动态规划和最优化方法。

1. 动态规划方法动态规划方法将最优控制问题划分为多个子问题，并迭代求解每个子问题的最优解。

具体而言，动态规划方法通过构建一个值函数$V(x(t), t)$来表示从状态$x(t)$开始，在时间$t$到$t_f$的时间段内的性能指标$J$。

值函数$V(x(t), t)$满足动态规划方程：$$\begin{align*}V(x(t), t) = \min_{u(t)} \left[ J(x(t), u(t)) + \int_{t}^{t+\Delta t}V(x(t+\Delta t), \tau) d\tau \right]\end{align*}$$其中，$\Delta t$表示时间步长。