(完整word版)数学选修椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)

(完整word版)椭圆的方程练习题椭圆的方程练题
1. 根据椭圆的定义，椭圆是平面上到两个定点距离之和等于常数的点的集合。

椭圆的标准方程可以表示为：
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a是椭圆长半轴的长度，b是椭圆短半轴的长度。

2. 练题一：
已知椭圆的中心坐标为(2, 3)，长半轴的长度为4，短半轴的长度为2。

求解该椭圆的方程。

解答：
根据标准椭圆方程的形式，代入已知条件可以得到方程：
即：
3. 练题二：
已知椭圆的方程为:
求解该椭圆的中心坐标以及长半轴和短半轴的长度。

解答：
根据标准椭圆方程的形式，可以得到椭圆的中心坐标为(1, 4)，长半轴的长度为3，短半轴的长度为4。

4. 练题三：
已知椭圆的中心坐标为(-2, 5)，长半轴与短半轴的比值为2。

求解该椭圆的方程。

解答：
假设长半轴的长度为a，短半轴的长度为b，则b/a=1/2。

代入标准椭圆方程可以得到方程：
即：。

[A 组 基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A.答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)有( ) A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0. 其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B答案：B 5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1C.x 23＋y 22＝1D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D.答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)． 答案：(±3，0)8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m ＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值． 解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234.故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组 能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米 B.(m ＋R )(n ＋R )千米C ．mn 千米D ．2mn 千米 解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m＋R ，解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.23B.33C.53 D.73解析：连接PF1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，∴e ＝53.故选C.答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝14．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b c x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率； (2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b a ，故CD 方程为y ＝b a (x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ， 将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0. ∵平行四边形OCED 的面积为 S ＝c |y C －y D |＝22c (x C ＋x D )2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2 ＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2.故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。

椭圆一、以考查知识为主试题 【容易题】1．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ） （A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21【答案】C2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝1 【答案】A3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3 B.32 C.83 D.23【答案】B4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D 【答案】B5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）A.1B.2C.2D.22【答案】D6. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ） A.3± B.3± C.2± D.34±【答案】A7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心e=__ 【答案】328.椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若1AF ，21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.【答案】559.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】410．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】1411．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．【答案】312．设 ， 为椭圆 ：的焦点，过 所在的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，则椭圆 的离心率为__________．13．已知椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，点 在椭圆上，， ，则椭圆的离心率 等于__________．二、以考查技能为主试题 【中等题】14. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)(,1)32215．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】416.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5717．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是 ．【答案】191222=+y x18.如图，椭圆C ：(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。

（A ）59（B ）516 （C ）441 （D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。

9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。

10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。

11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。

12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。

（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。

3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11 椭圆同步练测建议用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A.14B.12C.2D.42.已知椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上（除去与x轴的交点）的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为（）A.cB.bC.aD.不确定3.已知曲线C上的动点M(x,y)和向量a=(x+2,y),b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是( )A.23B.C.33D.134.平面内有两定点,A B及动点，设命题甲：“||PA+是定值”，命题乙：“点的轨迹是以,A B为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的既不充分也不必要条件5.如果椭圆上两点间的最大距离是，那么（）A.32B.16C.8D.46.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为（） A.B. C.D.7.已知点P 是椭圆221625400x y +=上一点，且在x 轴上方，12F ,F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF 的斜率为43-，则12PF F △的面积是（ ） A.243 B.123 C.63 D.338.椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，则正数的取值范围是（）A. B. C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）9.椭圆22221(0)x y a b a b+>>＝的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于A,B 两点，若FAB △的周长最大时，FAB △的面积为ab ，则椭圆的离心率为.10.若焦点在轴上的椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是.11.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是圆22142：F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．12.已知椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是．三、解答题（本题共3小题，共36分）13.（本小题满分12分）已知椭圆221259y x +＝的上、下焦点分别为2F 和1F ，点(13)A -，. （1）在椭圆上有一点M ，使2F M MA +的值最小，求最小值； （2）当2F M MA +取最小值时，求2AMF △的周长14.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心22e=.3（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为1-，求直线倾2斜角的取值范围.15.（本小题满分12分）已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当42||MN 时，求直线的方程3一、选择题1.A 解析：椭圆方程可化为22111x y m+=,由焦点在轴上可得长半轴长为1m ,短半轴长为1，所以1m ，解得14m =. 2.C 解析：由题意可设(0)F c ，，点2a M ,m c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2OM mc k a =.由题意可得OM FN ⊥，∴FN 的方程为20()a y x c mc-=--，整理方程，得2()a my x c c =--，即22a my x a c+=.①∵过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，∴ON NM ⊥，即1ON NM k k =-•.设()N x y ，，则21y y m • a x x c-=--.整理，得222a x y x my c +=+.② 联立①②，得2222a x y x my a c+=+=，∴ 22ON x y a =+=．3.A 解析：|a|+|b|=6表示动点M 到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C 是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e==.4.B 解析：若点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,则是定值；当时，是定值，但此时点的轨迹是线段,所以甲是乙成立的必要不充分条件.5.B 解析：由题意得.将椭圆方程化为2214x y k k +=.由04kk >>，得. 6.C 解析：由题意设椭圆方程为221(0)50x y m m m +=>+,与直线方程联立，得22150320x y m m x y ⎧+=⎪+⎨⎪--=⎩，，消去并整理，得.由弦的中点的横坐标为12,可得1211050m m =+,解得.所以椭圆方程为2212575x y +=. 7.C 解析：∵ 椭圆221625400x y +=化成标准形式为22=12516x y +，∴ 222516a b ==，，可得223c a b =-=.∴ 椭圆的焦点为130F -（，），230F （，）.设位于椭圆x 轴上方弧上的点为(,)m n ，则22=125160=433m n n m ⎧+⎪⎪⎨-⎪-⎪-⎩，，解得5223m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（负值舍去）. ∴ △12PF F 的面积1623632S =⨯⨯=. 8.A 解析：由题意得，当点在椭圆222212x y a a +=的外部或点在椭圆222212x y a a +=的内部时，椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，所以221412a a +>或224912a a +<,解得或. 二、填空题 9.22解析：设椭圆的右焦点E ． 由椭圆的定义得FAB △的周长为(2)(2)AB AF BF AB a AE a BE ++=+-+-4a AB AE BE =+--.∵ AE BE AB +≥,∴ 0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号.∴ FAB △的周长44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤. ∴ FAB △的周长的最大值是4a .此时FAB △的面积为21222b c ab a⨯⨯=，∴ 22a bc =.平方,得42224()a a c c =-,即424410e e -+=，∴ 22e =. 10.3100,2⎤⎛⎥ ⎥⎝⎦解析：设椭圆222145x y b +=的上顶点为，焦点为,椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则1290F AF ∠︒≥.由余弦定理可得2222112|||||0AF AF F F +-≤，即22240a a c +-≤,所以222222()a c a b =-≤，即2245b ≤，解得31002b <≤. 11.22413x y +=解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中12c =，,213144b =-=,所以椭圆方程为22413x y +=.12.1625解析：原方程可化为2214x y +=,，，所以，，.不妨设A 为右顶点，设所作的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入曲线方程得45y =，所以21162225S y =⨯=. 三、解答题13.解：由题意知534a ,b ,c ===，1(04)F -，，2(04)F ，，12AF =. ∵ M 是椭圆上任一点，∴ 12210MF MF a +==，∴2111210()10102≥=F M MA a MF MA MF MA AF +=-+=----. 等号当且仅当11MF MA AF -=时成立，此时点1M ,A,F 共线． ∴2F M MA +的最小值为102-.（2）当2F M MA +取最小值时，点1M ,A,F 共线．2AMF △的周长2210 2 5 2 1042l MF MA AF =++=-+=-．14.解：（1）设椭圆方程为22221y x a b+=.，223c a =，所以，所以. 故所求椭圆方程为2219y x +=.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.由题意得222122(2)4(9)(9)0,21,9kb k b kbx x k ⎧=-+->⎪⎨+=-=-⎪+⎩∆解得或. 又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 15.解：（1）由题意得22(0,)(2,2)(2,2)x y y x =+=+m ，(,0)(2,2)(2,2)x x =-=--n .因为∥m n ，所以2()(222)2(0)y x x --+-=，即所求曲线的方程是2212x y +=.（2）由22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得，解得12240,12kx x k ==-+.由2212244112123k MN k x x k k =+-=+=+,解得. 所以直线的方程为或。

完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。

2B。

2/3C。

1/2D。

1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。

2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。

(x²/81)+(y²/72)=1B。

(x²/81)+(y²/9)=1C。

(x²/81)+(y²/45)=1D。

(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。

3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。

2/3B。

2C。

1/2D。

3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。

2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0)D ．(0，±3)【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y 轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.【答案】 D2．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2【解析】 由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 D3．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1【解析】 a ＝13，c ＝23， ∴b 2＝(13)2－(23)2＝1， a 2＝13，而由于焦点不确定， ∴D 正确． 【答案】 D4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y214＝1C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y24＝1【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①， 得4x 2＋y 2＝1. 故选A. 【答案】 A5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆的右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【解析】 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________.【导学号：26160032】【解析】 法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【解析】 由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120° 三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.【解】 (1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1.②若焦点在y 轴上，设椭圆标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24， ∴a ＝12，c ＝8，b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上， ∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【解】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[能力提升]1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1【解析】 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 故选B. 【答案】 B2．(2016·银川高二检测)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 设A 为椭圆的左焦点，而BC 边过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.【答案】 C3．(2016·苏州高二检测)P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20.①由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， 即r 21＋r 22－r 1r 2＝144，②由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin 60°＝12×2563×32＝6433. 【答案】64334．(2016·南京高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值.【导学号：26160033】【解】 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4，即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4. (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3(1－λ)λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， 所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1的周长最大，最大值为8......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。