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第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
正弦函数五点作图法的五个点
利用正弦函数五点作图法可以更加直观地描述出正弦函数的变化特征，比较适用于新手学习正弦函数的概念。
大家都知道正弦函数的定义如下：它在极坐标系中是一条往着极点周围转动的准半圆形曲线，它具有从正向负转折、从正负回到正值的振荡特性，与普通函数不同。
那么如何通过正弦函数五点作图法来描述正弦函数的这些特性呢？
正弦函数五点作图法主要是根据正弦函数的公式：$y=\sin x$，取其中的点，比如$(0,0)、(\frac{\pi}{2},1)、(\pi,0)、(\frac{3\pi}{2},-1)、(2\pi,0)$，然后用图形的方式绘制五点，连接起来，这便得到了正弦函数的图形。
如果按照抛物线的形态，用圆把五点连接起来，它就是一条到极点周围转动的准半圆形曲线，完全符合正弦函数的定义。
有时候，为了更加清晰地描述出正弦函数，将五点沿坐标系中心轴放大，以便把视觉上的振荡性体现出来，从而更明显地看出其从正负向转折和从正负又回到正值的特性。
另外，在五点作图法的基础上，我们岂不可以更进一步继续取点，用曲线的方式将函数的变化特征进一步描绘出来？当然，即便如此，正弦函数五点作图法依然是新手学习正弦函数理解的最佳途径。
综上，正弦函数五点作图法无疑是我们理解正弦函数的一种有效的方式。
此方法简单易操作，清晰地把正弦函数的变化特征表现出来，是教学中应用最为广泛的方法之一，有助于初学者熟练掌握正弦函数的定义与公式，有助于明确了解它的变化规律，让学习变得简单而有效。
